Unidade II

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Métodos Estatísticos 
Aplicados à Engenharia 
de Produção
Responsável pelo Conteúdo:
Prof.ª Dr.ª Brena Silva
Revisão Textual:
Prof.ª Dr.ª Selma Aparecida Cesarin
Estimadores Pontuais e Intervalar
Estimadores Pontuais e Intervalar
 
• Explicar conceitos gerais de estimação pontual e intervalar. Saber construir os estimado-
res desejados;
• Construir intervalos de confiança para a média de uma distribuição normal, usando tanto o 
método da distribuição normal como o da distribuição t.
OBJETIVOS DE APRENDIZADO 
• Introdução;
• Estimação Pontual;
• Anexo I;
• Anexo II.
UNIDADE Estimadores Pontuais e Intervalar
Introdução
Métodos estatísticos são usados para tomar decisões e tirar conclusões acerca de po-
pulações. Esse aspecto da Estatística, geralmente, é chamado de inferência estatística. 
Essas técnicas utilizam a informação em uma amostra para tirar conclusões. 
Segundo Montgomery e Runger (2018), a inferência estatística pode ser dividida 
em duas grandes áreas: estimação de parâmetros e teste de hipóteses. 
Como exemplo de um problema de estimação de parâmetros, suponha que um 
Engenheiro esteja analisando a resistência à tensão de um componente usado em um 
chassi de um automóvel.
A variabilidade está naturalmente presente entre os componentes individuais por 
causa das diferenças nas bateladas da matéria-prima, nos processos de fabricação e nos 
procedimentos de medidas (por exemplo), de modo que o Engenheiro quer estimar a 
resistência média da população de componentes. 
Na prática, o Engenheiro usará os dados da amostra para calcular um número que é, 
de algum modo, um valor razoável (uma boa tentativa) da média verdadeira da população.
Esse número é chamado de estimativa pontual. 
Estimação Pontual
Definição
Uma estimativa pontual de algum parâmetro de uma população θ é um único valor 
numérico θ̂ de uma Estatística θ̂ . A Estatística θ̂ é chamada de estimador pontual.
Em geral, se X for uma variável aleatória com distribuição de probabilidades f(x), 
caracterizada por um parâmetro desconhecido θ, e se X1, X2, ..., Xn for uma amostra 
aleatória de tamanho n de X, então a Estatística θ̂ = h(X1, X2, ..., Xn) será chamada de 
um estimador pontual de θ. 
Note que θ̂ é uma variável aleatória, porque ela é uma função de variáveis aleatórias. 
Depois de a amostra ter sido selecionada, θ̂ assume um valor numérico particular θ̂ , 
chamado de estimativa pontual de θ.
Ao discutirmos problemas de inferência, é conveniente termos um símbolo geral para 
representar o parâmetro de interesse. Usaremos o símbolo grego θ (teta) para represen-
tar o parâmetro. 
O símbolo θ pode representar a média μ, a variância σ² ou qualquer parâmetro de 
interesse para nós. 
O objetivo da estimação pontual é selecionar um único número, baseado nos dados 
da amostra, que é o valor mais plausível para θ. Um valor numérico de uma Estatística 
Amostral será usado como a estimativa pontual. 
8
9
Problemas de estimação ocorrem frequentemente em Engenharia. Geralmente, 
necessitamos estimar:
• A média μ de uma única população;
• A variância σ² (ou desvio-padrão σ) de uma única população;
• A proporção p de itens em uma população que pertence a uma classe de interesse;
• A diferença nas médias de duas populações, μ1 – μ2;
• Diferença nas proporções de duas populações, p1 – p2.
Estimativas razoáveis desses parâmetros são dadas a seguir: 
• Para μ, a estimativa é ˆ xμ = , a média da amostra;
• Para σ², a estimativa é 2σ̂ = s², a variância da amostra; 
• Para p, a estimativa é p̂ = x/n, a proporção da amostra, sendo x o número de 
itens em uma amostra aleatória de tamanho n que pertence à classe de interesse;
• Para μ1 – μ2, a estimativa é ˆ ˆ1 2μ μ− = 1x – 2x , a diferença entre as médias de 
duas amostras aleatórias independentes.
Exemplo 1 (MORETTIN; BUSSAB, 2017)
Uma amostra de n = 500 pessoas de uma cidade é escolhida, e a cada pessoa da 
amostra é feita uma pergunta a respeito de um problema municipal, para o qual foi apre-
sentada uma soluç ã o pela prefeitura. A resposta à pergunta poderá ser SIM (favorá vel à 
soluç ã o) ou NÃ O (contrá ria à soluç ã o). 
Deseja-se estimar a proporção de pessoas na cidade favorá veis à soluç ã o apresentada. 
Se 300 pessoas responderam SIM à pergunta, entã o uma estimativa natural para essa 
proporç ã o seria 300/500 ou 60%. 
Nossa resposta é baseada na suposiç ã o de que a amostra é representativa da 
populaç ã o. Sabemos, també m, que outra amostra poderia levar a outra estimativa. 
Conhecer as propriedades desses estimadores é um dos propó sitos mais importantes da 
Inferê ncia Estatí stica. 
Vejamos o que pode ser feito nesse caso particular. 
Definamos as variáveis aleatórias X1, X2, ..., Xn, tais que:
1, 
0, i
sea i ésima pessoa da amostra responder SIM
X
seai ésima pessoa da amostra responder NÃO
−
=  −
Seja p = P(sucesso), em que o sucesso significa a resposta SIM. Portanto, se 1
n
n i
i
Y X
=
= ∑ , 
sabemos que Yn tem distribuiç ã o binomial (Lembre-se do conteúdo de Modelos probabi-
lísticos) com parâ metros n e p, e o problema consiste em estimar p.
Yn representa o nú mero de pessoas na amostra que responderam SIM, portanto, um 
possí vel estimador de p é :
1ˆ 
 
n
in i
XY Númerode SIMp
n n Númeroda amostra
== = =∑
9
UNIDADE Estimadores Pontuais e Intervalar
Então, se Yn = k, isto é, observarmos o valor k da variável Yn, obteremos ˆ /p k n= 
como uma estimativa de p. Observe que p ̂ é uma variável aleatória, ao passo que k/n 
é um número, ou seja, um valor da variável. No exemplo acima, uma estimativa é 0,6 
ou 60%. 
Esses resultados nos ajudam a avaliar as qualidades desse estimador. Por exemplo, o 
resultado acima indica que o estimador p,̂ em média, “acerta” p. 
Dizemos que p ̂ é um estimador não viesado (ou não viciado) de p ou, ainda, o re-
sultado pode indicar que para amostras grandes, a diferença entre p ̂ e p tende a ser 
pequena, pois para n → ∞, ( ) 0ˆVar p → . Nesse caso, dizemos que p ̂ é um estimador 
consistente de p. 
Observe que essas propriedades são válidas para o estimador no conjunto de todas 
as amostras que poderiam ser extraídas da população. Para uma particular amostra, p ̂ 
pode estar distante de p (MORETTIN; BUSSAB, 2017).
A pergunta é: será que essa estimativa está mais próxima do valor real? Esta questão 
não pode ser respondida sem saber o valor real. Uma pergunta que pode ser respondida 
é: “que estimador, quando usado em outras amostras dos Xi, tenderá a produzir estima-
tivas mais próximas do valor real?”
Para responder a esses questionamentos, deveremos escolher um método adequado 
de estimação pontual, de modo a obter estimadores não tendenciosos, e poderemos 
calcular o erro desse estimador, conforme será descrito a seguir.
Conceitos gerais de estimação pontual
Um estimador deve estar “perto”, de algum modo, do valor verdadeiro do parâmetro 
desconhecido. Formalmente, dizemos que θ̂ é um estimador não tendencioso de θ, se o 
valor esperado de θ̂ for igual a θ. Isso é equivalente a dizer que a média da distribuição 
de probabilidades de θ̂ (ou a média da distribuição amostral de θ̂ ) é igual a θ. 
Tendência de um Estimador
O estimador θ̂ é um estimador não tendencioso para o parâmetro θ, se: ( )ˆE θ θ= .
Se o estimador for tendencioso, então a diferença ( )ˆE θ θ− é chamada de tendên-
cia do estimador. 
A Figura 1 apresenta funções de distribuição de probabilidade (f.d.p) com os valores 
reais e com os valores tendenciosos ou vício:
Figura 1 – Estimadores de distribuição normal viciado em 1è̂ e um estimador não viciado em 2è̂
Fonte: DEVORE, 2019
10
11
Média e Variância de estimador pontual
Um estimador não enviesado para a média é: 
1
1 N
i
i
X
N
μ
=
= ∑ . 
Considere uma populaç ã o com N elementos e a variâ ncia populacional:
( )22
1
1 N
i
i
X
N
σ μ
=
= −∑
Um possível estimador para σ², baseado em uma amostragem aleatória simples de 
tamanho n extraída da população, é:
( )22
1
ˆ 1
N
ii
X X
N
σ
=
= −∑
Contudo, esse estimador é enviesado. Para a variância, um estimador não envie-
sado seria:
( ) ( )
22
11
ˆ 1
N
i
i
x x
n
σ
=
= −
− ∑
Exemplo 2 (DEVORE, 2019)
O Artigo Is a normal distribution the most appropriate statistical distribution for 
volumetric properties in asphalt mixtures? que, em Português, quer dizer A distribuição 
normal é a distribuição Estatística mais apropriada para propriedades volumétricas 
em misturas de asfalto? relatou as seguintes observações sobre X = espaços preenchidos 
com asfalto (%) para 52 amostras de determinado tipo de mistura quente de asfalto: 
Tabela 1
74,33 74,84 72 70,83
74,69 62,54 74,87 79,7
68,83 66,08 80,61 76,9
64,93 79,51 83,73 78,65
79,87 74,38 82,27 67,84
79,97 77,42 74,09 64,46
71,07 60,9 66,51 81,73
77,25 67,47 69,4 78,74
75,09 67,31 79,89 77,19
67,33 84,12 80,39 69,97
81,96 77,67 77,75 64,34
75,09 79,35 65,36 82,5
73,82 60,75 68,21 77,28
Resolução
Vamos estimar a variância s² da distribuição da população. O estimador natural é a 
variância da amostra:
( ) ( )
22
1
1 41,1257
1
ˆ
n
i
i
x x
n
σ
=
= − =
− ∑
Assim, a estimativa pontual da variância será 41,1257.
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UNIDADE Estimadores Pontuais e Intervalar
Importante!
Utilize as Tabelas do Excel para o cálculo da variância e desvio-padrão e não arredonde 
os resultados parciais, pois poderá implicar erros ou diferenças no resultado final. Como 
sugestão, utilize quatro casas decimais, pelo menos.
Quando nós estimamos os valores da média, buscamos resultados sobre a exatidão 
da amostra, ou seja, o quão próximo do alvo os valores da amostra estão. Entretanto, 
esse resultado não apresenta a precisão dos valores medidos, isto é, o quão próximo 
entre si e da média amostral os valores da amostra estão. 
Por esse motivo, é importante o cálculo da variância e do desvio-padrão. Por exem-
plo, considere os alvos apresentados na Figura 2. O objetivo é que os valores de estima-
dores estejam exatos e precisos, como no Alvo C. Contudo, muitas vezes, os valores são 
exatos, mas não são precisos, como no Alvo A. 
Em termos de gestão de operações e processos, resultados não precisos são verifica-
dos por meio do desvio-padrão e mudanças com ações corretivas devem ser requeridas 
no processo. 
O alvo D é um exemplo em que os dados são precisos, mas não são exatos.
Figura 2 – Precisão e exatidão
Fonte: MORETTIN; BUSSAB, 2017
Erro-padrão 
O erro-padrão de um estimador é o seu desvio-padrão, isto é:
( )ˆ ˆVθσ θ= =
12
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Segundo Montgomery e Runger (2018), o erro-padrão envolve parâmetros desconhe-
cidos que possam ser estimados, então, a substituição daqueles valores em θσ produz 
um erro-padrão estimado, denotado por θ̂σ .
Suponha que estejamos amostrando a partir de uma distribuição normal, com média 
μ e variância σ². Agora, a distribuição de X é normal, com média μ e variância σ²/n.
Assim, o erro-padrão de é:
X n
σσ =
Se não conhecêssemos σ, mas substituirmos o desvio-padrão S da amostra na equa-
ção anterior, então o erro-padrão estimado seria:
( ) ˆ X
sEP X
n
σ= =
Exemplo 3
Considere os dados do exemplo 2. Calcule o erro-padrão.
Resolução
Deve-se calcular o desvio-padrão da amostra:
( )2
1
1 6,4129
1
n
i
i
s x x
n =
= − =
− ∑
6,4129 0,8893
52
sErro padrão
n
− = = =
Erro médio quadrático de um estimador
O Erro Médio Quadrático (EMQ) de um estimador é o valor esperado do quadrado da 
diferença entre θ̂ e θ, conforme a equação (MONTGOMERY; RUNGER, 2018):
( )2ˆEMQ E θ θ= −
O erro médio quadrático também pode ser escrito como:
( ) ( )2ˆEMQ V tendênciaθ= +
O erro quadrático médio é útil em comparação de estimadores.
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UNIDADE Estimadores Pontuais e Intervalar
Estimadores de momentos
Temos usado certos estimadores de parâmetros populacionais, como a média e a 
variância, simplesmente tentando “imitar” na amostra o que acontece na população. 
Foi assim que construímos X , por exemplo. 
A média populacional é um caso particular daquilo que chamamos de momento. Na 
realidade, ela é o primeiro momento. Se X for uma variável aleatória contínua, com den-
sidade f(x, θ1, ..., θr), dependendo de r parâmetros, então (MORETTIN; BUSSAB, 2017):
( ) ( )1 1, , , rE X xf x dxμ θ θ
∞
−∞
= = …∫
Essa média dependerá, genericamente, dos parâmetros desconhecidos (θ1, ..., θr). Por 
exemplo, suponha que X tenha distribuição normal, com parâmetros μ e σ². Aqui, 
θ2 = μ, θ2 = σ² e r = 2. Temos, nesse caso, que E(X) = μ. 
Podemos, em geral, definir o k-ésimo momento de X por:
( ) ( )1, , , , 1, 2,k kk rE X x f x dx kμ θ θ
∞
−∞
= = … = …∫
Suponha, agora, que colhemos uma amostra de tamanho n da população (X1, ..., Xn). 
Definimos o chamado k-ésimo momento amostral por:
1
1 , 1, 2,
n
k
k i
i
m X k
n =
= = …∑
Exemplo (MORETTIN; BUSSAB, 2017)
Se X tem média μ e variância σ², teremos as seguintes relações válidas para os dois 
primeiros momentos populacionais: 
E(X) = μ e E(X²) = σ² + μ²
do que obtemos 
( )E Xμ = e ( ) ( )
2 2 ²E X E Xσ = −
Temos, também, os dois primeiros momentos amostrais:
1
1
1
1 n
i
i
m X X
n =
= =∑
2
2
1
1 n
i
i
m X
n =
= ∑
14
15
Os estimadores obtidos pelo método dos momentos serão:
1ˆM m Xμ = =
2 2 2 2 2
2 1
1
ˆ 1 ˆ
n
M i
i
m m X X
n
σ σ
=
= − = − =∑
ou seja, obtemos os já mencionados estimadores X e 2σ̂ .
Estimadores de mínimos quadrados
Um dos procedimentos mais usados para obter estimadores é aquele que se baseia 
no princí pio dos mí nimos quadrados, introduzido por Gauss em 1794, mas que primeiro 
apareceu com esse nome no apê ndice do tratado de Legendre, Nouvelles Mé thodes 
pour la Determination des Orbites des Comè tes, publicado em Paris em 1806. 
Gauss somente viria a publicar seus resultados em 1809, em Hamburgo. Ambos 
utilizaram o princí pio em conexã o com problemas de Astronomia e Fí sica. Vejamos o 
procedimento por meio de um exemplo simples (MORETTIN; BUSSAB, 2017).
Exemplo (MORETTIN; BUSSAB, 2017)
Um Engenheiro está estudando a resistência Y de uma fibra em funç ã o de seu 
diâ metro X e notou que as variá veis sã o aproximadamente proporcionais, isto é , elas 
obedecem à relação:
Y Xθ≈
em que θ é o coeficiente de proporcionalidade. Agora ele deseja estimar o parâ metro 
θ, baseado numa amostra de cinco unidades que, submetidas a mensuraç ã o e testes, 
produziram os resultados:
:1, 2 1,5 1,7 2,0 2,6 1,8 X X =
: 3,9 4,7 5,6 5,8 7,0 5,4Y Y =
Inspecionando os resultados, conclui-se que ˆ 3θ = parece ser um valor razoá vel. 
Como verificar a qualidade dessa estimativa? 
Podemos utilizar o modelo ˆ 3Y X= e ver como esse modelo prevê os valores de Y, 
para os dados valores de X, e como sã o as discrepâ ncias entre os valores observados e 
os estimados pelo modelo. Essa aná lise está resumida na Tabela 2. 
Os valores da coluna (Y – 3X) medem a inadequaç ã o do modelo para cada observaç ã o 
da amostra, enquanto o valor ( )
5
1
3 1,06
i
Y X
=
− =∑ é uma tentativa de medir “o erro quadrá tico 
total da amostra”. 
Como em situações anteriores, elevou-se ao quadrado para evitar o problema do sinal. 
Quanto menor for o erro quadrá tico total, melhor será a estimativa. Isso nos sugere pro-
curar a estimativa que torne mí nima essa soma de quadrados. 
15
UNIDADE Estimadores Pontuais e Intervalar
Matematicamente, o problema passa a ser o de encontrar o valor de θ que minimize 
a função:
( ) ( )
5
2
1
i i
i
S Y Xθ θ
=
= −∑
Tabela 2 – Análise do modelo Y = 3X
^
X Y 3X Y – 3X (Y – 3X)²
1,2 3,9 3,6 0,3 0,09
1,5 4,7 4,5 0,2 0,04
1,7 5,6 5,1 0,5 0,25
2 5,8 6 -0,2 0,04
2,6 7 7,8 -0,8 0,64
TOTAL 0 1,06
Fonte: MORETTIN; BUSSAB, 2017
O mínimo da função é obtido, derivando-a em relação a θ, e igualando o resultado a 
zero, o que resulta:
( ) ( )( )
5
1
2 0ˆi i i
i
dS
Y X X
d
θ
θ
θ =
= − − =∑
5
1
5 2
1
ˆ i ii
MQ
ii
X Y
X
θ =
=
= ∑
∑
Usando os dados acima, encontramos ˆ 2,94θ = , que conduz a um valor mínimo MQ 
para S(θ) de 0,94. 
Nesse caso, estamos assumindo que, para um dado valor da variável X, os valores 
da variávelY seguem uma distribuição de probabilidade f(x) = y centrada em θX, o que 
é equivalente a dizer que, para cada X, o desvio  � �Y X� segue uma distribuição 
centrada em zero e, dessa forma, o modelo acima pode ser generalizado, de modo a 
envolver outras funções do parâmetro θ como:
Y Xθ β ε= + +
E devemos procurar o valor de θ que minimize a função:
( )( )
1
²
n
i i
i
Y xθ β
=
− +∑
para uma amostra ( ) ( )1 2, , , ,n nX Y X Y… das variáveis X e Y. A solução ˆMQθ é chamada 
de estimador de mínimos quadrados (EMQ) de θ.
Podemos estimar θ, conforme a análise de proporção entre os dados de X e Y, 
como também, podemos utilizar o Microsoft Excel para fornecer a equação da função 
Y Xθ β ε= + + . 
16
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Contudo, iremos abordar melhor esse conceito nas próximas Unidades, pois iremos 
abordar o cálculo de Regressão Linear. Assim, poderemos estimar θ analisando a pro-
porção entre os valores de X e Y.
Há também o método da máxima verossimilhança. Você poderá saber mais dele ou soube 
mais dele na Disciplina Modelos probabilísticos aplicados à Engenharia. 
O método de máxima verossimilhança foi inicialmente introduzido por R. A. Fisher, geneti-
cista e estatístico, na década de 1920. A maioria dos estatísticos recomenda esse método, 
pelo menos quando o tamanho da amostra for grande, vez que os estimadores resultantes 
têm certas propriedades de eficiência desejáveis (DEVORE, 2019).
Amostra aleatória e distribuição amostral
A inferência estatística está sempre focada em tirar conclusões acerca de um ou mais 
parâmetros de uma população. 
Uma parte importante desse processo é obter estimativas dos parâmetros. Suponha 
que queiramos obter uma estimativa pontual (um valor razoável) de um parâmetro de 
uma população. 
Sabemos que, antes de os dados serem coletados, as observações são consideradas 
variáveis aleatórias, isto é, X1, X2, …, Xn.
Logo, qualquer função da observação, ou qualquer estatística, é também uma variá-
vel aleatória. 
Amostra aleatória
As variáveis aleatórias X1, X2, …, Xn são uma amostra aleatória de tamanho n, se 
(a) os Xi’s forem variáveis aleatórias independentes, e (b) cada Xi tiver a mesma distribui-
ção de probabilidades (MONTGOMERY; RUNGER, 2018). 
De acordo com Montgomery e Runger (2018), os dados observados são também 
referidos como uma amostra aleatória, porém o uso da mesma frase não deve causar 
qualquer confusão. 
A suposição de uma amostra aleatória é extremamente importante. Se a amostra 
não for aleatória e sim baseada em julgamento ou falhar de alguma outra maneira, 
então, os métodos estatísticos não funcionarão de forma apropriada e levarão a deci-
sões incorretas. 
A finalidade principal em tomar uma amostra aleatória é obter informação sobre os 
parâmetros desconhecidos da população. 
Desde que uma estatística seja uma variável aleatória, ela tem uma distribuição de 
probabilidades. A distribuição de probabilidades de uma estatística é chamada de 
uma distribuição amostral. 
Digamos que nossa afirmaç ã o deva ser feita sobre um parâ metro θ da populaç ã o (por 
exemplo, a mé dia, a variâ ncia ou qualquer outra medida). 
17
UNIDADE Estimadores Pontuais e Intervalar
Decidimos que usaremos uma amostra aleatória de n elementos sorteados dessa 
população. 
Nossa decisão será baseada na Estatística T, que será uma função da amostra 
X1, X2, …, Xn, ou seja, T = f(X1, X2, …, Xn), conforme apresenta a Figura 1. 
Colhida essa amostra, teremos observado um particular valor de T, digamos t0, e 
baseados nesse valor faremos a afirmação sobre θ, o parâmetro populacional. 
A validade da nossa resposta seria melhor compreendida se soubéssemos o que 
acontece com a Estatística T, quando retiramos todas as amostras de uma população 
conhecida segundo o plano amostral adotado, isto é, qual a distribuição de T quando 
(X1, X2, …, Xn) assume todos os valores possíveis. Essa distribuição é chamada distri-
buição amostral da Estatística T e desempenha papel fundamental na Teoria da Infe-
rência Estatística (MORETTIN; BUSSAB, 2017).
Figura 3 – Inferência Estatística 
Fonte: MORETTIN; BUSSAB, 2017
A Inferência Estatística cuida da tomada de decisões acerca de uma população, basean-
do-se na informação contida em uma amostra aleatória proveniente daquela população. 
Por exemplo, podemos estar interessados em controlar a medida da altura de peças 
de um armário em um processo de produção, conforme a Figura 4:
Figura 4 – Exemplo de uma medida de interesse
Fonte: ELETROSSOM, 2020
A altura média requerida é de 300cm. Suponha que um Engenheiro de Produção 
selecione uma amostra aleatória de 25 peças e verifique a altura média amostral como 
298,8 cm. 
18
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O Engenheiro deverá decidir entre aceitar ou rejeitar que a média é μ = 300, já que 
a média da amostra 298,8x = e ela pode ou não ser uma estimativa verdadeira da po-
pulação. Isto é, é possível aceitar um intervalo de valores como aceitáveis se estão pró-
ximos a média μ, pois são valores de estimativas e são medidas razoáveis de interesse. 
O exemplo em questão representa uma média calculada a partir de uma amostra 
aleatória. 
Por exemplo, a distribuição de probabilidades de x é chamada de distribuição amos-
tral da média. A distribuição amostral de uma Estatística depende da distribuição da 
população, do tamanho da amostra e do método de seleção da amostra. 
Considere a determinação da distribuição amostral da média x da amostra. Suponha 
que uma amostra aleatória de tamanho n seja retirada de uma população normal, com 
média μ e variância σ². Então, uma vez que as funções lineares de variáveis aleatórias 
distribuídas normal e independentemente são também distribuídas normalmente (devido a 
distribuição normal vista em modelos probabilísticos), concluímos que a média da amostra:
1 2 nx x xx
n
+ +…+
=
tem uma distribuição normal com média
x n
μ μ μμ μ+ +…+= =
e variância
2 2 ² ²²
²x n n
σ σ σ σσ + +…+= =
Teorema do Limite Central
Se estivermos amostrando de uma população que tenha uma distribuição desconhe-
cida de probabilidades, a distribuição amostral da média da amostra será aproximada-
mente normal, com média μ e variância σ²/n, se o tamanho n da amostra for grande. 
Esse é um dos mais úteis teoremas em Estatística, o chamado Teorema Central do 
Limite (MONTGOMERY; RUNGER, 2018). 
Teorema Central do Limite
Se X1, X2, …, Xn for uma amostra aleatória de tamanho n, retirada de uma popula-
ção (finita ou infinita), com média μ e variância finita σ², e se x for a média da amostra, 
então a forma limite da distribuição de
xZ
n
μ
σ
−
=
quando n → ∞, e a distribuição normal padrão. 
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UNIDADE Estimadores Pontuais e Intervalar
Exemplo 4 (MONTGOMERY; RUNGER, 2018)
Uma companhia eletrônica fabrica resistores que têm uma resistência média de 
100ohms e um desvio-padrão de 10ohms. A distribuição de resistências é normal. 
Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória de n = 25 resistores ter uma 
resistência média menor que 95ohms.
Resolução
Note que a distribuição amostral de X é normal, com média 100 x ohmsμ μ= = e 
um desvio-padrão de:
10 2
25x n
σσ = = =
Consequentemente, a probabilidade desejada corresponde a 95X ohms= será, pelo 
Teorema Central do Limite:
95 100 2,5
10 / 25
z −= = −
Assim, devemos procurar esse valor de Z na Tabela no Anexo I. O valor de z será 
0,00621, conforme apresenta a Tabela 3:
Tabela 3 – Tabela Z
z –0,09 –0,08 –0,07 –0,06 –0,05 –0,04 –0,03 –0,02 –0,01 0
–2,7 0,002635 0,002718 0,002803 0,00289 0,00298 0,003072 0,003167 0,003264 0,003364 0,003467
–2,6 0,003573 0,003681 0,003793 0,003907 0,004025 0,004145 0,004269 0,004396 0,004527 0,003467
–2,5 0,004799 0,00494 0,005085 0,005234 0,005386 0,005543 0,005703 0,005868 0,006037 0,00621
Logo:
( ) ( )95 2,5 0,00621P X P Z< = < − =
Essa probabilidade pode ser representada pela Figura 5, na área sombreada:
95 100
σ = 2
 
_
x
_
x
Figura 5 – Área de interesse do exemplo
Fonte: Adaptado de MONTGOMERY; RUNGER, 2018
20
21
Intervalo de confiança
As ideias básicasde um Intervalo de Confiança (IC) são mais facilmente entendidas 
considerando, inicialmente, uma situação simples. 
Suponha que tenhamos uma população normal, com média desconhecida μ e variân-
cia conhecida σ2. Isso é, de alguma forma, um cenário não realista porque tipicamente 
a média e a variância são desconhecidas. 
No entanto, em seções subsequentes, apresentaremos intervalos de confiança para 
situações mais gerais.
Desenvolvimento do intervalo de confiança e suas propriedades básicas
Suponha que X1, X2, …, Xn seja uma amostra aleatória proveniente de uma distribui-
ção normal, com média desconhecida μ e variância conhecida σ². 
Se a média da amostra x é normalmente distribuída, com média μ e variância σ²/n. 
Podemos padronizar x subtraindo a média e dividindo pelo desvio-padrão, que 
resulta na variável: 
xZ
n
μ
σ
−
=
A variável aleatória Z tem uma distribuição normal padrão. 
Uma estimativa de intervalo de confiança para μ é um intervalo da forma l ≤ μ ≤ u, 
em que os extremos l e u são calculados a partir de dados da amostra. 
Uma vez que diferentes amostras produzirão diferentes valores de l e u, esses extre-
mos são valores de variáveis aleatórias L e U, respectivamente. 
Suponha que possamos determinar valores de L e U, de tal modo que a seguinte 
afirmação de probabilidade seja verdadeira: 
{ } 1P L Uμ α≤ ≤ = −
sendo 0 ≤ α ≤ 1. Há uma probabilidade de 1 – α de selecionar uma amostra para a qual 
o IC conterá o valor verdadeiro de μ. 
Uma vez que tenhamos selecionado a amostra, de modo que X1 = x1, X2 = x2, …, 
Xn = xn, e calculado l e u, o intervalo de confiança resultante para μ é:
l uμ≤ ≤
Os extremos ou limites l e u são chamados de limites inferior e superior de confiança, 
respectivamente, e 1 – α é chamado de coeficiente de confiança. 
21
UNIDADE Estimadores Pontuais e Intervalar
Em nossa situação-problema, visto que 
xZ
n
μ
σ
−
= tem uma distribuição normal pa-
drão, podemos escrever:
{ }
2 2
1P z zα αμ α− ≤ ≤ = −
Agora manipule as grandezas dentro das chaves (1) multiplicando por σ/2, (2) sub-
traindo de cada termo e (3) multiplicando por –1. 
Isso resulta em:
2 2
1P X z X z
n nα α
σ σμ α − × ≤ ≤ + × = − 
 
Esse é um intervalo aleatório porque os extremos /2X z nα
σ
± envolvem a variável 
aleatória X . 
Isso leva à seguinte definição:
• Intervalo de Confiança para a Média, Variância Conhecida: se x for a média 
amostral de uma amostra aleatória, de tamanho n, proveniente de uma população 
com variância conhecida σ², um intervalo com 100(1 – α)% de confiança para μ é 
dado por: 
2 2
X z X z
n nα α
σ σμ− × ≤ ≤ + ×
sendo zα/2 o ponto superior com 100α/2% da distribuição normal padrão.
Exemplo (MONTGOMERY; RUNGER, 2018)
A norma padrão ASTM E23 define métodos padrões de testes para o impacto em 
barras entalhadas, feitas de materiais metálicos. 
A técnica Charpy V-notch (CVN) mede a energia de impacto e é frequentemente 
utilizada para determinar se um material experimenta ou não uma transição dúctil-frágil 
com um decréscimo de temperatura. Dez medidas de energia (J) de impacto nos corpos 
de prova de aço A238, cortados a 60°C, são: 
64,1; 64,7; 64,5; 64,6; 64,5; 64,3; 64,6; 64,8; 64,2 e 64,3
Considere que a energia de impacto seja normalmente distribuída, com σ = 1 J. 
Queremos encontrar um IC de 95% para μ, a energia média de impacto. 
Resolução
O intervalo desejado é com 95% de confiança, então vamos considerar que:
1 0,95 0,05α = − = 
0,05 0,025
2 2
α
= =
22
23
Logo:
2 0,025
| 1,96az z= =
Esse valor de z deve ser procurado no Anexo 1, conforme apresenta a Tabela 4.
Tabela 4 – Valor de z para alfa igual a 0,025
Z –0,09 –0,08 –0,07 –0,06
 –2,4 0,006387 0,006569 0,006756 0,006947
 –2,3 0,008424 0,008656 0,008894 0,009137
 –2,2 0,011011 0,011304 0,011604 0,011911
 –2,1 0,014262 0,014629 0,015003 0,015386
 –2 0,018309 0,018763 0,019226 0,019699
 –1,9 0,023295 0,023852 0,024419 0,024998
Deveremos calcular os valores da média amostral e o desvio-padrão dado é de 1J. 
Após isso, para construir o intervalo de confiança deverá ser:
2 2
X z X z
n nα α
σ σμ− × ≤ ≤ + ×
1 164,46 1,96 64,46 1,96
10 10
μ− × ≤ ≤ + ×
63,8402 65,0798μ≤ ≤
Assim, com base nos dados da amostra, uma faixa de valores altamente plausíveis 
para a energia média de impacto para o aço A238 a 60°C é 63,84 J ≤ μ ≤ 65,08 J. 
Também podemos obter o intervalo de confiança pelo Excel. Para tanto, deveremos 
colocar os dados no Excel e digitar =INT.CONFIANÇA.NORM (colocar o valor de alfa, 
colocar o valor do desvio-padrão, colocar o tamanho de n). 
A Figura 6 apresenta os valores inseridos para esse exemplo:
Figura 6 – Cálculo do intervalo de confi ança no Excel
Fonte: Acervo do conteudista
23
UNIDADE Estimadores Pontuais e Intervalar
O resultado será o valor de 
2
z
nα
σ
× que será igual a: 0,1407. 
Deveremos, então, diminuir e somar a média amostral a esse valor, para obtermos os 
limites inferiores e superiores, respectivamente:
0,1407 0,1407X Xμ− ≤ ≤ +
64,3193 64,6007μ≤ ≤
O intervalo calculado e o intervalo de Excel podem dar diferenças pequenas, devido 
às aproximações feitas em cálculo.
Intervalo de confiança para média de uma 
distribuição normal e variância desconhecida
Suponha que a população de interesse tenha uma distribuição normal, com média μ 
e variância σ² desconhecidas. 
Considere que uma amostra aleatória de tamanho n, como X1, X2, …, Xn, seja dispo-
nível e sejam μ e s² a média e a variância amostrais, respectivamente. 
Desejamos construir um IC bilateral para μ. Se a variância σ² for conhecida, sabemos 
que terá uma distribuição normal padrão 
/
XZ
n
μ
σ
−
= . 
Quando σ² for desconhecida, um procedimento lógico será trocar σ pelo desvio-
-padrão da amostra S. 
A variável aleatória Z torna-se agora:
/
XT
S n
μ−
=
Que terá uma distribuição t com 1n − graus de liberdade.
Uma questão lógica é qual o efeito na distribuição da variável aleatória T ao trocar σ 
por S? 
Se n for grande, a resposta à essa questão é “muito pouco” e podemos proceder com 
o uso do intervalo de confiança baseado na distribuição normal. 
No entanto, n é geralmente pequeno na maioria dos problemas de Engenharia e, 
nessa situação, uma distribuição diferente tem de ser empregada para construir o IC. 
É fácil encontrar um intervalo de confiança de 100(1 – α)% para a média de uma 
distribuição normal com variância desconhecida, procedendo essencialmente como fi-
zemos para determinar T. 
Sabemos que a distribuição /
XT
S n
μ−
= é t com n – 1 grau de liberdade. Com /2; 1ntα − 
sendo o ponto superior /2100 %α da distribuição t, com n – 1 grau de liberdade, pode-
mos escrever: 
( )/2; 1 /2; 1 1n nP t T tα α α− −− ≤ ≤ = −
24
25
ou, rearranjando:
/2; 1 /2; 1 1/n n
XP t t
s nα α
μ α− −
 −
− ≤ ≤ = − 
 
/2; 1 /2; 1 1n n
s sP X t X t
n nα β
μ α− −
 
− ≤ ≤ + = − 
 
Sendo /2; 1ntα − o ponto superior /2100 %α da distribuição t, com n – 1 graus de liberdade.
Exemplo
Um Artigo em Materials Engineering (1989, v. II, n. 4, p. 275-81) descreve os resul-
tados de testes de tração de adesivos em 22 corpos de prova da liga U-700. A carga no 
ponto de falha do corpo de prova é dada a seguir (em megapascal):
Tabela 5
19,8 15,4 11,4
10,1 15,4 14,1
14,9 18,5 17,6
7,5 7,9 16,7
11,9 12,7 15,8
11,4 11,9 19,5
15,4 11,4 8,8
13,6 – –
Encontre um IC de 95% para o caso.
Resolução
Podemos calcular a média e o desvio-padrão amostral:
13,7136x =
3,5536s =
Poderemos verificar se a distribuição é normalmente distribuída por meio da constru-
ção de um boxplot dos dados da amostra. 
Na Figura 7, podemos perceber que a mediana é igual a 13,85, ou seja, a mediana é 
próxima do valor da média amostral e isso indica simetria entre os valores da amostra:
19,8
16,025
13,85
11,4
7,5
25
20
15
10
5
0
Figura 7 – Diagrama de caixa ou boxplot dos dados
Podemos verificar a normalidade também por meio do Gráfico de Probabilidades, 
que pode ser feito em um software estatístico, como o Minitab (2019).
25
UNIDADEEstimadores Pontuais e Intervalar
Agora que consideramos uma distribuição normal, deveremos buscar o valor de 
/2; 1ntα − . 
O valor de alfa é:
1 1 0,95 0,05. , / 2 0,025Entãoα α− = − = =
22. , 1 21n Então n= − =
/2; 1 0,025;21 2,08nt tα − = =
O valor de t foi identificado na Tabela t, em Anexo II. Deveremos procurar o valor 
de interseção entre alfa e n – 1, conforme a a Tabela 6.
Tabela 6 – Valor de t encontrado pela Tabela, em Anexo II
v 0,4 0,25 0,1 0,05 0,025
18 0,257 0,688 1,33 1,734 2,101
19 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093
20 0,257 0,687 1,325 1,725 2,086
21 0,257 0,686 1,323 1,721 2,08
Assim, o intervalo de confiança será:
/2; 1 /2; 1n n
s sX t X t
n nα β
μ− −− ≤ ≤ +
3,5536 3,553613,7136 2,08 13,7136 2,08
22 22
μ− ≤ ≤ +
12,1377 15,2895μ≤ ≤
Interpretação Prática
O IC é razoavelmente amplo porque há grande variabilidade nas medidas do teste 
de tração de adesivos. 
Uma outra forma de obtermos o intervalo de confiança é pelo software Excel. 
Poderemos digitar =INT.CONFIANÇA.T para obtermos o valor de /2; 1n
st
nα −
, con-
forme apresenta a Figura 8:
Figura 8 – Obtenção do intervalo de confiança pelo Excel
Fonte: Acervo do conteudista
26
27
Nas opções, deveremos inserir o valor de alfa, que nesse caso é 0,05. O valor do desvio-
-padrão e o valor de n. 
O Excel irá retornar que:
/2; 1 1,5756n
st
nα −
=
Assim, poderemos construir os lados inferiores e superiores do intervalo por subtrain-
do e somando da média, respectivamente:
 1,5756 12,1281Limiteinferior x= − =
 1,5756 15,2892Limite superior x= + =
Portanto, o intervalo será 12,1281 15,2892μ≤ ≤ . Os resultados são parecidos ao 
que nós calculamos, e podemos encontrar diferenças devido a aproximações.
Intervalo de confiança para a proporção de uma população, amostra grande
Frequentemente, é necessário construir intervalos de confiança para a proporção de 
uma população. Por exemplo, suponha que uma amostra aleatória de tamanho n tenha 
sido retirada de uma grande (possivelmente infinita) população e que X (≤ n) observa-
ções nessa amostra pertençam a uma classe de interesse. 
Então, ˆ /p X n= é um estimador pontual da proporção da população p que pertence 
a essa classe. Note que n e p são os parâmetros de uma distribuição binomial. 
A distribuição binomial é um tipo de distribuição de probabilidades. As distribuições de pro-
babilidade podem ser estudadas na disciplina Modelos Probabilísticos aplicados à Engenharia.
Além disso, sabemos que a distribuição amostral de p̂ é aproximadamente normal com 
média p e variância p(1 – p)/n, se p não estiver muito próximo de 0 ou 1 e se n for relativa-
mente grande. 
Tipicamente, para aplicar essa aproximação, necessitamos que np e n(1 – p) sejam maiores 
do que ou igual a 5. 
Aproximação Normal para uma Proporção Binomial: se n for grande, a distribuição de: 
( ) ( )
ˆ
1 1
X np p pZ
np p p p
n
− −
= =
− −
será aproximadamente normal padrão.
27
UNIDADE Estimadores Pontuais e Intervalar
Dessa forma, o intervalo de confiança será:
( )/2 /2 1P z Z zα α α− ≤ ≤ ≅ −
( )/2 /2
ˆ
1
1
p pP z z
p p
n
α α α
 
 
− − ≤ ≤ ≅ −
 −
 
 
( ) ( )
/2 /2
1 1ˆ 1ˆ
p p p p
P P z p P z
n nα α
α
 − −
 − ≤ ≤ + ≅ −
 
 
( )1p p
n
−
 é o erro-padrão para do estimador pontual p̂ . Uma solução satisfatória, é 
trocar o p pelo estimador p̂ . Assim, o intervalo de confiança será:
Se for a proporção de observações em uma amostra aleatória de tamanho n que 
pertença a uma classe de interesse, então um intervalo aproximado de confiança de 
100(1 – α)% para a proporção p da população que pertença a essa classe será:
( ) ( )
/2 /2
1ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1 ˆp p p pP z p P z
n nα α
− −
− ≤ ≤ +
em que /2zα é o ponto α/2% superior da distribuição normal padrão.
Exemplo (MONTGOMERY; RUNGER, 2018)
Em uma amostra aleatória de 85 mancais de eixos de manivelas de motores de au-
tomóveis, 10 têm um acabamento de superfície que é mais rugoso do que as especifica-
ções permitidas. Estime um intervalo bilateral de confiança de 95%.
Resolução
Para p temos: 
10 0,1176
85
p̂ = =
O valor de /2zα será 0,025 1,96z = . Assim, o intervalo de confiança será:
( ) ( )
/2 /2
1ˆ ˆ ˆˆ ˆ 1 ˆp p p pP z p P z
n nα α
− −
− ≤ ≤ +
( ) ( )0,1176 1 0,1176 0,1176 1 0,11760,1176 1,96 0,1176 1,96
85 85
p
− −
− ≤ ≤ +
0,049 0,1861p≤ ≤
Sempre evitem as aproximações 
nas etapas de cálculo, pois podem 
alterar o valor final.
28
29
Anexo I
Tabela Z
Tabela 7 – Distribuição Cumulativa Normal Padrão
( ) ( )
21
21
2
z
u
z P Z z e du
π
−
−∞
Φ = ≤ = ∫
z –0,09 –0,08 –0,07 –0,06 –0,05 –0,04 –0,03 –0,02 –0,01 0
–3,9 0,000033 0,000034 0,000036 0,000037 0,000039 0,000041 0,000042 0,000044 0,000046 0,000048
–3,8 0,00005 0,000052 0,000054 0,000057 0,000059 0,000062 0,000064 0,000067 0,00069 0,000072
–3,7 0,000075 0,000078 0,000082 0,000085 0,000088 0,000092 0,000096 0,0001 0,000104 0,000108
–3,6 0,000112 0,000117 0,000121 0,000126 0,000131 0,000136 0,000142 0,000147 0,000153 0,000159
–3,5 0,000165 0,000172 0,000179 0,000185 0,000193 0,0002 0,000208 0,000216 0,000224 0,000233
–3,4 0,000242 0,000251 0,00026 0,00027 0,00028 0,000291 0,000302 0,000313 0,000325 0,000337
–3,3 0,00035 0,000362 0,000376 0,00039 0,000404 0,000419 0,000434 0,00045 0,000467 0,000483
–3,2 0,000501 0,000519 0,000538 0,000557 0,000577 0,000598 0,000619 0,000641 0,000664 0,000687
–3,1 0,000711 0,000736 0,000762 0,000789 0,000816 0,000845 0,000874 0,000904 0,000935 0,000968
–3 0,001001 0,001035 0,00107 0,001107 0,001144 0,001183 0,001223 0,001264 0,001306 0,00135
–2,9 0,001395 0,001441 0,001489 0,001538 0,001589 0,001641 0,001695 0,00175 0,001807 0,001866
–2,8 0,001926 0,001988 0,002052 0,002118 0,002186 0,002256 0,002327 0,002401 0,002477 0,002555
–2,7 0,002635 0,002718 0,002803 0,00289 0,00298 0,003072 0,003167 0,003264 0,003364 0,003467
–2,6 0,003573 0,003681 0,003793 0,003907 0,004025 0,004145 0,004269 0,004396 0,004527 0,003467
–2,5 0,004799 0,00494 0,005085 0,005234 0,005386 0,005543 0,005703 0,005868 0,006037 0,00621
–2,4 0,006387 0,006569 0,006756 0,006947 0,007143 0,007344 0,007549 0,00776 0,007976 0,008198
–2,3 0,008424 0,008656 0,008894 0,009137 0,009387 0,009642 0,009903 0,01017 0,010444 0,010724
–2,2 0,011011 0,011304 0,011604 0,011911 0,012224 0,012545 0,012874 0,013209 0,013553 0,013903
–2,1 0,014262 0,014629 0,015003 0,015386 0,015778 0,016177 0,016586 0,017003 0,017429 0,017864
–2 0,018309 0,018763 0,019226 0,019699 0,020182 0,020675 0,021178 0,021692 0,022216 0,02275
–1,9 0,023295 0,023852 0,024419 0,024998 0,025588 0,02619 0,026803 0,027429 0,028067 0,028717
–1,8 0,029379 0,030054 0,030742 0,031443 0,032157 0,032884 0,033625 0,03438 0,035148 0,03593
–1,7 0,036727 0,037538 0,038364 0,039204 0,040059 0,04093 0,041815 0,042716 0,043633 0,044565
–1,6 0,045514 0,046479 0,04746 0,048457 0,049471 0,050503 0,051551 0,052616 0,053699 0,054799
–1,5 0,055917 0,057053 0,058208 0,05938 0,060571 0,06178 0,063008 0,064255 0,065522 0,066807
–1,4 0,068112 0,069437 0,070781 0,072145 0,073529 0,074934 0,076359 0,077804 0,07927 0,080757
–1,3 0,082264 0,083793 0,085343 0,086915 0,088508 0,090123 0,091759 0,093418 0,095098 0,0968
–1,2 0,098525 0,100273 0,102042 0,103835 0,10565 0,107488 0,109349 0,111232 0,113139 0,11507
–1,1 0,117023 0,119 0,121 0,123024 0,125072 0,127143 0,129238 0,131357 0,1335 0,135666
–1 0,137857 0,140071 0,14231 0,144572 0,146859 0,14917 0,151505 0,153864 0,156248 0,158655
–0,9 0,161087 0,163543 0,166023 0,168528 0,171056 0,173609 0,176186 0,178786 0,181411 0,18406
–0,8 0,186733 0,18943 0,19215 0,194895 0,197663 0,200454 0,203269 0,206108 0,20897 0,211855
–0,7 0,214764 0,217695 0,22065 0,223627 0,226627 0,22965 0,232695 0,235762 0,238852 0,241964
–0,6 0,245097 0,248252 0,251429 0,254627 0,257846 0,261086 0,264347 0,267629 0,270931 0,274253
–0,5 0,277595 0,280957 0,284339 0,28774 0,29116 0,294599 0,298056 0,301532 0,305026 0,308538
–0,4 0,312067 0,315614 0,319178 0,322758 0,326355 0,329969 0,333598 0,337243 0,340903 0,344578
29
UNIDADE Estimadores Pontuais e Intervalarz –0,09 –0,08 –0,07 –0,06 –0,05 –0,04 –0,03 –0,02 –0,01 0
–0,3 0,348268 0,351973 0,355691 0,359424 0,363169 0,366928 0,3707 0,374484 0,37828 0,382089
–0,2 0,385908 0,389739 0,39358 0,397432 0,401294 0,405165 0,409046 0,412936 0,416834 0,42074
–0,1 0,424655 0,428576 0,432505 0,436441 0,440382 0,44433 0,448283 0,452242 0,456205 0,460172
0 0,464144 0,468119 0,472097 0,476078 0,480061 0,484047 0,488034 0,492022 0,496011 0,5
–3,9 0,000033 0,000034 0,000036 0,000037 0,000039 0,000041 0,000042 0,000044 0,000046 0,000048
–3,8 0,00005 0,000052 0,000054 0,000057 0,000059 0,000062 0,000064 0,000067 0,00069 0,000072
–3,7 0,000075 0,000078 0,000082 0,000085 0,000088 0,000092 0,000096 0,0001 0,000104 0,000108
–3,6 0,000112 0,000117 0,000121 0,000126 0,000131 0,000136 0,000142 0,000147 0,000153 0,000159
–3,5 0,000165 0,000172 0,000179 0,000185 0,000193 0,0002 0,000208 0,000216 0,000224 0,000233
–3,4 0,000242 0,000251 0,00026 0,00027 0,00028 0,000291 0,000302 0,000313 0,000325 0,000337
–3,3 0,00035 0,000362 0,000376 0,00039 0,000404 0,000419 0,000434 0,00045 0,000467 0,000483
–3,2 0,000501 0,000519 0,000538 0,000557 0,000577 0,000598 0,000619 0,000641 0,000664 0,000687
–3,1 0,000711 0,000736 0,000762 0,000789 0,000816 0,000845 0,000874 0,000904 0,000935 0,000968
–3 0,001001 0,001035 0,00107 0,001107 0,001144 0,001183 0,001223 0,001264 0,001306 0,00135
–2,9 0,001395 0,001441 0,001489 0,001538 0,001589 0,001641 0,001695 0,00175 0,001807 0,001866
–2,8 0,001926 0,001988 0,002052 0,002118 0,002186 0,002256 0,002327 0,002401 0,002477 0,002555
–2,7 0,002635 0,002718 0,002803 0,00289 0,00298 0,003072 0,003167 0,003264 0,003364 0,003467
–2,6 0,003573 0,003681 0,003793 0,003907 0,004025 0,004145 0,004269 0,004396 0,004527 0,003467
–2,5 0,004799 0,00494 0,005085 0,005234 0,005386 0,005543 0,005703 0,005868 0,006037 0,00621
–2,4 0,006387 0,006569 0,006756 0,006947 0,007143 0,007344 0,007549 0,00776 0,007976 0,008198
–2,3 0,008424 0,008656 0,008894 0,009137 0,009387 0,009642 0,009903 0,01017 0,010444 0,010724
–2,2 0,011011 0,011304 0,011604 0,011911 0,012224 0,012545 0,012874 0,013209 0,013553 0,013903
–2,1 0,014262 0,014629 0,015003 0,015386 0,015778 0,016177 0,016586 0,017003 0,017429 0,017864
–2 0,018309 0,018763 0,019226 0,019699 0,020182 0,020675 0,021178 0,021692 0,022216 0,02275
–1,9 0,023295 0,023852 0,024419 0,024998 0,025588 0,02619 0,026803 0,027429 0,028067 0,028717
–1,8 0,029379 0,030054 0,030742 0,031443 0,032157 0,032884 0,033625 0,03438 0,035148 0,03593
–1,7 0,036727 0,037538 0,038364 0,039204 0,040059 0,04093 0,041815 0,042716 0,043633 0,044565
–1,6 0,045514 0,046479 0,04746 0,048457 0,049471 0,050503 0,051551 0,052616 0,053699 0,054799
–1,5 0,055917 0,057053 0,058208 0,05938 0,060571 0,06178 0,063008 0,064255 0,065522 0,066807
–1,4 0,068112 0,069437 0,070781 0,072145 0,073529 0,074934 0,076359 0,077804 0,07927 0,080757
–1,3 0,082264 0,083793 0,085343 0,086915 0,088508 0,090123 0,091759 0,093418 0,095098 0,0968
–1,2 0,098525 0,100273 0,102042 0,103835 0,10565 0,107488 0,109349 0,111232 0,113139 0,11507
–1,1 0,117023 0,119 0,121 0,123024 0,125072 0,127143 0,129238 0,131357 0,1335 0,135666
–1 0,137857 0,140071 0,14231 0,144572 0,146859 0,14917 0,151505 0,153864 0,156248 0,158655
–0,9 0,161087 0,163543 0,166023 0,168528 0,171056 0,173609 0,176186 0,178786 0,181411 0,18406
–0,8 0,186733 0,18943 0,19215 0,194895 0,197663 0,200454 0,203269 0,206108 0,20897 0,211855
–0,7 0,214764 0,217695 0,22065 0,223627 0,226627 0,22965 0,232695 0,235762 0,238852 0,241964
–0,6 0,245097 0,248252 0,251429 0,254627 0,257846 0,261086 0,264347 0,267629 0,270931 0,274253
–0,5 0,277595 0,280957 0,284339 0,28774 0,29116 0,294599 0,298056 0,301532 0,305026 0,308538
–0,4 0,312067 0,315614 0,319178 0,322758 0,326355 0,329969 0,333598 0,337243 0,340903 0,344578
–0,3 0,348268 0,351973 0,355691 0,359424 0,363169 0,366928 0,3707 0,374484 0,37828 0,382089
–0,2 0,385908 0,389739 0,39358 0,397432 0,401294 0,405165 0,409046 0,412936 0,416834 0,42074
–0,1 0,424655 0,428576 0,432505 0,436441 0,440382 0,44433 0,448283 0,452242 0,456205 0,460172
0 0,464144 0,468119 0,472097 0,476078 0,480061 0,484047 0,488034 0,492022 0,496011 0,5
30
31
Anexo II
Tabela 8 – Pontos Percentuais ,a vt da Distribuição t
a
v 0,4 0,25 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,0025 0,001 0,0005
1 0,325 1 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 127,32 318,31 636,62
2 0,289 0,816 1,886 2,92 4,303 6,965 9,925 14,089 23,326 31,598
3 0,277 0,765 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 7,453 10,213 12,924
4 0,271 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 5,598 7,173 8,61
5 0,267 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 4,773 5,893 6,869
6 0,265 0,718 1,44 1,943 2,447 3,143 3,707 4,317 5,208 5,959
7 0,263 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 4,029 4,785 5,408
8 0,262 0,706 1,397 1,86 2,306 2,896 3,355 3,833 4,501 5,041
9 0,261 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,25 3,69 4,297 4,781
10 0,26 0,7 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 3,581 4,144 4,587
11 0,26 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 3,497 4,025 4,437
12 0,259 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 3,428 3,93 4,318
13 0,259 0,694 1,35 1,771 2,16 2,65 3,012 3,372 3,852 4,221
14 0,258 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 3,326 3,787 4,14
15 0,258 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 3,286 3,733 4,073
16 0,258 0,69 1,337 1,746 2,12 2,583 2,921 3,252 3,686 4,015
17 0,257 0,689 1,333 1,74 2,11 2,567 2,898 3,222 3,646 3,965
18 0,257 0,688 1,33 1,734 2,101 2,552 2,878 3,197 3,61 3,922
19 0,257 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3,174 3,579 3,883
20 0,257 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3,153 3,552 3,85
21 0,257 0,686 1,323 1,721 2,08 2,518 2,831 3,135 3,527 3,819
22 0,256 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3,119 3,505 3,792
23 0,256 0,685 1,319 1,714 2,069 2,5 2,807 3,104 3,485 3,767
24 0,256 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 3,091 3,467 3,745
25 0,256 0,684 1,316 1,708 2,06 2,485 2,787 3,078 3,45 3,725
26 0,256 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3,067 3,435 3,707
27 0,256 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3,057 3,421 3,69
28 0,256 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3,047 3,408 3,674
29 0,256 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3,038 3,396 3,659
30 0,256 0,683 1,31 1,697 2,042 2,457 2,75 3,03 3,385 3,646
40 0,255 0,681 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 2,971 3,307 3,551
60 0,254 0,679 1,296 1,671 2 2,39 2,66 2,915 3,232 3,46
120 0,254 0,677 1,289 1,658 1,98 2,358 2,617 2,86 3,16 3,373
<X 0,253 0,674 1,282 1,645 1,96 2,326 2,576 2,807 3,09 3,291
v = graus de liberdade 
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UNIDADE Estimadores Pontuais e Intervalar
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Vídeos
Estimação (Intervalo de Confiança) no EXCEL
https://youtu.be/dSHh40eTeI8
Distribuição t de Student – Intervalo de Confiança
https://youtu.be/SacXljL9dKQ
 Leitura
Propriedade dos estimadores
https://bit.ly/2J4teOS
Amostragem e estimação
https://bit.ly/2KIQ9jn
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33
Referências
DEVORE, J. L. Probabilidade e Estatística para Engenharia e ciências. 3.ed. São 
Paulo: Cengage Learning, 2019. 
ELETROSSOM, L. Eletrossom. Disponível em: <https://www.eletrosom.com/cozinha-
-compacta-em-aco-rose-3-pecas-branco-itatiaia-rose.html>. 
MINITAB. Suporte Minitab 2019. Minitab, LLC, 2019. 
MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para 
Engenheiros. 6.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. 
MORETTIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatística básica. 9.ed. São Paulo: Saraiva, 2017. 
33