1-Torção

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Resistência dos 
Materiais II
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Me. Lincoln Ribeiro Nascimento
Revisão Técnica:
Prof. Me. Victor Barbosa Felix
Revisão Textual:
Prof.ª Me. Sandra Regina Moreira
Torção
• Torção.
· Apresentar ao aluno o conceito de Torção e de Momento Torçor, in-
cluindo as situações em que ocorrem esforços de torção e a relação 
entre a Tensão atuante em uma estrutura e o Momento Torçor.
OBJETIVO DE APRENDIZADO
Torção
Orientações de estudo
Para que o conteúdo desta Disciplina seja bem 
aproveitado e haja maior aplicabilidade na sua 
formação acadêmica e atuação profissional, siga 
algumas recomendações básicas:
Assim:
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
da sua rotina. Por exemplo, você poderá determinar um dia e 
horário fixos como seu “momento do estudo”;
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
alimentação saudável pode proporcionar melhor aproveitamento do estudo;
No material de cada Unidade, há leituras indicadas e, entre elas, artigos científicos, livros, vídeos 
e sites para aprofundar os conhecimentos adquiridos ao longo da Unidade. Além disso, você 
também encontrará sugestões de conteúdo extra no item Material Complementar, que ampliarão 
sua interpretação e auxiliarão no pleno entendimento dos temas abordados;
Após o contato com o conteúdo proposto, participe dos debates mediados em fóruns de discus-
são, pois irão auxiliar a verificar o quanto você absorveu de conhecimento, além de propiciar o 
contato com seus colegas e tutores, o que se apresenta como rico espaço de troca de ideias e 
de aprendizagem.
Organize seus estudos de maneira que passem a fazer parte 
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Mantenha o foco! 
Evite se distrair com 
as redes sociais.
Determine um 
horário fixo 
para estudar.
Aproveite as 
indicações 
de Material 
Complementar.
Procure se alimentar e se hidratar quando for estudar; lembre-se de que uma 
Não se esqueça 
de se alimentar 
e de se manter 
hidratado.
Aproveite as 
Conserve seu 
material e local de 
estudos sempre 
organizados.
Procure manter 
contato com seus 
colegas e tutores 
para trocar ideias! 
Isso amplia a 
aprendizagem.
Seja original! 
Nunca plagie 
trabalhos.
UNIDADE Torção
Torção
Existem diversas aplicações de engenharia onde aparecem componentes sub-
metidos a esforços de torção. O eixo de um motor elétrico, como o motor ilustrado 
na figura 1, está submetido a esforços de torção.
Figura 1 – Exemplo de motor elétrico, cujo eixo principal está sujeito a esforços de torção
Fonte: iStock/Getty Images
Uma broca, durante a execução de uma operação de furação, também é um 
exemplo de um corpo que está submetido a esforços de torção, conforme pode ser 
visualizado na figura 2.
Figura 2 – Exemplo de uma broca, durante a operação de furação
Fonte: iStock/Getty Images
A seguir, o esforço de torção será estudado com mais profundidade e, conse-
quentemente, como deve ser realizado o dimensionamento de estruturas submeti-
das a esforços de torção.
Esforços de Torção
Qual é a principal característica do esforço de torção?
Ex
pl
or
8
9
A principal característica do esforço de torção é que esse tipo de esforço tende 
a causar uma rotação ao redor do eixo principal de uma estrutura. A força, ou 
esforço de torção, atua na direção paralela à área resistente atuante da estrutura. 
Dessa forma, o esforço de torção causa tensões de cisalhamento (τ) na estrutura.
Na figura 3 é possível visualizar uma barra submetida a ação de uma força 
Tangencial Ft em uma barra com Área Resistente A e que possui Raio da seção 
transversal R, causando a torção da barra.
Figura 3 – Barra submetida a esforço de Torção
Momento Torçor
A grandeza física conhecida como Momento Torçor (Mt), também chamada de 
Torque, é obtida através do produto (multiplicação) entre a Força Tangencial (Ft)
aplicada em um corpo e o raio de rotação (R), conforme ilustrado na figura 1.3. 
Para se determinar o valor da intensidade do Momento Torçor (Mt), deve se utilizar 
a equação 1.1.
Mt = Ft × R (Equação 1.1)
Onde:
Ft → Força Tangencial
R → Raio de Rotação
Mt → Momento Torçor ou Torque
Unidades de Medida (SI):
[Ft] = N
[R] = m
[Mt] = N ∙ m
9
UNIDADE Torção
Dessa forma, é possível concluir que quanto maior for a intensidade da Força 
Tangencial aplicada no corpo submetido à torção, maior será a intensidade do 
Momento Torçor. Da mesma forma, quanto maior for o raio de rotação, maior será 
a intensidade do Momento Torçor.
É possível aumentar o efeito da força tangencial aplicada em uma barra sem aumentar a 
intensidade dessa força?Ex
pl
or
De fato, é possível aumentar o efeito da força tangencial aplicada simples-
mente aumentando-se o raio de rotação, pois, dessa forma, se conseguirá obter o 
aumento da intensidade do Momento Torçor.
Por que uma chave de roda possui o braço tão comprido?
Ex
pl
or
É por esse motivo, por exemplo, que a chave de roda utilizada para se soltar o 
parafuso que fixa a roda de um automóvel, possui o braço de alavanca tão comprido. 
O fato desse braço ser mais comprido tem como consequência o aumento do raio 
de rotação, ou seja, aumenta-se assim, o valor do Momento Torçor aplicado ao 
parafuso da roda. Na figura 4 é possível visualizar um exemplo de chave de roda.
Figura 4 – Exemplo de Chave de Roda
Fonte: iStock/Getty Images
Relação entre Momento Torçor e a Tensão 
de Cisalhamento devido à Torção
Como o esforço de torção ocorre na direção paralela à área resistente do corpo, 
a tensão atuante na torção é a Tensão de Cisalhamento (τ).
10
11
Assim, é possível afirmar que existe uma relação entre a tensão de cisalhamento 
atuante em um corpo e o Momento Torçor aplicado nesse mesmo corpo. Essa 
relação é representada matematicamente pela equação 1.2.
� �
Mt
Wp
 (Equação 1.2)
Onde:
Mt → Momento Torçor ou Torque atuante no corpo
Wp → Módulo de Resistência Polar
τ → Tensão de Cisalhamento Admissível no Projeto
Unidades de Medida (SI):
[Mt] = N ∙ m
[Wp] = m
3
[ ]� � �
N
m
Pa2
Analisando-se a equação 1.2 é possível afirmar que, quanto maior for o Momen-
to Torçor atuante no corpo, maior será a tensão de cisalhamento atuante nesse 
mesmo corpo.
Qual é a relação existente entre o Módulo de Resistência Polar e a tensão de cisalhamento 
atuante em um corpo submetido a esforços de torção?Ex
pl
or
O Módulo de Resistência Polar (Wp) presente na equação 1.2 é uma grandeza 
física relacionada à geometria da área de seção transversal do corpo submetido ao 
esforço de torção. Quanto maior for o módulo de resistência polar da geometria 
da seção transversal de um corpo, maior será a resistência desse corpo ao esforço 
de torção.
Para as geometrias de áreas da seção transversal de barras mais comuns, o valor 
do módulo de resistência polar pode ser encontrado em tabelas. Para geometrias 
especiais, como vigas I, por exemplo, o próprio fabricante fornece o valor do 
módulo de resistência polar de cada geometria por ele fabricada. Na tabela 1 é 
possível visualizar o valor do módulo de resistência polar de algumas geometrias.
11
UNIDADE Torção
Tabela 1 – Exemplo de Módulos de resistência polar de algumas geometrias de seção transversal de barras
Geometria Wp
� �D3
16
0,23 ∙ a3
b h
h
b
�
� � �
�
�
�
�
�
2
3 1 8,
Revisão: Tensão de Escoamento ao Cisalhamento para Materiais Dúcteis
Para os materiais dúcteis como o aço, por exemplo, a tensão de escoamento do 
material submetido ao cisalhamento é aproximadamente 60% do valor da tensão 
normal de escoamento que tenha sido obtido em um ensaio de tração. Sendo 
assim, a tensão de cisalhamento ao escoamento, para materiais dúcteis, pode ser 
obtida através da equação 1.3.
 τe ≅ 0,6 ∙ σe (Equação 1.3)
Onde:
τe → Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
σe → Tensão de Escoamento Normal
Revisão: Tensão de Cisalhamento Admissível
Para os materiais dúcteis, o valor da Tensão de Cisalhamento Admissível será 
obtido através daequação 1.4:
 �
�
� e
sC
 (Equação 1.4)
Onde:
τ → Tensão de Cisalhamento Admissível 
τe → Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
Cs → Coeficiente de Segurança
12
13
Unidades de medida:
� ��
²
���� �� �N
m
Pa
�e
N
m
Pa� �� ���
²
��
[Cs] = Adimensional
Por outro lado, para materiais frágeis, o valor da Tensão de Cisalhamento Ad-
missível será obtido através da equação 1.5:
�
�
� r
sC
 (Equação 1.5)
Onde:
τ → Tensão de Cisalhamento Admissível 
τe → Tensão de Ruptura ao Cisalhamento
Cs → Coeficiente de Segurança
Unidades de medida:
�� �� ���
²
��
N
m
Pa
�r
N
m
Pa� �� ���
²
��
[Cs] = Adimensional
Exemplos de Aplicação
Exemplo 1
A barra AB da figura está sujeita à ação de uma força tangencial Ft igual a 
4000N. O comprimento do braço BC é igual a 400mm. Sabendo-se que o material 
da barra é o Aço ABNT 1020 (σe = 280MPa; E = 210GPa; ν = 0,3) e que o 
coeficiente de segurança do projeto é igual a 4, determinar:
1. A Tensão de Cisalhamento Admissível no projeto da barra;
2. O Momento Torçor atuante na barra.
13
UNIDADE Torção
Item (a): Tensão de Cisalhamento Admissível
1º Passo: Cálculo da Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
O Aço é um material dúctil, logo:
τe = 0,6 × σe
τe = 0,6 × 280MPa
τe = 168MPa
2º Passo: Cálculo da Tensão de Cisalhamento Admissível
�
�
� e
sC
� �
168
4
�MPa
� � �42 42 2�MPa �
N
mm
Item (b): Momento Torçor (Mt)
Mt = Ft × R
Mt = 4000N × 400mm
Mt = 1600000 N ∙ mm
Exemplo 2
A barra AB da figura está sujeita à ação de uma força tangencial Ft igual a 
2000N. O comprimento do braço BC é igual a 300mm. Sabendo-se que o material 
da barra é o Aço ABNT 1045 (σe = 400MPa; E = 210GPa; ν = 0,3) e que o 
coeficiente de segurança do projeto é igual a 5, determinar:
14
15
1. A Tensão Admissível de Cisalhamento no projeto da barra;
2. O Momento Torçor atuante na barra;
3. O diâmetro mínimo da barra AB para suportar essa torção.
Item (a): Tensão de Cisalhamento Admissível
1º Passo: Cálculo da Tensão de Escoamento ao Cisalhamento
O Aço é um material dúctil, logo:
τe = 0,6 × σe
τe = 0,6 × 400MPa
τe = 240 MPa
2º Passo: Cálculo da Tensão de Cisalhamento Admissível (τ)
�
�
� e
sC
� �
240
5
�MPa
� � �48 48MPa �
N
mm2
Item (b): Momento Torçor (Mt)
Mt = Ft × R
Mt = 2000N × 300mm
Mt = 600000 N ∙ mm
15
UNIDADE Torção
Item (c): Diâmetro da Barra AB
A relação entre o Momento Torçor atuante e a Tensão de Cisalhamento Atuante 
é obtida através da seguinte equação:
� �
Mt
Wp
Para seção circular maciça, o módulo de resistência polar é obtido através da 
seguinte equação:
W
D
p �
�� 3
16
Substituindo-se o valor de Wp na primeira equação, têm-se:
� �� � �
�
Mt Mt
Wp
��
�� D3
16
Isolando-se o diâmetro D nessa equação obtida, têm-se:
� �
�
Mt
�� D3
16
���
�� �
�
D3
16
�
Mt
�
D3
16
�
�
�
�
Mt
� �
D
Mt
�
�
�
16
3
� �
Substituindo-se pelos valores obtidos no exemplo de aplicação, têm-se:
D
N mm
N
mm
�
� �
�
16 600000
3 14 48 2
3
,
D = 39,936mm
Exemplo 3
A barra de seção quadrada XY da figura está sujeita à ação de uma força 
tangencial Ft igual a 3000N. O comprimento do braço YZ é igual a 200mm. 
Sabendo-se que o material da barra é o Aço CA-50 (σe = 500MPa; E = 210GPa; 
ν = 0,3) e que o coeficiente de segurança do projeto é igual a 2, determinar:
16
17
1. A Tensão Admissível de Cisalhamento no projeto da barra;
2. O Momento Torçor atuante na barra;
3. O lado “a” mínimo da seção da barra XY para suportar essa torção.
Item (a): Tensão de Cisalhamento Admissível
1º Passo: Cálculo da Tensão de Escoamento ao Cisalhamento (τe)
O Aço é um material dúctil, logo:
τe = 0,6 × σe
τe = 0,6 × 500MPa
τe = 300 MPa
2º Passo: Cálculo da Tensão de Cisalhamento Admissível (τ)
�
�
� e
sC
� �
300
2
�MPa
� � �150 150MPa �
N
mm2
Item (b): Momento Torçor (Mt)
Mt = Ft × R
Mt = 3000N × 200mm
Mt = 600000 N ∙ mm
17
UNIDADE Torção
Item (c): Lado “a” mínimo da seção da Barra XY
A relação entre o Momento Torçor atuante e a Tensão de Cisalhamento Atuante 
é obtida através da seguinte equação:
� �
Mt
Wp
Para seção quadrada maciça, o módulo de resistência polar é obtido através da 
seguinte equação:
Wp = 0,23 ∙ a3
Substituindo-se o valor de Wp na primeira equação, têm-se:
� �� � �
�
Mt Mt
W ap
��
,0 23 3
Isolando-se o lado “a” nessa equação obtida, têm-se:
� �
�
Mt
0 23 3,
�
a
a3
0 23
�
�
�
,
Mt
�
a
Mt
�
�0 23
3
, �
Substituindo-se pelos valores obtidos no exemplo de aplicação, têm-se:
a
N mm
N
mm
�
�
�
600000
0 23 150 2
3
,
a = 25,91 mm
Exemplo 4
O Momento Torçor atuante em uma barra de seção circular maciça é igual a 
800000 N.mm. Sabendo-se que o material da barra é o Aço CA-25 (σe = 250MPa) 
e que o coeficiente de segurança do projeto é igual a 4, determinar:
1. A Tensão Admissível de Cisalhamento no projeto da barra;
2. O diâmetro mínimo da barra para suportar esse Momento Torçor.
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Item (a): Tensão de Cisalhamento Admissível
1º Passo: Cálculo da Tensão de Escoamento ao Cisalhamento (τe)
O Aço é um material dúctil, logo:
τe = 0,6 × σe
τe = 0,6 × 250MPa
τe = 150 MPa
2º Passo: Cálculo da Tensão de Cisalhamento Admissível (τ)
�
�
� e
sC
� �
150
4
�MPa
� � �37 5 37 5 2, ,MPa �
N
mm
Item (b): Diâmetro da Barra
A relação entre o Momento Torçor atuante e a Tensão de Cisalhamento Atuante 
é obtida através da seguinte equação:
� �
Mt
Wp
Para seção circular maciça, o módulo de resistência polar é obtido através da 
seguinte equação:
W
D
p �
�� 3
16
Substituindo-se o valor de Wp na primeira equação, têm-se:
� �
�
� � �
�
Mt Mt
Wp
��
D3
16
Isolando-se o diâmetro D nessa equação obtida, têm-se:
�
�
�
�
Mt
D3
16
���
�
�
�
�
D3
16
�
Mt
19
UNIDADE Torção
D3
16
�
�
�
�
Mt
� �
D
Mt
�
�
�
16
3
� �
Substituindo-se pelos valores obtidos no exemplo de aplicação, têm-se:
D
N mm
N
mm
�
� �
�
16 800000
3 14 37 5 2
3
, ,
D = 47,725mm
Exemplo 5
O Momento Torçor atuante em uma barra de seção circular maciça é igual 
a 800000 N.mm. Sabendo-se que o módulo de resistência polar dessa barra é 
igual a 12560 mm³, determinar a tensão de cisalhamento atuante na barra de-
vido à torção.
Resolução:
A relação entre o Momento Torçor atuante e a Tensão de Cisalhamento Atuante 
é obtida através da seguinte equação:
� �
Mt
Wp
Substituindo-se pelos valores obtidos no exemplo de aplicação, têm-se:
� �
Mt
Wp
� �
�800000
12560 3
�
�
N mm
mm
� � �63 694 63 6942, ,�
N
mm
MPa
Exemplo 6
O Momento Torçor atuante em uma barra de seção circular maciça é igual a 
500000 N.mm. Sabendo-se que o diâmetro dessa barra é igual a 30mm, determinar 
a tensão de cisalhamento atuante na barra devido à torção.
20
21
Resolução:
A relação entre o Momento Torçor atuante e a Tensão de Cisalhamento Atuante 
é obtida através da seguinte equação:
� �
Mt
Wp
Para seção circular maciça, o módulo de resistência polar é obtido através da 
seguinte equação:
W
D
p �
�� 3
16
Como foi fornecido o diâmetro da barra, têm-se:
W
D �mm
p �
�
�
� � �� 3 3
16
3 14 30
16
,
Wp = 5298,75 mm
3
Substituindo-se os valores de Mt e Wp na primeira equação, têm-se:
� �� � �
�Mt N mm
mmWp
��
�
, �
500000
5298 75 3
� � �94 362 94 3622, ,�
N
mm
�MPa
21
UNIDADE Torção
Material Complementar
Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade:
 Livros
Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais
Como material complementar, leia o capítulo 9 (p. 222-223) da obra de Sarkis 
Melconiam, intitulada “Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais”, disponível na 
Biblioteca Virtual da Universidade, no item “E-books – Minha Biblioteca”. Nesse texto 
será apresentada uma abordagem complementar sobre o Módulo de Resistência Polar.
Fundamentos de Resistência dos Materiais
Ainda como material complementar, leia também o capítulo 2 (p. 19 a 26) da obra 
de Antonio Carlos da Fonseca Bragança Pinheiro e Marcos Crivelaro, intitulada 
“Fundamentos de Resistência dos materiais”, disponível na Biblioteca Virtual da 
Universidade, no item “E-books – Minha Biblioteca”.Nesse texto serão apresentadas 
as características geométricas de figuras planas importantes para o estudo de resistência 
dos materiais.
Para acessar essas obras, percorra o seguinte caminho: Após entrar em sua “área do 
aluno”, no menu à esquerda da tela, clique em “Serviços”, depois em “Biblioteca” 
e, no centro da tela, clique em “E-books – Minha Biblioteca”. No topo da tela que 
abrirá, haverá um campo de busca para autor, título, assunto etc. Nesse espaço, digite 
“Resistência dos Materiais” e clique na obra indicada, que aparecerá como resultado.
 Vídeos
Resistência dos Materiais - Aula 07 - Características geométricas da seção transversal
Vídeo bem interessante que trata das características geométricas de seções transversais.
https://youtu.be/vpnq4ki_5FM
Resistência dos Materiais - Aula 05 - Torção em eixos circulares
Vídeo que trata de Torção em Eixos circulares.
https://youtu.be/UlXQhZMvetg
22
23
Referências
HIBBELER, Russell C. Resistência dos materiais. 7. ed. São Paulo: Pearson 
Prentice Hall, 2010.
MELCONIAN, Sarkis. Mecânica técnica e resistência dos materiais. 19. ed. 
São Paulo: Editora Érica, 2013.
PEREIRA, Celso Pinto Morais. Mecânica dos materiais avançada. 1. ed. Rio de 
Janeiro: Editora Interciência, 2014.
PINHEIRO, Antonio Carlos da Fonseca Bragança Pinheiro; CRIVELARO, 
Marcos. Fundamentos de Resistência dos Materiais. 1. ed. Rio de Janeiro: 
Editora LTC, 2016.
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