Livro_Desenho_Geometrico_Unidade1 0_Ponto_Reta_Ângulo

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DESENHO 
GEOMÉTRICO
Tiago Giora
Ponto, reta e ângulos
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Conceituar os entes geométricos ponto, reta e ângulo.
  Descrever as aplicações do ponto, da reta e dos ângulos no design 
de interiores.
  Definir os instrumentos utilizados na construção do ponto, da reta 
e dos ângulos.
Introdução
A geometria teve origem na observação da natureza, das formas nela con-
tidas e das relações existentes entre essas formas, e foi fundamental para o 
desenvolvimento do conhecimento matemático, permitindo ao homem 
compreender e controlar o espaço utilizando o sistema de pontos, linhas, 
superfícies e sólidos. Os seus fundamentos remontam à Grécia Antiga, 
aproximadamente no século VII a.C., e aparecem nos estudos de filósofos 
como Tales de Mileto, Pitágoras, Eudoxio e Euclides. Nesse sentido, o desenho 
geométrico é o conhecimento criado para resolver graficamente problemas 
de natureza teórica e prática ligados aos espaços de vida do ser humano.
Neste capítulo, você vai estudar três elementos fundamentais do 
desenho geométrico: o ponto, a reta e o ângulo. Você vai verificar desde 
conceitos básicos e normas de representação até a sua aplicação nas 
dinâmicas de projeto em design de interiores e arquitetura. Tal estudo 
visa iniciar o aluno no uso do vocabulário geométrico relacionado às 
definições das formas em geral e a exemplos específicos da vida pro-
fissional. Trata-se de uma linguagem que, apesar de histórica, continua 
intimamente ligada ao pensamento contemporâneo.
Conceito de ponto, reta e ângulo
O ponto é a fi gura geométrica mais simples, uma vez que é adimensional, isto 
é, não tem largura, altura ou profundidade. É determinado pelo cruzamento 
de duas linhas, que podem ser retas ou curvas, e identifi cado por uma letra 
maiúscula do alfabeto latino. O artista plástico russo Wassily Kandinsky 
(1866–1944), precursor da pintura abstrata e professor de design na icônica 
escola Bauhaus, dizia que o ponto de partida para a teoria das formas é o ponto, 
como afi rma no seu livro Ponto e linha sobre plano (KANDINSKY, 2001). 
Assim, em resumo, o ponto é a unidade mais simples e mínima da forma.
A reta, por sua vez, é uma figura de uma dimensão, consistindo em uma 
sucessão de pontos, ou um ponto em movimento (KANDINSKY, 2001). Da 
mesma forma que o ponto, a reta não tem definição. A ideia de linha reta é a 
de um ponto que se move em uma mesma direção. Indicamos a reta utilizando 
letras minúsculas do alfabeto latino. As retas podem ter diferentes arranjos 
entre si (Figura 1), sendo:
  retas paralelas aquelas que, mesmo que se prolonguem, nunca se cruzarão;
  retas concorrentes aquelas que se cruzarão em um determinado ponto;
  retas perpendiculares aquelas que formam um ângulo reto (90º) ao 
se cruzarem. 
Figura 1. Retas paralelas, concorrentes e perpendiculares. 
Ponto, reta e ângulos2
Quando um ponto qualquer de uma reta a divide em duas partes distintas, 
essas partes são chamadas semirretas, e esse ponto recebe o nome de origem. 
Por fim, denomina-se segmento de reta o conjunto formado por dois pontos 
tomados sobre uma reta e todos os pontos da reta compreendidos entre os dois. 
A reta à qual pertence o segmento é chamada de reta suporte do segmento.
Ângulos
Ângulo é a fi gura plana formada por duas semirretas de mesma origem. A 
origem comum se chama vértice, e as semirretas se chamam lados. A medida 
usual do ângulo é o grau, e o instrumento usado para medi-lo é o transferidor. 
Ângulos de mesma medida são chamados de congruentes. Indica-se o ângulo 
utilizando-se letras do alfabeto grego, α, β, γ, por exemplo, ou três letras 
minúsculas ou maiúsculas do alfabeto latino, com a letra do meio indicando 
o vértice do ângulo, levando um acento circunfl exo, e as outras duas os lados 
(por exemplo, AÔB) (JORGE, 1998). A Figura 2 mostra as diferentes aberturas 
de ângulos e as suas classifi cações.
Lugares geométricos
Tão importantes quanto os elementos que estudamos até agora são as re-
lações estabelecidas entre eles para a confi guração de diferentes lugares 
geométricas. A sequência de termos exibida a seguir descreve algumas 
das mais importantes relações de posições e medidas estabelecidas entre 
pontos, retas e ângulos. 
  Circunferência: é o lugar geométrico dos pontos do plano que equi-
distam de um ponto desse mesmo plano. O ponto central do plano 
chama-se centro da circunferência, e a distância é seu raio (Figura 3).
3Ponto, reta e ângulos
Figura 2. Diferentes aberturas de ângulos.
Fonte: attaphong/Shutterstock.com.
Ponto, reta e ângulos4
Figura 3. Circunferência. 
  Mediatriz: é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam 
de dois pontos A e B desse mesmo plano.
A mediatriz contém o ponto médio do segmento e é perpendicular ao segmento.
  Paralela: é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de 
uma reta (r) desse mesmo plano.
  Bissetriz: é o lugar geométrico dos pontos do plano que equidistam de 
duas retas desse mesmo plano (Figura 4).
5Ponto, reta e ângulos
Figura 4. Bissetriz. 
Fonte: kavalenkava/Shutterstock.com.
Ao resolver graficamente um problema, é obrigatório nomear, ou seja, colocar letras, 
nos dados e nas respostas, mas é facultativo nomear os pontos e as linhas auxiliares. 
Cada figura geométrica possui uma convenção específica, como segue:
  Ponto: A — qualquer letra latina maiúscula
  Reta: a — qualquer letra latina minúscula
  Segmento de reta: AB — duas letras maiúsculas latinas
  Ângulo: α — qualquer letra do alfabeto grego
  Igual: =
  Diferente: ≠
  Coincidente: ≡
  Semelhante: ~
  Equivalente: ≈
  Diâmetro: d
  Perpendicular: ⊥
  Paralelo: //
Ponto, reta e ângulos6
Aplicações do ponto, da reta e dos ângulos 
no design de interiores
O conhecimento da geometria plana e da prática do desenho geométrico 
são instrumentais para a criação em design. A habilidade de entender as 
formas, organizá-las e interpretá-las segundo padrões geométricos permite 
ao designer traduzir qualquer estímulo visual em formas que podem ser 
compreendidas racionalmente, representadas em padrões geométricos e 
recriadas no contexto de um projeto de edifi cação, um objeto, um mobiliário 
ou uma estampa.
A partir do significado da palavra geometria (“medir a terra”), pode-se 
inferir que essa ciência tem, desde sua origem mais remota, uma ligação 
muito forte com a realidade, com o mundo que, desde então, tem se tornado 
cada vez mais caótico e superpovoado de informações visuais. Assim, por 
mais que a geometria pareça ter autonomia em relação ao mundo — um 
quadrado é apenas um quadrado, ele não precisa ser uma janela ou uma 
piscina, basta-se como forma abstrata independente —, ela sempre retorna ao 
cotidiano pelas mãos de profissionais como designers e arquitetos. Segundo 
Ocvirk et al. (2014, p. 55):
Até certo ponto, a estrutura dos elementos visuais conduz a experiência do 
observador, do mesmo modo que uma partitura guia os músicos. Assim como 
a partitura indica o tempo (a velocidade ou ritmo da música), a posição das 
notas, pausas e o grau do som a ser reproduzido, a composição visual controla 
os movimentos dos olhos na velocidade e na direção, fornece pausas e até 
manipula o volume [...].
Trazendo o foco para o uso de pontos, retas e ângulos, e buscando des-
crever situações relacionadas com a prática profissional, podemos falar, 
por exemplo, sobre a organização dos espaços. Uma reta descreve um 
alinhamento, uma organização serial; se pensarmos que essa reta é composta 
por pontos, podemos alternar o espaçamento dos pontos criando ritmos 
diferentes, capazes de orientar a percepção visual ou até o movimento e 
a velocidade dos corpos que percorrem esse espaço, tendo como base um 
leiaute linear (Figura 5). 
7Ponto, reta e ângulos
Figura 5. Leiaute com organização linear. 
Fonte: Yurii Andreichyn/Shutterstock.com.
Considerando a diferença entre uma área — espaço que define um am-
biente,com medidas lineares em duas direções e, comumente, descrevendo 
um retângulo — e um ponto — entidade adimensional que descreve uma 
posição estática dentro de uma superfície plana —, podemos abordar a 
estratégia compositiva conhecida como pontuação do espaço. Em design 
de interiores, essa lógica consiste em criar pontos de atenção visual em 
posições definidas do espaço, de modo a orientar a atenção do observador, 
ou simplesmente como recurso para quebrar a monotonia e dar mais di-
namismo ao ambiente que se oferece à percepção sensorial. Muitas vezes 
esses pontos são criados por meio do contraste cromático (Figura 6) ou 
da utilização de materiais destoantes em relação ao contexto mais amplo. 
É um recurso que se aproxima bastante da composição pictórica e tende a 
estabelecer pontos de observação mais favorecidos, à medida que a pessoa 
se desloca pelo ambiente.
Ponto, reta e ângulos8
Figura 6. Pontuações de cor no espaço. 
Fonte: Antoha713/Shutterstock.com.
Com relação aos ângulos, é importante considerar que, desde as mais 
primitivas construções executadas pela espécie humana, observa-se que a 
adoção do ângulo reto tem um caráter muito forte de regularidade e decisão 
consciente, que replica, em muitos aspectos, a racionalidade humana, posta 
em contraste com a organicidade mais espontânea e aparentemente caótica 
das formas da natureza. Desse modo, no que se refere às formas edificadas, e 
talvez, principalmente, em relação aos espaços interiores, temos convivido por 
milênios com o ângulo reto e as formas retangulares como signo de normali-
dade, do lógico, daquilo que não chama a atenção. Nesse raciocínio, quando 
o designer faz uso de ângulos agudos, linhas diagonais ou curvas, ele está 
desviando dessa “normalidade” ortogonal e criando elementos de atenção no 
seu projeto. Sobretudo, os ângulos agudos tendem a gerar uma sensação que 
pode ser descrita como desconforto ou como excitação da percepção, e podem 
ser usados pelo projetista para tornar o ambiente mais dinâmico, sugerindo 
movimento e capturando a visão do observador (Figura 7).
9Ponto, reta e ângulos
Figura 7. Linhas diagonais e curvas. 
Fonte: Robert Kneschke/Shutterstock.com.
Objetos e superfícies
Além dos espaços, quando se fala de aplicações do desenho geométrico no 
design de interiores, devemos mencionar os projetos de criação de mobiliário 
e, no campo bidimensional, o design de superfície, com estampas em tecido, 
tapetes e papéis de parede. 
No mobiliário, a tradição da linguagem geométrica remonta às vanguardas 
abstratas, como o construtivismo e a Bauhaus, juntamente com o movimento 
moderno na arquitetura. Todos esses antecedentes marcam uma tendência 
estática e filosófica que se apresenta esteticamente pela valorização da sim-
plicidade e da pouca ornamentação em favor de uma visualidade puramente 
geométrica. Quadrados, retângulos áureos, triângulos equiláteros, bem como 
a preponderância do ângulo reto são características observáveis em peças de 
mobiliário desde os primórdios da era industrial até os dias de hoje. 
Muitos exemplos de mobiliário produzido durante as primeiras fases da 
Bauhaus (Figura 8) exibem uma abordagem rigidamente conceitual que se 
expressa na materialização de ideias simples, desornamentadas e fortemente 
geométricas. Esse mobiliário e o design do período, em termos mais gerais, 
embora tenham assumido um caráter icônico e escrito uma página muito 
importante na história da arte e da arquitetura, foram muitas vezes criticados, 
mais adiante, por aproximarem-se mais a um manifesto do que a objetos 
cotidianos, úteis à vida humana. 
Ponto, reta e ângulos10
Figura 8. Mobiliário Bauhaus. 
Fonte: Alizada Studios/Shutterstock.com.
Ainda com relação às tendências contemporâneas, devemos somar a esse 
desejo de simplicidade geométrica (Figuras 9 e 10), herdado das vertentes 
modernistas e da Bauhaus, a grande importância dada à ergonomia, à repre-
sentação simbólica e à pesquisa e à tecnologia dos materiais.
Figura 9. Linhas e ângulos no mobiliário contemporâneo. 
Fonte: Room27/Shutterstock.com. 
11Ponto, reta e ângulos
Figura 10. Linhas e ângulos no mobiliário contemporâneo. 
Fonte: archideaphoto/Shutterstoc.com
Divisão de segmentos de reta
Além do desenho de mediatrizes, bissetrizes, retas paralelas e perpendiculares, uma 
operação importante dentro dos fundamentos do desenho geométrico é a divisão de 
segmentos de reta em partes iguais utilizando o teorema de Tales. O procedimento 
consiste em:
1. desenhar uma reta auxiliar a partir de um dos extremos do segmento que se quer 
dividir;
2. marcar uma medida aleatória sobre a reta auxiliar e repeti-la no número de vezes 
que se deseja dividir o segmento;
3. traçar uma nova reta ligando a última divisão da reta auxiliar ao segundo extremo 
do segmento principal;
4. copiar por paralelismo essa última reta em cada uma das divisões marcadas na auxiliar.
Os pontos em que essas retas cruzam com o segmento principal determinam as 
suas partes igualmente divididas. Para saber mais, acesse o link a seguir:
https://goo.gl/st1n3z
Instrumentos utilizados na construção 
do ponto, da reta e dos ângulos 
Pode-se dizer que o desenho geométrico é um capítulo da geometria que, com 
o auxílio de dois instrumentos, a régua e o compasso, propõe-se a resolver 
Ponto, reta e ângulos12
grafi camente problemas de natureza teórica e prática. Os mesmos instrumentos 
são usados para desenhar pontos, retas, ângulos e quaisquer outras fi guras 
geométricas. É interessante descrever esses instrumentos, dado que a matéria 
tem um viés prático. Afi nal, saber os teoremas e conceitos elaborados por 
fi lósofos e matemáticos contribui para o entendimento da geometria e para 
justifi car escolhas de procedimentos, mas a tarefa normalmente se completa 
com a atividade prática de desenhar à mão sobre papel.
A lista de materiais para o desenho à mão é bastante simples:
  lápis com grafite HB para os traçados de letras, contornos e esboços;
  lapiseiras com grafites 0.5 mm, pois elas têm grossura ideal para o 
desenho de precisão;
  borracha macia para não deixar marcas no papel;
  régua de acrílico graduada em centímetros e milímetros, que tenha um 
corte transversal chanfrado para facilitar a leitura;
  esquadros de 45º e de 60°, que são utilizados para traçados de paralelas 
e de perpendiculares e para a construção de ângulos;
  transferidor de acrílico graduado de 0º a 180°, usado para medir e 
construir ângulos;
  compasso usado para traçados de arcos de circunferência, transporte 
de medidas e construções de ângulos.
O compasso é o instrumento mais versátil e importante do desenho geométrico; ele 
é também o utensílio que o aluno deve ser mais cuidadoso ao adquirir — uma régua 
ruim não afetará muito a qualidade do desenho, mas um compasso ruim pode impos-
sibilitar a atividade. Assim, o aluno deve se assegurar de que os braços do compasso 
mantenham a sua abertura firme e que o grafite não se retraia no momento do uso.
Mesmo em uma matéria tão antiga e tradicional como a geometria, é 
difícil não fazer menção ao instrumento mais dominante no desenho apli-
cado à arquitetura e à engenharia nos últimos 50 anos: o computador. Ainda 
assim, o desenho geométrico mantém a sua relevância e se aplica ao desenho 
auxiliado por computador no que tange às ações de planejamento. Conhecer 
os elementos mínimos com os quais é possível desenhar até figuras muito 
complexas e as operações gráficas com as quais se executa essas tarefas são 
13Ponto, reta e ângulos
habilidades importantes para o desenhista, indiferentemente das ferramentas 
com as quais o desenho é produzido. De fato, até mesmo os comandos de 
software de desenho por computador recebem o nome das operações geomé-
tricas executadas no desenho à mão, por exemplo: rotacionar, copiar, ampliar, 
encolher, esticar, rebater, etc.
JORGE, S. Desenho geométrico: ideias e imagens. São Paulo: Saraiva, 1998.
KANDINSKI, V. Linha e ponto sobre o plano. São Paulo: Martins Fontes,2001.
OCVIRK, O. G. et al. Fundamentos de arte: teoria e prática. 12. ed. Porto Alegre: AMGH, 2014.
Leituras recomendadas
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Imperial Novo Milênio, 2005.
CARVALHO, B. A. Desenho geométrico. Rio de Janeiro: Livro Técnico, 1959.
JANUÁRIO, A. J. Desenho geométrico. Florianópolis: UFSC, 2000.
NEVES, J. M. C. Desenho geométrico plano. São Paulo: Cia. Editora Nacional, 1943.
RIVEIRA, F. Traçados em desenho geométrico. Rio Grande: FURG, 1986.
Ponto, reta e ângulos14
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