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Apostila Concreto_2019 (1)

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D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
IE
M o (2.6) 
O concreto armado é um material não homogêneo, mas para valores pequenos de carregamento 
apresenta um comportamento semelhante ao dos materiais homogêneos, trabalhando em regime 
elástico linear. Esse estado, denominado estádio I, permanece até que se inicie a fissuração do 
concreto, quando o mesmo perde resistência na região tracionada. Passa-se então a uma segunda fase, 
denominada estádio II, onde o concreto não apresenta resistência à tração e a região comprimida ainda 
se encontra no regime elástico linear. A terceira fase, denominada estádio III, corresponde à ruptura, 
que pode se dar pelo escoamento da armadura de tração ou pelo esmagamento do concreto na região 
comprimida. 
2.2.1 Fase I – seção não fissurada 
A fase I corresponde ao início do carregamento, quando o concreto ainda resiste à tração e as 
tensões apresentam comportamento linear, como mostra a Figura 2.7. Se c for a maior tensão de 
compressão no concreto, tem-se que c  fctk , onde fctk é a resistência característica do concreto à 
tração. 
Figura 2.7 – Tensões de deformações em uma seção de concreto armado no estádio I. 
compressão
Seção transversal
L.N
c
 = E  y
Deformações
tração
c
Tensões
y1
 
Por equilíbrio de forças tem-se 
  00 1   ss
A
cx AEydAyEF
c
 (2.7) 
Se n for a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto, 
64 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 2 
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c
s
E
E
n  (2.8) 
então 
00 11 







  s
A
csc
A
c AnydAyEAEnydAyE
cc
 (2.9) 
Por praticidade, é mais conveniente escrever a integral da expressão (2.9) em função da área 
geométrica da seção transversal e não em função da área de concreto. Lembrando que, 
sc AAA  
obtém-se então a relação, que fornece a posição da linha neutra. 
  011 





 s
A
c AnydAyE (2.10) 
Por equilíbrio de momentos tem-se 
oss
A
co MAyEdAyEMM
c
 
2
1
2 
os
A
c MAnydAyEM
c










2
1
2 (2.11) 
A equação (2.11) também pode ser escrita em termos dos dados da seção transversal bruta. 
   osgc MAnyIE  121 (2.12) 
onde, 
Ig – é a inércia bruta da seção de concreto. 
Da equação (2.12) vêm 
oTc MIE  (2.13) 
onde, 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 2 65 
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  sgT AnyII 1
2
1  (2.14) 
é a inércia da seção transformada ou homogeneizada. 
Neste estágio, ainda não houve ruptura do concreto à tração, o que só se dará quando 
t  fctk. 
I
cM
máx  (2.15) 
onde c é a distância da linha neutra à fibra mais tracionada. 
O momento correspondente ao início da fissuração será 
c
fI
M ctkTfiss  (2.16) 
e a curvatura 
cE
f
IE
M
c
ctk
Tc
fiss
fiss  (2.17) 
Em geral Mfiss = 10% Mrupt, o que é um valor muito pequeno, atingido para cargas baixas. 
Exemplo 2.1: 
Calcule o momento de fissuração, a curvaura, a tensão no concreto e a tensão na armadura 
da Figura 2.17. Dados: 
 
7,1ctkf MPa 435ydf MPa 21200cE MPa 
 
210000sE MPa 
 
2,15sA cm² 
 
9,9
c
s
E
E
n 
 
L.N 
c 
 b = 30 cm 
Deformações 
c 
Tensões 
y1 d
 =
 4
5
 c
m
 
h
 =
 5
0
 c
m
 
66 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 2 
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Posição da Linha Neutra (L.N.) 
  01.. 1 






A
c AsnydAyE 
      
2
.01..1.
0
1
hxhdyyAsnyxdxdyyAsnydAy
x
hx
b x
hxA
  

 
          02,1519,94550.5,050.351.5,0.  xxAsndxhxhb 
7,26x cm 
Inércia Total 
 AsnyIgIt 12  
      3621402,15.19,9457,26257,2650.30
12
50.30 22
3
It cm
4
 
Momento de Fissuração 
4,26
267,05,0
10.7,1.10.362140. 38




c
fIt
M ctkfiss kN.m 
Curvatura 
4
83
10.44,3
10.362140.10.21200
4,26
.



ItE
M
c
fiss
fiss /m 
Tensão no Concreto 
95,1267,0.10.44,3.21200... 4  xEE fisscccc  MPa 
Tensão na Armadura 
    22,13267,045,0.10.44,3.21200... 4  xdEE fissssss  MPa 
Comparando 
255rupturaM kN.m rupturafiss MM .10,0 
2.2.2 Fase II – seção fissurada na zona de tração 
Nessa fase, admite-se que o concreto abaixo da linha neutra esteja fissurado, ou seja, que não 
apresente resistência à tração. Supõe-se ainda que o concreto ainda apresente comportamento linear na 
compressão, o que corresponde a tensões inferiores a 70% fck. O aço têm comportamento linear até 
s  fyd. 
 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 2 67 
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Figura 2.8 – Tensões de deformações em uma seção de concreto armado no estádio II. 
Seção transversal
L.N
c
y
Deformações
c
Tensões
y1
d
Y
Rs
 
Por equilíbrio de forças, tem-se 
    000   sss
compressão
dezona
ccss
compressão
dezona
cx EAdAyEAdAyF  (2.18) 
Então, 
01  yAEndAyE sc
compressão
dezona
c  (2.19) 
Ou seja, 
01  yAndAy s
compressão
dezona
 (2.20) 
o que fornece a posição da linha neutra da seção fissurada. 
 
Por equilíbrio de momentos tem-se 
  oss
compressão
dezona
o MyAdAyyMM   1 (2.21) 
ou seja 
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os
compressão
dezona
c MyAndAyE 











2
1
2 (2.22) 
Da equaçãov(2.22) vêm 
Fc
o
IE
M
 (2.23) 
onde, 
2
1
2 yAndAyI s
compressão
dezona
F   (2.24) 
é a inércia da seção de concreto fissurada. 
2.2.3 Final da fase elástica 
O final da fase elástica se dá quando algum dos materiais inicia a plastificação, ou seja, quando 
s = fyd ou quando c = 0,7 fcd. 
Se s = fyd 
1yEfE ysydsss   
Assim, 
1yE
f
s
yd
y  
e 
yFcys IEM  (2.25) 
Se c
máx
 = 0,7 fcd 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 2 69 
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YEf,E
cdf,ccdcc
máx
c 7070   
Assim, 
YE
f,
c
cd
f, cd
70
70  
e 
cdcd f,Fcf,
IEM 7070  (2.26) 
Assim, se 0,7 fcd < y, então, o concreto atinge seu limite elástico ( 0,7 fcd ) antes do aço entrar 
em escoamento. Caso contrário, se 0,7 fcd > y, então, o aço entra em escoamento antes do concreto 
atingir seu limite elástico ( 0,7 fcd ). 
2.2.4 Fase III – Fase não linear 
Na fase III, a tensão na armadura aumenta até o escoamento e/ou a deformação no concreto 
aumenta até o limite de 0,35%. A distribuição de tensões não é linear e pode ser idealizada como um 
diagrama parábola - retângulo. 
Figura 2.9 – Tensões de deformações em uma seção de concreto armado no estádio III. 
Seção transversal
L.N
c
y
Deformações
c
Tensões
y1
d
Y
Rs
 
Como o comportamento do concreto não é mais linear, deve-se obter a integral do diagrama 
parábola – retângulo na área comprimida a fim de se calcular a resultante de tensões no concreto. A 
NBR 6118:2014 permite a substituição desse diagrama por um retangular equivalente. 
 
70 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 2 
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Figura 2.10 – Diagrama de tensões simplificado permitido pela NBR 61618:2014. 
 
L.N 
y 
Tensões 
d 
Rs 
L.N 
y 
α fcd 
Tensões 
X 
d 
λ X 
α fcd 
Rs 
 
2.3 QUESTIONÁRIO 
1) O que são estados limites? 
2) Quais são os principais estados limites de utilização e quais os problemas que eles podem 
ocasionar? 
3) O que são estados limites últimos? Relacionar os principais. 
4) Qual a diferença entre ações e solicitações? 
5) Qual a diferença entre ações diretas e ações indiretas? 
6) O que são valores característicos nominais? 
7) O que são e qual a principal diferença entre os fatores de combinação (0) e os fatores de 
utilização (1, 2)? 
 
 
 
 
3 DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES 
 
Atualmente a NBR 6118:2014, apesar de permitir o cálculo dos esforços em regime elástico, 
determina que as seções devem ser dimensionadas para o