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Apostila Concreto_2019 (1)

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para concretos até classe C50 (3.26b) 
Nesse caso a deformação final na armadura é conhecida, a tensão na mesma será, para ambos 
os tipos de aço, igual a 
ydsd f (3.27) 
Para se obter os valores Ψ obtém-se fazendo a igualdade de tensões do retângulo-equivalente 
com o diagrama parábola-ratângulo, logo para quando o concreto estiver com deformação entre 
cu
 
<
cd
 < 
c2 faz-se a relação pela equivalência representada na Figura 3.10. Lembrando que essa 
equivaencia de tensões é somente válida por causa da seção ser retangular, se fosse uma seção variável 
a equivalência a ser feita deveria ser de resultantes de forças. 
 
 
 
 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 85 
D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
Figura 3.10 – Distribuição real e simplificada de cálculo da tensão para dominíno 2 para concreto com deformação entre 
cu<cd<c2. 
 
cmax<cu cd = α fcd 
R1 
cu 
cd = α fcd 
Rcd 
λ X 
X 
β 
R2 
(1-β)X 
 
Figura 3.11 – Distribuição real e simplificada de cálculo da tensão para dominíno 2 para concreto com deformação entre 
cdcu. 
 
 c2 
cd = α ψfcd 
σ 
X 
y 
cd = α fcd 
Rcd λ X 
cmax<c2 
c 
 
 
Pela relação de igualdade chega-se na integral apresentada na equação (3.28), onde 
representa a área dada da parábola para o concreto com deformações entre 
c2
 <
cd
 < 
cu
 , onde os 
limites da integral são β, dado pela equação (3.29), e 0, enquanto para o concreto com deforação 
cd
 
<
c2 
 os limites da integral são x e 0. Para o concreto com deformação 
c2
 <
cd
 < 
cu, 
resolvendo-se a 
integral(área da parábola) e somando com a área da parte retangular e comparando com o diagrama 
retangular simplificado chega-se no valor de ψ dado pela equação (3.30). Já para concreto com 
deformação menor que c2, pode-se compara diretamente a área da integral com o diagrama 
reatangular simplificado para chegar no valor de ψ dado pela equação (3.31). Logo a (3.31) é para o 
concreto com deformações entre 
c2
 <
cd
 < 
cu, enquanto para o concreto com deforação cd <c2 é a 
equação (3.32). 
86 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 
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dy
xE
yE
fcd
n
c
c















2
max1 (3.28) 
x
E
E
B
c
c
max
2 (3.29) 
 
   







11
22
max
2
max
maxmaxmax
max
2
max








 





 

nn
n
c
c
c
ccc
n
ccu
c
n
ccu
 
para todas as classes de concreto (3.31a) 







max
3
002,0
125,1

 específico para concretos até classe C50 
(3.31b) 
 
 


1max
max2max



n
n
c
ccc para todas as classes de concreto (3.32a) 







002,03
1
1
002,0
25,1 maxmax cc

 específico para concretos até classe C50 
(3.32b) 
 
 Para o dimensionamento do domínio 2, estima-se o valor de cmax depois calcula-se o valor 
de Ψ, com ele encontra-se ξ e por fim o valor da posição linha neutra X pela equação 3.2. Com o valor 
de X encontra-se o valor de 
cd do concreto, pela equação 3.2 e com isso averigua-se se bateu com o 
valor de cmax. Caso não, adota-se o novo valor de cmax=cd e faz novamente o processo até convergir o 
resultado. Após isso utiliza-se o valor encontrado de Ψ na equação 3.26 para encontrar a área de aço. 
Exemplo 3.3: 
Determine a área de aço para a viga a seguir: 
 
 
 
 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 87 
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mkNMkMd .252180.4,1.4,1  
MPa
fck
fcd
c
3,14
4.1
20


 
 
155,0
025,07,0.25,0.10.3,14
252
..
232



dbwfcd
Md
 
 32,01L de acordo com a NBR6118:ABNT/2003 
 158,02L limite entre os domínios 2 e 3 
 158,0 domínio 2 
3347,310
1688,0675,0
1688,0
1688,0)025,070,0).(2501,0(
2501,0)155,0(
)0119,1.()68,0(
6,1
1125,1
0119,1
0035,0.3
002,0
125,1
5,3
max
























c
c
E
X
E


 
Repete-se o processo novemente até convergir 
mkNMk
CA
MPafck
.180
50
20



?
5,2'


As
cmd
88 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 
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3941,310
1710,0675,0
1710,0
1710,0)025,070,0).(2534,0(
2534,0)155,0(
)0001,1.()68,0(
6,1
1125,1
0001,1
0033347,0.3
002,0
125,1
3347,3
max
























c
c
E
X
E


 
Converge coms seguintes valores depois de 9 interações: 
1704,0
2525,0
0033,1
3778,3
max




X
E
c


 
 
224
3
3
84,910.84,9
10.15,1500
1704,0.25,0.10.3,14.0033,1.68,0
cmmAs   
3.3 ARMADURA MÍNIMA DE TRAÇÃO 
O valor de armadura teoricamente necessário para dimensionamento de uma seção de 
concreto armado é obtido em regime de ruptura, isto é, dimensionando-se a seção no estádio III. 
Contudo, nos casos em que as dimensões transversais da seção sejam muito superiores às necessárias 
para o dimensionamento, a peça em serviço trabalhará ainda no estádio I. Nesse caso, um excesso de 
carga pode fazê-la passar bruscamente do estádio I ao II, levando a uma ruptura brusca do bordo 
tracionado. Dessa forma, adota-se no bordo tracionado um valor mínimo de armadura com o intuito de 
se fazer com que a seção de concreto armado apresente uma resistência superior àquela apresentada 
por uma seção de concreto simples de mesmas dimensões. 
A armadura longitudinal mínima de tração em vigas é aquela determinada pelo 
dimensionamento da seção para um momento fletor mínimo. dado pela expressão (3.27). 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 89 
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sup,8,0 ctkomín fWMd  (3.33) 
Onde, 
Wo - é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto, relativo à fibra mais 
tracionada; 
fck,sup - é o valor superior da resistência característica do concreto à tração. 
O dimensionamento para Mdmín pode ser considerado atendido se forem respeitadas as taxas 
mínimas de armadura apresentadas na Tabela 3.2. 
Tabela 3.2 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas. 
FORMA DA SEÇÃO 
mín 
Valores de mín (%) para CA-50, c = 1,4 e s = 1,15 
fck (em MPa) 
20 25 30 35 40 45 50 
Retangular 0,035 0,115 0,144 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 
T com mesa comprimida 0,024 0,100 0,100 0,118 0,138 0,158 0,177 0,197 
T com mesa tracionada 0,031 0,102 0,127 0,153 0,178 0,204 0,229 0,255 
Circular 0,070 0,230 0,288 0,345 0,403 0,460 0,518 0,575 
 
3.4 DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES COM 
ARMADURA DUPLA 
Quando se deseja reduzir a altura da seção e não se deseja que a mesma trabalhe no domínio 4 
nem que apresente pouca ductilidade, utiliza-se armadura na face comprimida. Com isso, procura-se 
aumentar a resistência à compressão da peça, evitando-se peças superarmadas. Para as seções com 
armadura dupla são válidos todos os tipos de ruptura previstos para peças com armadura simples. 
90 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 
 D. L.ARAÚJO 
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Usualmente, contudo, procura-se dimensionar a seção para a condição de peça normalmente armada 
(domínio 3) utilizando-se uma altura inferior à obtida com o uso de armadura simples. Para seções 
subarmadas (domínio 2), dispensa-se o uso de armadura na zona comprimida. 
O dimensionamento de seções com armadura dupla consiste em se determinar as armaduras de 
compressão e de tração que se deve adicionar à seção de concreto simples de forma a que a mesma se 
situe no domínio 3, com posição da linha neutra fixa em 0,45 d ou em 0,351 d, conforme o valor de fck. 
No caso de seções retangulares com armadura dupla tem-se as seguintes resultantes de tensões: 
Figura 3.12 - Tensões e deformações para seções retangulares com armadura dupla. 
 
cd = cu 
X 
sd 
cd = αfcd 
R1cd 
Rsd 
0,8 X 
Z 
bw 
d h 
d’ 
Md 
As 
As’ 
R2cd 
d” 
d-d” 
’sd 
 
Onde, 
R1cd - é a resultante de compressão no concreto;

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