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Apostila Concreto_2019 (1)

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R2cd - é a resultante na armadura comprimida; 
Rsd - é a resultante na armadura tracionada. 
O momento de dimensionamento Md pode ser dividido em duas parcelas, M1d e M2d 
ddd MMM 21  (3.34) 
a primeira dada pelo momento a que a seção resiste sem o emprego de armadura de compressão. 
 
 
 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 91 
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S. R. M. ALMEIDA 
 
Figura 3.13 - Resultantes de tensões para seções retangulares com armadura dupla. 
cd = 0,85 fcd
R1cd
R1sd
0,8 X
Z = L d M1d
R2cd
cf = d-d”
R2sd
M2d
 
A parcela M1d é função apenas das dimensões da peça e da resistência de cálculo do concreto. 
21 dbfM wcdLd  (3.35) 
onde, L é definido pela tabela 3.1 para momento sem ser em regiões de apoio e para regiões de apoio 
como: 
251,0L e 82,0L para concretos com fck  50 MPa 
205,0L e 86,0L para concretos com fck  50 MPa 
A parcela M1d está associada à parcela As1 da armadura de tração que se obtém por equilíbrio 
para a figura (3.11). 
ydL fd
dM
As

1
1  (3.36) 
Uma vez conhecida a parcela M1d , obtém-se a parcela M2d da equação (3.37), 
ddd MMM 12  (3.37) 
A deformação na fibra correspondente à armadura comprimida pode ser obtida por 
compatibilidade Figura 3.8. 
cd
L
L
cdsd
d
"dd
x
"dx
' 






 (3.38) 
92 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 
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Assim, é possível se obter a tensão na armadura de compressão por ocasião da ruptura, a qual 
se designa ’sd. Onde, 
sdssd E ''   para ydsd  ' (3.39.a) 
ydsd f' para ydsd  ' (3.39.b) 
Por equilíbrio de momentos em relação à armadura superior obtém-se 
ydf
d
fc
M
As
2
2  (3.40) 
A armadura de tração pode então ser calculada pela soma das expressões (3.36) e (3.40). 
As As As 1 2 (3.41) 
ou seja, 
ydf
d
ydL
d
fc
M
fd
M
As
21


 (3.42) 
Por equilíbrio de momentos em relação à armadura inferior obtém-se a armadura de 
compressão, 
sdf
d
'c
M
s'A

2
 (3.43) 
Geralmente, a utilização das vigas com armadura de compressão, restringe-se a situações onde, 
por imposições arquitetônicas, seja necessário utilizar uma viga com altura menor que a mínima 
exigida pelo momento fletor atuante de cálculo Md. Porém, existem quatro razões primárias para se 
usar armadura de compressão em vigas. 
 
a) Redução da deformação devido ao carregamento permanente: 
Primeiro e mais importante, a colocação de armadura de compressão reduz a deformação de 
uma viga sujeita à carregamento permanente. A Figura 3.14mostra diagramas de deformação versus 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 93 
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tempo para vigas com e sem armadura de compressão. As vigas foram carregadas durante várias horas, 
até o carregamento de serviço. Esta carga foi mantida por dois anos. No tempo do carregamento igual 
a zero, as três vigas deformaram entre 4,064 e 4,826 cm, aproximadamente o mesmo valor. Passando o 
tempo, as deformações das três vigas aumentaram. O incremento de deformação com o tempo é de 
195% da deformação inicial para vigas sem aço de compressão ( 0'  ), mas apenas 99% da 
deformação inicial para vigas com aço na compressão igual ao aço de tração (  ' )(ACI). 
Figura 3.14 – Efeito da armadura de compressão nas flechas de longa duração. 
 
 
b) Acréscimo de ductilidade: 
A colocação de armadura de compressão causa a redução da altura do bloco de compressão. 
Assim, a deformação na armadura de tração na ruptura aumenta, resultando em um comportamento 
mais dúctil. 
A Figura 3.15 compara o s diagramas de momento versus curvatura para três vigas e variando o 
valor a quantidade da armadura de compressão. O momento, no primeiro escoamento da armadura de 
tração, é muito pouco alterado quando o aço de compressão é adicionado à estas vigas. O aumento no 
momento depois do escoamento é grande até a máxima deformação da armadura. Pelo fato disto 
ocorrer para altas curvaturas e deformações, isto é ignorado no dimensionamento. Por outro lado, a 
ductilidade aumenta significativamente. Isto é particularmente importante em regiões sísmicas ou 
quando se deseja uma redistribuição de momentos 
Figura 3.15 – Efeito da armadura de compressão na resistência e ductilidade de vigas dúcteis. 
94 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 
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c) Mudança do modo de ruptura de compressão para tração: 
Quando adiciona-se aço de compressão em uma viga frágil, a zona de compressão de tal viga 
passa a ser suficientemente resistente para deixar o aço tracionado escoar antes do concreto ser 
esmagado. A viga passa a ter então um modo de ruptura dúctil. 
Dois casos onde o aço na compressão é usado são: na região de momento negativo em vigas 
“T” contínuas e no meio do vão de vigas “T” invertidas usadas para suportar painéis de pisos. 
 
d) Facilidade de execução: 
Quando se arma a ferragem de uma viga, costuma-se prever barras nas quinas dos estribos para 
segura-los no lugar correto além de ajudar na ancoragem dos estribos. Se executados corretamente, 
estas barras trabalham como armadura de compressão, embora elas sejam geralmente desprezados no 
dimensionamentos deste que elas tenham um pequeno efeito sobre o momento fletor. 
 
Exemplo 3.4: 
Dimensione a seção retangular a seguir com armadura dupla, com seção sem ser na região de 
apoia da viga(não considerar critério de ductibilidade): 
 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 95 
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mkNMkMd .560400.4,1.4,1  
MPa
fck
fcd
c
3,14
4.1
20


 
MPafyd 435
15,1
500
 
cmd 675,0025,07,0  
 
344,0
675,0.25,0.10.3,14
560
.. 232

dbwfcd
Md
 
 320,0L limite entre os domínios 3 e 4 
mkNdbwfcdMd l .521675,0.25,0.10.3,14.32,0...
232
1   
mkNMdMdMd .3952156012  
Armadura de tração: 
fydc
Md
fydd
Md
AsAsAs
L ...
21
21 

 
749,0628,0.4,01.4,01  L 
 
224
33
1,2510.08,25
10.435.025,0675,0
117
10.435.675,0.749,0
521
cmAsmAs 

  
Armadura de compressão: 
cdsd
sd
cd
n x
dx
dx
x



.
''
'
'



 
dxdx
LL
.  
00329,00035,0.
675,0.628,0
025,0675,0.628,0
' 

sd 
Para o aço CA-50 tem-se: 00207,0
210000
1
.
15,1
500

Es
fyd
yd 
mkNMk
CA
MPafck
.400
50
20



?
5,2''
5,2'



As
cmd
cmd
96 Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 
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 ydsd  ' a armadura comprimida esta escoando, logo fydsd ' 
 
224
3
2 4,1'10.4,1
10.435.025,0675,0
117
.
' cmAsm
fydc
Md
As 

  
Exemplo 3.5: 
Refazer o exemplo anterior dimensionando para seção na região de apoio da viga, logo 
considereando critério de ductibilidade: 
 
mkNMkMd .560400.4,1.4,1  
MPa
fck
fcd
c
3,14
4.1
20


 
MPafyd 435
15,1
500
 
cmd 675,0025,07,0  
 
344,0
675,0.25,0.10.3,14
560
.. 232

dbwfcd
Md
 
 251,0L limite entre os domínios 3 e 4 
Parcela do momento resistida com armadura simples e 45,0 
mkNdbwfcdMd l .8,408675,0.25,0.10.3,14.251,0...
232
1   
mkNMdMdMd .2,1518,40856012  
Armadura de tração: 
fydc
Md
fydd
Md
AsAsAs
L ...
21
21 

 82,045,0.4,01.4,01  L 
 
224
33
2,2210.2,22
10.435.025,0675,0
2,151
10.435.675,0.82,0
8,408
cmAsmAs 

  
Armadura de compressão: 
cdsd
sd
cd
n x
dx
dx
x



.
''
'
'



 
dx
d
x
LL
.  00321,00035,0.
675,0.45,0
025,0675,0.45,0
' 

sd 
Para o aço CA-50 tem-se: 00207,0
210000
1
.
15,1
500

Es
fyd
yd 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 3 97 
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 ydsd  ' a armadura comprimida esta escoando, logo fydsd ' 
 
224
3
2 35,5'35,5
10.435.025,0675,0
2,151
.
' cmAsm
fydc
Md
As 

  
3.5 SEÇÕES COM LARGURA VARIÁVEL 
Na estrutura mostrada na Figura

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