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Apostila Concreto_2019 (1)

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  yd
d
yd
d2
ydL
d1
s
f
N
f"dd
M
fd
M
A 



 (7.19) 
e a armadura de compressão, 
  sd
d2
s
'"dd
M
'A

 (7.20) 
lembrando que a tensão na armadura comprimida deve ser calculada em função de sua deformação, 
%35,0
""
'
d
dd
X
dX
cdsd






 (7.21) 
Uma vez conhecida a deformação na armadura de compressão calcula-se a tensão na 
mesma pela Tabela 7.1. 
 
 
 
 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 7 257 
D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
Tabela 7.1 - Determinação da tensão na armadura comprimida em função da deformação. 
'sd  'sd 
'sd'sd 'sds 
'sd yd fyd 
 
Onde, 
s
yd
o
E
 =
f
 
com 'sd em %. 
7.2.4 FLEXO-COMPRESSÃO reta DE GRANDE EXCENTRICIDADE 
Para o caso de flexo-compressão reta com grande excentricidade pode ser entendido da mesma 
forma que o caso de flexo-tração reta, bastando para tanto se inverter o sentido de Nd. Assim, 
 'dh5,0eNM dsd  (7.22) 
Figura 7.5 - Caso de flexo-compressão normal de grande excentricidade. 
dh
d’
As
Nd
e
Nd
Msd
 
258 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 7 
 D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
7.3 DOMÍNIOS 2 E 3 
Para os domínios 2 e 3 a posição da linha neutra é dada por, 
    






x
d
1 25 1 1
16
0 68
,
,
,
 (7.23) 
e o braço de alavanca, 
 4,01
d
z
 (7.24) 
onde, 
2dbf
M
wcd
sd (7.25) 
Assim, tem-se 
yd
d
yd
sd
f
N
fd
M
As 

 (7.26) 
A primeira parcela da expressão (7.27) corresponde à expressão já deduzida para flexão 
simples, bastando, para dimensionamento à flexão composta normal, diminuir a segunda parcela, 
correspondente ao esforço normal. 
7.4 DOMÍNIO 4 
Nesse caso dimensiona-se a seção no limite dos domínios 3 e 4, acrescentando-se uma 
armadura de compressão. Por raciocínio análogo ao empregado nos item (7.2.3.1, 7.2.3.2 e 7.2.4.1), 
pode-se empregar as mesmas expressões já deduzidas para o caso de flexão simples, bastando 
acrescentar o esforço normal à equação de equilíbrio de forças. Assim, tem-se, 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 7 259 
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S. R. M. ALMEIDA 
2
wcdLd1 dbfM  (7.27) 
d1sdd2 MMM  (7.28) 
A posição da linha neutra correspondente ao limite de ductilidade imposto. Assim, a armadura 
de tração pode ser calculada por: 
  yd
d
yd
d2
ydL
d1
s
f
N
f"dd
M
fd
M
A 



 (7.29) 
e a armadura de compressão, 
  sd
d2
s
'''dd
M
'A

 (7.30) 
lembrando que a tensão na armadura comprimida deve ser calculada em função de sua deformação. 
7.4.1 Flexo-compressão reta de pequena excentricidade 
Os casos de flexão reta de pequena excentricidade dividem-se entre aqueles onde a seção 
encontra-se totalmente comprimida e aqueles onde a seção está apenas parcialmente comprimida, 
embora não chegue a haver tração na armadura. Do primeiro grupo fazem parte os casos de 
dimensionamento exclusivamente no domínio 5, isto é, a posição da linha neutra é tal que quando se 
adota a simplificação do diagrama parábola-retângulo, a seção se encontra totalmente sob tensão 
0,85 fcd. Do segundo grupo fazem parte os casos de dimensionamento nos domínios 4a e 5, isto é, a 
posição da linha neutra é tal que quando se adota a simplificação do diagrama parábola-retângulo, 
apenas parte da seção se encontra sob tensão 0,85 fcd. 
Torna-se interessante, para efeito de dimensionamento, se definir os valores de tensão sd para 
os quais se tem sd = 0,2 %, denominada f
 
'yd. 
Tabela 7.2 - Valores de f 'yd. 
AÇO f 'yd (MPa) 
CA-25 217 
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CA-50 420 
CA-60 420 
7.4.1.1 Seção totalmente comprimida 
Nesse caso, a configuração deformada e as resultantes de tensão são conforme a Figura 
7.6. A posição da linha neutra deve ser tal que, 0 8, x h ou seja, x h125, . A resultante de tensões no 
concreto atua, no caso de seções retangulares, no centro da seção, sendo calculada pela equação (7.31). 
 
 
 
Figura 7.6 - Seção totalmente comprimida. 
dh
d”
d’
As1
As2
Nd
e
FORÇAS RESISTENTES
Rs2d
Rs1d
s2d
s1d
FORÇAS ATUANTES DEFORMAÇÕES
0,2%
3h/7
0,85 fcd
 
R f b hcd cd w 0 85, (7.31) 
Por equilíbrio em relação à armadura inferior, tem-se, 
   
"dd
'dh5,0Rh5,0deN
R cddd1s


 (7.32) 
assim como por equilíbrio em relação à armadura superior, 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 7 261 
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   
"dd
"dh5,0Re"dh5,0N
R cddd2s


 (7.33) 
A posição da linha neutra pode, nesse caso, assumir um valor qualquer, isto é, existem 
infinitas configurações que satisfazem às relações (7.32) e (7.33). Assim, toma-se aquelas 
configurações para as quais se tenha s1d e s1d  ’yd, ou seja, s1d  s2d’yd (infinitas LNs). Assim, 
yd
ds
s
f
R
A
'
1
1  (7.34) 
yd
ds
s
f
R
A
'
2
2  (7.35) 
O limite para aplicação das expressões (7.32) a (7.35) pode ser estabelecido lembrando 
que, tais relações só tem sentido quando se temAs2  0, ou seja, 
 "dh5,0
N
hbf85,0
1ee
d
wcd
0 







 (7.36) 
7.4.1.2 Seção parcialmente comprimida 
Figura 7.7 - Seção parcialmente comprimida. 
h
d”
As1
Nd
e
FORÇAS RESISTENTES
Rs1d s1d
FORÇAS ATUANTES DEFORMAÇÕES
0,2%
3h/7
0,85 fcd
 
Nesse caso, a configuração deformada e as resultantes de tensão são conforme a Figura 
7.7. A posição da linha neutra deve ser tal que, 0,8 X < h ou seja, X < 1,25 h, e ainda,X  d. A 
resultante de tensões no concreto atua, no caso de seções retangulares, no centro da seção, sendo 
calculada pela expressão (7.37). 
262 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 7 
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XbfR wcdcd 8,085,0 (7.37) 
Por equilíbrio em relação à armadura, tem-se, 
   "4,0"5,0 dXRedhNM cddd  (7.38) 
fornecendo a equação do 2
o
 grau, 
 
0
"5,0
"68,0272,0 2 


wcd
d
bf
edhN
XdX (7.39) 
que fornece a solução 
 







 

2
wcd
d
"dbf
e"dh5,0N
272,0
1
5625,125,1"dX (7.40) 
No caso em que d  X < h, o dimensionamento se dará no domínio 4a, com a deformação 
na armadura comprimida calculada pela expressão (7.41), 
%35,0
"
1
X
dX
dc

 (7.41) 
enquanto que no caso em que h  X < 1,25 h o dimensionamento de dará no domínio 5, com a 
deformação na armadura comprimida calculada pela expressão (7.42), 
%4,1
37
"
1
hX
dX
dc


 (7.42) 
Assim, pode-se calcular a tensão na armadura através da tabela (7.1), e a armadura para o 
caso de seção parcialmente comprimida através da expressão (7.44). 
ds
ds
s
R
A
1
1
1

 (7.44) 
7.4.2 Compressão axial ou uniforme 
Para a reta b da figura (7.1), toda a seção, se encontra sob deformação uniforme igual a 2 
%o e a tensão na armadura correspondente a essa deformação tem valor f
 
'yd. Assim, como os esforços 
resistentes devem ser iguais aos atuantes tem-se: 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 7 263 
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hbffAN wcdydsd 85,0'  (7.45) 
ou seja, 
yd
wcdd
s
f
hbfN
A
'
85,0
 (7.46) 
7.4.3 LIMITES ENTRE OS DOMÍNIOS 
Os limites entre os domínios pode ser estabelecido em função do coeficiente , calculado 
para o momento em relação a armadura mais comprimida ou mais tracionada, conforme se esteja 
analisando um caso de flexo-compressão ou de flexo-tração, respectivamente. 
Se   0 158, o dimensionamento se dará no domínio 2; 
Se 0 158,   L o dimensionamento se dará no domínio 3; 
Se  L   0,408 o dimensionamento se dará no limite de ductilidade prescrito pela NB1- 2000 
(domínio 3); 
Se   0,408 o dimensionamento se dará no domínio 4a ou 5. 
7.4.4 Emprego de ábacos para dimensionamento 
Embora qualquer peça da estrutura possa apresentar eventualmente uma composição de 
esforço normal e momento fletor, o caso clássico de dimensionamento à flexo-compressão é o de 
pilares. Nesse caso, contudo, é

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