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Apostila Concreto_2019 (1)

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levando à ruína de toda a estrutura. 
Figura 8.1 – Fluxo de carga em uma estrutura. 
LAJES
VIGAS
PILARES
FUNDAÇÕES
SOLO
Estrutura
CARREGAMENTO
 
 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 8 271 
D. L.ARAÚJO 
S. R. M. ALMEIDA 
Os pilares são então elementos estruturais lineares verticais que geralmente 
transmitem cargas axiais de compressão. Essas cargas podem vir ou não acompanhadas de 
momento fletor, dependendo do esquema estrutural adotado para a estrutura. De forma geral, 
a carga vertical de compressão constitui a principal, se não a única, ação sobre os pilares. No 
entanto, dependendo das dimensões da seção transversal dos pilares em relação ao seu 
comprimento, podem surgir outras ações além daquelas produzidas pelas cargas propriamente 
ditas. 
Um pilar robusto, engastado na base e sujeito a compressão centrada, sem 
imperfeição inicial, se deforma no sentido do seu eixo longitudinal. Caso uma das dimensões 
da seção transversal apresente valor reduzido em relação ao comprimento longitudinal do 
pilar, haverá um deslocamento horizontal sob ação da carga vertical de compressão, como 
mostra a Figura 8.2. Sua seção crítica, nesse exemplo situada em sua base, deve ser calculada 
considerando-se a excentricidade do ponto de aplicação da carga em relação ao centro de 
gravidade da seção. 
Figura 8.2 – Exemplo de comportamento de pilares robustos e esbeltos. 
 
V
P
Eixo longitudinal
H
V
P H P
 
Flambagem é o fenômeno pelo qual há um aumento do deslocamento horizontal 
do pilar pela ação de carga de compressão axial. O valor desse deslocamento depende da 
carga axial, das dimensões do pilar e das condições de engastamento. A figura (8.3) apresenta 
a relação entre a carga axial e o deslocamento horizontal final de um pilar. Essa relação não é 
linear, mesmo para materiais que tenham relação tensão x deformação linear. A maior carga 
272 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 8 
 
no gráfico da Figura 8.3 é chamada carga crítica de flambagem e é de extrema importância 
para os projetistas. 
Figura 8.3 – Carga crítica de flambagem. 
eo
Pcrítica

P
 
Para o cálculo da carga crítica em pilares de concreto armado, admite-se o 
material em regime elástico, devido à complexidade do cálculo considerando-se os diagramas 
elasto-plásticos do concreto armado. A carga crítica de flambagem para um pilar bi-rotulado 
com inércia constante pode ser calculada pela expressão da Resistência dos Materiais, 
2
2
e
cr
l
IE
P

 (8.1) 
Onde le é o comprimento efetivo de flambagem. 
A expressão (8.1) pode ser utilizada para casos de pilares com condições de apoio 
diferentes do bi-rotulado. Assim, o comprimento de flambagem pode ser calculado pela 
expressão (8.2), ou seja pela distância entre os pontos de inflexão da linha elástica. A figura 
(8.7) apresenta as os comprimentos efetivos de flambagem para pilares indeslocáveis, ou seja, 
com extremidades (nós) que não permitem deslocamentos horizontais, enquanto a figura (8.5) 
apresenta os comprimentos efetivos de flambagen para pilares com nós deslocáveis. 
l k le  (8.2) 
 
 
Figura 8.4 – Comprimento efetivo de flambagem em pilares indeslocáveis. 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 8 273 
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 le L
 le
 k = 0,7 k = 1,0
 le
 k = 0,5
 P P P
 
Figura 8.5 – Comprimento efetivo de flambagem em pilares deslocáveis. 
 le
 L
 k = 1,0 le k = 1,0
 P P
 
No dimensionamento de pilares robustos, a carga de dimensionamento é inferior à 
carga crítica, e o pilar só apresenta deformação axial. Essa era a situação corrente de 
dimensionamento dos pilares de concreto armado até a década de 60, quando começaram a ser 
construídas estruturas mais esbeltas, onde a flambagem é determinante no dimensionamento. 
Assim, até 1978, a norma vigente no Brasil (NB-1 / 1960) prescrevia que os pilares deveriam 
ser calculados à compressão simples, qualquer que fosse a relação entre sua seção transversal 
e seu comprimento. No caso de pilares menos robustos, o efeito de flambagem era convertido 
em um efeito de carga, através da multiplicação do esforço de dimensionamento por um 
coeficiente de majoração. Tal coeficiente era tanto maior quanto maior fosse a esbeltez do 
pilar. Com o tempo, verificou-se que tal procedimento conduzia a resultados não satisfatórios 
em pilares de média e grande esbeltez, tornando-se necessário se levar em consideração o 
efeito de flambagem no caso dos pilares muito esbeltos. 
274 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 8 
 
Os pilares podem ser classificados, em relação à sua esbeltez, em curtos, médios e 
esbeltos. Apenas os pilares curtos podem ser dimensionados a compressão simples. Assim, 
define-se índice de esbeltez como a relação, 
 
l
i
e
 (8.3) 
onde, 
 - é o comprimento efetivo de flambagem; 
i
I
Ac
 - é o raio de giração; 
I - é o momento de inércia da seção; 
Ac - é a área da seção transversal. 
 
Para o caso particular de seção retangular a expressão (8.3) se reduz a, 
h
le46,3 (8.4) 
onde, h é a dimensão da peça na direção da flambagem considerada. 
 
Para o caso de seção circular, 

 e
l
00,4 (8.5) 
onde,  é o diâmetro do pilar.
Das expressões (8.1) e (8.3) conclui-se que a carga crítica é proporcional ao 
inverso do quadrado do índice de esbeltez, como mostra a figura (8.6). Verifica-se que, para 
índices de esbeltez inferiores a 40, a carga crítica apresenta valores superiores à resistência à 
compressão. Assim, nessa faixa pode-se dispensar a verificação da segurança quanto à 
flambagem. Essa verificação é indispensável nos casos em que o índice de esbeltez é superior 
a 40. 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 8 275 
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Figura 8.6 – Variação da carga crítica com o índice de esbeltez do pilar. 
 40

Pcrítica
 
8.2 DIMENSÕES MÍNIMAS DE PILARES 
Com o intuito de se evitar que se construam pilares muito esbeltos, que possam a 
apresentar problemas de flambagem para cargas muito baixas, a NBR 6118 limita a menor 
dimensão dos pilares em 19 cm. 
Em casos especiais, é permitida a construção de pilares com dimensões entre 
12 cm e 19 cm, desde que se considere um coeficiente de segurança adicional h, que deve 
majorar os esforços solicitantes de cálculo finais dos pilares, quando de seu dimensionamento, 
e é dado pela expressão (8.6) ou pela tabela (8.1). 
 bn  1905,01 (8.6) 
Onde, b é a menor dimensão da seção transversal do pilar, em centímetros. 
 
 
 
Tabela 8.1 – Coeficiente n de majoração das solicitações do pilar. 
b  19 18 17 16 15 14 13 12 
276 Curso de Concreto Armado - Notas de Aula – Capítulo 8 
 
(cm)
(1)
 
n
(2)
 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 1,30 1,35 
 
8.3 MODELOS MATEMÁTICOS DE ANÁLISE DE ESTRUTURAS 
8.3.1 Modelo matemático sugerido pela NBR 6118 / 1978 
O modelo matemático sugerido pela NBR 6118 / 1978 encontra-se representado 
esquematicamente pela figura (8.7). 
Figura 8.7 – Modelo matemático sugerido pela NBR 6118 / 1978. 
Pórtico plano
Modelo completo
Modelo simplificado
NBR 6118 / 1978
 
Esse modelo segue as seguintes premissas: 
 As vigas são admitidas como contínuas, os pilares funcionam como apoios rígidos 
na vertical e não há transmissão de momentos da viga para o pilar; 
 Não devem ser considerados momentos positivos inferiores aos que seriam obtidos 
se houvesse engastamento perfeito da viga nos apoios internos; 
 Quando a viga for solidária ao pilar intermediário e a largura do apoio, medida na 
direção do eixo da viga, for superior à quarta parte da altura do pilar, não se pode 
considerar momento negativo de valor absoluto superior ao momento de 
engastamento perfeito nesse apoio; 
 No dimensionamento dos pilares intermediários não se considera a transmissão de 
momentos pelas vigas; 
Curso de Concreto Armado – Notas de Aula – Capítulo 8 277 
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