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( INSTAGRAM: plantaodomatematico ) ( Plantão do Matemático ) ( PÁG. 12 ) Lista do Plantão - ESPECIAL ITA 1) (Ita) Seja um ponto externo a uma circunferência de centro e raio Considere uma reta passando por e secante a nos pontos e tal que o segmento é externo a e tem comprimento igual a Seja o ponto de tal que pertence ao segmento Se o ângulo mede então a medida do ângulo é igual a a) b) c) d) e) 2) (Ita) Sabe-se que é uma das raízes quartas de um número complexo Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de é igual a a) b) c) d) e) 3) (Ita) Os lados de um triângulo de vértices e medem e A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado no ponto e o lado no ponto Então, o comprimento do segmento em é a) b) c) d) e) 4) (Ita) Em um triângulo isósceles cuja área mede a razão entre as medidas da altura e da base é igual a Das afirmações abaixo: I. As medianas relativas aos lados e medem II. O baricentro dista 4 cm do vértice A; III. Se é o ângulo formado pela base com a mediana relativa ao lado então é (são) verdadeira(s) a) Apenas I. b) Apenas II. c) Apenas III. d) Apenas I e III. e) Apenas II e III. 5) (Ita) Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos dois lados paralelos é igual a 18cm e a diferença dos dois outros lados é igual a 2cm. Se r é o raio da circunferência inscrita e a é o comprimento do menor lado do trapézio, então a soma a+r (em cm) é igual a: a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 8 6) (Ita) Considere um retângulo em que o comprimento do lado é o dobro do comprimento do lado Sejam o ponto médio de e o ponto médio de A tangente do ângulo é igual a a) b) c) d) e) 7) (Ita) Sabendo que e um possível valor para é a) b) c) d) e) 8) (Ita) Se então um possível valor de é a) b) 1. c) d) e) 2. 9) (Ita) Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista do vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de a) b) c) d) e) 10) (Ita) Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente, e 5 cm. O volume, em cm3, do sólido VABC é a) 2. b) 4. c) d) 6. e) 11) (Ita) Os pontos e são vértices do triângulo isósceles de base contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede então as coordenadas do vértice são a) b) c) d) e) 12) (Ita) Considere a reta Seja o vértice de um quadrado cuja diagonal está contida em A área deste quadrado é a) b) c) d) e) Gabarito: Gabarito: Resposta da questão 1: [B] Do enunciado, temos a seguinte figura: Note que o triângulo OAC é isósceles e sua base é o lado Daí, como O ângulo é externo do triângulo ACO, logo, O triângulo OCD é isósceles, com Então, O ângulo é externo do triângulo DOA, logo, Resposta da questão 2: [E] Do enunciado, temos: A raiz cúbica de é um número tal que Daí, O triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de é: A área do triângulo é dada por: Resposta da questão 3: [A] Do enunciado, temos: é ponto de tangência entre a circunferência e o lado Sendo Como e Sendo temos: Sendo temos: Resposta da questão 4: [A] [I] Verdadeira. Sabendo que a área do triângulo mede e que vem Logo, Como é ponto médio de é imediato, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo que Portanto, sendo o pé da mediana relativa ao lado tem-se [II] Falsa. De fato, sendo o baricentro do triângulo temos [III] Falsa. Sabendo que vem Assim, do triângulo obtemos Resposta da questão 5: [C] Resposta da questão 6: [C] Do enunciado, temos a figura: No triângulo No triângulo De Como Resposta da questão 7: [E] Portanto, = Portanto, um possível valor para é Resposta da questão 8: [A] Substituindo (II) em (I), temos: = ou = Resposta da questão 9: [C] Admitindo que seja a altura pedida , o volume do líquido de altura e utilizando a razão entre os volumes de cones semelhantes, temos: Resposta da questão 10: [A] Fazendo (1) + (2) – (3), temos: Portanto, o volume do sólido será dado por: Resposta da questão 11: [C] Do enunciado, temos a seguinte figura: Daí, temos a seguinte figura: e logo, os triângulos e são semelhantes. Dessa forma, No triângulo ou Como Então, Note que: Logo, Então, Como e ou De De Como está no primeiro quadrante, Resposta da questão 12: [C] Num quadrado, as diagonais são iguais entre si e medem A distância do ponto até a reta é igual a metade da diagonal. Assim, pode-se escrever: ( Matemática com alegria e competência ) ( Foco na excelência. ) 2 48cm, AP BC 2 . 3 AB AC 97cm; α BC BM, λ AC, 3 cos, 97 α = ABCD AB BC. M BC N CM. MÂN 1 . 35 O 2 . 35 4 . 35 8 . 35 16 . 35 22 2ab senxa0 ab, =¹ + b0, ¹ 1 cossec2xtgx 2 - ab . ab - ab . 2ab + 22 ab . ab - r. 22 ab . 4ab + 22 ab . 4ab - 1 cos2x, 2 = cotgx1 cossec(x)sec(x) ππ - --- 3 . 2 2. 3. h 3 2h. - 3 21. - A 3 (21)h. - h. h . 2 10, 17 17. 510. B(1,162) =+ C(162,1) =+ ABC BC, 3, A (72,72). (2,2). C (172,172). ++ (12,12). ++ (162,162). ++ r:y2x. = A(3,3) = ABCD, BD r. 9 . 5 12 . 5 D 18 . 5 21 . 5 24 . 5 AO. µ µ OAC10,COA10. =°=° µ DCO µ µ DCO1010 DCO20 =°+° =° OCOD. = µ CDO20 =° µ BOD AC 1020 30 α α =°+° =° ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 6 3 2 z22i 33 z22cosisen 44 4343 z22cosisen 44 z2cos3isen3 z2cos3isen3 ππ ππ ππ ππ =-+ æö æö =+ ç÷ ç÷ èø èø ×× æö =×+ ç÷ èø =×+ =×+ z w 3 zw. = ( ) ( ) 33 w4cos3isen3 w4cosisen ππ ππ =×+ =×+ z ABC ABC ABC 12 S344sen 23 S123 π =×××× = M BC. AKx, = AKANx BNBM3x CKCM8x == ì ï ==- í ï ==- î BC7 = r. BCBMMC, =+ 73x8x x2 =-+- = ˆ BAC, α = 222 738238cos 1 cos 2 α α =+-××× = NKy, = 222 2 y22222cos 1 y44222 2 y2cm NK2cm α =+-××× =+-××× = = ABC 2 48cm 2 APBC, 3 =× 22 112 (ABC)BCAP48BCBC 223 BC34 BC12cm. =××Û=××× Û=× Þ= 2 AP128cm. 3 =×= P BC, B APC, ABAC10cm. == M AC, 222 222 1 2(ABBC)AC 2 1 2(1012)10 2 12225 97cm B . M ××+- =××+- =- = = G ABC, 22 AGAP128cm. 33 =×=×= BM97cm, = 2297 BGBMcm. 33 =×= BGP, BP69 cos. BG 29797 3 α === ABN, ( ) ( ) 3x tg 8x 3 tg 8 αβ αβ += += ABM, 2x tg 8x 1 tg 4 β β = = λ ( ) 3 tg, 8 αβ += ( ) ( ) tgtg3 1tgtg8 8tgtg31tgtg αβ αβ αβαβ + = -× ×+=×-× 1 tg, 4 β = 11 8tg31tg 44 3 8tg23tg 4 4 tg 35 4 ˆ tgMAN 35 αα αα α æöæö ×+=×-× ç÷ç÷ èøèø ×+=-× = = 22 2ab senxa0 ab, =¹ + 2 2222 2222 abab cosecx1cotgxcotgx1cotgxcotgx 2ab2ab æö +- Þ=+Û=-Û==± ç÷ ç÷ ×× èø 1 cossec2xtgx 2 - 22 1senx1ab cotgx 2senxcosx2cosx24ab - -=×=± ××× 1 cossec2xtgx 2 - 22 ab . 4ab - O cosxcosx1 1 cotgx1 senxsenx cosx (I) 111cosx cossec(x)sec(x) senxcosxsenx.cosx ππ - - - ===- - --- -+ 22 1133 cos2x2cosx1cosxcosx (II) 2222 =Þ-=Þ=Þ=± 3 2 3 . 2 - x v h 3 33 xh2vxh 2xh(21). hvh ++ æö =Þ=Þ=×- ç÷ èø AB 2 22 2 22 222 xy10 ( 1 ) xz17 ( 2 ) zy5 ( 3 ) ì += ï ï += í ï += ï î 2 2x2x1,y3ez4 =Þ=== 3 1z.y4.3.1 Vx2cm 326 =××== ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 22 2 2 BC16211162 BC6262 BC262 BC262 BC12 =+-+-+ =+- =× =×× = µ µ TAOCAM α == µ µ ATOAMC90, ==° AMC ATO ACMC AOTO AC6 a3 AC2a = = = ˆ BAD AMC, ( ) ( ) 22 2 22 2 2 2aa36 4aa6a936 3a6a450 a2a150 =++ =+++ --= --= a5 = a3 =- a0,a5. >= AM8 = ( ) BC BC BC 1162 m 1621 62 m 62 m1 -+ = +- - = =- suur suur suur ( ) ( ) ( ) AM M M M M m1 1162 x 2 x132 1621 y 2 y132 AM:y1321x132 AM:y132x132 AM:yx = ++ = =+ ++ = =+ -+=×-+ --=-- = suur suur suur suur ( ) Ax,x ( ) AM8,Ax,x = 10, ° ( ) M132,32, ++ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 2 8x132x132 642x13232x132 =-++-+ =×-+ =-+ ( ) x13242 -+= ( ) x13242 -+=- ( ) x13242, -+= x172 =+ ( ) x13242, -+=- x120 =-< A ( ) A172,172. ++ ˆ BOD 2. l A r Ar 22 2 2 233 26 d 2 10 21 618 SS 5 10 - ×- ==®= + æö ==®= ç÷ èø l l l 25. ° 30. ° 35. ° 40. ° 45. ° 22i -+ z. z, 4(31). + 63. 8(31). - 103. 123. A,B C AB3cm,BC7cm == CA8cm. = AB N CA K. NK, cm, 2. A 22. 3. 23. 7 . 2 ABC,
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