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Lista do plantão

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Plantão do Matemático
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12
)
Lista do Plantão - ESPECIAL ITA
1) (Ita) Seja um ponto externo a uma circunferência de centro e raio Considere uma reta passando por e secante a nos pontos e tal que o segmento é externo a e tem comprimento igual a Seja o ponto de tal que pertence ao segmento Se o ângulo mede então a medida do ângulo é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
2) (Ita) Sabe-se que é uma das raízes quartas de um número complexo Então, no plano de Argand-Gauss, a área do triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
3) (Ita) Os lados de um triângulo de vértices e medem e A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado no ponto e o lado no ponto Então, o comprimento do segmento em é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
4) (Ita) Em um triângulo isósceles cuja área mede a razão entre as medidas da altura e da base é igual a Das afirmações abaixo:
I. As medianas relativas aos lados e medem 
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A;
III. Se é o ângulo formado pela base com a mediana relativa ao lado então 
é (são) verdadeira(s) 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas III. 
d) Apenas I e III. 
e) Apenas II e III. 
 
5) (Ita) Num trapézio retângulo circunscritível, a soma dos dois lados paralelos é igual a 18cm e a diferença dos dois outros lados é igual a 2cm. Se r é o raio da circunferência inscrita e a é o comprimento do menor lado do trapézio, então a soma a+r (em cm) é igual a: 
a) 12 
b) 11 
c) 10 
d) 9 
e) 8 
 
6) (Ita) Considere um retângulo em que o comprimento do lado é o dobro do comprimento do lado Sejam o ponto médio de e o ponto médio de A tangente do ângulo é igual a 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
7) (Ita) Sabendo que e um possível valor para é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
8) (Ita) Se então um possível valor de é 
a) 
b) 1. 
c) 
d) 
e) 2. 
 
9) (Ita) Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista do vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
10) (Ita) Um plano intercepta as arestas de um triedro trirretângulo de vértice V, determinando um triângulo ABC cujos lados medem, respectivamente, e 5 cm. O volume, em cm3, do sólido VABC é 
a) 2. 
b) 4. 
c) 
d) 6. 
e) 
 
11) (Ita) Os pontos e são vértices do triângulo isósceles de base contido no primeiro quadrante. Se o raio da circunferência inscrita no triângulo mede então as coordenadas do vértice são 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
12) (Ita) Considere a reta Seja o vértice de um quadrado cuja diagonal está contida em A área deste quadrado é 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Gabarito:
Gabarito: 
Resposta da questão 1:
 [B]
Do enunciado, temos a seguinte figura:
Note que o triângulo OAC é isósceles e sua base é o lado 
Daí, como 
O ângulo é externo do triângulo ACO, logo,
O triângulo OCD é isósceles, com 
Então,
O ângulo é externo do triângulo DOA, logo,
 
Resposta da questão 2:
 [E]
Do enunciado, temos:
A raiz cúbica de é um número tal que 
Daí,
O triângulo, cujos vértices são as raízes cúbicas de é:
A área do triângulo é dada por:
 
Resposta da questão 3:
 [A]
Do enunciado, temos:
 é ponto de tangência entre a circunferência e o lado 
Sendo 
Como e 
Sendo temos:
Sendo temos:
 
Resposta da questão 4:
 [A]
[I] Verdadeira. Sabendo que a área do triângulo mede e que vem
Logo,
Como é ponto médio de é imediato, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo que 
Portanto, sendo o pé da mediana relativa ao lado tem-se
 
[II] Falsa. De fato, sendo o baricentro do triângulo temos 
 
[III] Falsa. Sabendo que vem Assim, do triângulo obtemos 
 
Resposta da questão 5:
 [C] 
Resposta da questão 6:
 [C]
Do enunciado, temos a figura:
No triângulo 
No triângulo 
De 
Como 
 
Resposta da questão 7:
 [E]
Portanto, = 
Portanto, um possível valor para é 
Resposta da questão 8:
 [A] 
Substituindo (II) em (I), temos:
= ou = 
Resposta da questão 9:
 [C]
Admitindo que seja a altura pedida , o volume do líquido de altura e utilizando a razão entre os volumes de cones semelhantes, temos:
 
Resposta da questão 10:
 [A]
Fazendo (1) + (2) – (3), temos:
Portanto, o volume do sólido será dado por:
 
Resposta da questão 11:
 [C]
Do enunciado, temos a seguinte figura:
Daí, temos a seguinte figura:
 e logo, os triângulos e são semelhantes.
Dessa forma,
No triângulo 
ou 
Como 
Então,
Note que:
Logo,
Então,
Como e 
ou 
De 
De 
Como está no primeiro quadrante, 
 
Resposta da questão 12:
 [C]
Num quadrado, as diagonais são iguais entre si e medem A distância do ponto até a reta é igual a metade da diagonal. Assim, pode-se escrever:
 
 (
Matemática com alegria e competência 
) (
Foco na excelência.
 
)
2
48cm,
AP
BC
2
.
3
AB
AC
97cm;
α
BC
BM,
λ
AC,
3
cos,
97
α
=
ABCD
AB
BC.
M
BC
N
CM.
MÂN
1
.
35
O
2
.
35
4
.
35
8
.
35
16
.
35
22
2ab
senxa0
ab,
=¹
+
b0,
¹
1
cossec2xtgx
2
-
ab
.
ab
-
ab
.
2ab
+
22
ab
.
ab
-
r.
22
ab
.
4ab
+
22
ab
.
4ab
-
1
cos2x,
2
=
cotgx1
cossec(x)sec(x)
ππ
-
---
3
.
2
2.
3.
h
3
2h.
-
3
21.
-
A
3
(21)h.
-
h.
h
.
2
10,
17
17.
510.
B(1,162)
=+
C(162,1)
=+
ABC
BC,
3,
A
(72,72).
(2,2).
C
(172,172).
++
(12,12).
++
(162,162).
++
r:y2x.
=
A(3,3)
=
ABCD,
BD
r.
9
.
5
12
.
5
D
18
.
5
21
.
5
24
.
5
AO.
µ
µ
OAC10,COA10.
=°=°
µ
DCO
µ
µ
DCO1010
DCO20
=°+°
=°
OCOD.
=
µ
CDO20
=°
µ
BOD
AC
1020
30
α
α
=°+°
=°
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
4
4
4
6
3
2
z22i
33
z22cosisen
44
4343
z22cosisen
44
z2cos3isen3
z2cos3isen3
ππ
ππ
ππ
ππ
=-+
æö
æö
=+
ç÷
ç÷
èø
èø
××
æö
=×+
ç÷
èø
=×+
=×+
z
w
3
zw.
=
(
)
(
)
33
w4cos3isen3
w4cosisen
ππ
ππ
=×+
=×+
z
ABC
ABC
ABC
12
S344sen
23
S123
π
=××××
=
M
BC.
AKx,
=
AKANx
BNBM3x
CKCM8x
==
ì
ï
==-
í
ï
==-
î
BC7
=
r.
BCBMMC,
=+
73x8x
x2
=-+-
=
ˆ
BAC,
α
=
222
738238cos
1
cos
2
α
α
=+-×××
=
NKy,
=
222
2
y22222cos
1
y44222
2
y2cm
NK2cm
α
=+-×××
=+-×××
=
=
ABC
2
48cm
2
APBC,
3
=×
22
112
(ABC)BCAP48BCBC
223
BC34
BC12cm.
=××Û=×××
Û=×
Þ=
2
AP128cm.
3
=×=
P
BC,
B
APC,
ABAC10cm.
==
M
AC,
222
222
1
2(ABBC)AC
2
1
2(1012)10
2
12225
97cm
B
.
M
××+-
=××+-
=-
=
=
G
ABC,
22
AGAP128cm.
33
=×=×=
BM97cm,
=
2297
BGBMcm.
33
=×=
BGP,
BP69
cos.
BG
29797
3
α
===
ABN,
(
)
(
)
3x
tg
8x
3
tg
8
αβ
αβ
+=
+=
ABM,
2x
tg
8x
1
tg
4
β
β
=
=
λ
(
)
3
tg,
8
αβ
+=
(
)
(
)
tgtg3
1tgtg8
8tgtg31tgtg
αβ
αβ
αβαβ
+
=
-×
×+=×-×
1
tg,
4
β
=
11
8tg31tg
44
3
8tg23tg
4
4
tg
35
4
ˆ
tgMAN
35
αα
αα
α
æöæö
×+=×-×
ç÷ç÷
èøèø
×+=-×
=
=
22
2ab
senxa0
ab,
=¹
+
2
2222
2222
abab
cosecx1cotgxcotgx1cotgxcotgx
2ab2ab
æö
+-
Þ=+Û=-Û==±
ç÷
ç÷
××
èø
1
cossec2xtgx
2
-
22
1senx1ab
cotgx
2senxcosx2cosx24ab
-
-=×=±
×××
1
cossec2xtgx
2
-
22
ab
.
4ab
-
O
cosxcosx1
1
cotgx1
senxsenx
cosx (I)
111cosx
cossec(x)sec(x)
senxcosxsenx.cosx
ππ
-
-
-
===-
-
---
-+
22
1133
cos2x2cosx1cosxcosx (II)
2222
=Þ-=Þ=Þ=±
3
2
3
.
2
-
x
v
h
3
33
xh2vxh
2xh(21).
hvh
++
æö
=Þ=Þ=×-
ç÷
èø
AB
2
22
2
22
222
xy10 ( 1 )
xz17 ( 2 )
zy5 ( 3 )
ì
+=
ï
ï
+=
í
ï
+=
ï
î
2
2x2x1,y3ez4
=Þ===
3
1z.y4.3.1
Vx2cm
326
=××==
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
22
2
2
BC16211162
BC6262
BC262
BC262
BC12
=+-+-+
=+-
=×
=××
=
µ
µ
TAOCAM
α
==
µ
µ
ATOAMC90,
==°
AMC
ATO
ACMC
AOTO
AC6
a3
AC2a
=
=
=
ˆ
BAD
AMC,
(
)
(
)
22
2
22
2
2
2aa36
4aa6a936
3a6a450
a2a150
=++
=+++
--=
--=
a5
=
a3
=-
a0,a5.
>=
AM8
=
(
)
BC
BC
BC
1162
m
1621
62
m
62
m1
-+
=
+-
-
=
=-
suur
suur
suur
(
)
(
)
(
)
AM
M
M
M
M
m1
1162
x
2
x132
1621
y
2
y132
AM:y1321x132
AM:y132x132
AM:yx
=
++
=
=+
++
=
=+
-+=×-+
--=--
=
suur
suur
suur
suur
(
)
Ax,x
(
)
AM8,Ax,x
=
10,
°
(
)
M132,32,
++
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
22
2
2
2
8x132x132
642x132