Lista do Plantão do Matemático 2- Áreas de figuras planas

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Lista do Plantão do Matemático 2 -Áreas de figuras planas 
 
1) “A área de um trapézio corresponde ao produto de sua altura pela semissoma de suas bases.” 
 
Um quarteirão próximo ao CMRJ é delimitado por trechos das ruas São Francisco Xavier, Paula Souza e 
Eurico Rabelo, assim como da avenida Maracanã, como se pode ver no mapa. 
 
 
 
Esse quarteirão, cuja área mede 28.330 m . pode ser representado pelo trapézio retângulo ilustrado ao lado 
do mapa. O trecho da avenida Maracanã é o mais longo de todos e possui 40 m a mais que o trecho da rua 
Paula Souza. 
 
Viviane se encontra na esquina das ruas Paula Souza e São Francisco Xavier (Ponto A) e precisa caminhar 
até a esquina da avenida Maracanã com a rua São Francisco Xavier (Ponto D) pelo caminho mais longo, 
sempre em linhas retas, de A até B, de B até C, e de C até D, nessa ordem, percorrendo, ao todo, 
308 m. 
 
O comprimento do trecho da rua São Francisco Xavier que compõe esse trapézio mede 
a) 10 55 m 
b) 80 m 
c) 10 65 m 
d) 81m 
e) 10 67 m 
 
2) O triângulo ABC é isósceles com AB AC 4 cm,  e o triângulo DBC é isósceles com DB DC 2 cm,  
conforme a figura. 
 
 
 
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Seja β a medida do ângulo interno ˆDBC do triângulo DBC. Sabendo-se que 
6
sen ( ) ,
4
β  a área, em 
2cm , do quadrilátero ABDC é 
a) 35 
b) 6 
c) 4 
d) 5 
e) 15 
 
3) Considere dois círculos tangentes entre si, de centros A e B sobre a reta r, e tais que o raio de cada um 
tenha medida 10. 
Os segmentos CD e FE são tangentes aos círculos e têm extremidades nos pontos de tangência C, D, E e 
F, como representado na figura a seguir. 
 
 
 
A área da região sombreada é 
a) 100 25 .π 
b) 200 50 .π 
c) 200 50 .π 
d) 400 100 .π 
e) 400 100 .π 
 
4) Maria ganhou um quebra-cabeças matemático com oito peças geométricas, a saber: 
 
- um quadrado (peça 4); 
- um triângulo retângulo isósceles (peça 6); 
- um paralelogramo (peça 7); 
- um trapézio retângulo (peça 8); e 
- quatro quartos de círculo de mesmo raio (peças 1, 2, 3 e 5). 
 
 
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Uma das formas criadas por Maria foi um coração, de modo que os lados das peças coincidiram 
perfeitamente, sem sobras ou faltas, como representado na imagem a seguir: 
 
 
 
Sabendo que o lado do quadrado (peça 4) mede 10 cm e adotando 3,π  a área do coração, em 2cm , é 
igual a 
a) 700. 
b) 800. 
c) 900. 
d) 1.000. 
 
5) Considere o hexágono regular ABCDEF de lado 1. Sobre o lado AF do hexágono, constrói-se o 
quadrado AGHF, como mostra a figura abaixo. Sendo M o ponto médio de GH, constrói-se o triângulo 
CDM. 
 
 
 
A área do triângulo CDM é 
a) 3 1. 
b) 
3 1
.
2

 
c) 
3 1.
2

 
d) 
3
.
4
 
 
 
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e) 
3
.
2
 
 
 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [C] 
 
De acordo com o problema, podemos considerar a seguinte representação: 
 
 
 
(x x 40) y
(x 20) y 83308330
2
y 268 2x
x y x 40 308
  
   
 
     
 
 
Substituindo a segunda equação na primeira, obtemos: 
2 2(x 20) (268 2x) 8330 268 x 2x 5360 40x 8330 2x 228x 2970 0              
 
Dividindo todos os termos da equação por 2, obtemos: 
2x 114x 1485 0
7056
114 84
x x 99 ou x 15 (não convém, pois neste caso a avenida Maracanã não seria a maior)
2
Δ
  


   
 
 
Logo, y 70. 
 
O próximo passo será calcular a distância pedida d. 
2 2 2d 40 70
d (16 49) 100
d 10 65
 
  
 
 
 
Resposta da questão 2: 
 [E] 
 
Considere a figura. 
 
 
 
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Sabendo que os triângulos ABC e BDC são isósceles, podemos concluir que A,D e M estão alinhados e, portanto, 
M é o ponto médio de BC. 
Sendo BD 2cm, do triângulo BDM, vem 
DM 6 DM
sen
4 2BD
6
DM cm
2
   
 
 
 
Ainda do triângulo BDM, pelo Teorema de Pitágoras, temos 
2
2 2 2 2 6BM BD DM BM 2
2
10
BM cm.
2
 
      
 
 
 
 
Portanto, segue que BC 10 cm e, assim, a área do triângulo BCD é igual a 
2
1 1 6
BC DM 10
2 2 2
15
cm .
2
    

 
 
Por outro lado, do triângulo ABM, pelo Teorema de Pitágoras, vem 
2
2 2 2 2 10AM AB BM AM 4
2
3 6
AM cm.
2
 
      
 
 
 
 
Em consequência, a área do triângulo ABC é 
2
1 1 3 6
BC AM 10
2 2 2
3 15
cm .
2
    

 
 
A resposta é igual a 
 
 
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2
(ABDC) (ABC) (BCD)
3 15 15
2 2
15 cm .
 
 

 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Como CD e FE são tangentes aos círculos, podemos concluir que CDEF é um quadrado de lado 20. 
A área da região sombreada corresponde à diferença entre as áreas do quadrado CDEF e do círculo inscrito, ou seja, 
2 220 10 400 100 .π π    
 
Resposta da questão 4: 
 [A] 
 
Área do quadrado: 2 24A 10 100 cm  
 
Área do triângulo: 26
10 10
A 50 cm
2

  
 
Área do paralelogramo: 27A 10 10 100 cm   
 
Área do trapézio: 28
(10 20) 10
A 150 cm
2
 
  
 
Área de cada quarto de círculo: 
2
1 2 3 5
10
A A A A 75
4
π 
    ; 
 
Logo, a área total do quebra-cabeças será dada por: 
4 6 7 8 1 2 3 5
2
A A A A A A A A A
A 100 50 100 150 75 75 75 75
A 700 cm
       
       

 
 
Resposta da questão 5: 
 [B] 
 
Tomando o triângulo isósceles ABC, temos $ABC 120  e µACB 30 .  Logo, pela Lei dos Senos, vem 
$ µ
AC AB AC 1
sen120 sen30senABC senACB
AC 1
13
22
AC 3.
  
 
 
 
 
 
Em consequência, a altura do triângulo CDM é AC AG 3 1   e, portanto, a resposta é 
1 3 1
1 ( 3 1) .
2 2

    
 
 
 
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