AP1-GP-2013-2-Gabarito

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Geometria Plana – AP1 – Gabarito
Questão 1 [2,0 pts]: ABCD é um trapézio isósceles no qual a base menor CD = 4 cm, os ângulos
agudos são a metade dos ângulos obtusos e a diagonal AC é perpendicular ao lado BC. Calcule o
peŕımetro do trapézio ABCD.
B
C
A
D
Solução: Pela propriedade de trapézio isósceles, temos que  = B̂, Ĉ = D̂
Do enunciado temos
Ĉ = D̂ = 2 · Â = 2 · B̂
A soma dos ângulos internos do quadrilátero é 360◦:
Â+ B̂ + Ĉ + D̂ = 360◦ ⇒ Â+ Â+ 2 · Â+ 2 · Â = 360◦
 =
360◦
6
= 60◦. Dáı Â = B̂ = 60◦ e Ĉ = D̂ = 120◦
Por hipótese AC ⊥ BC, então BÂC = 180◦ − 90◦ − 60◦ = 30◦
Dáı
BÂC = DĈA = 30◦ (alternos internos)
Logo ∆ADC é isósceles ⇒ AD = DC = 4
B
C
A
D
60º
30º
30º
30º
120º
4
4
4
4
4E
Então , BC = AD, pois o trapézio é isósceles.
Seja DE//CB, então CDEB é um paralelogramo e BE = CD = 4.
Como DÊA = CB̂A = DÂE = 60◦, então ∆DEA é equilátero, portanto EA = 4.
Logo o peŕımetro pedido é 4 + 4 + 4 + 8 = 20 cm.
OBS: Ou ainda, o triângulo ACB é retângulo e CÂB = 30◦ e CB̂A = 60◦, então
sen 30◦ =
BC
AB
=
1
2
⇒ AB = 2 ·BC = 2 · AD = 2 · 4 = 8.
Geometria Plana – Gabarito AP1 2
Questão 2 [2,0 pts]: Determine o ângulo interno, o número de diagonais e o ângulo externo de
um poĺıgono regular ABCDE · · · sabendo que a diagonal AC forma com o lado BC um ângulo de
22◦30′.
Solução:
Seja o poĺıgono regular ABCDE · · · tal que a diagonal AC forma com o lado BC um ângulo de
22◦30′. B C
A
D
22º 30'
Como o triângulo ABC é isósceles, já que o poĺıgono é regular, então BÂC = 22◦30′ e
B̂ = 180◦ − 22◦30′ − 22◦30′ = 180◦ − 45◦ ⇒ B̂ = 135◦
Como B̂ é o ângulo interno do poĺıgono regular ABCDE · · · , então
135◦ =
180◦(n− 2)
n
⇒ 135◦n = 180◦n− 360◦ ⇒ 45◦n = 360◦ ⇒ n = 8
Logo o poĺıgono regular ABCDE · · · tem 8 lados.
Podemos concluir que seu ângulo interno é Ai = 135
◦
o número de diagonais é
d =
n(n− 3)
2
=
8(8− 3)
2
= 20
e o ângulo externo desse poĺıgono regular é Ae =
360◦
8
= 45◦.
Questão 3 [2,0 pts]: Considere os ângulos AÔB, BÔC,CÔD e DÔE conforme figura, tal que
A, O e E são colineares. Se BÔE = AÔB+CÔD e a medida do ângulo formado pelas bissetrizes
dos ângulos BÔC e DÔE é 60◦, calcule AÔB.
B
D
C
A
M
O
E
N
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Geometria Plana – Gabarito AP1 3
Solução 1: Considere a figura dada e denomine AÔB = α, CÔD = β.
B
D
C
A
M
α
β
60º 
O
E
N
α+β
Do enunciado BÔE = AÔB + CÔD = α + β (1)
AÔE = AÔB +BÔE = 180◦, então
2α+ β = 180◦ (2)
Mas 60◦ =
DÔE
2
+ β +
BÔC
2
120◦ = DÔE +BÔC + 2 · β
120◦ = DÔE + β +BÔC + β
120◦ = 180◦ − α + β ⇒ α− β = 60◦ (3)
Somando (2) e (3), temos 3 · α = 180◦ + 60◦ = 240◦ ⇒ α = 240
◦
3
= 80◦.
Solução 2: Considere a figura dada e denomine AÔB = α, CÔD = β.
B
D
C
A
M
α
β
60º 
O
E
N
α+β
Do enunciado BÔE = AÔB + CÔD = α + β (1)
AÔE = AÔB +BÔE = 180◦, então
2α+ β = 180◦ (2)
Mas BÔE = BÔC + β +DÔE (3)
De (1) e (3)
α + β = BÔC + β +DÔE ⇒ BÔC +DÔE = α (4)
Das bissetrizes dos ângulos
MÔC =
BÔC
2
e DÔN =
DÔE
2
(5)
De (4) e (5) podemos concluir temos que MÔC +DÔN =
α
2
Mas a medida do ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos BÔC e DÔE é 60◦, ou seja,
MÔC + β +DÔN = 60◦ ⇒ α
2
+ β = 60◦ ⇒ β = 60◦ − α
2
(6)
Substituindo (6) em (1), vem
2α+60◦ − α
2
= 180◦ ⇒ 4α− α
2
= 180◦ − 60◦ ⇒ 3α
2
= 120◦ ⇒ α = 2 · 120
◦
3
= 80◦
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Geometria Plana – Gabarito AP1 4
Questão 4 [2,0 pts]: ABC é um triângulo no qual a bissetriz interna relativa ao ângulo  é igual
ao lado AB e a bissetriz interna relativa ao ângulo B̂ é igual ao lado BC. Calcule os ângulos do
triângulo ABC.
A
B
C
P
Q
Solução: Considere o triângulo ABC, onde
A
B
C
P
Q
β
α
α
β
β2
θ θ
AP é bissetriz interna relativa ao o ângulo  e
BQ é bissetriz interna relativa ao o ângulo B̂ .
Denomine BÂP = CÂP = α
CB̂Q = AB̂Q = β e BĈQ = θ.
Como a bissetriz interna relativa ao ângulo  é igual ao lado AB, então AB = AP . Logo o
triângulo ABP é isósceles de base BP . Assim
AP̂B = 2β = AB̂P e 2β + 2β + α = 180◦ ⇒ 4β + α = 180◦ (1)
Como a bissetriz interna relativa ao ângulo B̂ é igual ao lado BC, então BC = BQ. Logo o triângulo
BCQ é isósceles de base CQ. Assim
BQ̂C = θ
Em ∆PAC, ângulo externo, temos 2β = α+ θ (2)
Em ∆QAB, ângulo externo, temos θ = 2α + β (3)
Substituindo (3) em (2) vem 2β = α + 2α+ β ⇒ β = 3α (4)
Substituindo (4) em (3) vem θ = 2α + 3α = 5α (5)
Substituindo (4) em (1) vem 4(3α) + α = 180◦ ⇒ 13α = 180◦ ⇒ α = 180
◦
13
(6)
Assim os ângulos do triângulo ABC são
 = 2α =
360◦
13
≈ 27◦41′36′′, B̂ = 2β = 6α = 1080
◦
13
≈ 83◦3′36′′ e Ĉ = 5α = 900
◦
13
≈ 69◦13′50′′
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Geometria Plana – Gabarito AP1 5
Questão 5 [2,0 pts]: Determine a medida do ângulo γ da figura sabendo que :
i) t é a reta tangente à circunferência;
ii) m(a) = 90◦;
iii) m(b) = 40◦;
iv) m(c) = 15◦.
γ 
t
b a
c
Solução: Considere a figura dada e denomine os pontos conforme figura, onde:
m(a) = 90◦, m(b) = 40◦ e m(c) = 15◦.
A
� 
t
C
b a
c
B
D
EF
G
80º 
m(γ) =
m(
⌢
AB)
2
,
m(b) =
m(
⌢
AG)
2
⇒
m(
⌢
AG) = 2 · 40◦ = 80◦.
m(a) =
m(
⌢
GD)
2
⇒ m(
⌢
GD) = 2 · 90◦ ⇒ m(
⌢
GD) = 180◦.
Então m(
⌢
AD) = m(
⌢
GD)−m(
⌢
AG) = 180◦ − 80◦ ⇒ m(
⌢
AD) = 100◦.
m(c) =
80◦ −m(
⌢
BD)
2
⇒ 30◦ = 80◦ −m(
⌢
BD) ⇒ m(
⌢
BD) = 50◦.
Então m(
⌢
AB) = m(
⌢
AD) − m(
⌢
BD) = 100◦ − 50◦ = 50◦. Portanto
m(γ) =
50◦
2
= 25◦
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