Tijolinho - Problemas e exercícios de matemática 1962 - Manoel Jairo Bezerra

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K < Y J -
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P R O B L E M A S E E X E R C Í C I O S O E
PARA OS EXAMES DE ADMISSÃO
A 3 E S C O L A S N O R M A I S ,
MILITARES E ARTIGO 91
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P R O B L E M A S
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EXERCÍCIOS
D E
MATEMÁTICA
- 2 -
M a n o e l J a l r o B e z e r r a
- 3 -
Problemas e Exercícios de Itetenatlca
Obras do Professor Jalro Bezerra
Questões ae Exames ae AdmlssSo Ceagotafla)
(toso de Hetemítloa - le tao Colegial (esgotada;
Oarso de tlatemátlca - 2» jno Colegial (esgotada)
Carso da «atamética - ,e Ano Colegial (esgotada)
CuTeo da Matanatica para os Cursos
Clássico a Científico (6a ediçSo)
aaÇomaa;jrle_EaitÔra Neclo,,.-,
- X -
M/aHOEL JAIRO bezerra - Licenciado em Matemática pela Paculda-
' d e N a c i o n a l d e F i l o s o fi a
Professor da Escola de Estado-Maior (3a Aeronáutica
cbc-Professor di' curse (?e Técnica de Ensino do Exerci-
Bx-Proxessor do Colégio NavrJ.
Professor no Colég io Pedro I I
Professor no Instituto de Educação do Estado da Gua
n a b a r a
Pro fessor no Cc legí .c Met ropo l i tano
Wdétiaa Espacial de Matama'tica
Apcatiu da Uidática Especial de
Matemática (em colaboração)
■̂"üddtSea d. c A D E s („
E C)
PROBLEMAS E EXERCÍCIOS PB )5ATEMÁTICA
P a r a o s c a n d i d a t o s a s
E S C O L A S N O R M A I S
COl^IO NA7AL
B.P.C. AERONÁUTICA
B.P.C, BXáWIlTO
B3C0LA UE MARINHA I-EBCAlíTB
- k -
l í a n o e l J a i r o B e z o r m
Í n d i c e
páginas
IntroduçãoN o t a 
6̂
■^S iSIRA Pf lPTT?
Questões selecionadas .» P assuntos j para resolver
^ L G E B B ft
NÚoeros relativos,
E x p r e s s õ e s ^
P í o d u t o s n o t á v e i s , , ^
^ w a ç ã o - a2h
E q u a 5 a o a o l 0 j j . a u . . ! 3 0Sistemas de equaqSes'do'i"!
«quaçoes o sistemas de in'̂ '̂ "'":-^luulo dos radloals. do 10 grau... 51
••••
g . ° e r a u . . í á7á
sSrer-«-..::;;;;;P r o b i f t d o ? o o , , 8 0^oblonaa do iq °S ; : : ; ; â í
"
ÊUloa
ĴsorSrtor'
né̂ -r.*"^l^qSas oéírlo'^ • •. • • ■ 122
^ ' ' « I - n m e n t o d a M 1 3 2
'■"«ísrSnoia '••••
1U8
- 5 -
Problemas e Sxercfeios de Matemática
S S G U l / Ü A P A R T E
Questões de concurso, sem resolução, porem com as respectivas
r e s p o s t a s .
Instituto de Educação - I96O - I,E,
Escola Normal Carmela Dutra - I960 - E.II.C.D.
Escola Normal Heitor Lira - I960 - E.N.H.L.
Escola Normal Sarah Kubitschek - i960 - S.N.S.K.
Escola Normal Aaevedo do Amaral - I960 - E.N.A.A.
E s c o l a s N o r m a i s - 1 9 6 1
C o l é g i o N a v a l - 1 9 6 I - C . N .
E.P.C. Aeronáutica - 1961 - S.P.C.Aer.
E.P.C. 'Exerc i to - 1961 - E .P.C.E.
Escola de Marinha MercaXiie - I96I - E.M.M.
Pc ig l i i as
167
169
1 7 1
1 7 3
1 7 5
1 7 8
1 8 0
' I 8 5
187
19ij.
- 6 -
I t e n o e l J a l r o B e z e r r a
I K T R O D P C l o
êate livro de problemas e exeroíolos contém oÔrca de E.OOO a-
xerclcloa, com as respectivas respostas.
E s c o -
E s c o *
ua -™u/rorié;ro :̂rT:fc\":
ias Preparatérlae de Cadete, ào tóLt ° "
Exercito e da Aeronáutica.
a aesas 0,0"::! luHS/'T " ^
estejam na série glnaal̂ ̂ Q̂ entando cureos de preparação, oub-eter e'saee exales dlr ""
AcíeduZ' 'provas de ataissão"!̂ !!̂ !̂ ' ̂ ̂ P̂ -̂ PentaçSo das éltl">»'
2om essas provas, e avaliar <!' ̂ °®saffi esses alunos se
s e u c o n j u n t o . d i f i c u l d a d e d e s s a s q u e s t S e s ®
Esperamos que n?eo valiosa aos Profe3sSres"ls!lí̂ "'° Preetando nma colabo''®'- . aos mestres oue preparai» Pb«ara,ão para osaas
exllcLf •■ ■"*' Paste r ''''''fP -̂Sres dos C..rsc3
-3sad„s°:m';:;,;'̂ r̂Pte, motivar̂ :'p estar esses exames. alunos, na sua- maiori-' ^
Aut or,
I' O T A; A
Sr ° -O" a oardo do
P R I M E I R A P A R T E
QUESTÕES SELECIONADAS POR
A S S U N T O S P A R A R E S O L V E R
^—Í-ÍLLÜT O■—i--iLLjL T o; dato Tavarl""""'™' " ̂ tlclent.' ' « d p r o f e s s o r
trabalho.
° Autor.
H®"
- $ -
FrobleiL-as e Exerelolos àe ?>.tsaátiga
C i To t u e ;
-5"! Á L C L a P. A
':'Ú':BPÚS HCI.AT.t.: crv
í d r o I I - 2 a S e r i e G i -
- F. Parcial - 1953).
4. , f . , ' . )0
(- 2)5 _ (_ 3).: _ 3jn ^
.(- P-)^ - í- 1)-^ + 3)2 - (2)-^
í 1)° I (0,01)^ X (0,25)^- - 2a Se;
n a s i n l - p . P a r c i a l -
r i e G i -
1 9 5 3 ) .
\ 2 y
, - l : 5 / 2 (C.N. - 1952).
- C- 1)^° - C- 1)17 + 250Í5
- 1 - - ^ 0 , 3 3 . . . ^ N
(- 2)2 - ( j)".ar'.
. 0
( - 2 ) '
(I.E. - I95Z1).
Ache a fração ordljiarla equivalente a
( f j " f " ( ü ) " 1 9 5 5 ) .
e reduza a niinero decimal, aproximado a de'clmos. .
C a l c u l e o v a l o r d e ;
' 1 / 28^ . (i)' 0,017
lX-3/2
0,1
E f e t u a r
2 \ - 5
5
^ I ? - • )
(C.N. - 195ii).
(S.N.C.D, - 1951).
- 1 0 -
Manoel Jalro Bezerra
1 3 .
l i i .
1 5 .
1 6 .
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
2h.
2 5 .
26.
2 7 .
28.
CalcUítr̂ o quoclente do menor dos niseros - 20 o +8
Csl̂e o quoclente do menor dos nieros.- 18 e . 9 por (- 3)8. _ ^,5^, ,
oewe o quoclente do menor, em valor absoluto, dos n̂sros
e - 2, pelo dobro de (- o l)"!
ToL: TeTat ^ ^ - 8 pelo valor a.
p-o s i ^e tncoa.7 e o cubo de - 13^
Calcule o quociente da soma fln 'Io stoetrlco da diferença entri ® ® ^
Calcule o quociente Aa ^ ® " 5 ,
s w i r i o o d a ~
CO de (."aflí?" (- 2)-l pela metade do sUneVl-
«Pal a diferença entre oC a soma d?sses dois nm,eros7̂°"*° rnineros staetrle"»
a diferença entre o
q i i o c i e n t e d e d o i o ' P ^ o ^ u t o d e d M « i ' « ools numerog qí-A ® ntuneros inversos ®Paáas os mWree, =^"rloos7
TT , . ,e sWtrlco da dlf °
a"p::::ãr:°.:.-» ̂ o de menor
'̂ volZlr̂ ' 8)-l perna oit"''" ' ' ''Í>=8tar o menor ntinero1^0 positivo?
.̂ r̂ -̂ -̂PaPbtrairiJíVlPOP quanto devo W P-a obter (S\° ,
^lllpllear U\-l^ ^
quanto devo ai /Îvidij. (̂ 1^3/2
a diferença ^ . VV° Produto (, 25 o rssuitad ^' <-1> (. 1, <. ,,3. e>, (
■ 1) (+ 2) (. 2) 7
o b t e r 2 5
(1
,1/2?
P-̂ -a Obter flTS
- U -
Problemas e Exercícios de Matemática
29. Qual o produto do resultado da (- 5)^^^ : (+ 5)^"^ pelo Inverso
do simétrico resultado de (- 5)^® : (- 5)^5 7
Calcular o slmátrico do nxearo pele qual se deve matlplicar o
l \ - 1 " ' 2
I p a r a s e o b t e r o p r o d u t o -
3 0 .
i n v e r s o d o s i m o t r i c c d o
- 1 .
3 2 .
33 a
3 k ,
3 5 .
Quantos anos viveu Alexandre, C Grande, nascido em - 356 e
m o r t o e m - 3 2 3 ?
Escreva, eom números relativos, um acontecimento ocorrido 128
anos A.C,, sendo as origens, respectivamente, o Inicio da era
cristã e o ano do descobrimento do Brasil,
Um termômetro marcava 6°, pela manha, mas, a tarde, a tempera
tura baixou para - 3°. Qual a variação de temperatura?
üm produto de 16 números relativos e' igual a (- l8Çü). Qual o
produto dos I6 números relativos sime'tricos, respectivamente,
dos fa to res do p r ime i ro p roduto?
Qual a soma ^ produto do sete números relativos com o produto
de sete outros números relativos simétricos, respectivamente,
d o s p r i m e i r o s ?
R E s P 0 S T A S :
1 . - 1 1 3 . - 5 2 5 . 2 / 3
2 . - 2 0 l i l . - 2 2 6 , 1
3 . - 0 , 2 5 1 5 . " 0 , 0 2 5 2 7 . U
i i . 0,00005 1 6 . 1 6 2 8 . k
5 . 1 1 , 5 1 7 . - 2
2 9 . 1
6 . 7 1 8 . 0
3 0 . - 4
7 . - 2 1 9 . - 2
•
8 , - 3 1 3 1 . 5 32 0 , - 1
9 . 1 2 1 . - 1 3 2 .
- 128 e - 1628
1 0 . 6,3 2 2 . 2 3 3 .
1 1 . 9 2 3 . 7 - \ 2 3 U , - l e s i t
1.2 c J u 1 , 5 3 5 . c
- 1 2 -
Manoel Jalro Bey.a-ryn
1 .
2 .
3 .
u .
5 .
6 .
7 .
8 .
9 .
IQ.
U .
gXHlES36ES Al.fâ TiPTnftt,
Valor Htjaérico - Claa«iíri«
^ssiflcaçao - Operações
Achar o valor mnaérico áa:
- + ̂ + «O
p a r a a . - ü , ^ = . 3 ,
(Col, Pedro II - Pa «
a - 3 t J i n a s i a l - P . P a r c i a l - 1 9 5 3 ) *
2 + l , P ° r a a ^ 3 e b = i
( B . P . C , d o A r - ■
a b 5 - ( - 1 9 5 1 )( M par. a = 2-1 , ̂ ̂
S© a « « g
=
Calculo o valn-r.
"T°°
p a r a a & « 1^ e b e(I.E. - 1951J
O ̂ alor nWrico -da ernr -
- 3a25 - b5
V 5 ) para a = ,
^ - 1956, ' " !> = 1 e- a5b - aO . 2k
2 a s ^ o- (a..b)-̂ ^^3,a2 ® ̂ =
-1872-2 ^ 2 ^°^5oio^ ^ ^ r
2 , - 1953) ^a V ^ ^ 3 [ z = - 3b " ! " b ) .
^ 2 ) ^ ^ = - 2■r a'^b'I 1
■ ? a 2 ) 2
a = . 2
- 1 3-
Froblfemas e Bxerĉ clos de Matar̂ n'ti r-a
12. O valor numérico da ©xpressão
.para a = a, b = - 3 e . = . 2, 3' dado pela
íraçao irredutível
(I.E. - 1959)
T i í .
l i ; .
Calcular o valor numérico do
b = - 1
ba ^ - ab
1 5 .
1 6 .
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
a- - C- b)-3
ÍS.N.C.D. - 1951)
Calcular o valor numérico do polinõmio
P (x,y) = - + 3x - 5xy + I 3y2
(EbP.C, Exercito - Janeiro, 1955)
Classificar as expressões:
x^ + 2x^ - 3x - 1
p a r a a = - 2
p s r a x = - l e y = - ±
2
- 5x + i
2x - x"^ + 1
X + - + X
- 1
■dl .
e b = 3
* - I —— N 2 . X + 2
x^ + + 3xy
x^ + x^ + xy'
3x^ ■+ + 5xy^ - y3
Classificar a expressão
X 4
- 5x- 4- 2T: ^. ;.i.
O pojitiÕ-ilo, e-\ .>
(C,N. - 1959)
.-•-r 4 4. 3^ , n. 1 c do 2C grau
- l i t - ■
_IÍ5íÍ®®l__Jairô B029rr a
25. O polinSmio, em x, jA + 3̂ 3 + ̂ 2 ̂ + S
IQ. . . .
26. 0 polinomlo, ea x q «, ,2 + ^ ^ ,
B . . . . * 3 ^ + 3 x y + r c
e cooplfi'i 'O s6
-Is hoaogeneos®
■sflT + y*-*'
28, Calcular m e ^
seja do 28 grau. ° P°lln5mioj em x, + px'
Calcular m e p~ 5 aeja do 28 ° PoUnômio, em x,
;2 + X
m x '
tS-
+ + P *
30' Calcular m q ̂^ ^ ^ - CP - 2)7 ° em X e y,
° ® ■!« =0flticiante3 *' oo®P^®^°'
' 2 - S 3 = r a v a u „ « ® W a d e .
0̂ 1. ̂au, ordenado. «
Escreva-0 pQj, . ^e^als a ^[27- "•"■'«••-».».. u. „.... - •'
OS têptt ' (E.N.CD, - 195U),
5 a . 3 , r d e :^ - b . f - ,
"■ ( I . . .
2a2 .. ^ A^'^^^tes ^
b " b m , 2 ® * P r e 3 s S < 5 .
, a
f - T T ? ^
- 1 5 -
.Problemas e ExerciCcloa de Mflti=m.a-Hr.B
5 8 ,
5 9 .
I lO,
h i .
Reduza os termos semelhantes de:
5x2 - |E - ijy _ 53̂ + ̂ -1
Sâ b + 3ab2 - itâ b - 5Skf + - 2â
2 2
Reduza os termos semelhantes e calcule o valor numérico de:
x3 + + 2X:^2 - 7? . (3^2y ^3 .. 7y3)
x=-l e y-2. CCol. Pedro II - 2» Se'rie Glnaslal - p.
P a r c i a l - 1 9 5 Í i ) .
Da soma de 7a + 5b - 9c e IJb - 12e subtrair o poimarnio
5a - 7b - 3c. (Gol. Pedro II - 2a Se'rle Glnaslal - P.Par-
c l a l - 1 9 5 U ) .
U2. Sendo P = - 3a^ + 5ab - litb^
Q = - 9aE - ab + 6b^
R « 6aE + 5ab - 8b2
Calcule - P + (- Q . R)
h3» Qual a diferença entre:
2*2 - 5x + 3 e 2x2 _ + 2 ?
Uii. Qual 0 monomio que d e v o s C T n a r a 2x^ - 3*2
t e r u m t r l n o a l o d o 2 9 g r a u ?
E f e t u a r :
i i 5 . i^ .x2.x Ü9. x^ : x3
h 6 . x-«.x5 5 0 . x2 : x-^
k l . 2x*°.3xy 5 1 . X : 3^
i t8. xV2.xV2 5 2 . - 8x^/^-2 ,
( I . E , - 1 9 5 1 ) ,
3 x + X - 1 p a r a o b -
E f e t u a r :
a^/?. b-ÍJ b-3^. fl-5.b-2.a-7.c-V55 3
5 k , fl ^
55. C produto xV.x2 e' do 6Q grau sg m
' v - 1. b . c o-^. a"V6^ ^2^ ^3/2
(E.N.C.D. - 19Í.8)
5 6 . o p r o d u t o ( i . 2 y - 5 ) ( 3 : ^ ) ( _ 3 ^
d e m ?
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- 1 9
- 1 8 -
Manoal Jalro Bezerra
Problemas e-Exarcfclcs de Matemática
9 8 .
9 9 .
1 0 0 .
1 0 1 .
1 0 2 .
103.
lOii,
1 0 5 .
106.
1 0 7 .
106.
1 0 9 .
11 0 .
Calcular 2s-3 x-2 (2-7-1)
X = - a - 2 e 7 = 10 + 5a - 5a
Calcule o valor da oipressão Aa'
A ' = a + l j B « l - a - a 2
,2 -
calcular o valor numérico rara 2 - i «
pô 3mio<meseaevesomara5x-l!/'̂ "' - ̂ = 2,* iíy - ez. ccoi. Padro 11 - 2a 1' / V '
1 9 5 U ) , G l n a a i a l - P . P a r c i a l
Se o valor numérico da expressão 5̂2 - 2̂ 'w. e negativos, 3.rí o valor afÍ ̂
1 '^ 3 a 3 a
Calcular o valor d© a paraaajQ o mesmo que o valor ̂ 2̂ ° nWrlco de + a + 1
Q«al o valor de m para ni„> 1
menor valor maaárico ? ̂ ®*PJ'es3ao m + ai2 ̂ tenha o
O produto do ^Tm .
^íxlmo te ° ^ Polinôaio do s t*t e r m o s . 5 t e r m o s t e m , n oo produto do u:n polinSâ^ a© s
termos tem, no mínimo outro polWo de
t e r m o s i r t >
- u a n t c " ^ t e r - A '
« p o t ê n c i . d e a o r ?
u m
A f t"■«Io raclon.1 ,
y = . 2
U . i . , " ®
p o l i "
que*
R E S P . O S T A S
1 . - 2 , 5 6 . l i i
6 (y + 1) + 7 p a r a 2 . 0 7 . - h
T - 6 8 . i l i
- (Ba - c) + B s e n d o i i . + h 9 . - 1
- 1 . C l . E
. - 1 9 5 2 ) . 5 . 5 1 0 . 1 2
n . 1 5 0
1 2 . X
1 6
1 3 .
l U .
_7
1 2
12
1 2
1 5 .
1 6 .
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
2U.
2 7 .
3 0 .
3 3 .
3 Ü .
3 7 .
3 8 .
Racional inte i ra do 3® grau, nao homogênea completa, reduzida
e o r d e n a d a .
Racional fracionária.
R a c i o n a l f r a c i o n á r i a .
I r r a c i o n a l .
Racional inteira do 2Q grau, não homogênea, Incorapleta, reduzi
d a e o r d e n a d a .
Racional inteira do 2® grau, homogênea completa, reduzida e não
b r d e n a d a .
Racional inteira do 3® grau, homogênea incompleta, reduzida e
não ordenada.
Racional inteira do 3® grau, homogênea completa, reduzida e 0£
d a n a d a .
R a c i o n a l f r a c l o n a r l a
m « O 2 5 . m j í O 2 6 . m = 1
• m = O 28. m - o e p ?< O 29. m - O e p qual
q u e r
i D = l ® P ^ 2 3 1 . ^ * X * 1
x^ + x^y + + 3cy' + y/i.
® 3 5 . 2 x ^ - x y ^
32. >JT*x + •nJT
3 6 . o
!ua - - ab"^
-. 2x^ - 2xa"^ - iiy
- 2 0 -
!tenoei Jalro Bazerr&
3 9 . 2ab2 - a2b UO. 5 2
i i 2 . I8a2 + ab ii3. X + 1
h 3 . x® i i6 . x -3
pr CO x2 ÍJ9. x3
5 1 .
5 U . al/2b2/3^
5 2 .
5 5 .
- 2xy2;
a a 1
. - 1
5 7 .
5 9 .
6 i .
63.
1 - 6z^
a.5 . 6^3 . 5^-^
i' - ac2 . 6i + 2T
- TiA + - 3^2 ^
cz f 93J + 2
6 5 . .2x5.
67. ' bc3 .
6 9 . ^ - x
7 1 . X - 1
7 3 . 2 x
7 6 , x6
7 9 . 1— X
9
82. 1■ " - X
2 7
8 5 . 1
88.
9 0 . - h
9 3 . X2\3
9 6 . 1
9 9 . • 1
7 U . 0
7 7 . ^
l a .
b k .
U7o
5 0 ,
5 3 .
5 6 .
5^.
6 0 ,
62.
6U.
6 6 .
6 8 .
7 0 ,
7 2 .
7 5 ,
7 8 .
81 ,
2a +.25b w i8c
- 2::^
- 2
3i:c^^
+ X - 6
6x2 + 7x - 20
^ -x^ +x2 + X-2
b - 2a2
3*2 - 3Ç.
X - i;
'̂ '*"X̂ + x2 + x+ l
x^
bc-^
ilx2nrt-2
83. at™
8íi. Bx̂ .
86,
3a + 5
* * 2x , 6
87. x5 . x3
91. 0
■ 89.
2 x + 1 5
9ii. Não
9 2 . 0
9 7 . 1
9 5 .
í l b
lOo, 9 8 . 0- 2 6
101. - ' 3
- 2 1 -
Problemas e Exercidos de Matemat^r.a
1 0 2 ,
1 0 5 .
1 0 5 .
- 1 5
15
. 13^1-9111/1
k ^
1 0 3 . - 1
1 0 6 , 2
l o i i . 0
1 0 7 .
1 0 9 . x ^
110, Basta substituir e efetuar.
- o -
FRODDTOS NOTÁVEIS
1 .
2 .
3 .
i i .
5 .
6 .
7 .
8 .
9 .
1 0 .
1 1 .
1 2 .
1 3 .
2 6 .
2 7 .
2 8 .
2 9 .
E f e t u a r :
+5 ) Cx + 2 )
(x - 5) Cx - U)
Cx + 8) (x - 3)
Cx + 1) Cx.. - 1)
C2x + 3) C2x - 3)
(sxV _ i) (53,5y2 + 1
Ca + 3) C3 - a)
C- X - a) C- X + 2)
Ca + b + 1) Ca + b - 1)
(x + 3y + 2z) (x - 3y + 22)
Ca + b - c) Ca - b + c)
Cx + 5) Cx + 5)
Cx^ + 3)2
0 p r o d u t o d e 2a2 + Í p o r
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
22. Cx^ + 2)5
23. Cx° + 2y^)5
2ü. C3a2 - 2b)5
25. (0,5x2y-3- - 2Ky2)3
b
lii. C2x5y® + 3x^)2
15. Cab^ - D-Cab^ - i).
16. (Íx-V-2x^2
(0,33...X5 - 3y
(a + b) (a^ - ab + b^)
(x + 1) Cx^ - X + 1)
(x - y) Cx^ + xy + y2)
(x^ - 2) <x^ +
/ - 2
2x2
Desenvolva e simplifique:
(0,333...x^ + 6x-V)̂
Desenvolver (a^b^ + c^d^)^
Efetue: . 5(352 - ijb) - (a - b)2
CSeleção 3® Serie - Ginásio E, Guanabara - I961),
(I.E. - 1956).
IB.N.C.D. - 195ii).
(E.N.C.D. - 19/18).
I
- a a -
Hanoel Jalrp Bezerra
3 0 .
3 1 .
3 2 .
3 3 .
C a l c r u l a r :
Ü3cy - U - y)2 - 7)2] - (I + 7) U . y, ̂ ̂ 2 . y2
(a + 2b)^ - (a - a>)2 - gfa + ;,v^ /
, ,, p J, . 2b) (a - 2b) - 2(a - (a-^b)-- U (6ab - a^ - 6b2)
- a ] - " i o , ! V ' ' -
31 * . ( * ■̂ ̂ ̂ ̂ 7̂ )2 - (x2 ̂ y2)2 .
y^)
3 5 .
3 6 .
3 9 .
U 2 .
Oc^ +
^ t o . . 7 e „ o , , , , , , , , , - X , 5 3 ) .
k \ ^ o b t o r f « ^ ^ ^ 5 oAcrescente a direita do cada hi -
o ^
x ' + 2 r
- By
57- iix^ + ^
1 * 0 . - l i *
+ y2m
1*3.
UU.
1*5.
1*6.
U7.
1*8.
Acrescentando ^ ex«r - , + y2^® ®*Pres3ao jl*,^ . i
° 9 U a d r a d o d e x ^ y . i ' 5 ° , b t e W
ÍSeleção 3a ^
CosapUte as Igualfla^çg. "^^anabara - 196I)'
(_
- - x y +
- ) 3 6 — -
2^)3 .
- - _ ) ' « 8 ^ - -
& ) 3 , " — 6 * 2
- 5Í« ,
- 2 3 -
Problemas e SxercjCclos de Matecmt-i«-.«
:>■•
4 .
y t
l o .
1 8 .
2 0 ,
2 2 .
2 3 .
21*.
2 5 .
2 6 .
2 7 .
2 8 .
2 9 .
3 1 .
51*.
3 6 .
3 9 .
■<■ 7x <• 10
- 9 r 2 0
^ 5 x - 2 i i
- 1
iiz^ - 9
a s s P Q S T A S
6. 25zV - "T
o _
0. 3^ - k
9r. (a + b)^ - 1
i p c ^ y ^ 4 1 5 . a ^ b l l -
10. Cx -i- 2e)2 « 9^2
1 1 . - ( b - c ) ^
1 2 . + a o x + 2 5
13. x^ + 6x5 + g
Zeb^ + 1
a5 +
x5 - y5
17. i . a.-'T^a . ç,.
19. Z^ + 1
2-1. x^ - 8
x^ + 6z^ ->• i2r^ + 8
4. + -LSz'V'^ + 8y9
27a^ - 5ija^ + íôa^b^ - 86^
^ zS"5 " f - 8z5y6
4.'' ♦ I a V *3 9
I X® + lixŜ + 36ẑ^
a2llb̂ 5 ̂ 3sl6̂ 10̂ é̂ ̂ 3â ,Md̂ + ĉ d̂®
- 20b ^ 2ab - b2 30. Sxy
3 2 . 0
+ xSA -1. x2yli
1
I6z~2y2
3 3 . 0
35. - 15a^ - 15a - 35
3 7 . 1 2 x 7 ^ X
1 * 0 , i i a . 2 i c V
- 2 5
- 2 i : ~
l íanoel Jalro Bezerra
Problemas .é Ebcercj^clos ge Matemática
Ü2,
U3. (x^ - i
2
iUl. (x^ - x"5)2
it5. (a^ •- 2b)^
Ü6. (1 - 2j^)3
k l . - 1 ) 3
^8. (3 - 2x)3
- 0 -
I .
3 .
5 .
6 .
7 .
8 .
9 .
1 0 .
I I .
1 2 .
1 3 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
24.
LJ-T O R A C g n
Escreva 30b a forma de um nrndnt̂ ̂ .
2 ^ produto de-dois fatores:* * y
2 i
2 + J i z -
15a\5 ̂ loâb̂c - ÔOâb̂ĉ
a^ + a
4. x5 - 5^
+ 1) + b(x + 1)
+ (a t b)
- 6 4
4a^ - 49b^
1 .al4
- 25b^2
(a + b)2 _ ̂ 2
Patorar:
=̂ ■̂101'.+ £5
+ 525
+ 8ft, ̂ 25
litt» j2a
" 31iy + 269
- (a + 1)2
^^.-(b.c)2
"• ^ 3)^ - (3, . ,,2
IV. a3 .
18. x3 « Q
19- 8,3 ̂ y3
20. a3m + j
x2 + .. ^ 5x - ,6
3 0 . y Ĥ - 5 x . 6
5 1 ■r?- --2K - 15 ?a. z^ - 6z^ + I2z - 8
5 2 r + z - 6 3 9 , a z + f c z + a y + b y
3 3 . 2z^ - 5s + 1 iiO. z' + z^ + x + 1
■54. 6x^ - 5z + 1 41.' z + y - az - ay
5 5 . lOx^ - Tz - 12 4 2 . 2 c b - 3 a c - 2 y b + 3 c y
36. 4 - 5 a + 43. a' — b""' + a + b
3 7 - x3 + 3x^ + 5x + 1 4 4 » + 2 3 b - t - + a + b
E a c r e v o r t o d o s o s f a t o r e s da decomposição de:
4 5 . I6z^° - 43^^ 5 7 , + z y - 1 2
4 6 . - b^ 58. Cz - y)^ + 2(y - x) -
4 7 . 59. z^ + 2s'' - 3
CO-:J 25 (z - y)^ - ii(z + y)^ 6 0 . + 1 ■
4 9 . C2m + 1)̂ + (m + H)̂ 61. 4â ■+ Bâ b̂ + 9b̂
5 0 . 62.. - 45c^ + 100
5 1 . + 2ab + b^ - 63. 4a^ - a - + 4a^
5 2 . - 2 b c - + b ^ 64. z' - z^ - X + 1
5 3 . - 1 + Esb •*• b^ 6 5 . - X - 1
5 4 . UB^C^ - a'' + 6 6 . » - 5 a + 2
5 5 . 1 + - 2 a ^ 67. 2^^-3x^-27
56. ^10 ^ ^5 .20 68. 2z^ + 5x - 3
6 9 . ■4a^ - + 2a - 1
QÜESTÕSS DS COÍÍGURSO
( R e v i s ã o ?
7 0 . Fat 01 ar iZsPíP - éaV + ieOa®b" - 9a'̂ b^
CE.N.c.i»^ - 1948),
- 2 6 -
M a n o e l J a l r o B e z a r Ta
' Z 1 -
P r o b l e m a s e E x e r c i d o s d e M a t e m a t i c a
7 1 .
7 2 .
7 5 .
7íi.
7 5 .
7 6 .
7 7 .
7 6 ,
7 9 ,
8 o ;
8 1 .
8 2 .
83 .
e u .
8 5 .
8 6 .
87.
Fatorar 8z(x - y) - 3(3: _ y) ^ ^
8lx^ - (P.Parclal - 0. Pedi-o II
Tr̂sfor„a a 3âantâe:̂.easão n™ p.oíutc ae latSro,melro grau: í - 25^2y " '
Decomponha em três fatSres 167}̂ , ̂
Escrever todos os fetSres do Mr.SMo.
256-/8 - z8
Fatorar: y5 ^ ^^3
9ŷ - ii2y + ij,9
Decomponha o trlnmto ̂ 2 7
blnonios do primeiro grau. " Dl-e^ulo d.
^ - X - 5 6 ( I , S ,
5 » 4 . ^ ^ • 8 a r c i a j . - n p ,F a t o r a n d o - s e ^ " * " ^ ^ ^ r o H
obcem-seDecompor: (x + y _ ,v2 **'de dois fatSres. " J' - 1) - g
® + 5y -t xy 7 55, '̂ •" '̂̂ "Polltanr
" ^ t o r a r a b . " ^ - P o d r o n
- b c
- 1952) .
- 19Ó0).
d o p r i -
- 7 - " • . .
ú - r . - . : ; .
í2^?.C.Ar.
(P. Parcial - n r a,
1-ec l i ' o I I
- b - ,a . blna„,„3 o poi,,
^ e m P
- -̂ b-3 do pri,,,
""Ponha em fatSrê a-
- 1) . Primeiro g:
P a t o r a r 2 ^
P̂cduto gQ ratSres a
t l . E ,
s expre:
(I.E.
'■ 19^0),
- I 9 6 0 ) ,
f a t o r e s
- 1953 ) -
- 1 9 6 c ) .
- 1 9 5 6 ) .
p r o d u t o
- I 9 6 0 ) .
- I 9 6 0 ) .
- 19 í t8 ) .
l o r r j i o :
- 1951 ) -
- 195S) .
- 1955)-
- 1955 ) -
- 1951 ) -
5são :
- l ' - ) '
90. Fatorar har + 9b^ - 25 - IHab (E.N.C.D. - 1951).
91. Fatorar os pollnomloss + 6a - 7 0 - 2x^ + « 8x + 8
(E.P.Co Exercito - Janeiro, 1953 - 30 Ano).
9?. Fatorar Ue.^ -• lia:-: - I5x^
(E.N.C.Bo 3*^ Serie Ginaslal - P,Mensal - Agosto 19551
93. Fatorar - ;5x^ •• T:~ + 27x - I8
(E.N.C.Dc 3 t Eer le Ginas la l - F.Mensal - Agosto 1953) .
R E S P O S T A S
1 ,
3 .
5 .
9 .
1 1 .
1 3 .
1 5 .
1 7 .
1 9 .
2 1 .
2 3 .
2 5 .
2 7 .
2 9 .
3 1 .
3 3 .
x ( x + y )
2 ( 1 + 2 x )
5â b̂ C3ab + 2c - ISâ ĉ )
(x +1) (a + b)
(x +8) (x - 8)
(1 + a"^) (1-- a'7)
(a -f b + c) (a + b - c)
(a + b - c) (a - b + c)
(a - 1) (a^ + a -f- 1)
C2x + y) (Ipĉ - 23cy + y2j
(x + 5)^
C8x +5)^
Cy - 17)^
(x + 3) (x + 2)
(x + 6) (x - 1)
Cx - 5) Cx + 3)
(2x - 1) u - 1)
2 .
l i ,
£ s .
3 .
1 0 ,
1 2 .
l í l .
1 6 .
1 8 .
2 0 .
2 2 .
2 l i .
2 6 .
2 8 ,
5 0 .
3 2 .
3h>
a ( a + 1 )
x^(l - $x)
1 0 . 1 8 .8 ^ ( 1 + + a - " ^ ' a - ^ ^ )
(a ■+• b) (a -i- b -H 1)
C2a + 7b°) (2a - Tb®)
(a^ + 5b^) ía^ - 5b^)
(x + a + 1) (x - a - 1)
(ípc - 1) (7 - 2x)
(x - 2) (x^ + 2x + li)
Ca"' + 1) (a^ - a® + 1)
Cx + 23)̂
(7 + x®)2
(1 - 5xy)^
Cx - 3) Cx - 2)
( x - 6 ) C x + 1 )
Cx + 3) (x - 2)
(2x - 1 ) (3x - 1 )
I 1
- 2 8 -
Kanoel Jalro Bezerra
35. (23: - 3) (57: ■(. k)
57. (x + 1)3
39. (a + b) (31 + y)
ÍI + y) (1 - a).
U3<. (a + b) (a - b + 1)
36. (a - 4) <Q _ X)
38. (x - 2)3
ilO. (x + 1) (x2 + X)
(2b - 3c) (a - y)
. < a + b ) ( a + b + 1 )te. 1,(2^3» ♦ y2^, (2^3=: . , _2, ,
I J i J , ' ^ ) ( a + b ) ( a — b )k-r.
CTx - 3y) (5c - 7y) .
50 f X _p 9(a+ i> (n i2 + n + i )5 0 .
51. (a + b + c) (a + b - c) cp ,
53. (a.b.xXa.b-x) ' ^
55. (a5.x)2
57. (̂ + U) (ry . ̂ ̂ + 5) (x̂ ..
5 9 .
« 0 .
. 2 , , , ( ^ 2
6 ? Í 2 3 b , 2 a b )^2- (c - 5c - 10) ̂ ç2 . .
. 5 c - 1 0 )63. a(Ua - 1) (̂ 2 ̂
(z « 1)2 ,IJ (x + 1)
(a - 1)2 ,3 x + Q ) ^ + 2 )69. (a + 1) /p 68. (g jc^ - 1 ) ( 2 a 2 ^ i M x + 3 )
5̂ V(4b2 . p , ̂ ̂ - 1)6 +"6(^3 ^ p -s
7 1 . ^ " 3 a 2 b 3" y) (8z . 3j
65. (x + 1)2 _
- 3) (atZ ^
1 )
7 3 . y ( i
. __ Profalgmas o Bateroíoiop do
'5-Í Cltíŷ '- + 3̂ ) (l̂ + jb2) (2y + 3) (2y - 3}
76, (y ™ x) (y^ + zy + sr) _ ^^2
■'^c (x - 10) (x + 5)
80. 3(1 - 7)2
32. (z •> 5) (a + y)
84. (2 - b) (1 - e)
86. ■(1 - y) (z - y « 1)
79. (I - 8) (2 + 7)
8i. <2 + y - 7) (i + y)
83. (b - c) (a + b)
35. Cx + 1)2 (x _ 1)
S7o (a + b) (a - b - 1)
89. (x + y - z) (x - 7 + a)88. (x - y ■>• a) (x - 7 - a)
90o (2a - 3b + 55 (2a - 3b - 5)
91. (a + 7) (a " 1) e (2 - 1) (-3 » ^2 - 8)
92. Sugestão: Pasar (Zs)̂ - Zx(Za) ■■ l̂ x̂ , Resp: (2a .51)(3.+
93. Sugestão: Faser por gmpananto fle 3 o 2 ternos, dispondo assln:
s'' - 7x2 - 18 - 3x̂ + 27i
Reapt (I - 1) (I + 5) (I - 2) (x - 3)
H . D . C . a M . M . C .
1. 0 n.d.c. de 5ty^, 151.' e ITx'y^ e'
2. Calcxaar o m.d.c. entre ab - 2a - 3b + é e ab - 2a
3. Calcular o m.d.o. entre a+2ja^-4 © ax+ 2x
4«. Determinar o n.d.c. das expressões
- 1 e + a x - 3 „
(C.N. - 1953).5. Patorar: - ab^ + b^j e - 2a2b + ab2
a seguir, dizer qual o m.d.c. desses pollnomlos. ̂
6. Calcular o m.d„c. dos polinomios: z^ + jdc + i © + i
(E.p.c. Exercito - Janeiro - I953).
7. Achar o m.d.c. entre; (x̂ ' + 2x2 . 3̂ ,) ̂ (̂ 3 5̂ 2 ̂
(C.N, « 1959)
- 3 0 -
Manoel Jairo
- 3 1 -
Problemas 'e Exercícios de totenatica
9 .
1 0 .
1 1 .
1 2 .
D e t e r m i n a r o a . â . c . + ^ 2U A X + 2 x - X © 2 X ^ - - 2 X + 1
(E.P.C, Exe'rcito - 1952 ~ 50 Ano).
o ^
Calcular o m.e r-c.G. aos polinoBjiosj
+ 2 x -
P.edusa a fração J ̂ ̂ expressão mais simples e, a se-
GUir, calcule o valor nume'rleo para a = | CS.Aeronãutica-19à8J
S i m p l i fi c a r :
^ - X, . 2
2 x - 2 2x^ - X - 1 1 1 .
- 6x + 92ab + a^ 1- b^ - c^
I C ,
2xer=l to - X953 - 50 Ano). =2
r s
1 .
U.
7 .
1 0 .
1 2 .
X
X - 1
Í(x + 3)
- 1=)̂ (a + b)
~ 0 -
Si§_L2_Llj_s
2, b - 2
3 ' a + 2
a - b
6. X + 1<2=̂ - 1) (X + 1) 5_ it8xVz3
2(x. i)e(^ ^^(=.^1) (X-^ • 1M2x + 1) D '
2íáSSS_AL2̂CAS
3. 5!ÍX -̂6x2
x - ' -
5 .
a + 5
9 x
5 b
1 2 .
1 5 .
l / i .
1 6 ,
+ X - 6
- 2x^ - 9x -> 18
- 2:.;^ - X + 2
- 1
hx̂ " T.̂ + 2X - 1
2 x 5 + X
a^ + a^b + ab- + b5
(E.Aerona'utica - 19/;5).
( 1 . 2 , - 1 9 5 9 ) .
(C. I í . - 1958) .
1 5 . x ^ - 2 > : - f 1
í-5 _ x->-
la^ - b^ -. 0^ - gbc) (a + b - c)
(a + b + c) Ca^ + - 2ac - b^)
N
E f e t u a r :
1 7 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
x^ - 9
X - 1 5 . - 3 x
1 5 .
3 x 2
(c . iJ . - 195c) .
a + b + a i : + b > :
x ' - - 5 : :
(x + v')^ _ X t- y
^ - y ' Cx y)2
^ ■ 3 a 2
x2 -y2 • -
E x + b - :
( E . N . C . D - 1 9 / 1 8 ) .
- 1
x2 -
Í X 3 y
X'' - X - 6
( I . E . - 1 9 5 1 ) .
X + xy + y2 x5 - 3x2
(E.K.C.D.- I9ii8)*
- 7 x + 1
. 2
x - ^ - o x
2
- x y
x"^ - 9 , x5 + 3x^
X - 6x + 9 x5 - 6/i x5 + Zix^ + I6x
- 5 2 ~
M a n o e l J a l r o B a z a r c n
2 , . -21/U J - SolíiçQo - llovombro, 195® J
2U. Bfetue a simplifique:
itÁ . - «.V .
B f e t u a r i
™ (im + 5b) (lia + b)
»■ iíídir^ •
(6 - 2) (a 4 1)
2 7 . - D a - 2 f t 2 . ,^ - = — í - í â _ ~ _ 2 )^ < a - 1 ) ( a -
2 )
28, _t2a - ?bW xh
(a - b") - a Xa ~ b)h
- 5 5 -
Problemas e Exercícios de Matemática
UO. i-í-̂ - ̂ - 1 _ 2 (x^ 4 1) ■«- 5x1 - 2 2 - x i 2 . i ^
l a .
I í 2 .
3x _ x^ - 3ax
a - X x ^ - ( I . B . - 1 9 5 l i ) .
(C.N. - 1953)x ^ - 1 X 2 - 2 X 4 1
1*3" Sfetue e slmnllfique: Í^-Í-£ 4 ^ — .li + 2^ * (E.N.C.D. - 19SD
a 4 i a - 1 a ^ - l
Ulv. Efetue as operações abaixo indicadas dando o resultado na sua
expressão mais simples
— i 1 ( I . E . - 1 9 5 1 )
z 4 1 X - 1 ^2 _ 1
, „ y 2 ^ ç y - y ^U5. Some as frações —^••••— • -—■■ + —» »—
y^ - 5y + 6 2y^ - 6y 4
s i m p l i fi c a n d o - a s p r e v i a m e n t e .
( I . E . - 1 9 5 3 )
l i6 . S impl ificar e e fe tuar :
X 4 1z^ - X
1 - 2x 4 *2 az^ - a
(E.P.C, do Ar - 1952).
3 22 z ^ X - X y4 7 . E f e t u a r : 2 J L - Z Z _
7 X 4 y x 4 y
I o „ ^ a a 2 a '4 8 , E f e t u a r : 4 4 ■ 4
a - b a 4 b 4 b '
4a2b2
(Especialistas de Aaronáutlea - 1945)
49« Efetuar^ dando a resposta em sua expressão mais simples:
a b c
C a - b ) ( a - c ) ( b - c ) ( b - a ) ( c - a ) ( c - b )
(C.N. - 1959)
50. Reduza à expressão mais simples
b3
( a - b ) ( a - c ) ( b - e ) ( b - a ) ( c - a ) ( c - b )
(E.N.C.D. - 1951)
2 7 7 ^ - 1 4 4 y 4 35 1 . E f e t u a r : - — - 4 ;
7 + 3 5 - 1 6
- 3 ü -
Manoe l Ja l ro
5 2 .
5 3 .
5h.
55'.
5 6 .
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
6i i .
6 5 .
6 6 .
Calcular: —^ " ha •>■ 2 - a^ ^ + Ub + li T7Z
2x5 - Pt^^ 2 x 2 . y - 1
2 5 c y ^ + y
i a2 - 9 , ,2 .
r 5 - ^ 1^4 12a +
a + 2a - 8
^ + §ÍÍ̂ , -2x2 - ̂ 3^
^ + 1 ijx +
3 X
X
1 - 3x
+ jL - 5x +6 x5 ,2
.iSx. 2Zi
1 +
X + 2
2 a \
6x^
a ?
a2 . iy
f 1
2x + 1|
- 1
y^-ii y + 2j-
- 2 ^
- 2 - a
y + 2
2 + a 6 - 3 a
='-i> rrg •■-M-
a 2 ' 5a + 5ta-a2 , ^
a2 . 1 a + 1 "■ a
Cí-2 - y2 ^ ^■ xV
(R.Aeronáutica - 19^8)*
(I.E. - 1955)'
(E.N.C.D. - 1955J'
( I .E. - 1952) '
+ * 7XC - yã • fe-1 . y-1̂
(x'2 ^ _-2.^y -2 ) - l y2 . 2
- 3 5 -
Problemas e Exercícios âe Matemática
6 7 .
6 8 .
7 1 .
X . +
y " X
1 • » x y
1 - S Z . - x 2
(È.P.C. - Exercito - 1953» 3® Ano)
1 + x y
9x t 20 ^ 5J2
x^ - 25
x^ - hx - 5
(E. Aeronáutica - 19ÍJ.8)
69. Efetue as operações indicadas na expressão seguinte dando c re
s u l t a d o s o b e f o r m a m a i s s i m p l e s t
1 -
a - 1
g: + 1
( I . E . - 1 9 5 1 )
a + 1 a - 1
70. Efetuar as operações indicadas na expressão seguinte, dando o
r e s u l t a d o s o b a f o r m a m a i s s i m p l e s ;
a b ^ a
a b ^ 2
a ^ a b b ^
(| + 1) (a - 1)
( E . N . C . D . - 1 9 5 5 )
( I . E . - 1 9 5 7 )
1 +
a^ + 3a - 5
7 2 .
2 - a
a - f b a - b
a - b a + b ^ 1
a - b ^ a + b + b '
a + b a - b
( B . E s p e c i a l i s t a s A e r. - 1 9 5 9 )
73. Reduzir à expressão mais simplest
a - b 1 +
1 +
a + b
a ^ - b ^
a^ + b^
1 -
a - b .
a + b
1 -
a ^ - b ^
a2 + b2
(C.N. - 1959)
- 3 6 -
Manoel Jairn p.^-rrn
7U» Bfetxiar;
75,
î T(M ' (fTIf (5 -1)
Sr ' e iS o Pe3.Ua.o na for̂ a .als sis-
( I - ) v * y + I , a y - a r t a x - a^ ' 2 . p- 3x2 ■^ ac
76,
7 7 .
78.
Calcular © vain.» »i 'numérico de a"3 ." 27
p a r a a = ' ^ ^ 2 a - ? „
2n - i ~~2 + — ~ 8m •>■ 22° - m m C2n - 1)
Calcular (t2 ^ 1Í : ll , ^2) „^ J X = — 5 _
( X . I , q - 1
5 ' J . ; p a r a :X = ifeL+ c2 . „2
(I,E. - 197^^
2 b c y -
p + c5 fx ^°Mb + 0 - a)
1 .
t .
7 .
10,
13.
1 6 .
19.
i - : 2
X - 1
X . 1 )
- 3
a - b
X - 2
1
^ ' y2
3 . ^ ^
X - 3
6 . X + 7
11. 2 + b
9 . X
3 - X
1 7 .
2 0 .
12 .
1 5 .
1 8 .
2 y
^ 1_
X 3
_ 1
X + 2
- 3 7 -
Problemas e Exercícios de Matematlea
2 1 .
2 h .
2 7 .
3 0 .
3 3 -
36.
3 9 .
Ü 2 .
U5.
h 8 ,
5 2 .
5 5 .
5 8 .
X + 2
1
x2 + y2
a H - 1
a - 2
1
X
2 2 . -
X
2 5 .
2 0 .
2a - Zib
b - a
2 a - 3 b
3 1 . 2
23. xl^y35/6
29. I
1 - 2
1
a + 1
X + 2
3h*
3 7 .
X - 1
a^
a - 2
x^ + 1
U O . 0
2 a + 2 x
-
S L - t - á
2y - l i
a2 - b2
+ X - 1
iSi5.
4 6 .
4 9 . 0
a - 1
a x - 1
a x - a
5 0 . a + b + c '
3 2 .
5 5 .
38 .
4 1 .
4 4 .
x^^ 1
x^- 1
2a^ - 3ab
a - b
1
a + 3
4x^
a 2 - x 2
2
1 - X
4 7 . 0
5 1 . 2
b + 2
2
1
y - 2
5 3 . 1
5 6 . 0
5 4 . 1
1
5 7 . -
a
6 1 . ±
5 9 .
6 2 .
3 a
2 + a
1
y - X
6 0 . l O a b
3 a - 3 b
6 4 .
6 7 .
7 0 .
7̂ 6 5 . 1
X + 4
6 8 .
7 1 .
X + 1
2 - a
6 3 . - -
7
66. 2x - x^
6 9 . 1 - a
7 2 * . 2 a b
7 3 . -
a -
7 6 . O
- 3 8 -
Manoel Jalro Bezerra
7 i i , 1
77. q
♦♦♦O»**
7 5 .
t t -
7 8 . z
1 .
2 .
3 .
U .
5 .
6 .
7 .
Resolva as equações;
5x - 7 + 3 X = lox - 2
2 x - ^ \ ~ X + 2
5 ~ ~ T -
3 ^ 5 2 x - 9 _
^ 3 6
1 X - 1 ,
Pedro II »
2 J l 3 ^ X +
2 - 16
P. Parcial - 1953)
(C.K. - 1953)
(I.E. - 1951)
(e.p.c.e. - 195/i)
o valor de «
2 0
1 0 .
1 1 .
. Calcule o Valor de
y Ha
Psdro
Îdação y + y ̂
(E.P.C.AT - 1951'
Resol
I l -3a
V£ er. Serie
^®lao?r
Q l n
fórtQuia. c = Ka -
^^•P.C.Ar - 1951)
- 3 9 -
^ >
P r o b l e m a s e E x e r c i d o s d e M e t e m a t i c a
1 2 .
1 3 .
l U .
1 5 .
A c h a r , o v a l o r d e x :
2 x - Í i , 1 2 0 - X * Z
~ ~ r " - ^ 6 = — H —
(E. Espec ia l i s tas de Aeronáut ica - 19 i i5 )
y . - 3 i x ~ = - 3
2 x = 2 x - 3 < x -
: ! X - 1 2 ( 5 - x ) = 5 _ 2x -i- 7(üx - 5) ^ 3^^ ~ 1 3 6 0
(E. Especialistas de Aeronáutica - 19ii5)
hax + 1 = ax + X -i- 3a
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 1 .
2 2 .
2 3 .
a x - 2 x = x - a + 3
2x - a „ a = a _ n Y
^ a - 2 - a x
X ■*• a 3(2a - x) _
3 " h ~
1 + - = 1 - §
a b
b x - a b - a x _ 2 a x - b
6 " a 3
S e a ^ O e a ^ - b , a s o l u ç ã o d a e q u a ç ã o
2 2
. apos as simplificações, e
( a + b )
T
r
A solução da equação
a x - b - b x - a , ( a ^ b ) e
( I . E .
( C . N .
( I . E .
1 9 5 i i )
1 9 5 k )
1 9 5 1 )
- P. Parcial - 1953)
2 5 .
R e s o l v e r a s e q u a ç õ e s ;
X - 1 ^ X ■*• 1 _ 2
1 + a 3 + a
y 1 + XJi-2. =
m r a + 1
( s . N . c . r . - 1 9 5 8 )
( I . E . - 1 9 5 6 )
( I . E . - 1 9 5 3 )
(s.r.G.r^. - 1953)
- U o -
_jíftPOQl_JaJjo Bczorra
2 6 - 1 = Í J L £ X - a
a 2 - b 2a . - D
. 5J_| + a - ^ ^ X » b I _ aa - b t - a a + b " T T h
Resolver e dUeutlr
X • * ^ .
(E.N.C.D. - 1955)
(I,E. - 1955)
28. 5 + 1 , Z. « 2 . 5x - ii
« 1 2
2 9 .
30. 2^ *J _ , + I - 2
3 1 . 1 + S-Zj ? - V
u
32. 5i - 2U . |5 _ ̂ (E.N.C.D, - 1951)
X -
L
0
33. ax + X = 1
3U. 2x _ a s 0
'5- - 2J , ^ ^
Î etenninap ̂
3 8 . , .3 8 a s « q u a ç o e a :
39, ax » ^
® (x + 1) .
» - - 7 x - 2 - 7 a
( » 2 ^ q u e .^ il) X a ^2 ^ ^
" Tfe ♦ T;»
Problemas e gxercj.clos de t-íatenatica
i i i j .
^6<
Ú 7 .
h 8 .
4 9 .
5 0 .
5 1 .
Da-ierudHia- nek para quo a equação 5k(x - 1) = 6 - 2irx seja
i n d e t e r n i n a d a v
Achax m para que a equação ax + 1 = 2x - ai zeiioR una so solu
ç ã o .
Determinar a c b, para que a equação ax - 2s = b seja detonaiu a d a .
Detenmiar a para que a equação 2x - a = 3a - l tenha uma so
solução.
Qual o valor do a quo torna Indeteraiiiad-. a equação
a x + 2 = a - 2 x ?
Qual o valor de a que torna impossível a oqiiação:
= 2 a + 2 a y
Quantas raízes tem a equação
(a^ - l)x = a •»■ 1, quando a = - 1 ?
Quantas raízes tem a equação
( m - l ) x = + 1 , q u a n d o m = 1 ?
(C.N. - 1957)
(C.M. - 1957)
5 2 .
5 3 .
?U.
5 5 .
5 6 .
Deterraiae os valores de n para que a equação abaixo tenha so
l u ç ã o
2nK + 7 = Üx ( I . E . - 1 9 5 1 )
A igualdade (m + 3)x = 3p + 1 e una identidade quando n......
® p . . . . . . ( I . E . - 1 9 5 9 )
Determine £ a fim de que a equação (a - l)x = b seja determina
(^.N. - 1958)
Para que a equação (2m - l)x -- 3p - x - 2. não tenha solução
d e v e m o s t e r m . . . . . . e p . . . . . , ^(1.^.. - 1957)
Para que i equação 2:í - 3 = ax + 1 seja impossível, devemos
t e r a = / r .('•■. -.o.-v. - 30^0)
- k z ~
j ^ o & l J a l r o
57. Determine os valores de p e □
C5p - l)x + q - 3 = 0 P ® que a flquncao(I. Educação - aa p J f̂ - 3Í1 Serie Ginasit.:! £5/11/53)
58. CalcuJ.e o valor de V
^ a . . ^ P ° - i v e l a . . a ç S o .
(E.p.c. - ExercitT - 1955)
a. 3.„,Se3
61* Sabendo que a e b - ' ''P̂ lãao . Portugal - 19̂ 2)
q u a ç a o : r ^ u a e r o s i m p a r e e
- X V ' e d i s c u t a a e 'b =b^^-a
as aquaçc-ea:
62. 3x - (^ 9x ~ ft
6 3 .
6U,
6 5 . ^
X - 1 —:r-.2E.> 20
(Col, PeâjQ ^
M a r c i a l - G l n a s l a l - ? *
(E.P.C, do At - 1952)
(̂ "' Aeronáutica - I9ii8'
Problenas e Exercícios do líatoniátlcí
í o ,
x + 5 v - ^ - o
7 1 : . > = 0
r 3 ,
7 ' U
7 5 .
7 6 .
7 7 .
7 8 .
7 9 .
80.'
8 1 .
8 2 .
9 X + 3 5 - X
X " I [L:< _ X •:• 1
l + x ~ l - x 2 " x - l
^ U l ^ + = 0
l + x x - 1 l - x * ^
1 7 T . '— ± i - — — = - U = 0
x - 1 x - 2 x - 3
( C . I I . - 1 9 5 7 )
( C . N . - 1 9 5 8 )
Quando se multiplicam os membros de uma equaçao por um numero ne
g a t l v o s u a s r a í z e s
( E . Í I . 3 . K . - 1 9 5 9 )
Escreva, sem resolver, uma raiz da equaçao
(2x - 1)^ "t (3x + 2) = {2a - 1)^ + (3a + 2) ( C . K . - 1 9 5 9 ) .
Determinar m para que ^ ^ = 2x + 3m tenha uma raiz
n u x a .
Determinai" ra para que a unidade scjo. raiz da equaçao:
2mx - 3x - 2(x + 3m) - 1
Quais são ?s valores do parâmetro b que tornam nula a solução da
equação
b x - = O 7 (Exame Aptidão - Portugal - 19h2)
Que relação deve existir entro ^ e b a fira de que a equação
3x ■♦■ 2a - = a + 20 admita a raiz x = 2
(O.K. - 1959).
Determinar k para que as equações 2x + 6 = k — lOx e
X + 3 = 7 - 5x sejam equivalentes.
Determinar m e k para que a equação
x^ + 2iocy - * (2m + l)x seja homogênea.
- l U i -
83. Betermlaar m e k nai..e l£ para que seja do le ̂ au «
« ^ - i h + a = „ ^ ^
B h . s e n j o „ „ ^
rllloar quo a 8qua,S„ (b2 . condição , 1<d<1, vs
Çpes n&gativas. ' ® + 1 apsnas a^ljEite f-mu-
R E .S P Q
1 , 1
2 . 2
k . 2 1 1
7 5 . k
7 . 2
8 . .. 3
1 0 . - m p 7
® + 1 11 .
13. 1
k - Ç
1 6 .
111.
1
1 7 .
T
1
1 9 . 2 a
2 0 . 0
2 2 . âLi^
2 5 .
^ + b
2 b i .
23. - 1
2 8 . lopossfvgj
2 6 . a
3 1 . 2 9 . lodot,
3. :: i
1 1
9 . 3
1 2
15, a
18.
a + i*
2 1 .
. 2b - 5a
2^. a. a
2 7 .
3 3 .
3 k .
35.
3 6 .
3 7 .
t̂eî laada, ̂
— . a ; X a « 1
a g ^
D e t e t - . ' * e 1 .
a = 1 ;
P r o b l e m a s
- k 5 -
e Exercícios do Maternities
3 8 . a = -L 3 9 . m = 1 k o . n = 2
/ i l . K a o i i a v a l o r d e m i t 2 . m = - 2 k 3 . n = k
kh. a = 3 , k = - 2 k 3 . a = . 2 k 6 . a =?t 2
k j r
q u e r
a q u a l q u e r k Q . i f e n l j u m k 9 . a = 2
5 0 . O m a I n l l n i d a d e 5 1 . M e n l i u m a 5 2 . a 2
5 3 . »"-3, P = - 5 5 k . 1 5 5 . m = 0,
5 6 , a = 2 5 7 .
1p = 5» q ^ 3 5 8 . k = 2
p 9 . D e t e r m i n a d a : p 9 ^ 0 6 0 ,
Indeterminada: p = q = 0
Impossível: q p = 0
6 1 .
63.
66.
6 9 .
7 1 .
7 3 .
7 6 .
7 9 .
0 2 .
S e c i p r e d e t e r m i n a d a e x = b 6 2 ,
^ 6 k . - U 6 5 .
J 6 7 . 0
Impossível ~ " 2 ) Impossível Oc = 3)
I n d e t e r n l n a d a m e n o s p a r a 7 2 ,
X = i 3 Cquando é impos
s í v e l )
1
IT
t ^ - a : d e t e r
m i n a d a
b = a = 0: inde
t e r m i n a d a
b = - a 9 f c 0 : i n
p o s s í v e l "■
2
1 3
T
68. Impossível
I n d e t e r m i n a d a m e
n o s p a r a x = + 1
X = a
b = . . 1
7 k .
7 7 .
0 0 .
impossível
8
° ' 5 r
b = 3a - U6
u ~ J - q u r. l f m e r
7 5 .
7 8 .
8 1 .
83 .
ííão se alteram
- 1
I k
u = o/ic - •».
yiàl^-íf.S DB FQLTAÇ03S ]iO 10 aiUU
R e s o l v e r :
1 . r a x -
[ l a +
- 3 y = 0
5 y = 2 2
®ir
s
c
r
\
C
^
e
~
i
r
.
oo•ouoC1<
f-(QO1.0
<p
«
II
M<OíXÍH
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■1 ,ú!. - 1"59)
í l6.
.i2=c + 3y = nI iix + 6y s n ̂
^«terminar os * ^^P^ssível.^ paxanjetros a e h ,
- by . ^ .^0 r.odo quo o slateroa
[3x + 5y s 1
=l=to« l"»' - 3y = a - Janeiro, 1953. 1»
p a r a „ , = P - 3 i J r .
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Í.8. valore, ̂ e . ̂ ̂
C a l „ „ . = 1 °
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( C . l l . I95IÍ
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+ 26y > Q
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055)
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r C " - 1 1 ° ^ i o t a n " 1 " ^
5 J - » e
í & + 3 q u e o s j ( ! 3 . : : . C . D . '
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f o Slole^ " "----ao.^ 9y = 31
„'°(E."---aaao.
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® ®aloí5o 1„ <®-P.C. _ ., , -.
"-'oPolto"" '■ '̂ Utar JvnuGiro, 1955
- i i 9 -
Probleicas e Exercícios de Kabenática
Determine m de modo que o sistema abaixo nSo admita solução.
5 i l . f m C x + y ) = 5 - y
[n (y - X + 1) = 12 - 20x + 2y) (I.E. - 1953)
Determinaro valor de k para que o sistema seja indeterminado:
5 5 . f 3 x = k y ^ ^
|l.y . icc - 1 ÍC.H. - 1952)
Dotorminar Ic e p para que o sistema
5 6 . í k x - 6 y = 5 k - 3 p
O' - ii)x + 2y = Ük + 3 seja indeterminado
(E.P.C. - E5:órcito - 1955)
Determinai- m, píira que o sistema
ÍEDC - 6y = 5m - 3->f« + Cm - 7)y = 29 - 7m tenha una Inílnldade de so
luções,
Determlnor k, no slstena abaixo, de nodo que as equaçSes sejar.
CO incompatíveis
[(Sk - 13)x + 57 = lOk + 8jyx - 2y = 12k + lil ~
Determinar K no sistema
ÍKx - 27 = K + 2
59. U + f5 - K)y - 2K + 2
d e m o d o q u e : . / .
10) as equações seja incompatíveis
20) o sistema seja Indeterminado,
(E.N.C.D. - 19U6).
•60. «í-
Qual o valor a atribuir- ao parâBBtro para <pre os elster«.s
roc + 2ns7 = 1 e
UK + 3By = 2
X = a
y = - a sejam equivalentes ?
(C.N. - 195it).
6 1 ,
6?.r
D a d o o s i s t e m a
loc - 6y = k - 1
W + 3y =
ãotoralnsr k para que os valor ts to
Deterndnar v.i no yister.a
fru- - 6y + 3 = 5it.
.7 (y - m) - 29 - -
-i. -ir.i. v.-ilcrc-j de se « 7 so jar. iqual-<
c ~ i ' c i - j i - .
w«i .« - 3 9, /9)
-
.i;ar£c_l
Para que ̂alor de i, ̂ slster.;a
6 3 . ^ - 5 y = 3I ̂ 2)x Mii - m)y . 1 ,
6 . a s e c u - ^ ^n.4. ^ ®°-"aooes: a-i>.D e t e r m i n a r = ^ + 5 y . k^ ® fM?ão ae b e'c ^ ^ y ® 0 = 3X iiy*
i i 9 . E l = 1
- ^ i -
Probleiaas e Exercícios dc llatecática
_ I
51. n = - ^, p = 5
5 3 . I t = 6
56. k = 5 e P = 20 57. m = 3
59. ;: = 6 e i: = - 1; não há valores
5 0 . p = - o , n
52. n = i;, 5 0 p = 10
5/i, n = - 1,5 55. i^ão há valor de k
58. k = - ^
60. - -è
a. 1: = ^
6 U , à = 3 6 2 c
6Z. ^ 6 3 .
. Indctorninndo IMEOUACSES E STSTEKAS BE THEyA(;8ES DO 1° oun
Resolva as desicnaldadesJ
1. ^ - x> 2
2 . 2 - < k
3
3. ^-9<Y+tl
h .
5 .
6. X - |> H. 7
7. ^ -^" ->7-Sr
8 .
9 .
1 0 .
1 1 .
3x + 7 ̂ 5X 1 ̂ 21 + y.
y -
9 ^ 1 6
5 y - 2
2
< - f
(E.P.C. do Ar - 1952).
( I . E . - 1 9 5 2 ) .
(E.P.C.E. - 1953).
( C . N . - 1 9 5 3 ) .
( C . N . - 1 9 5 5 ) .
(C.N. - 1952).
(E. Aeronáutica - 19ii5).
(E, Aeronáutica - 19i{8),
( I . E . - 1 9 5 3 ) .
< 2x + 1
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5, b =
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Problemas e Exercícios de Mater.ntica
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3 1 .
3 2 ,
R e s o l v e r a I n c q u a c a o :
2 - -2L_ <; 1 l—
1 - x x - 1
( E . r . C . I i - ' . . - 1 9 5 3 )
. , 2 r Kb: + l6 ^ 1 0
_ 1
Quando se nultlpllc&ri •. ■." Tr.embro3 dc una .ir.equaqao por un nuncro
n e g a t i v o , a i n e n u a ç ã o ( E , : ! , S , } . . - 1 9 5 9 )
33» Qual o valor inteiro de x quo satlsfaa a Ineouaqao
5 a .
3 5 .
3 6 ,
3< ?■ 1.1 •>X - 3
Qual a soma dos uois menores niumeros pares cue satisfazem à Ine
q u a ç a o ^ " 1 / ?
X + 3
Qual o menor iiúnero Inteiro que colocado no lugar de m torna
p o s i t i v a a r a i z ( í e 2 x - 2 = r i i x + n i ?
Calcular m de modo que seja negativa a raiz aa equação
Cm^ + i)x - 2r.i + 5 = O (Exame Aptidão - Portugal - 19Jtl)
R e s o l v e r o s s i s t e m a s :
5 7 .
3 8 .
3 9 .
3x - (i. V, 2x + 5
~ ~ Z 3
X
2
X - ^ X + ü.
5 ^ 1 0
X +
Imc - 5̂ 3x -«■ 1
7x * Z ^ 2S
5 ^ 2
^ < 5
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(Gol.Pedro II - Serie Ginaslal - P.Par
dal - 195M
Uo.
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2(2X - 3) > 5X -
X - 1 X - 2 < 12 " 3
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Parcial - 195/1)
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Prohloros e Exercícios do l.'ateri£ti.ca
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y - 3 ^ 2 y + 5
\ : : : V ,
( E . P. C . - E ? : e r c i t o - 1 9 5 5 )- r ~ ^ - 2 - " ^
3 y - 1 . . . U y - Z— T o — < 5 ^
5 5 .
5 k .
5 5 .
Calcular o produto dos dois cenores núneros inteiros que satis
fazem ao s is tena í x> 3 (x D
I 2x> X - /■,!
Calcule os números inteiros que satisfaçam sinultâneamente as
desigualdades a- _ 5 e ac >2 - 5(5 - X)
Quais os valores inteiros de x que verificam simultaneamente
a s d e s i g u a l d a d e s
X - 1 X - i - 1
5 6 .
5 8 .
2 5
J í e s o l v e r ;
3 x > 1 - 2 x
X - 2 < 2 x + 1
5 x > 2 X
X > 2 (X -
3 ^ > 1y - 5
37 - h 7y - ^
X X + 1 / 2 x r - i< 1 e Z j —
5 7 .
5 ♦
X + 1
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X + 2
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^ > "'11
X < O
x < . l , 7
5
x > 5
2 , x > 6 3 . x < 2 8
5 . X < 2 6 . Impossível
8 . 9 .
1 0
^ > T
1 1 . X > 3 1 2 . x > f
i h . I n l d e n t l d a d o 1 5 . Impossível
1 7 . x < 3 1 8 .
- 2
2 0 . 0
2 1 . - 1 9
2 5 . x < - 1 Z l í . -<è
2 5 . x > - |
2B.
3
^ < 1 ou X > 2
3 1 . X > 1
54. - 2
57. ^ 1 , 5
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Problenas e Exercícios de Matenatlca
17. RediiElr ao mesno índice e V?
2 7
2 C
2 9
5 0
(Col . Pedro I I - 2# Ser ie Glnas la l
p Parcial - 1954)
21 . n /5
23. 2^
o u Vb
3V2
Colocar en ordor i crescente:
18. \J5, ^ 0 \/3
19. ^0, ^ e \fS
"ostre qual e o naior:
20. ^ ou- t/i"
22. 2\B ou 3 s/i"
2 i i . S i n p l l f i q u e a e x p r e s s ã o :
X Vxj? + y \l̂
E f e t u a r : E d u c a ç ã o - l ® P - « P a r c i a l - 4 ®
25. V28 - \/75 + 2 \/27 - n/7 VÍ2 Se'rie Glnaslal - 1951).
"■ - ' • ' - * •■ - ' «■>
(E.P.C. do Ar - 1951)
n/ÕÕ + \/lB5 + v'̂ + - 1ÍL \/̂
Vléx^y - vSy^ - - 57)
. 3a Vi"- 0 \P"+ I W?
4- 5a^
31. 2\/J + 3 S/ÍT" -
32. 2 \/F-^ 2vi+\^-
( C . N . - 1 9 5 2 )
( I . E . - 1 9 5 1 )
(C.N. - Í955)
33. V125ÕÕÕ + ̂ A/H + ̂ ̂ ~ 24̂ 2
34. ̂ \/Í43 +\/f +N/Í "
\/V3' : 3I/H
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(Col, Fedrc I
c l a l - l o = - i ) .
pedpo II _
3 9 .
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Prnhlenas e Exercícios de M£tenat_içg.
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52. (\/^+ 'n/B) (\/T - n/5)
5ij. \/3 + N/2~- ^3 - \^
56. v'F. Ve " n/3 . a
xyil + 2\(5 são iguais.
! T T Ê . ^Pi-ove a igiialdacle: V3 - V5 - ^
59. Ver ifiquo a ident idade
6 o
6 1
6 2 .
o 3 .
o i l .
6 5 .
v e r i j l ql i o a —
v i " . v rwT. - y r r v fT^ . vs - ^
. Pot q..,anto davo multiplicar o resultado de
^ V'ir r 3 \/̂ t '.AS - 9 VT/ã? P̂ta obter a unidade ?
. ̂ ouprossão mais slnplea de produto dos radicais:
l / f ^ C B . . . C . P. - 1 . 8 ,
d5 sob a rorma mais simples o resultado da expressão:
^ r - U i 3 ^ ( I . E . - 1 9 5 7 )
v G I . n / 2
Ú dada a expressão \/£~. n/b" .
[;2 , ^ . \/2
„ _ j , \ / 2 ^ s e n d o m e n n m i i eEscreva essa expressão sob ® j (E.ll.C.D. - 1953)
ros inteiros, positivos e primos entra
^ + ÍUS , l/srô - ( V5)' (I.E. - 1951,R e d u z a V o
, 14 ...ire na expressão seguinte, dando'o peETetue as operações indicâ ••
sultado sob a forma mais simple...
7 ^ .
( I . E . V 1 9 5 5 ,
V 5
i 3
6 6 . Ca lou lar a expressão: „ ^ )2 _ .
6 + 2N/5)̂ - (3n/3 - 2n/5) (e.P.C. - Exército ,r 1953)
67. Completar: ^ ^ ^ITI = ^
- 6 G - - 6 1 -
• Efetuar: a"*yj
l '
é u.-. r.̂ero
"ucoro ...
v'̂ = --,7
e) ■ a - \/3)2
®-'-=--E.e7;u;-:-;/ I \ I 1 9 5 3 ; )
Í a\" \ 5 ^ n r .
VaV
nr. r~~
• V a
9̂. Efetuar a<,
-̂ raoSes tnaieaà,, ■
\ /Get? > 7;\ / 1 ' , . \ / « O +* / — —1 ^ r *\ /5L +aTT^ír
f * ã "*■ * + i \/T
'""'"onaten»,. . - 19514)2VS'. - . r-
2■'I- «®=°lvaosi3 ' ̂ =1̂
> \l6
(E«!Í,G.D, - 19/Í9)
Resolva. \/|̂
■^8. r''
"ViJ eo"•• ^ 'lonoM,
'•l^dor
Peâro II . p
Parcial - 195^^)
Ar _ 1956)"■ W
^̂ Glonai.
fc.n. _
7 9 ,
B i .
B3.
8 h ,
B 6 .
8 9 .
9 0 .
9 1 .
9 2 ,
9 i i .
95,^
I95ÜÍ
Problemas e Exercícios de K.atematloa
R a c i o n a l i z a r o d e n o m i n a d o r d e ;
C E . I Í . C . D . - 1 9 B 8 ) e o . a , E , - 1 9 5 1 )
Ê (E.P.C. do Ar - 1951) 82. - CE.P.C^EXo -1952)
k - \ f Z S I - -
1 ( E . P . C . - E x e r c i t o - 1 9 5 3 )
3 3 C E . n . C . D . - 1 9 5 1 ) 8 5 . « - E . - 1 9 5 1 )
3 ^ - Z - J z ^
fE.P.O.Bx. - 1955) 87. «.P.C.ac. - 195®
3 - \ H ■ X V P
1 2 ( N / S + ' v / ? ) ( E . P o C . S x . - 1 9 5 5 )
s j ^ - \ I 3
a ( C . N , - 1 9 5 8 )
\/a + 1 - \/a - i
- ^ - racionallzendo o seu denominador, tor'A expressão —j~ ^ »
i...... (E.N.C.D. - 1958).na-se Igual a
- 1 1
Haalonallzando-aa o denoadnador da fraçao ^
e e f e t u a n d o - s e o p r o d u t o
, ^ ( I . E . - 1 9 5 6 ). \l3 obtém-se
c? + \/3) (3 - V?)
Reduza a expressão mais siinple® ^ ^
( C . N . - 1 9 5 9 )
/T 7*U^ racionalizando o quociente^
2 - ^ s/3 - ^ (C.N. - 1959)
Racionalizo os denominadores e simpimí̂e::
5 , V 5 \ / r ( E . N . C . D . - 1 9 5 4 )
n /S^- \ / ^ ' ^
3 4 .
^ 'í
-1- •a-a-H-a)
, t. ̂ 0TÜ) JBAOjy ■ "Ss-j; ^ e T«n3T f f ^
/t
" OTK S
(8561 - *H'0)
(5S6I - o^TOJf*a - *o'd'a)
(£S6T - oi}.TOjexa - 'D'd'a)
(ÍÔ6T - -xa'D-d'a)
>
I
(6561 - •a'o'i-ra)
^ - • - ,/,0T - -V -.o-a-a)
it0- - .,)9f\7 . , .
T - =
T -g^ ^ ® T'2^_P
Í = -Ti
-9A
sapcpT^nSf SB JreoTJT>i®A "IST
.ILzS- iA
^-£A )' [Z/TTiTrpj 'W~^ ^ T5 ni-ic ODBlTnSS*! O opuBp BT^sja *0?T
;-[0AjssoQ saidiüTS sTBib biujoj b qos opb̂-l
B A q A ^ ^/k _ ^ ^h. 5 ■ A®/^ "5" " ^
J:—'9 5 ' / ' :aBnqaja *6X1
(8561 - 'a'O'il'a)
/ \ /iA '- S^—LÉÍL) ixenqaja "gn 2 + o£ j çj^ i í/\ 2 )
/ ^ ranbTJTidaTS 'ill
I - 2A /pi.A '
(5561 - 'a'DAi'a)
- 21
8I>^ ■ 1-1 /
isaxdafs sTXiui gjj:oj b qos opBqqns
9j O opimp 'aqUTîaos OBSSaJCdxa cu sbP̂otP̂T saoàBíado sb anqaja -ypi;
^ + rrmA
^•"377^15^ T: (556T ~ •a*o'ii*3)
: saxdiaps spaa ■enjoj a qos opaqins
BZ O opuBp 'aquTiiSss obssd̂icIxs bu sbpbotP'JT soo6cj:ado sb enqaja "iix
BOxqBuaqB;! ap soxojojaxa © SBaarqojy
- 59 -
evnraos o
J,561 - »«,„ ZZZ'' = ^2 + q + pA ^ ^
—~A\ -SOT " -A ■ -901 .
ST̂',oTP^^ ■"P 5nos ° ^AL!A
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ST = =9 P -96
SZZBZBZ Q-IXErTf̂ĝ
- 29 "
n
i l .
7
1 0
13
16
17
1 8
2 0
23
2 6
29
3 2
35
38
i i l
kh
Íi5
íiS
5 1
%
57
59
- 6 k -
5 -
9 . ( o . X ) . ^
15. x /3
V V b C , c . V 2
'̂ ■î N/36
6
V?
®̂U Q1
a o
° f a t
Pal3 2, ^ ^
5 8 • Basta elevar
"-ladrado.
6 0 .
6 3 -
6 6 ,
\ Í T
3
2 i i \ j l 5
6 8 .
7 1 »
7U.
7 7 »
8 0 .
8 3 .
8 5 .
8 8 .
9 0 .
9 2 .
9 U .
9 6 .
9 8 .
1 0 0 ,
1 0 2 .
l o u .
- 6 5 -
Problemas e Exercícios de Matenatlca
51, 1 62, aiiNÍã - 2V5 - 6
6ü. 5 NÍH ^5. 13 NÍ^
Ó7. a) 9
b) Imaginário
o ) I r r a c i o n a l
d ) 2 m n
e ) = .
69. abe 70. X = 7 e y = - SVz
72. Impossível 73- x - líi
7 6 .7 5 . V?
7 8 .
X = ̂ e y = 2.\[2.
3\r2i 3^; 2^
íyiõã
12\r^ + 15.
2 3
\Í5 ■*■ \IZ
3
7 + IÍN/3
48 + 12\/Í5
3 -
2 + n/T
7 \/? - à\/5
2
5\Í2" + 2V3 - "̂ 30
2 n/^ + 3\Í^ ~ "
s / r - T 7 f
^ t 0 5 .+ ! y 5 + N / 5 - ^ ^ - - -
3 + \/5 105. VíTB +
2
79. \~1
b
8 1 . 4 - t - ^ ^
7
84. 6N/3 +
86. 7 + 3\Í3 37. 6N/3 - 13
2
89, N/a + i + s/ã"-̂
91. 2V3-H! ^
95. (£-̂ \/3)(T-1in/3)
95. \/^+ V5
97. 3 ̂ y2 + 2 x'5 f 73S
99. \lz - \J3
X - 2
^ - \/5;5
109. 2 +
- 6 Í .
■̂ !£22Lí2i«BezeP«
11 5 . - 2n/3
11 8 . 1
U
121.
123.
125.
Basta
Basta
Basta
'®clonaXlsar,
' ^ lona l iz a p .
^̂ cionaUz;
I2ii.
Basta
Basta
a p .
nacionalizar,
'^cionalizar.
®̂̂ °lVBr:
1. 5x23X s 0
'^ . *«2
1 * 0
ígíÇÍO DO 20 ̂
l/ix2
5 . 3 , 2 3 . - I S c '^1 = 0
= 267:
• / i » 2
8 . v 2 Q f e r a i . 1 7 * I
' • ; . . . . * " - " " >
^3. ̂ 2, '
2plof ^ p1 6 . ^ - q 2 ^ ^ ® s c o i a N a v a l »16.
X TT
^^ncito - 1955)
- 6 7 -
Problemas e Eierciolos de Matemática
1 7 .
1 8 .
1 9 .
2 0 .
2 2 .
2 h .
2 5 .
2 6 .
2 7 .
6x"^ - 17x"^ + 12 fa 0 ( E s c o l a d o A o p o n a u t i o a )
X "
i l -
k - X
X 3
X - 2 X
+ 1
X • >■ 1 X - 1
- 1 " Cx - 2) (X - 1)
(E.P.C. - Exército - 1953)
2 1 .
í i xX ~ 1 ^ 2 ^
Determine o valor dã maior
a
X - 2 X - 1
X + a ^ X •!• b _
= 5
= ~ 2' X - a X - b
(E.P.C. - Exército - 1953)
raiz da equação 3x̂ + ipc - 2 = 0
( E . P . C . d o A r - 1 9 5 1 )
Calcule o valor da raiz de maior valor absoluto na equação
2x^ + 33: - 2 = O
r r r v ^ - 1 = O d S B O d o Q U O B U U iCalcular m na equaçao mx - íx w j .
dade seja sua raiz»
.sabendo <iue - | é raiz da aí.açSo 5«2 - 5x - 1 = O, calcule
O v a l o r d o m .
,;ap o produto dos primeiros uenbros das equaçSes:2 8 . S e n e f e t u a r
Cx - 2 ) Cx + 2) = O e (2x + 1) (3x-5) = 0 calcule suas raí
z s s .
2 9 ,
3 0 .
3 : .
3 2 .
íerifique se - 2 o raiz de 2x - 5x l8 O a - 2
S e n r e s o l v e r a e q u a ç a o
é uma do suas raízes.
ox^ - 6ax + - il = O diga se —
n>i« selam nulas as raízes da equação:Determinar m e p de modo que sejam
, P \ ^ ^ X * 2 ( E . P . C . - E x e r p l t o - 1 9 5 3 )mfx^ —x+l+mj + P*-* *-
. «c«,mir o parâmetro k para que a equação abai-Que valores pode assumir
xo t enha uma das ra í zes nu las ^
(E.P.C. - Exerc i to - 1953)
x^ - 6x + 1:^ - 5k - Ü .- O
I
= o
3 3 . D e t e r m i n a r f c g g '
" 1 ^ ° ' ^ ' ' ' ° ° - 3 f a - H K ) =
"»• Calcule B e p " SelaçHo 10 oientíl loo - 1951»)
^ - 1 . = o 1 0 . .
''• ̂ "ovaloeae ̂
te„i« ,eo a e,ua,âo fa . , 3^, . ^ . O
Achar n
»^ter„ipe, „. to ^ 1). . . . . = Oy , „ , ^ ^ t o . 1 ) , , P , , , O-"• °®terminar «„
» para eu
- ( o ^ 1 > ® q i i a ç a o a b a l > : o t e n h a r o .
+ o . 5^ 2 s o
■ D* + B . 2 .
'®- "Maruiue, „ ~ ° ^-P-C, .
^ o,ue,5„ ^-"0-jul.c.''• '' CWeular » ' »to - i) = ^ ^
'o íeo , " ^ - ,
. r'" ^ ° ^ = O ao® ^ a Í B / — e c r u a « s _ »
tí
1953'
t © n i ^ °
Diodo"^'IWiuiar 'oola e'l
-̂aíaea:e,:;-.̂ o a.;-
ü o n . / „ ® ^ e u a i g 1 ) - O d o m o d o q u ®
^ . "=«• Podrê j;^ - -í- aa el''-"T "
. e : i r : i 9 5 "
' " • A c p e r ' ^ = 0 3 i a e
' « í 4 : , u c e ^ - P = "°"=. ®9Uaç5e ^^^2 ®-P.O. de . 1551)
^ ® ^ l e f t " ^ ^
^ h ü l o j . ^ = O n ã o p o s a i a
à : + , â e ^" ° .aal 9P0 a. , ,
^ ̂ -Aeuale: " "
= O t«
= o
- 6 9 -
Problemas e Bcercfclos de Katenátlca
U60 Qual o maior número Inteiro que toma as raízes da equaçao
K^-3x + ni-l=0 reais -e desiguais 7
ii7. Dada a equação -Jx + 1=0, determinar x + x'̂ e x , ŷ\
c e m r e s o l v e r a e q u a ç a o . (E.P.C. do Ar - 1952)
b) iix̂ + 3n/2 X - IZn/Í" = O
m. Sen resolver as equaçães abaixo, determinar a soma e o produt
d a s r a í z e s :
a) 2k^ + 6x - 1 = o
c) x2 - ox - X ̂ a = o d) to - 2)»̂^ ̂ <" + 2)x - n̂*h = C
U9. Determine os valoresde k pâa os quais a equaç"
C9k - 12)x2 - C2k + 7)x + k + 5 = o
10) tem raízes slme'trlcasj (e.p.C. - Exercito - 1955)
2o) ten una so raiz nula.
tr^ - «"ix^ + (m - 2)x - /a = O de
50, Determinar m e p na equaç ^
modo que suas raízes sejam slr..etricas,
« 2 ,w + 2h + U = O tem raízes diferentes de'5 1 , A e q u a ç a o x + ( 2 n - D * - 1 9 5 9 )
zero e simotrices quando n.»...»***
5 2 , C a l c u l e a s o n a d o s
x^ - ac + 6 « O
quadrados das raízes da equaçao
(I, Educação - 2" P. Parcial- 1955)
^2 2x - 5 ^ calcule a soma dos in-
r2 + 6x - 1 = 0.
53. Sem resolver a equaçao 3Sx
versos de suas raízes.
5h, Calcule a soma dos cubos das raízê d 3X
~ v2 2(a - t)x (a - b)̂ = O calcule a
55. Sem reso lver a equaçao x de suas ra ízes ,
media aritr-iética e a media geoiie
2 i|y + 1 = O achar a soma dos nua-
56. Sem resolver a equação &
drados do suas raízes.
" fh + 3)x2 _ 2(h + l)x h - 10 =0 dc57. Calcular h na equaçao (h ̂ P
m o d o q u e a s o m a d o a i n v e r s o - ^ ^
(E. Aeronáutica - 19u2)
probl'""'»" T^arc^clos de Hatenátles
I9íi5l
en'
a e^ç5„ . . 5j ^
a a . '' ® "■» íos i™ '!
■*—--M„,.. . . ,
i i
^ s t o rnU í i a i . K M i l i t a r - Adn l ssHc •
' a í = e 8 x ' + K x +* ®*Í3ta I, 56-0, de r.odo (^-o
- ^♦ 1 - ® d e l a ç ã o :
^ ® t e r n i n a r ^ ( E . P , . C , A r -
"'^^vereo^ ' - nix . .6l . ® l^adradoc- ^ ^ ~ O) do modo tjue• A c h f t y - d e s u a a > . . / i : ?
í ^ e í r a d * « Í U o a a - á 'd e 3 u j ^ 3 ® 1 ^ i a ç a o + _ _ ^ ( I 0 '
IP^al a 5 ^ ^ = O teniis fl
'Calcular m ̂ ® = O do raodo quõ ® L)
^ que ^s / H - P, Parcial -^ ® o n d i A Í - i ^ a l s . . » - ,
I95T'
6 3* ^^cuiay - (Gol, p«/ " " ^ ^
a ::r° .aa as " " "•
e a : . .^ ® ^ l â r ^ ( E . p J - 3 «
que a " ~ S.Glnnalal ■
a-, ^^"*+0 Sa= raízes ae
^Wal a 10,
+ 6
195''
« a ,
d e . , ^ d a ^ ^ ^ 1 a
^ ®qUacS ^
a) aç2 ^
5 = 0
O c a l C
f í -
O
2 x 2 , d i
d ) 5 x 2 = 0 ° à c s u f l S
=t̂ + x^ ® O 3x2 + t-
. ) X 2 . - 2 . ,
6 7 * + 1 ^ ^ ^ ~ 3 -® ® í i f ç " • O í " ) ^ 3 ^ 2
M 3e ^ aqua,
t » ) « ^ 2 ^ 3 f i + P D . ^ - / t =q u a i . o 2 a x ," ^ l i l a l a a l „ = O d i
r i a , ^ ^ ^ 1 . ^ " i e a ;íai, ' ®°^que ,
"o-que, '
'̂ •''•C. Hbccrolto -
.í'
= O
o
■,l'
6 9 ,
7 0 .
i W 7 1 .
7 2 .
7 3 .
io^ 7U.
7 5 .
7 6 .
7 3 .
7 9 .
6.V.
83.
8/1,
85,
Reconheça os sinais da seguinte etpiaçaoí
as:^ + a^x + a^ + b2 = O CE.P-C. - Exe'rclto - 1955)
CiLlcular n na etíuação hk̂ - jx + 1 = O de ziodo <iue suas r4
20.^ se jan pos i t ivas»
Calcular o menor valor inteiro de n para o qual as raízes da
equação ek'~ •*• 3^ -1 = 0 sao positivas»
Calcular a de modo que as raises da equagao + 3^ + n = O
sejam reais, iguais e negativas.
Calcular o valor. inteiro de m para o qual a equaçao
2x2 + 3x + m = O tgn raízes reais, desiguais e negativas.
Calcular o maior valor inteiro de m para o qual as raízes de
iik2 - 3J, + 1 = o, sojam reais, desiguais e de sinais contrários.
Calcular m de modo quo a equação Ca - + 2x - 1 = O tê a
raízes de sinais contrários sendo a maior, em valor absoluto,
n e g a t i v a , .
^ /i- i/lx.,1)» raízes da equaçãoDetermine os sinais de e Xg {| t_i 2
? o i , ^ h - > O e c < 0 ( C . í l . - 1 9 5 8 )eu x: *2 + tix + c = O ondo b > O
Fornax as equações cujas raízes sao:
2 0 - 5 " • ■ - ° ' 5 " ° ' ' '
(Col. Pedro II - Art, 91)
- 2 / 3 6 9 / 1 6
2 n o o 8 0 . í t
3 ■ ' ' \ / ^ O p P + \ f 3 e 2 —
z ' ( C o l . P e d r o I I - P - P a r c i a l - 1 9 5 3 )
„ /«iiH naior raiz á nula e cujo va-Escreva a equaç.̂ ^o do 2" grau j ̂
lor absoluto da menor raiz e (3 ^
..,^as raízes são os valores absolu-Coinpor a equaçao do 2" ^ 2y = 3
t o s d e X e / n o s i s t e m a ^ ^
/ :5 + \ /2e3-\ /2 ten comoA e q - . a ç ã o d o 2 ^ g r a u d e r a i z e s p ^
dlscrininante, D = ..»••
" 7 2 -
Slatabelecer a ̂ o 2d er„,
1 9 a taoior e 2 + ^ Produto da auas raisfl ' '
yaíeí'
Î'raar a equação do 2o9 rals equação ^ para aona da suaa
n̂versoa daa rafzeg S ̂ ~ 37,325 - 5-̂ q pQ̂ a soa® ̂
' ^ c h e 0 3 i , „ T . ^ C I S . A e r . -' f ' v a l o r e e d e a , a ^
" 3ai + n , Q Q ̂dado se:)a rala ccnum da;
n r . - , . . + i l a r >
+ 8
^ - - 53= + U « 0.
6n = 0 '̂tloT
Cĉ Tj* ̂ ^̂ âlontea no campo r.eal• f v _ , . x
3quo?®
3=^ - 6x + m
t , 2 - ^ " - ^ ^ a i o n t e g
^ = 0 e
^ a i c u i e ■ , « " * Z s - 2■ ^ 9 a n e n o r r a i . , ^ 3 x
29 suhft.^.^, ^^2 da em,«_r
eS
" ^ a J - c u i e T - ^ " ' ^ ^ + 2 = 5 . q t f 'n e n o r r a i . » j f r ^ r . -
^ 2 = 0 .abando <
^^terranoí ' aSo °^^^erenw3 iiina -}
^ 9 t a r ; . u n i „ ' » d a a o d o c p i o « 5 ^
7 x + Q ^ * 9 0 Q q i J J
' ' « " M . n a r t í < ^ í i » 8 s o j a »
2 9 S R r . / , . " l i e m j f t - i ., ■ ° - "38,̂
. t C ' - - ° « e9Ü0 ucia . ^'9rao^ 9 3 r a i ^
^^Ptl,íí ^^293 801., ^ la, >,
, ° "■ a a° ̂ Iplõ". "««p a, "Sroaoaij
=3Uuu, «3 4,3 „ - " r^rtugual'"oPle^ta 4. ^3 8,^. "0 - 8^ .
^ t a i , , > 2
1 B
(V
6 '
«
*
+ 5
ta i i^
<
- 7 3 -
Problemas a Eicerĉ dos de Hatem t̂lca
99. Calcular o menor valor de m na aquaçSo ncĉ - (3m - l)x -md̂O
de aodo que a razão entre suas raízes soja VU.
a ..a ,»aÍKea da eouacão abaixo «xlstao e100. Calcular n de modo que as raízes u» "h •*
s o j a n i n v e r s a s .
^2 + 53c + 2m-3 = 0
101 - Determina,- m, do nodo 4.,. una 438 raÍM. ia equaçS»
Cm " - ax + 3 = O 39̂ ^ ° inverso da outra.
102. os n.ímeros a .e b são raízes da equação em x:
? / s a e b s a b e n d o - s e q u e o q u i n t u p l elOr̂ + 3x + loab ; gin̂ trico do dobro do inverso de b.
do inverso do a e igual ao (C.N. 1958-1® Concurso)
_ 2 ^ o, cujas raízes sao x' e x , for-Dada a equaçao 2x - ^ ^
me outra equaç̂ cujas raízes sao ̂ ̂ ,,
- 2 iPx + 25 = O, Íomar outra equaç̂ cûuo «1Dada a equaçao % - lüJ- aritmética e a media geome-
zes sojam, respectlvamen e, a
trica das raízes da equação dada.
2 £ - O determinar a equaçãodoao ^Dada a equaçao * - ^ ^ 4 4.„^tlea e geosétrlea das raízes
cujas raízes são ss nádiaa ar (c.H, 1959-1® Concorao)
da equação ãada«
- ̂ o«Í 0^ = o, forM outro equa^do 2« gr̂Dada a equaçao X^ - «« 9 nédia aritmética e a me-
oujaa raítea aaja., """"fuada.
aiu goonátrloa daa raí»« ^ (e.P.C. - Erarelto - 1955)
2 12% + c = O ® d i fe -
Deteraino c no equaçao üx -
rença das raízo® seja nove.
C o m p l e t a r : q u ea) A equação incoLç̂leta do 2® grau qu
J °̂ea da e,p.aç5o do 2= 6«u fÔr mia, a £b) Quando a soma das _ ^
quaçSo é do tipo ••••; ■ ,. ^ raízes de ax bx+e=0
n G s e n d o x »o ) S u p o n d o ç q
quando X' • X" <0 f ""d'-p'-C. - teorcíto - 1953)
1 0 3 .
lOí l ,
1 0 5 .
1 0 6 .
1 0 7 .
1 0 8 .
I
•109.
1 ,
h .
7 .
1 0 ,
1 5 .
1 6 ,
1 9 .
2 0 .
2 3 .
2 6 .
2 9 ,
3 1 .
3 3 .
36.
39.
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5 5 .
58.
6 1 ,
6i t .
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67.
68.
6 9 .
7 2 .
7 5 .
7 7 .
7 9 .
8 2 ,
8 5 .
8 8 .
9 1 .
9U.
9 7 .
100,
1 0 3 .
1 0 5 ,
107,
6 e í x
í 3
5
5 3 . - o,ít 5ü ,
- 1 0
56. 3 5 7 .
_ 2á
5
5 9 . - 1 5
6 0 . í 5
6 2 . 1 1 63. f '
65. 6
a ) F o e l t l v e s ; b ) r t e o l u t o p o s i t i v a ; e ) d e
n a l s o e n t r a r i o s s e n d o a n e g a t i v a ; f )
sinais contrários sondo a nal
positivas; g) negativas; h) positiva^. ^
-SI.® d^O* b) a maior raiz e positiva, po£a) Não; porque o produto -g <. , negativo; a maior raiz,
que un minoro positivo e maior do ̂ ̂ ̂ g,em valor absoluto, e' negativa porque a sona <
de sinais contrários sendo a maiorSea >0, negativas; se a <0,
em valor absoluto negativa.
0< m <2-̂ 7 0 .
7 3 .
71 . Ç
> O e *2 ^
IQjc^ + X - 2 = O
x^ _ 2mjc = O 80
X^ - Í4X + 1 = O
8
, 7?
83. 7 .̂ + l8x = o
86. - to. + ^ °
O U 6f
è
1 2
h
2»5
ijx^ _ 3x + 2 = O
x^ - 5x ^ 5 = O
- 7 2
8 9 .
.92-
9 5 .
98.
1 0 1 .
I
* 3
9
7Ü, D > 2
76. x̂ + 3x - 10 = O
78. U8x̂ + 5x - 18 ■= O
81. *2 , 3x + í = O
8ü. 6i^ - 9x + 2 = O
O 9 7 . +
90, O ou 5
93. 1^
96.
99. é
V _ 1e b = ç1 0 2 . a =
lOUa x̂ - 12K -f 35 = O
108. „?-t»=0,a.-o = 0;.-̂ >0
109
- 7 6 -
. Itanoel Jalro Dezerrp
<0; + _ 21-0. £ c■J ® - 3; reals e alnetricas se ~a
+ 17x - e2 .
P a t o r a r j
2*̂ - 7x + 3
SlBpUflcaxj
3 o
* + 3x + 2
5 . t ^ i ^ S n i o s :
Í . 2
7. + 2s: + ig .
'*■
* - fo ^ 9
1- lCt>: + 8
~ + S i : - 1 2
""olver a.
"• -&^ + S:-7<o
1 3 .
"■ (■'-.);^; J"-'»...
c;̂ 0^5' Resolver a Inom,^..- - 5:c + 9
^^~3X.9
+■ lOK - 25
« ■ Ha-lva. a lno:,,a,ào=
* + 3 -
20, 2 . _ Z
i r ^ < i
( 3 , p , n .•-. Ar, - 195Y)
21. Qual rs "■ '̂- ""ii; •■»... "•'■'■"■■ - '»3)-OU minî 7? - - . u n j . 0 y - ^ 2
" ^ u a l Q y - z ' ^^ 0 aaacijjjç^ ^ .
P C s ) s a v . " + H i i 9
~r" ' '-■' ̂ f̂ ndo qû ̂ 2
= 0 ,
25.
2 Í ,
- 7 7 -
Probleias e Exercfcloa
, , ^ ( c . : i . - 1 9 5 9 )^enna raisoa reals o dist intan.
Puy> - 2 n.-- + 1 '= 0 adnite raízesi - a r a q u e v a l o r e s d o p a c q u n ç a o : v - P - _ 1 9 5 3 )
^®als e dc3.l.3uais.
Qoteri
( h
n . - . . i t a i i e a n e n t e à s d u a s 1 -03 valores do x que satisfâ en si-tul
^ ® 1 * i a ç S o s r . . 2 - ^ . . V ( C . N . - 1 9 5 9 )
" u i j a . i . f ^ a a i s , A .
-Unar 0. valores do 1:^-1 P»ra °
- Dx^ - 2 0. - l)x . 31: - 3
* a . . « B 1 -
q u e
- 5?: + 6 > 0
x^ - 9x + lit < 0
RES P OST^
C2,,
'• ia
1) fa - 3) . l^x) (3:- -
.1 :5
2
^ Ĝ tlvo pai-a I < X <1
9 , n o n i t i v o
l l . - " ^ G G a t t v o
13 ' ^^IquQv
/ ^ ^ i
< - •̂ ' o u ; : > i i
< 1
i
1 3 <x
^ " t X > 3
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6. Po=l«vo - 3 ̂
C . ^ 3
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•Trtrat'.vo P*-
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ĵ 2, inpaŝ "̂"̂
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■ISi&t - -a-O-M.g) ° ° ^ ♦ 2*8 - JC nsoTPM
ZTBJ Bum B BT^ 2 OBSwibe v ZTBJ Bum B BT^ OBSBnbB V
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1 .
3 .
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- 8 0 .
í̂S22eUairo.̂ ^
2 - = 1
k . T r -* ' • V r a 2
^ = 3 - v r r i 1 + 1 = X ( I ,
^^*®»"Í95SR ft /—= 5 - * V S 7 „ - g
V^+ X ^ 10
( E ^ N » C , D o
k 3 «
= O
~195̂
- 6 1 -
SISTEMAS 53
1 .
R e a c l v c r i
^ X -i. y = 5
1^ = 6
35^ ~ r. 8
X V y « ii
R o s c l v o i ' o s s i a t e n a s
2 .
li<
s2 -r / = ffi
1 + 7 = 7
2̂ + y2 = 11
•í j « y « 1
L (E.P.C.ir - 1958).
redutível. .o 2^^ ,.2 s 10
7 .
9 .
U ,
! •
3 .
5 .
7 . ,
9 ,
U .
- y^ c 16x 2
~ + a y = 3 1
9x2 + 2y^ = 17
IXK.̂ - 5y2 K - 8
+ 7^ = ^
x 2 . y 2 7
X =ii§
y
(E, Militar - 1937)'
2K + y = 7
+ SJy ^ h
6 . ] .
8 .
I C .
í7 ~ ^
X „ i = 2
S 7
1 ■. i- - 16
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+ y + X7 ®
2 e 3; 3 6 2
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x » = l i a y ^ = ^ 2 •
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■5 . A s w o a l a é I ' 'ŝldadea de JoĝpSoT "'̂ <"'̂ 3 anos a «ad» 'J
J f q q p f v ^ ê á 0
SotertQ teia pi ' I'ladea ten agora -i)
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g ® 2 0 3 Q J . ' - © o 3 o g u n d o 1 5 »■ ' =°oa aas 1,1^ ™° da idada do
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Bual°' T r̂'̂ "' »PaaT C3̂ S1Í50,00. ̂^ 3 ' '^as =na d«e o aSbro do ao<. O'- a-a°r»». 0» ol ' ao ,uo d A
& Í Q _ ^ ^ t e u l ^ t o i a ç ^ a l ' .
^ t i 4 ( ^ h á ã » á C o n t i d a n a . 1 *•-^C • si?? -.«,. "•• S-"- "'li'
' ®^cui ® Cr8O,50.
"^^onámoro de <
. fn.V. -
.22.
13.
l i t .
15,
16,
17,
18.
19.
20.
Problefflftg " Brarcfelos de Mateiaatloa
len-so gaimnas e caseiros, « todo 21 cabaças o 50 pía. Qoaa
tos animais ha de cada pedro II - Artigo 91 - I9ít9)
' 4í-rt há viaturas de it 2S
Rsoolver o seguinte í)roblena: líun depo- i -«das. Quantas viajas 6 de 6 rodas, ao t̂odo ilO via^̂ ® ̂ ̂ 1-
âŝ ^̂ de oada - XalPo. 1955. 1» Ano)_ ' ; , h o r a s , t t o a d e l a s , a ò a l n h a ,l̂ as torneiras enoheo un tanque ea Ü outra, sozinha, en
anche-lo-in em 7 horas. Em quantos (c.N. - lí^2)choria o tanquè ? ^ ^ ^ horas.B»
Üma tomolra enche um tanque ea 12 o tanque ?tmantas horas e minutos as duas Juntos ̂ ̂
^ols operários fazem, juntos, um dias o outro
sozinho faa esse trabalho em 20 dias. En qu
também só, o mesmo trabalho ? gentidí, -de
iJois ó^elos partem, no mesmo ̂ ue tâm. velooî
2olfl looals A o B, distantes de 6l03, pg^gunta-se 'V^̂ °
respectivamente iguais a ̂ gípançar o outro 7tompo leiçará o que partiu de A para ggntldos opostos, de
Ooi3 trens partem, no mesmo „gptlTamente
2ua3 cidades A e B, com entre as duas c
6oian/n e 50km/h, sabendo-se que a a se encontrarão ?
e 530km, pergunta-se a qvie dlstan ^ p^^
navio parte de um pSrto^com aesmo pôrto,
h°Pa); auao horao e nela de 12 ""'A'
© no masno sentido e com a ^ nrimei^® '
IPantas horas o seEun<3° aloonçara parte do A pa"
®P«= cidades .A a B dlstan de ZOÔ - ̂ „ «as ̂
® un tren ooti a velooldada do 5 ^ valooí
'^P'aa, parte de B para A um | o encon»» ,»°P hora. A que dlstSncla da A dar-aa- (a.K. ̂
t P a n a 7 a r t a P « ® ®"h teeuanto do reta AB nade 1 Ssl̂ ̂ *°»tronor
°©C1 a velocidade de 10 metros P .̂ gípcldade
E 5 ? . r S * ; . * . . : - » ' •« - « d e B p a r a A o u t r o*^^to. Calcule a distancio de
- B k -
- — p g a e r r a
23. Uh míaoro e' cotiposto de tvSe ,
'isno daa unidades e o dobm cuja coeü é 18
a sona do das unidades e ° centenas e o das dezenas' ^ a l o . . ' n o r o .
^ s o n a d e d e l s a l a p . . . - ^ 9 5 2 )
0 a l g a
0
■ « " t e n a s . ç „ a l o r o ' n o r o ?A s o o a d e d o l e K . i r .
algarleno. aia, ^e un nua^j.^ . o e,-,i ' ^
- - t e '
d o u n
^ i o i u e r o e s c r i t o c o n r . s o d g e o s h p^•- ""olva 0 se6,al^te ^ =le®lsno= 7
2 6 . o t o t n < > l E u a l a 3 á / U 7 a . n u T S
no! f '='>tlào - te&eito - 1955)
p S ^ õ r r n i " ^ 2nuEero dlviaid„ ^®"^ltsnte ^ ^o^^^-T'-'^o-ne, ao° " - - 0 d e ^ 0
aiferenea " jola ai° ^ 9- Oolcul®= - « - " - - 0 d e d •
■ . u e ? : s r ° ' — -t e i j ' r ^ n u c s m f ] _ _ " • t r a o r d e m  - r / - ' i r t < ?OS dezenac .i. > ® 36«Calonla-l'^®
' . , - . . - i n
- u e T r S r ^ ' « -C =--tlv„ L;::;'>®3e„ee do^0 nunoro dr. ® igual ao
_ou vaso há âoze n*. ^'^"iades desse neci
1 - 1 t r ° ' ' ^ z . v r - '- ).cp.. ^ ^-11= r-- m.oe::r:L:Ljp:.
' - 1 9 5 9 ^
2 9 . . ^ o g u a o
horas
• —•-.. ,.,4,...
« • e í i « ^
».. *■""••«17
eh-
' ?■•)..,»«■ .,"'•"•
'.Ví ~t.s »-77,!-..., .„. """■ *•" '•*"*"'••....i «r:r- rr:.:r .-'•■•• "P s
I o b a i v o/ - U A c h a r a
r e l oo V
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P r o b l e m a s e
- 8 5 -
EiercíclosJeKatema^
ti t; .q P O S T A _3
P r < O B L E r . « l e J a^ ^ ^ p ^ o ã a t o ^
ĉtevtiino dois nunoros ouja sona ̂ p̂.c. - diferença15). SoluçSo alcebrica. ^ | e ^
uiíneros Ini.olros estão ^^.33 o - 1955). . a . a ^ c e l o 6 e 5 ^ ^ ^
m u i i c r o s » _ i o C 0 5 - ^ 1 0 5 1 )C l- a i
Q u a l
U i u j .
o
k .
5 .
6 .
7 .
'Qüs quadrados oEcedo (F;.?*^» " j ,to é ^ ^
o - T H í i L i c r o s » i 2 o , i v 5 l )
nai,,r -ie dois nuiioros cui terinii"^
..... 1875. ! . i9h8)
soma do .duls
n u n e r o -
CE]Q do
s ã o
l875.
; -00 0 o (B.ÍI.C.P' -í T ú n s r o s c j - - '
A
QUai;
d o i s í T Ú n e r o s c i . . o ^ ^ j ^ q q .
.0 dolo nú..o.-o. e ^ a
s a o o s n i t m o r o s ? á 2 e ° a o l s
'̂'1 o menor dos dois minei'ô^ c" -ezen»* °.e g unidadê.
^ diferença do dois mnioros e ̂ âdo -pgitivos é kl»®^os, Qo âle eccced© a r " ^ ^tivos. ■ '
l dos quadrados de dois3̂̂ os, sabendo-so cju
n u n e r o s , d o o i
á 7 a f f i . H . C . D . - l ? .A r v ! ' ' " " T ^ -
2« Ó 7 "ttaoPOE i l,
0 pmúto' ^ '«1= qaateada ao
daa El!a!f' ̂ 1S»1=00E da „„ . ««". " 1955)«Wvo da 3d Pbteraooa u„ focando a p.^• Deteradnar m, _• ° raSasro a ° ®®®po qua axcsdoopri
aêatâraJr fi' ««»la»„a, ̂ aqIPvaraa. "«s 53 Woclaote T®'15. isual ao rxi^ í»; a <mo o produto
"• «car̂ aT'
: £ - • : - : • - I S " - - - S -
Í" ® !-*"• Í ^.T™"' •'•»■"
tSa a • ° d ■«« a
® ^ t a 3 s Q A e s o a v a d G i r a' ^ ^ ^ a n a " ^ ^ 5 * =
■L ' ' v l a ^ t a l ' ' '1 , . ° ' Õ : t a r i l • ' ' ' ' ' '
<a"::::-á «naida a""'"'" ??"
? - 1 9 3 6 )" ^ r o d a , ® ° . ' ^ ^ t o r i ^ U n a a o n uP o g , ^ 2 . c a d a ^ a o . . . .
c a d r . . . * ^ 3 9 1 i . k - *
©
1959*)
S 0
?
®oaa, oada
' o n u n e r o
>P^3»Achar■" 1 9 5 9 )
- 8 7 -
Problamaa a rmr^-^'^^"'' Matsaatloa
20.
2 1 .
2 a .
23 .
2ii.
25d
26.
27.
blodoxat. d, « a.800.00 devdu dÜ
P a p a i s q u e c o u t r i b u l e m e m p a r t . » d . » -
alatlram, a quota de cada un dos cFutr _ 1958).Si 120,00, Quantos eraa os repasas ?
é 0 número que, dlalnuído de duas unldad ,
^03? absoluto dc sua terça parte 7
+ftTca parte « ig^l^ e o nimero cujo valor absoluto do sua® 7 menos o dobro desse laesno numero 7 ^
, Qual o numero2or OQ equação e resolver o seguinte absoluto de seu dfi
ó 3ainpi.o igual à direrença entre o
e 1 5 u n i d a d e s 7
1 g o numeroem equaqSo e resolver o seguint" '"'"̂ '̂̂ntre o seu trlplo e
® tguul ao valor absoluto da diferê ?
^ Iffildades 7
1 , Qual e oem eciuação e resolver o segulPt» ̂uninuído de 15 '« 1̂ ao valor absoluto de seu dSbro . 1955)
, o valor absoluto
n * 4 n t e p r o b l e m ® ' « a r t eQffi equação e resolver o segu ognos ®
parte de um minero é (S.N.C.P. '
njeamo número# Qual e esse n^ gerta
^ Betlro®"®® gguidatonol oor-tirUa 100 litros 6® '̂ p̂or ««"/' f substituí
'•-f'tldad. da vJi>ho, oue íol subst̂ taubo» sIrcn̂ -se lgt«l quantidade ̂ ̂ ̂ .tiraaod de ̂ ,58).
P<yi; agua. Quantos .litros f puro*
'̂latura íirial contem 6h litro® àe
«O—
l .
k .
75 a : r
R ? SJL2S T A_£
a - s
5. i^''*
6 .
.íí̂ 22L£al£o ẑ6rra
♦0*
7 . 6
1 0 , 5 6 i ;
8 , 4 e 5
9 . 7 e
1 3 . 2 6
11 . 4 0 3
1 2 . i j e
16.
14, / j8
16 h 1 5 , 1 0 ! i
19. ^ i»8,00
1 7 . J>Wh
1 8 . 18 d
2 2 , 3
2 0 , 1 0
2 1 . 3
2 5 , 15 ou 5 2 3 . 15 0 «. 5 a i t . 6 0
26. 2 ou « g
27 i . 2 0
- 8 9 -
e Esercíclos Katematlc» —
2) r, V OMETRIJ:
ÂNGULOS
angulo mede 65°. Calcule seu coDplenento eo graus ® ̂
Ângulo DQda -- ««u suplemento em gr
<ios.
3 « A
®rigmo mede 5LU® 2h* • Calculo
*^03,
U. » .
^ g u l o m e d e 9 ' C a l c u l e »
Plemento e replemento.
g r a u s , o c c
^ g ^ g u l o e
l .
a .
3 .
calcule seu complenento em gr.u. .
130 colete .eu supleuanto e. ̂ au. .
„ ,eu replemento em grnne. grs
h
■ h
^ e u i ,
l a l
® c = 5 x .
o X S 30®
— 6 U J . 0 m e ú G U U ^ 9 ' 3 b " * o a x t i t A J - ^ r
'lamento e replemento. ^ peplemeu^o
^ -̂ar, em graus, o complemento, o supl^ e u l o 3 8 " . s u p l e m e n t o s• »o.o ,5,9a sr. ==.X0Ular eeu =»ple»ente.
^ P l e m e n t o . o c o m p l e -
"> o eupieoGnto e o replemento dess ^ ^ ^ 2,,
-SUIG , 3,0 ,5, ,o„. caloular ee -sulo
= 5 x . â n g u l o A * 2 *
30® 18 • iiO". Calcule o sií̂l®® ̂ ̂ ̂âzes menor
o complemento de um Ângulo cuja
^ 1 . . ^ " ^ 5 ° 5 » 2 0 " ? u s .
e ̂ = 0.5 gradoe. ̂ al o suplenen o
lê. ^ ^^^0, ,,Gnor do que A •? , a
d o i s â n g u l o s e 9 , a
3^ '^^^PlGmântos, em grados '( ' zq 6 gr* ^
. .o Ânfrulcs ® '
1 . s u p l e m e n t o s d e d o - ^ t e t l o r e s* L . ^ ontre esses ângulos ? lados ® ^âsses
I f e i ' c i » . A ^ - í j ^ e n t e S i o n i e ^ o 'Otti T. omga entre dois ângulos - possui
reta, é 2o°.5. Quantoe nlnutoe
? 8 l O 3 - i i " '
U O p o s t o s p e l o v e r t i c o s o j g t a S
V . ^ desses ângulos ? o, Como sa
9Ue opostos pelo vertlce some®m̂am esses ângulos ?
^5.
0̂1.
9 0
17.
18,
19.
20,
a .
22.
2 3 .
2 í l .
2 5 .
2 6 ,
yj 27.
28.
2 9 .
J í a n o e l
J
■ i o st«is q.ic a s^ra° °alQr dêsaes Sngulos. -'--.rnador.
to. ^ ° que ausentado de 20» ' í - -e i^al. ao seu cffr^p-O^*
o ^ .
O a n ^ Q _ , . . . d e ! i O " .
suplemento ? seu ccnplemento é a
Por um ponto p de it-,=
Calcarolts -3== laao > r, -«. «pressas aj, ĝaas, 33̂? ionnaâs sa-jEndo-se 1"»- -eaua, « E ŝus a ̂ ' «nsaautivos.
duas horas ? ^o angulo agudo m,
O u a " » p o n t e i r^^1 a medida
í r â i r , „ e a s p c t e i r » ^
de seü
oua®
gliSS
: o sS i o t '
S p m a - ' '
» » " 0 r a a 5 o s S .° '̂ r̂o âo oi 1 ̂ ̂ Buios?̂ ° «xceaen os ̂
seu su.,1 *®Pleaento de
^ cr '"T""«nsuio cuios ê.
ÒO
COD?̂®
sao igü̂ g an ̂ ®̂ Plemento m° «ESI. -«-ootaao ao sC
3Ppiaoento ao 57°°''° ̂ °»taao ao r̂ -"-
Sng03,„ ̂ ̂ ° '''' "̂ ^Plooooto 7"" «ceoo^otao. - - =^0 «Jaoont,
&0
Jipp
ûo
- - s u x o s a 6 ^ " = " ^ 0 7
°-C!s ir °d e u a „ o e r t ® I g U a i s a ^^ ponto o "
e e. .7:1
l;a fig^ ̂P o t e , » ^ - - * ^ ^ I c u T n . , ' ' ' ^ l o u l e . o a a l o r
7--.0;. ̂ ̂ ̂ 0. ,,7-oa rpotaf- ̂
^ - - a a o s
V ° ® > P a r a c a d a U 2 i a
êuTa 1
3 0 .
31.
3 2 .
33.
3ii.
35,
36.
3V.
58.
59.
íiO.
S e b -
S e
^ ^ 1 ^
rroblenaf « acorcí̂ -tQs da Hatenátíoâ
a - 20°, Achar o nonor dos ângulos.
® ~f !> ■ Achar b. maioJ^ cpal
8e o dobro do menor e o ccmpleDento da 1a ^dlda do menor ? = í^ .+ U2. Achar h
Ss expressos on graus, a = 5i - ̂ 0 e b auülementares
ôve qv.Q aa blssetrlzes de 2 ̂-gulos adjacen oí o r m a m u m S n g u l o r e t o , >■
que as bls?-=tr:.zí̂ s de 2 ̂ .gulos opos
■h n â n g u l o t . : ' 3 Í o i v o l t a . • - - - « õ n r ®
-As bis-
m a n
As ■
t a s
As bi3
- ?' angulo ;,:oio. volts. ^ guplementeres sao rS
'IssetrlzQS de deis ângulos adjacente- o „ „ = k. " 1959)'+ i T ^ a u s . f E . S . o ' 'es que formam ângulos nedlr.dc — nentares formam
Msootrizo., do dois ?nedlo= adjaoenres =®P ̂ ĵ g. . 1957)-^ ângxao dc f'raus. ^ículares são --^
Sngulos do lodo« rospoctivanenta parP®" (j.E. - 195 •
E îses dP
ôve que o ângi;lo formadc polas^^oentes 4 Igual à senl-somc desses <> mtarloi"
n . - e d u a s e a s « " ivórtice O do AOB traça»--® ^ .
'-Ti _ ÍT:!; n POB
^ o l o
e
d l f
-- - -= -- .-7éSÀ,
®. Prova qoa, se àSí = B$=, °
crença entre os ângulos
B R a P oJJJ^
^̂GULOS
1 .
5 .
K
5.
6.
7.
9 .
U .
: 0 e
2 7 0 2 .
[ ° 30 gr
Í50 315° 50'50. 2i;„ , 135O 50. 2h' i 22-.
59' 22-. j 179O 591 22" i 559
c r, U k ^ c B g r o ^ z W i
70
89
64
. íji i ' ' 5
171° 52'
9 0 sfc
35IU
69'-'
g r j
5 2 »
3 1 ' ,
190j6 gr; 390(6 gr o
- O "10:1° XÊ« 30»3 173° ̂ .̂ 0 5' 2»"
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1 9 . Íl5° 20n UiliP
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