Apostila Completa - Pesquisa Operacional Básica - Professor-Matusalém

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Curso: Introdução a 
Pesquisa Operacional 
 
 
 
 
 
 
V e r s ã o 1 . 4 - 2 0 1 5 
Professor Matusalém Vieira Martins 
Este trabalho é um compilado sobre o tema “Pesquisa 
Operacional” e tem por objetivo ajudar estudantes do respectivo 
tema a se familiarizar com o assunto. 
 
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Pesquisa Operacional – Professor Mestre Matusalém Vieira Martins 
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Apresentação do curso: 
Assista agora a Vídeo da apresentação do curso: 
Apresentação do curso Introdução a Pesquisa Operacional 
 
Antes de começar os seus estudos recomendo estar com alguns 
livros de PO como apoio (peça para que a sua faculdade compre o maior 
número possível), todos são bons, deixo abaixo alguns de exemplo: 
 
 
 
 
 
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Sumário 
Apresentação da Pesquisa Operacional ............................................................................................................. 5 
Conceito ..................................................................................................................................................................... 5 
Fases de um Estudo em P.O. ............................................................................................................................. 6 
Programação Linear................................................................................................................................................... 8 
Modelo em Programação Linear ....................................................................................................................... 8 
Roteiro: ...................................................................................................................................................................... 8 
Exemplos: ................................................................................................................................................................. 9 
Exercícios: ............................................................................................................................................................... 12 
Técnica de Solução para Modelos de Programação Linear com Duas Variáveis de Decisão - 
Método Gráfico ...................................................................................................................................................... 30 
GRÁFICO DO CONJUNTO DE SOLUÇÕES .................................................................................................... 31 
Exemplos: ............................................................................................................................................................... 31 
AVALIAÇÃO DO OBJETIVO ................................................................................................................................ 33 
MÉTODO GRÁFICO ............................................................................................................................................... 34 
Exercícios: ............................................................................................................................................................... 37 
O Método Simplex .................................................................................................................................................... 77 
Apresentação ......................................................................................................................................................... 77 
Exemplo:.................................................................................................................................................................. 77 
Exercícios ................................................................................................................................................................. 87 
Solução de um Modelo Geral de Programação Linear pelo Método Simplex .................................. 135 
O PROBLEMA DA MINIMIZAÇÃO ................................................................................................................... 135 
Exemplo:................................................................................................................................................................ 135 
O PROBLEMA DA VARIÁVEL LIVRE .............................................................................................................. 141 
Exemplo resolvido: ............................................................................................................................................ 141 
O PROBLEMA DA SOLUÇÃO BÁSICA INICIAL .......................................................................................... 144 
Exemplo:................................................................................................................................................................ 144 
RETORNO AO MODELO ORIGINAL ............................................................................................................... 144 
Método do M grande ......................................................................................................................................... 144 
Exemplo:................................................................................................................................................................ 145 
Método da função objetivo auxiliar ............................................................................................................. 149 
Exemplo:................................................................................................................................................................ 150 
O Problema da Degeneração ......................................................................................................................... 154 
O Problema da Solução ilimitada ................................................................................................................. 154 
Caso de Soluções Múltiplas ............................................................................................................................ 154 
Exercícios ............................................................................................................................................................... 155 
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Análise Econômica ................................................................................................................................................. 178 
Dualidade ................................................................................................................................................................... 185 
Introdução ............................................................................................................................................................. 185 
Interpretação Econômica do Dual ................................................................................................................ 190 
Exercícios ............................................................................................................................................................... 192 
A ferramenta Solver (Excel)............................................................................................................................... 200 
Definindo e Resolvendo um Problema ....................................................................................................... 200 
Instalando o Solver ...........................................................................................................................................204 
Exemplos: ............................................................................................................................................................. 204 
Exercícios: ............................................................................................................................................................. 208 
Problema do Transporte ...................................................................................................................................... 216 
Introdução ............................................................................................................................................................. 216 
O MODELO LINEAR DO TRANSPORTE ........................................................................................................ 217 
O CASO DE SISTEMAS NÃO EQUILIBRADOS .......................................................................................... 218 
O Algoritmo dos Transportes ......................................................................................................................... 219 
1 ª Parte - CÁLCULO DA SOLUÇÃO BÁSICA INICIAL ........................................................................... 219 
a) método do canto noroeste .................................................................................................................. 219 
b) Método de Vogel ou método das penalidades ............................................................................. 220 
Método do canto noroeste .............................................................................................................................. 222 
Método de Vogel ................................................................................................................................................. 226 
2ª Parte - CRITÉRIO DE OTIMALIDADE .................................................................................................... 234 
O Problema da Degenerescência .................................................................................................................. 239 
O Caso de Maximização ................................................................................................................................... 246 
O Caso da Impossibilidade de Transporte ................................................................................................ 250 
Exercícios ............................................................................................................................................................... 250 
O Problema da Designação ................................................................................................................................. 283 
Introdução ............................................................................................................................................................. 283 
Descrição do Algoritmo .................................................................................................................................... 283 
O Caso de Maximização ................................................................................................................................... 285 
Exercícios ............................................................................................................................................................... 288 
Análise de Sensibilidade ...................................................................................................................................... 303 
Exemplo 1: ............................................................................................................................................................ 304 
Mudança nos Lucros Unitários (Coeficientes da Função Objetivo) ................................................. 304 
a) Mudança no coeficiente de uma variável básica. ....................................................................... 304 
b) Mudança no coeficiente de uma variável não básica. .............................................................. 309 
c) Entrada de Uma Nova Variável ............................................................................................................. 310 
d) Mudanças nos Valores dos Recursos .............................................................................................. 310 
Exercícios ............................................................................................................................................................... 330 
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Bibliografia ................................................................................................................................................................ 353 
 
 
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Apresentação da Pesquisa Operacional 
 
Antes de mais nada gostaria de parabeniza-lo por estar estudando 
tópicos considerados tão difíceis e fazer alguns comentários e pedidos. 
 
 Este curso é básico e com isso quer possibilitar ao aluno uma 
introdução ao estudo da Pesquisa Operacional. 
 
 Este curso é concebido para que você possa reforçar os estudos de 
sala, e não como substituto deste. 
 
 Este curso não confere certificado aos que o adquiriram. 
 
 Se você encontrar algum erro por favor me comunique informando 
qual e em que página está, para que eu possa arrumar e com isso 
todos teremos sempre o melhor curso. Enviar mensagem para o e-
mail: professormatusalem@gmail.com; 
 
 Se você gostou do curso, peço que informe a seus colegas sobre ele 
e peça para que eles visitem meus sites: 
www.professormatusalem.com e www.cursosdematematica.com.br 
 
 Verifique sempre se você está com a última versão do curso, é só 
olhar na sua conta e baixar. 
 
 
Muito Obrigado 
Matusalém Vieira Martins 
 
Conceito 
 
Pesquisa Operacional é um método científico de tomada de decisões. 
Em linhas gerais, consiste na descrição de um sistema organizado com o 
auxílio de um modelo, e através da experimentação com o modelo, na 
descoberta da melhor maneira de operar o sistema. 
mailto:professormatusalem@gmail.com
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A Pesquisa Operacional como a conhecemos surgiu durante a 
Segunda Guerra Mundial, resultado de estudos realizados por equipes 
interdisciplinares de cientistas contratados para resolver problemas 
militares de ordem estratégica e tática. 
 
Fases de um Estudo em P.O. 
 
Um estudo em Pesquisa Operacional costuma envolver seis fases: 
 formulação do problema; 
 construção do modelo do sistema; 
 cálculo da solução através do modelo; 
 teste do modelo e da solução; 
 estabelecimento de controles da solução; 
 implantação e acompanhamento. 
 
que podem ser descritas como segue: 
Formulação do Problema - Nesta fase, o administrador do 
sistema e o responsável pelo estudo em P.O. deverão discutir, no sentido 
de colocar o problema de maneira clara e coerente, definindo os objetivos 
a alcançar e quais os possíveis caminhos alternativos para que isso 
ocorra. 
Além disso, serão levantadas as limitações técnicas do sistema e as 
relações desse sistema com outros da empresa ou do ambiente externo, 
com a finalidade de criticar a validade de possíveis soluções em face 
destes obstáculos. 
Deverá ainda ser acordada uma medida de eficiência para o 
sistema, que permita ao administrador ordenar as soluções encontradas, 
concluindo o processo decisório. 
 
Construção do Modelo do Sistema - Os modelos que interessam 
em Pesquisa Operacional são os modelos matemáticos, isto é, modelos 
formados porum conjunto de equações e inequações. 
 Uma das equações do conjunto serve para medir a eficiência do 
sistema para cada solução proposta. É a função objetivo ou função de 
eficiência. As outras equações geralmente descrevem as limitações ou 
restrições técnicas do sistema. As variáveis que compõem as equações 
são de dois tipos: 
- Variáveis controladas ou de decisão - são variáveis cujo valor 
está sob controle do administrador. Decidir, neste caso, é atribuir um 
particular valor a cada uma dessas variáveis. Numa programação de 
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produção, por exemplo, a variável de decisão é a quantidade a ser 
produzida num período, o que compete ao administrador controlar. 
- Variáveis não controladas - são as variáveis cujos valores são 
arbitrados por sistemas fora do controle do administrador. Custos de 
produção, demanda de produtos, preço de mercado são variáveis não 
controladas. 
Um bom modelo é aquele que tem desempenho suficientemente 
próximo do desempenho da realidade e é de fácil experimentação. Essa 
proximidade desejada é variável, dependendo do objetivo proposto. Um 
bom modelo para um objetivo pode ser péssimo para outro. A fidelidade 
de um modelo é aumentada à medida que ele incorpora características da 
realidade, com a adição de novas variáveis. Isso aumenta sua 
complexidade, dificultando a experimentação, o que nos leva a considerar 
o fator custo-benefício quando pensamos em melhorar o desempenho de 
um modelo. 
Cálculo da solução através do modelo - É feito através de 
técnicas matemáticas específicas. A construção do modelo deve levar em 
consideração a disponibilidade de uma técnica para o cálculo da solução. 
Teste do modelo e da solução - Esse teste é realizado com dados 
empíricos do sistema.' Se houver dados históricos, eles serão aplicados 
no modelo, gerando um desempenho que pode ser comparado ao 
desempenho observado no sistema. Se o desvio verificado não for 
aceitável, a reformulação ou mesmo o abandono do modelo será 
inevitável. Caso não haja dados históricos, os dados empíricos serão 
anotados com o sistema funcionando sem interferência, até que o teste 
possa ser realizado. 
Estabelecimento de controles da solução - A construção e 
experimentação com o modelo identificam parâmetros fundamentais para 
solução do problema. Qualquer mudança nesses parâmetros deverá ser 
controlada para garantir a validade da solução adotada. Caso alguns 
desses parâmetros sofra desvio além do permitido, o cálculo de nova 
solução ou mesmo a reformulação do modelo poderá ser necessária. 
Implementação e acompanhamento - Nesta fase, a solução será 
apresentada ao administrador, evitando-se o uso da linguagem técnica 
do modelo. O uso da linguagem do sistema em estudo facilita a 
compreensão e gera boa vontade para a implantação que está sendo 
sugerida. Essa implantação deve ser acompanhada para se observar o 
comportamento do sistema com a solução adotada. Algum ajuste pode 
ser requerido. 
 
 
 
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Programação Linear 
 
 
Modelo em Programação Linear 
 
Uma das técnicas mais utilizadas na abordagem de problemas em 
Pesquisa Operacional é a programação linear. A simplicidade do modelo 
envolvido e a disponibilidade de uma técnica de solução programável em 
computador facilitam sua aplicação. As aplicações mais conhecidas são 
feitas em sistemas estruturados, como os de produção, finanças, 
controles de estoques etc. 
O modelo matemático de programação linear é composto de um 
função objetiva linear; e de restrições técnicas representadas por um 
grupo de inequações também lineares. 
Exemplo: Função objetivo a ser maximizada: Lucro = 2x1 + 3x2 
 
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 
{
 
 
 
 𝑡é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 {
4𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 10
6𝑥1 − 𝑥2 ≥ 20
 
𝑑𝑒 𝑛ã𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 {
𝑥1 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
 
 
As variáveis controladas ou variáveis de decisão são x1 e x2. A 
função objetivo ou função e eficiência mede o desempenho do sistema, 
no caso a capacidade de gerar lucro, para cada solução apresentada. O 
objetivo é maximizar o lucro. As restrições garantem que essas soluções 
estão de acordo com as limitações técnicas impostas pelo sistema. As 
duas últimas restrições exigem a não negatividade das variáveis de 
decisão, o que deverá acontecer sempre que a técnica de abordagem for 
a de programação linear. 
A construção do modelo matemático, no caso um modelo linear, é a 
parte mais complicada de nosso estudo. Não há regra fixa para esse 
trabalho, mas podemos sugerir um roteiro que ajuda a ordenar o 
raciocínio. 
 
Roteiro: 
a) Quais as variáveis de decisão? 
Aqui o trabalho consiste em explicitar as decisões que devem ser 
tomadas e representar as possíveis decisões através de variáveis 
chamadas variáveis de decisão. Se o problema é de programação de 
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produção, as variáveis de decisão são as quantidades a produzir no 
período; se for um problema de programação de investimento, as 
variáveis vão representar as decisões de investimento, isto é, quanto 
investir em cada oportunidade de investimento, e em que período. Nas 
descrições sumárias de sistemas, isso fica claro quando lemos a questão 
proposta, isto é, a pergunta do problema. 
b) Qual o objetivo? 
Aqui devemos identificar o objetivo da tomada de decisão. Eles 
aparecem geralmente na forma da maximização de lucros ou receitas, 
minimização de custos, perdas etc. 
A função objetivo é a expressão que calcula o valor do objetivo (lucro, 
custo, receita, perda etc.), em função das variáveis de decisão. 
c) Quais as restrições? 
Cada restrição imposta na descrição do sistema deve ser expressa 
como uma relação linear (igualdade ou desigualdade), montadas com as 
variáveis de decisão. 
 
Exemplos: 
Vejamos agora situações que podem ser descritas com o auxílio de um 
modelo linear: 
 
Exemplo 1: 
Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do 
produto P1 é de 1.000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2. é de 
1.800 unidades monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar 
uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O 
tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. A 
demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e 
30 unidades anuais para P2. 
Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro 
nesses itens? Construa o modelo de programação linear para esse caso. 
 
Solução: 
a) Quais as variáveis de decisão? 
O que deve ser decidido é o plano de produção, isto é, quais as 
quantidades anuais que devem ser produzidas de P1 e P2. 
Portanto, as variáveis de decisão serão x1 e x2 
 
x1 → quantidade anual a produzir de P1 
x2 → quantidade anual a produzir de P2. 
 
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b) Qual o objetivo? 
O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado: 
Lucro devido a P1: 1.000 . x1 
(lucro por unidade de P1 x quantidade produzida de P1) 
Lucro devido a P2: 1.800 . x2 
(lucro por unidade de P2. x quantidade produzida de P2) 
 
Lucro total: L = 1.000 . x1 + 1.800 . x2 
 
Objetivo: maximizar L = 1.000 . x1 + 1.800 . x2 
 
c) Quais as restrições? 
 
As restrições impostas pelo sistema são: 
- Disponibilidade de horas para a produção: 1.200 horas. 
horas ocupadas com P1: 20x1 (uso por unidade x quantidade 
produzida) 
horas ocupadas com P2: 30x2 (uso por unidade x quantidade 
produzida) 
Total em horas ocupadas na produção: 20x1 + 30x2 disponibilidade: 
1.200 horas. 
Restrição descritiva da situação: 20x1 + 30x2 ≤ 1.200 
 
- Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda)Disponibilidade para P1: 40 unidades 
Quantidade a produzir de P1: x1 
Restrição descritiva da situação: x1 ≤ 40 
Disponibilidade para P2: 30 unidades 
Quantidade a produzir de P2: x2 
Restrição descritiva da situação: x2 ≤ 30 
 
Resumo do modelo: max L = 1.000x1 + 1.800x2 
Sujeito a: 
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑡é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 {
20𝑥1 + 30𝑥2 ≤ 1200
𝑥1 ≤ 40
𝑥2 ≤ 30
 
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑛ã𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 {
𝑥1 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
 
Assista agora a Vídeo Aula: 
Modelo de programação Linear - Exemplo 1 
 
 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-01-modelo-de-programacao-linear-exemplo-1/
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Exemplo 2: 
Para uma boa alimentação, o corpo necessita de vitaminas e 
proteínas. A necessidade mínima de vitaminas é de 32 unidades por dia e 
a de proteínas de 36 unidades por dia. Uma pessoa tem disponível carne 
e ovos para se alimentar. Cada unidade de carne contém 4 unidades de 
vitaminas e 6 unidades de proteínas. Cada unidade de ovo contém 8 
unidades de vitaminas e 6 unidades de proteínas. 
Qual a quantidade diária de carne e ovos que deve ser consumida 
para suprir as necessidades de vitaminas e proteínas com o menor custo 
possível? Cada unidade de carne custa 3 unidades monetárias e cada 
unidade de ovo custa 2,5 unidades monetárias. 
Solução: 
a) Quais as variáveis de decisão? 
Devemos decidir quais as quantidades de carne e ovos a pessoa deve 
consumir no dia. As variáveis de decisão serão, portanto: 
 
x1 → quantidade de carne a consumir no dia 
x2 → quantidade de ovos a consumir no dia 
 
b) Qual o objetivo? 
O objetivo é minimizar o custo, que pode ser calculado: 
 
Custo devido à carne: 3 . x1 
(custo por unidade x quantidade a consumir de carne) 
 
Custo devido aos ovos: 2,5 . x2 
(custo por unidade x quantidade a consumir de ovos) 
 
Custo total: C = 3x1 + 2,5x2 
Objetivo: minimizar C = 3x1 + 2,5x2 
 
c) Quais as restrições? 
 
As restrições impostas pelo sistema são: 
necessidade mínima de vitamina: 32 unidades 
vitamina de carne: 4 . x1 
(quantidade por unidade x unidades de carne a consumir) 
 
vitamina de ovos: 8 . x2 
(quantidade por unidade x unidades de ovos a consumir) 
 
Total de vitaminas: 4x1 + 8x2 
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Necessidade mínima: 32 
Restrição descritiva da situação: 4x1 + 8x2 ≥ 32 
 
necessidade mínima de proteína: 36 unidades 
 
proteína de carne: 6 . x1 
(quantidade por unidade x unidades de carne a consumir) 
proteína de ovos: 6 . x2 
(quantidade por unidade x unidades de ovos a consumir) 
 
Total de proteínas: 6x1 + 6x2 
 
Necessidade mínima: 36 
Restrição descritiva da situação: 6x1 + 6x2 ≥ 36 
 
Resumo do modelo: min C = 3x1 + 2,5x2 
Sujeito a: 
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑡é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 {
4𝑥1 + 8𝑥2 ≥ 32
6𝑥1 + 6𝑥2 ≥ 36
 
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑛ã𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 {
𝑥1 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
 
Assista agora a Vídeo Aula: 
Modelo de programação linear - exemplo 2 
Exercícios: 
Construir o modelo matemático de programação linear dos sistemas 
descritos a seguir: 
1) Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 
cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de 
couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade couro para 
fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de 
couro é de 6 unidades e que o lucro unitário por sapato é de 5 
unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-
se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é 
maximizar seu lucro por hora. 
Solução: 
a) Quais são as variáveis de decisão? 
𝒙𝟏 → 𝒏º 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒑𝒂𝒕𝒐𝒔/𝒉𝒐𝒓𝒂 
𝒙𝟐 → 𝒏º 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒏𝒕𝒐𝒔/𝒉𝒐𝒓𝒂 
 
b) Qual é a função objetivo? 
𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒍𝒖𝒄𝒓𝒐 = 𝟓𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-02-modelo-de-programacao-linear-exemplo-2/
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c) Quais são as restrições técnicas? 
Se são 6 sapatos por hora, isto significa que ele gasta 10 minutos 
para cada sapato, do mesmo jeito se são 5 cintos por hora ele 
gasta 12 minutos para fazer cada cinto. 
Logo lembrando que 1h = 60 minutos temos: 
𝟏𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟔𝟎 
Também foi tido que ele gasta 2 unidades de couro para fazer um 
sapato e 1 unidade para fazer o cinto se ele dispõe de 6 unidades 
de couro nototal, temos: 
𝟐𝒙𝟏 + 𝟏𝒙𝟐 ≤ 𝟔 
 
Logo as restrições são: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔 {
𝟏𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟔𝟎
𝟐𝒙𝟏 + 𝟏𝒙𝟐 ≤ 𝟔
 
 
d) Quais as restrições de não – negatividade? 
Como na maioria dos casos a quantidade não pode ser 
negativa de nenhum dos produtos, logo: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
 
 
e) Escreva o modelo completo. 
𝒙𝟏 → 𝒏º 𝒅𝒆 𝒔𝒂𝒑𝒂𝒕𝒐𝒔/𝒉𝒐𝒓𝒂 
𝒙𝟐 → 𝒏º 𝒅𝒆 𝒄𝒊𝒏𝒕𝒐𝒔/𝒉𝒐𝒓𝒂 
 
𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒍𝒖𝒄𝒓𝒐 = 𝟓𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔 {
𝟏𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟔𝟎
𝟐𝒙𝟏 + 𝟏𝒙𝟐 ≤ 𝟔
 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
 
 
Assista agora a Vídeo Aula: 
Exercício 1 - Modelos de programação Linear 
 
2) Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de 
P1 é de 100 u.m. e o lucro unitário de P2 é de 150 u.m. A empresa 
necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas 
para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para 
essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 
produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-03-modelo-de-programacao-linear-exercicio-1/
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de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades 
de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal 
com o objetivo de maximizar o lucro da empresa. 
Solução: 
a) Quais são as variáveis de decisão? 
𝒙𝟏 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝑷𝟏 
𝒙𝟐 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝑷𝟐 
 
b) Qual é a função objetivo? 
𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒍𝒖𝒄𝒓𝒐 = 𝟏𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 
 
c) Quais são as restrições técnicas? 
Se a empresa necessita de 2 horas para fabricar cada P1 e 3 horas 
para fabricar cada P2 e dispõe de no máximo 120 horas, temos: 
𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐𝟎 
 
Também foi tido que as demandas esperadas de P1 é de 40, logo: 
𝒙𝟏 ≤ 𝟒𝟎 
E que a demanda de P2 é de 30,logo temos: 
𝒙𝟐 ≤ 𝟑𝟎 
Logo as restrições são: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔 {
𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐𝟎
𝒙𝟏 ≤ 𝟒𝟎
𝒙𝟐 ≤ 𝟑𝟎
 
 
d) Quais as restrições de não – negatividade? 
Como na maioria dos casos a quantidade não pode ser 
negativa de nenhum dos produtos, logo: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
 
 
e) Escreva o modelo completo. 
𝒙𝟏 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝑷𝟏 
𝒙𝟐 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝑷𝟐 
𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒍𝒖𝒄𝒓𝒐 = 𝟏𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔 {
𝟐𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐𝟎
𝒙𝟏 ≤ 𝟒𝟎
𝒙𝟐 ≤ 𝟑𝟎
 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
 
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Exercício 2 - Modelo de programação linear 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-04-modelo-de-programacao-linear-exercicio-2/
15 
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03) Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para 
sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de 
laranjas a 20 u.m. delucro por caixa, pelo menos 100 caixas de 
pêssegos a 10 u.m. de lucro por caixa, e no "máximo 200 caixas de 
tangerinas a 30 u.m. de lucro por caixa. De que forma deverá ele 
carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o 
modelo do problema. 
 
Solução: 
a) Quais são as variáveis de decisão? 
Como já está definido que será levado 200 caixas de laranjas, 
as variáveis de decisão ficarão por conta da quantidade de 
caixas de pêssego e tangerina. 
𝑥1 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝ê𝑠𝑠𝑒𝑔𝑜 
𝑥2 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎𝑠 
 
b) Qual é a função objetivo? 
 
𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 = 10𝑥1 + 30𝑥2 + 4.000 
O (+ 4000) no final da função objetiva é o resultado do 
produto (200x20 = 4000) quantidade de caixas de laranja 
vezes o seu preço. 
 
c) Quais são as restrições técnicas? 
Como o caminhão comporta 800 caixas e 200 são de laranja, 
então o número de caixas de pêssego e tangerina somados deve 
ser de no máximo 600, temos: 
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 600 
Como ele tem que levar no mínimo 100 caixas de pêssego, temos 
𝑥1 ≥ 100 
E que deve levar no máximo 200 caixas de tangerina, temos: 
𝑥2 ≤ 200 
Logo as restrições são: 
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑡é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 {
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 600
𝑥1 ≥ 100
𝑥2 ≤ 200
 
 
d) Quais as restrições de não – negatividade? 
Como na maioria dos casos a quantidade não pode ser 
negativa de nenhum dos produtos, logo: 
16 
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𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
 
 
e) Escreva o modelo completo. 
 𝑥1 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝ê𝑠𝑠𝑒𝑔𝑜 
𝑥2 → 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑖𝑥𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑟𝑖𝑛𝑎𝑠 
 
𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑙𝑢𝑐𝑟𝑜 = 10𝑥1 + 30𝑥2 + 4.000 
 
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑡é𝑐𝑛𝑖𝑐𝑎𝑠 {
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 600
𝑥1 ≥ 100
𝑥2 ≤ 200
 
 
𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑛ã𝑜 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 {
𝑥1 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
 
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Exercício 3 - Modelo de programação linear 
 
4) Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto 
que o programa “A” com 20 minutos de música e 1 minuto de 
propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto 
o programa “B”, com 10 minutos de música e 1 minuto de 
propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No 
decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no 
mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para 
mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada 
programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de 
telespectadores? Construa o modelo do sistema. 
 
Solução: 
a) Quais são as variáveis de decisão? 
 
𝒙𝟏 → 𝒇𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒔𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒐 𝒑𝒓𝒐𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂 𝑨 
𝒙𝟐 → 𝒇𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒔𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒐 𝒑𝒓𝒐𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂 𝑩 
 
b) Qual é a função objetivo? 
 
𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒕𝒆𝒍𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒂𝒅𝒐𝒓𝒆𝒔 = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐 
 
c) Quais são as restrições técnicas? 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-05-modelo-de-programacao-linear-exercicio-3/
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A primeira restrição diz respeito aos minutos de propaganda, 
onde temos 1 minuto para cada programa num mínimo de 5 
minutos, logo temos: 
𝟏𝒙𝟏 + 𝟏𝒙𝟐 ≥ 𝟓 
 
Já a segunda restrição é relacionada ao tempo de duração das 
músicas por programa, e o patrocinador pode pagar no máximo 
80 minutos, logo temos: 
𝟐𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 ≤ 𝟖𝟎 
 
Logo as restrições são: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔 {
𝟏𝒙𝟏 + 𝟏𝒙𝟐 ≥ 𝟓
𝟐𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 ≤ 𝟖𝟎
 
 
d) Quais as restrições de não – negatividade? 
Como na maioria dos casos a quantidade não pode ser 
negativa de nenhum dos produtos, logo: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
 
e) Escreva o modelo completo. 
 
𝒙𝟏 → 𝒇𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒔𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒐 𝒑𝒓𝒐𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂 𝑨 
𝒙𝟐 → 𝒇𝒓𝒆𝒒𝒖ê𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒔𝒆𝒎𝒂𝒏𝒂𝒍 𝒅𝒐 𝒑𝒓𝒐𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂 𝑩 
 
𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒕𝒆𝒍𝒆𝒔𝒑𝒆𝒄𝒕𝒂𝒅𝒐𝒓𝒆𝒔 = 𝟑𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔 {
𝟏𝒙𝟏 + 𝟏𝒙𝟐 ≥ 𝟓
𝟐𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟎𝒙𝟐 ≤ 𝟖𝟎
 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
 
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Exercício 4 - Modelo de programação linear 
5) Um empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de 
melhor qualidade, requer o dobro do tempo de fabricação em 
relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a 
empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade 
de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. 
Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é 
de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de $ 4,00 
para M1 e $ 3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-06-modelo-de-programacao-linear-exercicio-4/
18 
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maximiza o lucro total diário da empresa? Construa, o modelo do 
sistema descrito. 
 
Solução: 
a) Quais são as variáveis de decisão? 
 
𝒙𝟏 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝑴𝟏 
𝒙𝟐 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝑴𝟐 
 
b) Qual é a função objetivo? 
 
𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒍𝒖𝒄𝒓𝒐 = 𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 
 
c) Quais são as restrições técnicas? 
A primeira restrição diz respeito a quantidade de cintos que 
podem ser produzida por dia. 
Veja bem se produzissem só do modelo M2 daria para produzir 
1.000 unidade, mas se produzissem só do modelo M1 daria para 
produzir 500, pois ele gasta o dobro do tempo para ser feito, logo 
podemos colocar a produção em uma restrição assim: 
𝟐𝒙𝟏 + 𝟏𝒙𝟐 ≤ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 
Se x1 for zero a produção será de 1.000. 
Se x2 for zero a produção será de 500. 
 
Já a segunda restrição é relacionada a quantidade de couro 
disponível por dia, logo temos: 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟖𝟎𝟎 
 
Já a terceira é relacionada as fivelas, para os modelos M1 temos 
no máximo 400 por dia, logo: 
𝒙𝟏 ≤ 𝟒𝟎𝟎 
 
A quarta também é relacionada as fivelas, para os modelos M2 
temos no máximo 700 por dia, logo: 
𝒙𝟐 ≤ 𝟕𝟎𝟎 
 
Logo as restrições são: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔 {
𝟐𝒙𝟏 + 𝟏𝒙𝟐 ≤ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟖𝟎𝟎
𝒙𝟏 ≤ 𝟒𝟎𝟎
𝒙𝟐 ≤ 𝟕𝟎𝟎
 
 
19 
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d) Quais as restrições de não – negatividade? 
Como na maioria dos casos a quantidade não pode ser 
negativa de nenhum dos produtos, logo: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
 
 
e) Escreva o modelo completo. 
 
𝒙𝟏 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝑴𝟏 
𝒙𝟐 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝑴𝟐 
 
𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒍𝒖𝒄𝒓𝒐 = 𝟒𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔 {
𝟐𝒙𝟏 + 𝟏𝒙𝟐 ≤ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟖𝟎𝟎
𝒙𝟏 ≤ 𝟒𝟎𝟎
𝒙𝟐 ≤ 𝟕𝟎𝟎
 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
 
 
 
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Exercício 5 - Modelo de programação linear 
 
 
6) Uma empresa, após um processo de racionalização de produção, 
ficou com disponibilidade de 3 recursos produtivos, R1, R2 e R3. Um 
estudo sobre o uso desses recursos indicou a possibilidade de se 
fabricar 2 produtos P1 e P2. Levantando os custos e consultando o 
departamento de vendas sobre o preço de colocação no mercado, 
verificou-se que P1 daria um lucro de $ 120,00 por unidade e P2, $ 
150,00 por unidade. O departamento de produção forneceu a 
seguinte tabela de uso de recursos. 
 
PRODUTO 
RECURSO R1 POR 
UNIDADE 
RECURSO R2 POR 
UNIDADE 
RECURSO R3 POR 
UNIDADE 
P1 
P2 
2 
4 
32 
5 
3 
DISPONIBILIDADE DE 
RECURSO POR MÊS 
100 90 120 
Que produção mensal de P1 e P2 traz o maior lucro para a empresa? 
Construa o modelo do sistema. 
 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-07-modelo-de-programacao-linear-exercicio-5/
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Solução: 
a) Quais são as variáveis de decisão? 
 
𝒙𝟏 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝑷𝟏 
𝒙𝟐 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝑷𝟐 
 
b) Qual é a função objetivo? 
 
𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒍𝒖𝒄𝒓𝒐 = 𝟏𝟐𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 
 
c) Quais são as restrições técnicas? 
A primeira restrição diz respeito a disponibilidade de recurso 1, 
informação dada na tabela que é de no máximo 100 por mês, 
assim: 
𝟐𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎𝟎 
 
A segunda restrição diz respeito a disponibilidade de recurso 2, 
informação dada na tabela que é de no máximo 90 por mês, 
assim: 
𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟗𝟎 
 
A terceira restrição diz respeito a disponibilidade de recurso 3, 
informação dada na tabela que é de no máximo 120 por mês, 
assim: 
𝟓𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐𝟎 
 
Logo as restrições são: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔 {
𝟐𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎𝟎
𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟗𝟎
𝟓𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐𝟎
 
 
d) Quais as restrições de não – negatividade? 
Como na maioria dos casos a quantidade não pode ser 
negativa de nenhum dos produtos, logo: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
 
 
e) Escreva o modelo completo. 
 
𝒙𝟏 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝑷𝟏 
𝒙𝟐 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒛𝒊𝒓 𝒅𝒆 𝑷𝟐 
 
21 
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𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒍𝒖𝒄𝒓𝒐 = 𝟏𝟐𝟎𝒙𝟏 + 𝟏𝟓𝟎𝒙𝟐 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔 {
𝟐𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟎𝟎
𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟗𝟎
𝟓𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟏𝟐𝟎
 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
 
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Exercício 6 - Modelo de programação Linear 
 
7) Um fazendeiro está estudando a divisão de sua propriedade nas 
seguintes atividades produtivas: 
A (Arrendamento) - Destinar certa quantidade de alqueires para a 
plantação de cana-de-açúcar, a uma usina local, que se encarrega da 
atividade e paga pelo aluguel da terra $ 300,00 por alqueire por ano. 
P (Pecuária) - Usar outra parte para a criação de gado de corte. A 
recuperação das pastagens requer adubação (100 kg/Alq) e irrigação 
(100.000 L de água/Alq) por ano. O lucro estimado nessa atividade é de 
$ 400,00 por alqueire por ano. 
S (Plantio de Soja) - Usar uma terceira parte para o plantio de soja. 
Essa cultura requer 200 kg por alqueire de adubos e 200.000 L de 
água/Alq para irrigação por ano. O lucro estimado nessa atividade é de $ 
500,00/alqueire no ano. 
 
Disponibilidade de recursos por ano: 
12.750.000 L de água 
14.000 kg de adubo 
100 alqueires de terra. 
 
Quantos alqueires deverá destinar a cada atividade para 
proporcionar o melhor retorno? Construa o modelo de decisão. 
 
Solução: 
a) Quais são as variáveis de decisão? 
 
𝒙𝟏 → 𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒊𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂𝒓𝒓𝒆𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 
𝒙𝟐 → 𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒊𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝒆𝒄𝒖á𝒓𝒊𝒂 
𝒙𝟑 → 𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒊𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒔𝒐𝒋𝒂 
 
b) Qual é a função objetivo? 
 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-08-modelo-de-programacao-linear-exercicio-6/
22 
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𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒍𝒖𝒄𝒓𝒐 = 𝟑𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟒𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟓𝟎𝟎𝒙𝟑 
c) Quais são as restrições técnicas? 
A primeira restrição diz respeito a quantidade de alqueires 
disponível, assim: 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎𝟎 
 
A segunda restrição diz respeito a distribuição de adubo por 
atividade, assim: 
𝟏𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟒. 𝟎𝟎𝟎 
 
A terceira restrição diz respeito a distribuição de água por 
atividade, assim: 
𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟐. 𝟕𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎 
 
Perceba que a primeira atividade ele não necessita separa adubo 
ou água pois estará arrendando as terras. 
 
Logo as restrições são: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔 {
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟒. 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟐. 𝟕𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎
 
 
d) Quais as restrições de não – negatividade? 
Como na maioria dos casos a quantidade não pode ser 
negativa de nenhum dos produtos, logo: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
𝒙𝟑 ≥ 𝟎
 
 
e) Escreva o modelo completo. 
𝒙𝟏 → 𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒊𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒂𝒓𝒓𝒆𝒏𝒅𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 
𝒙𝟐 → 𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒊𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝒆𝒄𝒖á𝒓𝒊𝒂 
𝒙𝟑 → 𝒂𝒍𝒒𝒖𝒆𝒊𝒓𝒆𝒔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒔𝒐𝒋𝒂 
 
𝒎á𝒙𝒊𝒎𝒐 𝒍𝒖𝒄𝒓𝒐 = 𝟑𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟒𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟓𝟎𝟎𝒙𝟑 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔 {
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟒. 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟐𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟐. 𝟕𝟓𝟎. 𝟎𝟎𝟎
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
𝒙𝟑 ≥ 𝟎
 
 
23 
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Exercício 7 - Modelo de programação Linear 
 
8) O departamento de marketing de uma empresa estuda a forma mais 
econômica de aumentar em 30% as vendas de seus dois produtos 
P1 e P2. 
As alternativas são: 
a) Investir em um programa institucional com outras empresas do 
mesmo ramo. Esse programa requer um investimento mínimo de 
$3.000,00 e deve proporcionar um aumento de 3% nas vendas de 
cada produto, para cada $1.000,00 investidos. 
b) Investir diretamente na divulgação dos produtos. Cada $1.000,00 
investidos em P1 retornam um aumento de 4% nas vendas, 
enquanto que para P2 o retorno é de 10%. 
c) A empresa dispõe de $10.000,00 para esse empreendimento. 
Quanto deverá destinar a cada atividade? 
 
Construa o modelo do sistema descrito. 
 
Solução: 
a) Quais são as variáveis de decisão? 
 
𝒙𝟏 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒆𝒎 $ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 
𝒙𝟐 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒆𝒎 $ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒎 𝑷𝟏 
𝒙𝟑 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒆𝒎 $ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒎 𝑷𝟐 
 
b) Qual é a função objetivo? 
 
𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒖𝒔𝒕𝒐 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟑 
 
c) Quais são as restrições técnicas? 
 
Usaremos aqui representar cada 1.000 como 1 unidade. 
Assim: 
A primeira restrição diz respeito ao programa institucional onde 
se deve investir pelo menos 3.000, assim: 
𝒙𝟏 ≥ 𝟑 
 
A segunda restrição diz respeito o produto P1, com o programa 
institucional com aumento de 3%, mais a divulgação direta onde 
teremos um aumento de 4%, com um retorno percentual 
esperado de no mínimo 30%, assim: 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-09-modelo-de-programacao-linear-exercicio-7/
24 
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𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≥ 𝟑𝟎 
 
A Terceira restrição diz respeito o produto P2, com o programa 
institucional com aumento de 3%, mais a divulgação direta onde 
teremos um aumento de 10%, com um retorno percentual 
esperado de no mínimo 30% também, assim: 
𝟑𝒙𝟏 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 ≥ 𝟑𝟎 
 
A quarta restrição fala do total que a empresa tem para investir, 
no máximo 10.000, logo temos: 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎 
 
Logo as restrições são: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔{
𝒙𝟏 ≥ 𝟑
𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≥ 𝟑𝟎
𝟑𝒙𝟏 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 ≥ 𝟑𝟎
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎
 
 
d) Quais as restrições de não – negatividade? 
Como na maioria dos casos a quantidade não pode ser 
negativa de nenhum dos produtos, logo: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆{
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
𝒙𝟑 ≥ 𝟎
 
 
e) Escreva o modelo completo. 
 
𝒙𝟏 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒆𝒎 $ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒈𝒓𝒂𝒎𝒂 𝒊𝒏𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒍 
𝒙𝟐 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒆𝒎 $ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒎 𝑷𝟏 
𝒙𝟑 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒆𝒎 $ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝒅𝒊𝒓𝒆𝒕𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒆𝒎 𝑷𝟐 
 
𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒖𝒔𝒕𝒐 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟏 + 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟐 + 𝟏. 𝟎𝟎𝟎𝒙𝟑 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔{
𝒙𝟏 ≥ 𝟑
𝟑𝒙𝟏 + 𝟒𝒙𝟐 ≥ 𝟑𝟎
𝟑𝒙𝟏 + 𝟏𝟎𝒙𝟑 ≥ 𝟑𝟎
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟏𝟎
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
𝒙𝟑 ≥ 𝟎
 
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Exercício 8 - Modelo de programação linear 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-10-modelo-de-programacao-linear-exercicio-8/
25 
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9) Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode 
ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos 
de materiais recuperados: 
Material Recuperado 1 -MR1- Composição: 
Custo por kg: $ 0,20 
ferro - 60% 
carvão -20% 
silício - 20% 
 
Material Recuperado 2 - MR2 - Composição: 
Custo por kg: $ 0,25 
ferro - 70% 
carvão - 20% 
silício - 5% 
níquel -5% 
 
A liga deve ter a seguinte composição final: 
matéria-prima % mínima % máxima 
Ferro 60 65 
Carvão 15 20 
silício 15 20 
níquel 5 8 
 
O custo dos materiais puros são (por kg): ferro: $ 0,30; carvão: $ 
0,20; silício: $ 0,28; níquel: $ 0,50. Qual deverá ser a composição da 
mistura em termos dos materiais disponíveis, com menor custo por kg? 
Construa o modelo de decisão. 
 
Solução: 
a) Quais são as variáveis de decisão? 
 
𝒙𝟏 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝑴𝑹𝟏 𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒕𝒖𝒓𝒂 
𝒙𝟐 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝑴𝑹𝟐 𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒕𝒖𝒓𝒂 
𝒙𝟑 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒇𝒆𝒓𝒓𝒐 𝒑𝒖𝒓𝒐 𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒕𝒖𝒓𝒂 
𝒙𝟒 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒗ã𝒐 𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒕𝒖𝒓𝒂 
𝒙𝟓 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒍í𝒄𝒊𝒐 𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒕𝒖𝒓𝒂 
𝒙𝟔 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒏í𝒒𝒖𝒆𝒍 𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒕𝒖𝒓𝒂 
 
b) Qual é a função objetivo? 
 
𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒖𝒔𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟐𝟎𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟎, 𝟑𝟎𝒙𝟑 + 𝟎, 𝟐𝟎𝒙𝟒 + 𝟎, 𝟐𝟖𝒙𝟓 + 𝟎, 𝟓𝟎𝒙𝟔 
26 
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c) Quais são as restrições técnicas? 
 
A primeira e segunda restrições, dizem respeito quantidade de 
ferro na mistura trabalhando com o mínimo e com o máximo, 
assim, no MR1 temos 60% = 0,6 de ferro no MR2 temos 70%=0,7 
de ferro e temos 100%=1 na mistura pura (lógico), logo podemos 
representar a quantidade de ferro na liga desta maneira: 
Mínimo: 
𝟎, 𝟔𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟕𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≥ 𝟎, 𝟔𝟎 
Máximo: 
𝟎, 𝟔𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟕𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟎, 𝟔𝟓 
 
A terceira e quarta restrições dizem respeito quantidade de 
Carvão na mistura trabalhando com o mínimo e com o máximo, 
assim, no MR1 temos 20% = 0,2 de Carvão no MR2 temos 
20%=0,2 de Carvão e temos 100%=1 na mistura pura (lógico), 
logo podemos representar a quantidade de Carvão na liga desta 
maneira: 
Mínimo: 
 𝟎, 𝟐𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟒 ≥ 𝟎, 𝟏𝟓 
Máximo: 
𝟎, 𝟐𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟒 ≤ 𝟎, 𝟐𝟎 
 
A quinta e sexta restrições dizem respeito quantidade de silício na 
mistura trabalhando com o mínimo e com o máximo, assim, no 
MR1 temos 20% = 0,2 de silício no MR2 temos 5%=0,05 de silício 
e temos 100%=1 na mistura pura (lógico), logo podemos 
representar a quantidade de silício na liga desta maneira: 
Mínimo: 
𝟎, 𝟐𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟓 ≤ 𝟎, 𝟐𝟎 
Máximo: 
𝟎, 𝟐𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟓 ≥ 𝟎, 𝟏𝟓 
 
A sétima e oitava restrições dizem respeito quantidade de níquel 
na mistura trabalhando com o mínimo e com o máximo, assim, no 
MR2 temos 5%=0,05 de níquel e temos 100%=1 na mistura pura 
(lógico), logo podemos representar a quantidade de níquel na liga 
desta maneira: 
Mínimo: 
𝟎, 𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟔 ≤ 𝟎, 𝟎𝟖 
Máximo: 
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𝟎, 𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟔 ≥ 𝟎, 𝟎𝟓 
 
A nona restrição é a mistura de tudo que no final dará 100%=1, 
da liga desejada. 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 + 𝒙𝟓 + 𝒙𝟔 = 𝟏 
 
Logo as restrições são: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔
{
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟎, 𝟔𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟕𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≥ 𝟎, 𝟔𝟎
𝟎, 𝟔𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟕𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟎, 𝟔𝟓
𝟎, 𝟐𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟒 ≤ 𝟎, 𝟐𝟎
𝟎, 𝟐𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟒 ≥ 𝟎, 𝟏𝟓
𝟎, 𝟐𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟓 ≤ 𝟎, 𝟐𝟎
𝟎, 𝟐𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟓 ≥ 𝟎, 𝟏𝟓
𝟎, 𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟔 ≥ 𝟎, 𝟎𝟓
𝟎, 𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟔 ≤ 𝟎, 𝟎𝟖
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 + 𝒙𝟓 + 𝒙𝟔 = 𝟏
 
 
d) Quais as restrições de não – negatividade? 
Como na maioria dos casos a quantidade não pode ser 
negativa de nenhum dos produtos, logo: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 
{
 
 
 
 
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
𝒙𝟑 ≥ 𝟎
𝒙𝟒 ≥ 𝟎
𝒙𝟓 ≥ 𝟎
𝒙𝟔 ≥ 𝟎
 
 
e) Escreva o modelo completo. 
 
𝒙𝟏 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝑴𝑹𝟏 𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒕𝒖𝒓𝒂 
𝒙𝟐 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝑴𝑹𝟐 𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒕𝒖𝒓𝒂 
𝒙𝟑 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒇𝒆𝒓𝒓𝒐 𝒑𝒖𝒓𝒐 𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒕𝒖𝒓𝒂 
𝒙𝟒 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒓𝒗ã𝒐 𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒕𝒖𝒓𝒂 
𝒙𝟓 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒔𝒊𝒍í𝒄𝒊𝒐 𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒕𝒖𝒓𝒂 
𝒙𝟔 → 𝒒𝒖𝒂𝒏𝒕𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 𝒅𝒆 𝒏í𝒒𝒖𝒆𝒍 𝒏𝒂 𝒎𝒊𝒔𝒕𝒖𝒓𝒂 
 
𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒖𝒔𝒕𝒐 = 𝟎, 𝟐𝟎𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟓𝒙𝟐 + 𝟎, 𝟑𝟎𝒙𝟑 + 𝟎, 𝟐𝟎𝒙𝟒 + 𝟎, 𝟐𝟖𝒙𝟓 + 𝟎, 𝟓𝟎𝒙𝟔 
 
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𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔
{
 
 
 
 
 
 
 
 
𝟎, 𝟔𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟕𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≥ 𝟎, 𝟔𝟎
𝟎, 𝟔𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟕𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 ≤ 𝟎, 𝟔𝟓
𝟎, 𝟐𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟒 ≤ 𝟎, 𝟐𝟎
𝟎, 𝟐𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙𝟒 ≥ 𝟎, 𝟏𝟓
𝟎, 𝟐𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟓 ≤ 𝟎, 𝟐𝟎
𝟎, 𝟐𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟓 ≥ 𝟎, 𝟏𝟓
𝟎, 𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟔 ≥ 𝟎, 𝟎𝟓
𝟎, 𝟎𝟓𝒙𝟐 + 𝒙𝟔 ≤ 𝟎, 𝟎𝟖
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 + 𝒙𝟑 + 𝒙𝟒 + 𝒙𝟓 + 𝒙𝟔 = 𝟏
 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 
{
 
 
 
 
𝒙𝟏 ≥ 𝟎
𝒙𝟐 ≥ 𝟎
𝒙𝟑 ≥ 𝟎
𝒙𝟒 ≥ 𝟎
𝒙𝟓 ≥ 𝟎
𝒙𝟔 ≥ 𝟎
 
Assista agora a Vídeo Aula: 
Exercício 9 - Modelo de programação linear 
 
10) Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas 
que devem ser abastecidas com 50m3 (loja 1), 80m3 (loja 2), 40m3 
(loja 3) e 100m3 (loja 4) de areia grossa. Essa areia pode ser 
carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distâncias às lojas estão 
no quadro (em km): 
 L1 L2 L3 L4 
P1 30 20 24 18 
P2 12 36 30 24 
P3 8 15 25 20 
O caminhão pode transportar 10m3 por viagem. Os portos tem areia 
para suprir qualquer demanda. Estabelecer um plano de transporte que 
minimize a distância total percorrida entre os portos e as lojas e supra as 
necessidades das lojas. Construa o modelo linear do problema. 
 
Solução: 
a) Quais são as variáveis de decisão? 
 
𝒙𝟏𝟏 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟏 𝒂 𝑳𝟏 
𝒙𝟏𝟐 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟏 𝒂 𝑳𝟐 
𝒙𝟏𝟑 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟏 𝒂 𝑳𝟑 
𝒙𝟏𝟒 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟏 𝒂 𝑳𝟒 
𝒙𝟐𝟏 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟐 𝒂 𝑳𝟏 
𝒙𝟐𝟐 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟐 𝒂 𝑳𝟐 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-11-modelo-de-programacao-linear-exercicio-9/
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𝒙𝟐𝟑 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟐 𝒂 𝑳𝟑 
𝒙𝟐𝟒 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟐 𝒂 𝑳𝟒 
𝒙𝟑𝟏 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟑 𝒂 𝑳𝟏 
𝒙𝟑𝟐 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟑 𝒂 𝑳𝟐 
𝒙𝟑𝟑 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟑 𝒂 𝑳𝟑 
𝒙𝟑𝟒→ 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟑 𝒂 𝑳𝟒 
 
b) Qual é a função objetivo? 
 
𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒖𝒔𝒕𝒐 = 𝟑𝟎𝒙𝟏𝟏 + 𝟐𝟎𝒙𝟏𝟐 + 𝟐𝟒𝒙𝟏𝟑 + 𝟏𝟖𝒙𝟏𝟒 + 𝟏𝟐𝒙𝟐𝟏 + 𝟑𝟔𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟎𝒙𝟐𝟑 + 𝟐𝟒𝒙𝟐𝟒 + 𝟖𝒙𝟑𝟏 + 𝟏𝟓𝒙𝟑𝟐 + 𝟐𝟓𝒙𝟑𝟑 + 𝟐𝟎𝒙𝟑𝟒 
 
c) Quais são as restrições técnicas? 
 
Como cada caminhão pode transportar usaremos, 10m3 = 1 
unidade. 
 
A primeira restrição, diz respeito quantidade de areia que a loja 1 
necessita, que é de 50m3, portanto desta maneira a soma dos 
caminhões será: 
𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝟐𝟏 + 𝒙𝟑𝟏 = 𝟓 
 
A segunda restrição, diz respeito quantidade de areia que a loja 2 
necessita, que é de 80m3, portanto desta maneira a soma dos 
caminhões será: 
𝒙𝟏𝟐 + 𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝟑𝟐 = 𝟖 
 
A terceira restrição, diz respeito quantidade de areia que a loja 3 
necessita, que é de 40m3, portanto desta maneira a soma dos 
caminhões será: 
𝒙𝟏𝟑 + 𝒙𝟐𝟑 + 𝒙𝟑𝟑 = 𝟒 
 
A quarta restrição, diz respeito quantidade de areia que a loja 4 
necessita, que é de 100m3, portanto desta maneira a soma dos 
caminhões será: 
𝒙𝟏𝟒 + 𝒙𝟐𝟒 + 𝒙𝟑𝟒 = 𝟏𝟎 
 
Logo as restrições são: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔{
𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝟐𝟏 + 𝒙𝟑𝟏 = 𝟓
𝒙𝟏𝟐 + 𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝟑𝟐 = 𝟖
𝒙𝟏𝟑 + 𝒙𝟐𝟑 + 𝒙𝟑𝟑 = 𝟒
𝒙𝟏𝟒 + 𝒙𝟐𝟒 + 𝒙𝟑𝟒 = 𝟏𝟎
 
 
30 
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d) Quais as restrições de não – negatividade? 
Como na maioria dos casos a quantidade não pode ser 
negativa de nenhum dos produtos, logo: 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {𝒙𝒊𝒋 ≥ 𝟎, 𝒄𝒐𝒎 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒆 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 
 
e) Escreva o modelo completo. 
 
𝒙𝟏𝟏 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟏 𝒂 𝑳𝟏 
𝒙𝟏𝟐 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟏 𝒂 𝑳𝟐 
𝒙𝟏𝟑 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟏 𝒂 𝑳𝟑 
𝒙𝟏𝟒 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟏 𝒂 𝑳𝟒 
𝒙𝟐𝟏 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟐 𝒂 𝑳𝟏 
𝒙𝟐𝟐 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟐 𝒂 𝑳𝟐 
𝒙𝟐𝟑 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟐 𝒂 𝑳𝟑 
𝒙𝟐𝟒 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟐 𝒂 𝑳𝟒 
𝒙𝟑𝟏 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟑 𝒂 𝑳𝟏 
𝒙𝟑𝟐 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟑 𝒂 𝑳𝟐 
𝒙𝟑𝟑 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟑 𝒂 𝑳𝟑 
𝒙𝟑𝟒 → 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒅𝒆 𝒗𝒊𝒂𝒈𝒆𝒏𝒔 𝒅𝒐 𝑷𝟑 𝒂 𝑳𝟒 
 
 
𝒎í𝒏𝒊𝒎𝒐 𝒄𝒖𝒔𝒕𝒐 = 𝟑𝟎𝒙𝟏𝟏 + 𝟐𝟎𝒙𝟏𝟐 + 𝟐𝟒𝒙𝟏𝟑 + 𝟏𝟖𝒙𝟏𝟒 + 𝟏𝟐𝒙𝟐𝟏 + 𝟑𝟔𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟎𝒙𝟐𝟑 + 𝟐𝟒𝒙𝟐𝟒 + 𝟖𝒙𝟑𝟏 + 𝟏𝟓𝒙𝟑𝟐 + 𝟐𝟓𝒙𝟑𝟑 + 𝟐𝟎𝒙𝟑𝟒 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒕é𝒄𝒏𝒊𝒄𝒂𝒔{
𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝟐𝟏 + 𝒙𝟑𝟏 = 𝟓
𝒙𝟏𝟐 + 𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝟑𝟐 = 𝟖
𝒙𝟏𝟑 + 𝒙𝟐𝟑 + 𝒙𝟑𝟑 = 𝟒
𝒙𝟏𝟒 + 𝒙𝟐𝟒 + 𝒙𝟑𝟒 = 𝟏𝟎
 
 
𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çõ𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒏ã𝒐 𝒏𝒆𝒈𝒂𝒕𝒊𝒗𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆 {𝒙𝒊𝒋 ≥ 𝟎, 𝒄𝒐𝒎 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒆 𝒋 = 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 
 
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Exercício 10 - modelo de programação linear 
 
Técnica de Solução para Modelos de Programação Linear com 
Duas Variáveis de Decisão - Método Gráfico 
 
CONCEITO 
 
Essa técnica consiste em representar num sistema de eixos 
ortogonais o conjunto das possíveis soluções do problema, isto é, o 
conjunto de pontos (x1, x2) que obedecem ao grupo de restrições 
impostas pelo sistema em estudo. O desempenho do modelo é avaliado 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-12-modelo-de-programacao-linear-exercicio-10/
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através da representação gráfica da função objetivo. As soluções são 
classificadas de acordo com sua posição no gráfico. 
 
GRÁFICO DO CONJUNTO DE SOLUÇÕES 
 
A representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis é 
uma reta. A representação gráfica de uma inequação linear com duas 
variáveis é um dos semiplanos definidos pela reta correspondente à 
equação. 
Exemplos: 
Exemplo 1: 
Representar graficamente a inequação: x1 + 2x2 ≥ 10 
a) Construir a reta correspondente à equação: x1 + 2x2 = 10 
(acompanhe no gráfico) 
 
Precisamos de dois pontos: 
 
fazendo x1 = 0 
teremos: 
2x2 = 10 
X2 = 5 
 
fazendo x2 = 0 
teremos: 
x1 = 10 
 
b) Testar a inequação: x1 + 2x2 ≥ 10 
 
Tomamos um ponto qualquer de uma das regiões limitadas pela reta, por 
exemplo o ponto (x1 = 10, x2 = 5). 
Substituindo na inequação: 
 10 + 2 . 5 ≥ 10 ou 20 ≥ 10, o que é verdadeiro, portanto a região das 
soluções da inequação é aquela que contém o ponto testado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(10, 5) 
Região das soluções 
x2 
x1 
5 
10 
32 
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Solução gráfica - exemplo 1 
 
Exemplo 2: 
Representar graficamente a solução do sistema: 
 
{
𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 12
2𝑥1 + 𝑥2 ≥ 16
𝑥1 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
 
 
Solução: 
Vamos representar cada uma das retas correspondentes: 
1) x1 + 3x2 = 12 se x1 = 0, então 0 + 3. x2 = 12. Portanto, x2 = 12/3 
ou x2 = 4 
se x2 = 0, então x1 + 3. 0= 12. Portanto, x1 = 12 
 
2) 2x1 + x2 = 16 se x1 = 0, então 2. 0+ x2 = 16. Portanto, x2 = 16 se 
x2 = 0, então 2 . x1 + 0 = 16. Portanto, x1 = 16/2 ou x1 = 8 
 
As restrições de não negatividade x1 ≥ 0 e x2 ≥0 representam o primeiro 
quadrante do gráfico de soluções. 
Gráfico: 
 
Vamos testar para cada reta qual a região que corresponde à solução da 
inequação. Para isso escolhemos um ponto fora das retas, por exemplo o 
ponto (8,16). 
 
1) x1 + 3x2 ≤ 12; substituindo x1 = 8, x2 = 16, obtém-se: 8+3.16≤ 12 
ou 56 ≤ 12; a desigualdade é falsa. 
Solução: região oposta. (Vide flecha indicativa.) 
 
2) 2x1 + x2 ≥ 16; substituindo x1 = 8, x2 = 16, obtém-se: 
2 . 8 + 16 ≥16, ou 32 ≥ 16; a desigualdade é verdadeira. (Flecha 
indicativa da solução na região do ponto testado.) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(8, 16) 
Região das soluções 
x2 
x1 
16 
8 
4 
12 1 
2 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-13-resolucao-grafica-de-problemas-de-programacao-linear-exemplo-1/
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A região de soluções aparece sombreada no gráfico. 
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Solução gráfica - exemplo 2 
AVALIAÇÃO DO OBJETIVO 
Avaliar o desempenho da função objetivo: Maximizar L = 2x1 + 5x2, 
na região de soluções do gráfico abaixo. 
 
Solução: Escolhemos um valor arbitrário para L, por exemplo, o valor 10. 
 
A equação: 10 = 2x1 + 5x2 fornece o conjunto de pontos (x1,x2) que dão 
para L o valor 10. Vamos representar esses pontos: 
se x1 = 0, então 2 . 0 + 5 . x2 = 10. Portanto, x2 = 10/5 ou x2 = 2 
se x2 = 0, então 2 . x1 + 5 . 0 = 10. Portanto, x1 = 10/2 ou x1 = 5 
 
Escolhemos um segundo valor para L, por exemplo, o valor 15, então: 
 
2x1 + 5x2 = 15 se x1 = 0, então 2 . 0 + 5 . x2 = 15. 
Portanto, x2 = 15/5 ou x2 = 3 
 
se x2 = 0, então 2 . x1 + 5 . 0 = 15. 
Portanto, x1 = 15/2 ou x1 = 7,5 
Graficamente, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região das soluções 
x2 
x1 
8 
4 
6 
8 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região das soluções 
x2 
x1 
8 
4 
6 
8 0 
L = máximo 
5 7,5 
3 
2 
L = 15 
L = 10 
P 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-14-resolucao-grafica-de-problemas-de-programacao-linear-exemplo-2/
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Verificamos do gráfico que: 
1) À medida que atribuirmos valores a L, obtemos retas paralelas. 
2) À medida que o valor de L aumenta, a reta se afasta da origem do 
sistema de eixos. 
Podemos concluir que pelo ponto P do gráfico teremos a paralela de 
maior valor que ainda apresenta um ponto na região de soluções. 
Portanto, o ponto P é a solução que maximiza L na região de soluçõesdadas. 
 
Como P = (0,6) e L = 2x1 + 5x2, substituindo x1 = 0, x2 = 6 teremos: 
L = 2 . 0 + 5 . 6 ou Lmáximo = 30. 
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Solução gráfica - exemplo 3 
 
MÉTODO GRÁFICO 
 
Exemplo 1: 
Resolver o problema de programação linear: 
minimizar Z = 2x1 + 3x2 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 à𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖çõ𝑒𝑠:
{
 
 
 
 
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 5
5𝑥1 + 𝑥2 ≥ 10
𝑥1 ≤ 8
𝑥1 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
 
 
Solução: 
a) Construir a região de soluções das restrições: 
1) x1 + x2 = 5 se x1 = 0, então 0 + x2 = 5 ou x2 = 5 
se x2 = 0, então x1 + 0 = 5 ou x1 = 5 
 
2) 5x1 + x2 = 10 se x1 = 0, então 5 . 0 + x2 = 10 ou x2 = 10 
se x2 = 0, então 5. X1 + 0 = 10 ou x1 = 10/5 ou 
x1=2 
 
3) x1 = 8 A representação gráfica é uma reta paralela ao eixo x2 
pelo ponto x1 = 8. 
No gráfico: 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-15-resolucao-grafica-de-problemas-de-programacao-linear-exemplo-3/
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Tomando-se o ponto (5,5) para o teste da região de solução de cada 
uma das inequações, temos, substituindo os valores x1 = 5 e x2 = 5: 
1) x1 + x2 ≥ 5, então 5 + 5 ≥ 5 ou 10 ≥ 5. A desigualdade é verdadeira 
- flecha em (1) para a região do ponto testado. , 
2) 5x1 + x2 ≥ 10, então 5 .5 + 5 ≥ 10 ou 30 ≥ 10. A desigualdade é 
verdadeira - flecha em (2) para a região do ponto testado. 
3) x1 ≤ 8 substituindo x1 = 5, teremos 5 ≤ 8. A desigualdade é 
verdadeira - flecha em (3) para a região do ponto (5,5). 
 
A região resultante está sombreada na figura. 
 
b) Avaliar o desempenho da função objetivo. 
Arbitramos dois valores para Z, por exemplo: Z = 12 e Z = 18. 
Para Z = 12, teremos: 
 2x1 + 3x2 = 12 se x1 = 0, então 2 . 0 + 3. x2 = 12 ou x2 = 4 
se x2 = 0, então 2 . x1 + 3 . 0 = 12 ou x1 = 6 
 
Para Z = 18, teremos: 
 2x1 + 3x2 = 18 se x1 = 0, então 2 . 0 + 3 . x2 = 18 ou x2 = 6 
se x2 = 0, então 2 . x1 + 3 . 0 = 18 ou x1 = 9 
 
Conclusão: (verifique no gráfico) À medida que diminuímos o valor de Z, 
obtemos retas paralelas mais próximas da origem. Portanto, o ponto da 
região de soluções com o menor valor de Z é o ponto (5,0). 
 
Resposta: 
Ponto de mínimo: x1 = 5, x2 = O. Valor mínimo = 2 . 5 + 3 . 0 = 10. 
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Solução gráfica - exemplo 4 
 
Exemplo 2 
Resolver o problema de programação linear: 
MAX L = 2x1 + 3x2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região das soluções 
x2 
x1 
10 
2 
5 
8 0 
Zmín = 10 
5 6 
4 
6 
Z = 18 
Z = 12 
2 
9 
(5, 5) 
1 
3 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-16-resolucao-grafica-de-problemas-de-programacao-linear-exemplo-4/
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𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: {
4𝑥1 + 6𝑥2 ≤ 60
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 12
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0
 
 
a) Construir a região de soluções das restrições. 
1) 4x1 + 6x2 = 60 se x1 = 0, então 6 . x2 = 60 ou x2 = 10 
se x2 = 0, então 4 . x1 = 60 ou x1 = 15 
 
2) x1 + x2 = 12 se x1 = 0, então x2 = 12 
se x2 = 0, então x1 = 12 
 
b) Teste de região de soluções usando o ponto (x1 = 15, x2 = 12). 
1) 4x1 + 6x2 ≤ 60 substituindo os valores de x1 = 15, x2 = 12, 
obtemos 4 . 15 + 6 . 12 ≤ 60 ou 132 ≤ 60, o que é falso. 
A solução é a região oposta ao ponto testado. 
2) x1 + x2 ≥ 12 substituindo os valores de x1 = 15, x2 = 12, obtemos 
15 + 12 ≥ 12 ou 27 ≥ 12, o que é verdadeiro. 
 
A solução é a região do ponto testado. 
 
c) Avaliar o objetivo na região de soluções: 
Atribuímos dois valores para L: 
 L = 24, então 2x1 + 3x2 = 24 se x1 = 0, então x2 = 8 
se x2 = 0, então x1 = 12 
 L = 45, então 2x1 + 3x2 = 45 se x1 = 0, então x2 = 15 
se x2 = 0, então x1 = 22,5 
Gráfico: 
 
Examinando o gráfico, concluímos que L atinge o maior valor na região 
de soluções sobre a reta (1). Portanto, todos os pontos do segmento PQ 
são soluções ótimas do modelo. 
 
 Por exemplo: O ponto Q: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região das soluções 
x2 
x1 
15 
8 
12 0 
P 
15 
12 
L = 24 
L = 45 
2 
(15, 12) 
1 
3 
4 
10 
Q 
37 
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x1 = 15 
x2=0 
 
L = 2 . 15 + 3 . 0 = 30 
 
é uma das soluções ótimas. 
Assista agora a Vídeo Aula: 
Solução gráfica - exemplo 5 
 
Exercícios: 
1) Resolver graficamente o modelo de programação linear: 
a) Maximizar LUCRO = 2x1 + 3x2 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: {
−𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 4
𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 6
𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0
 
 
a) Construir a região de soluções das restrições. 
1) −𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟒 se x1 = 0, então 2 . x2 = 4 ou x2 = 2, A(0, 2) 
se x2 = 0, então - x1 = 4 ou x1 = -4, B(-4, 
0) 
 
2) 𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟔 se x1 = 0, então 2.x2 = 6, x2 = 3, C(0, 3) 
se x2 = 0, então x1 = 6 , D(6, 0) 
 
3) 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟗 se x1 = 0, então 3.x2 = 9, x2 = 3, F(0, 3) 
se x2 = 0, então x1 = 9, G(9, 0) 
 
b) Teste de região de soluções usando o ponto (x1 = 1, x2 = 
1). 
 
1) −𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟒 substituindo os valores de x1 = 1, x2 = 1, 
obtemos - 1 + 2 . 1 ≤ 4 ou 1 ≤ 4, o que é VERDADEIRO. A 
solução é a região do ponto testado. 
 
2) 𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟔 substituindo os valores de x1 = 1, x2 = 1, 
obtemos 1 + 2 . 1 ≤ 12 ou 3 ≤ 6, o que é VERDADEIRO. A 
solução é a região do ponto testado. 
 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-17-resolucao-grafica-de-problemas-de-programacao-linear-exemplo-5/
38 
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3) 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟗 substituindo os valores de x1 = 1, x2 = 1, 
obtemos 1 + 3 . 1 ≤ 9 ou 4 ≤ 9, o que é VERDADEIRO. A 
solução é a região do ponto testado. 
 
 
c) Avaliar o objetivo na região de soluções: 
Maximizar LUCRO = 2x1 + 3x2 
Atribuímos dois valores para L: 
L = 6, então 2x1 + 3x2 = 6 se x1 = 0, então x2 = 2, M(0, 2) 
se x2 = 0, então x1 = 3, N(3, 0) 
 
L = 12 , então 2x1 + 3x2 = 12 se x1 = 0, então x2 = 4, R(0, 4) 
se x2 = 0, então x1 = 6, S(6, 0) 
 
d) Gráfico: 
 
 
e) Solução: 
 
Examinando o gráfico, concluímos que L atinge o maior valor na 
região de soluções sobre a reta (2) no ponto destacado P(6, 0). 
 
L = 2 . 6 + 3 . 0 = 12 
 
é a solução ótima. 
Assista agora a Vídeo Aula: 
Exercício 1 (a) - solução gráfica 
 
b) Maximizar RECEITA = 0,3x1 + 0,5x2 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: {
2𝑥1 + 𝑥2 ≤ 2
𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 3
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região das soluções 
x2 
x1 
3 
4 
6 0 
P 
9 
2 
L = 6 
L = 12 
2 
(1, 1) 
1 
3 
-4 3 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-18-resolucao-grafica-de-problemas-de-programacao-linear-exercicio-1/
39 
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a) Construir a região de soluções das restrições. 
1) 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟐 se x1 = 0, então x2 = 2, A(0, 2) 
se x2 = 0, então 2. x1 = 2 ou x1 = 1, B(1, 0) 
 
2) 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟑 se x1 = 0, então 3.x2 = 3, x2 = 1, C(0, 1) 
se x2 = 0, então x1 = 3 , D(3, 0) 
 
b) Teste de região de soluções usando o ponto (x1 = 1, x2 = 
1). 
 
1) 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟐 substituindo os valores de x1 = 1, x2 = 1, obtemos 
2 + 1 ≤ 2 ou 3 ≤ 2, o que é FALSO. A solução é a região 
oposta ao ponto testado. 
 
2) 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟑 substituindo os valores de x1 = 1, x2 = 1, obtemos 
1 + 3 ≤ 3 ou 4 ≤ 3, o que é FALSO. A solução é a região 
oposta ao ponto testado. 
 
 
c) Avaliar o objetivo na região de soluções: 
Maximizar RECEITA = 0,3x1 + 0,5x2 
Atribuímos dois valores para R: 
R = 1,5 , então 0,3x1 + 0,5x2 = 1,5 
 se x1 = 0, então x2 = 3, M(0, 3) 
se x2 = 0, então x1 = 5, N(5, 0) 
 
R = 3, então 0,3x1 + 0,5x2 = 3 
se x1 = 0, então x2 = 6, R(0, 6) 
se x2 = 0, então x1 = 10, S(10, 0) 
 
d) Gráfico:Região das soluções 
x2 
x1 
3
6 
3 0 10 
2 
R = 1,5 
R = 3 
2 
(1, 1) 
1 
1 5 
1 
R = máx 
40 
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e) Solução: 
 
Examinando o gráfico, concluímos que o máximo R atinge o maior 
valor na região de soluções que é o encontro das retas (1) e (2) 
no ponto destacado. 
Para acharmos a solução precisamos então resolver o sistema 
linear composto pelas duas equações, como vemos a seguir: 
 
{
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟐
𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟑
 
 
Multiplicando a segunda por (-2) e somado as duas equações, 
temos: 
 
{
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟐
𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟑 . (−𝟐)
 
 
{
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟐
−𝟐𝒙𝟏 − 𝟔𝒙𝟐 = −𝟔
 
 
 𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟐 
−𝟐𝒙𝟏 − 𝟔𝒙𝟐 = −𝟔 
 −𝟓𝒙𝟐 = −𝟒 
 
−𝟓𝒙𝟐 = −𝟒 . (−𝟏) 
 
𝟓𝒙𝟐 = 𝟒 
 
𝒙𝟐 = 
𝟒
𝟓
= 𝟎, 𝟖 
 
Substituindo em uma das equações, nesse exemplo vamos 
substituir na 1ª, e determinar o valor de x1. 
𝟐𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟐 
 
𝟐𝒙𝟏 + 𝟎, 𝟖 = 𝟐 
 
𝟐𝒙𝟏 = 𝟐 − 𝟎, 𝟖 
 
𝟐𝒙𝟏 = 𝟏, 𝟐 
 
𝒙𝟏 =
𝟏,𝟐
𝟐
= 𝟎, 𝟔 
41 
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Logo a solução está no ponto P(0,6 ; 0,8). 
Substituindo na função objetiva teremos a máxima receita. 
 
Maximizar RECEITA = 0,3x1 + 0,5x2 
 
R = 0,3. 0,6 + 0,5 . 0,8 
 
R = 0,18 + 0,40 = 0,58 
Assista agora a Vídeo Aula: 
Exercício 1 (b) - solução gráfica 
 
c) Maximizar LUCRO = 2x1 + 3x2 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: {
𝑥1 + 3𝑥2 ≤ 9
−𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 4
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 6
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0
 
 
a) Construir a região de soluções das restrições. 
1) 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟗 se x1 = 0, então 3.x2 = 9, x2 = 3, A(0, 3) 
se x2 = 0, então x1 = 9, B(9, 0) 
 
2) −𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 = 𝟒 se x1 = 0, então 2 . x2 = 4 ou x2 = 2, C(0, 2) 
se x2 = 0, então - x1 = 4 ou x1 = -4, D(-4, 0) 
 
3) 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟔 se x1 = 0, então x2 = 6, E(0, 6) 
se x2 = 0, então x1 = 6 , F(6, 0) 
 
 
b) Teste de região de soluções usando o ponto (x1 = 1, x2 = 
1). 
 
1) 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 ≤ 𝟗 substituindo os valores de x1 = 1, x2 = 1, 
obtemos 1 + 3 ≤ 9 ou 4 ≤ 9, o que é VERDADEIRO. A 
solução é a região do ponto testado. 
 
2) −𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟐 ≤ 𝟒 substituindo os valores de x1 = 1, x2 = 1, 
obtemos -1 + 2 ≤ 4 ou 1 ≤ 4, o que é VERDADEIRO. A 
solução é a região do ponto testado. 
 
http://www.professormatusalem.com/video-aulas/ensino-superior/aula-19-resolucao-grafica-de-problemas-de-programacao-linear-exercicio-2/
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3) 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟔 substituindo os valores de x1 = 1, x2 = 1, 
obtemos 1 + 1 ≤ 6 ou 2 ≤ 6, o que é VERDADEIRO. A 
solução é a região do ponto testado. 
 
 
c) Avaliar o objetivo na região de soluções: 
Maximizar LUCRO = 2x1 + 3x2 
Atribuímos dois valores para L: 
L = 6, então 2x1 + 3x2 = 6 se x1 = 0, então x2 = 2, M(0, 2) 
se x2 = 0, então x1 = 3, N(3, 0) 
L = 12 , então 2x1 + 3x2 = 12 se x1 = 0, então x2 = 4, R(0, 4) 
se x2 = 0, então x1 = 6, S(6, 0) 
 
d) Gráfico: 
 
 
 
e) Solução: 
 
Examinando o gráfico, concluímos que o máximo L atinge o maior 
valor na região de soluções que é o encontro das retas (1) e (3) 
no ponto destacado. 
Para acharmos a solução precisamos então resolver o sistema 
linear composto pelas duas equações, como vemos a seguir: 
 
{
𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟗
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟔
 
 
Multiplicando a segunda por (-3) e somado as duas equações, 
temos: 
 
{
𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟗
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟔 . (−𝟑)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Região das soluções 
x2 
x1 
3 
4 
6 0 
P 
9 
2 
L = 6 
L = 12 
3 
(1, 1) 
2 
1 
-4 3 
6 
L máx 
43 
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{
𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟗
−𝟑𝒙𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 = −𝟏𝟖
 
 
 𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟗 
−𝟑𝒙𝟏 − 𝟑𝒙𝟐 = −𝟏𝟖 
−𝟐𝒙𝟏 = −𝟗 
 
−𝟐𝒙𝟏 = −𝟗 . (−𝟏) 
 
𝟐𝒙𝟏 = 𝟗 
 
𝒙𝟏 = 
𝟗
𝟐
= 𝟒, 𝟓 
 
Substituindo em uma das equações, nesse exemplo vamos 
substituir na 1ª, e determinar o valor de x2. 
𝒙𝟏 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟗 
 
𝟒, 𝟓 + 𝟑𝒙𝟐 = 𝟗 
 
𝟑𝒙𝟐 = 𝟗 − 𝟒, 𝟓 
 
𝟑𝒙𝟐 = 𝟒, 𝟓 
 
𝒙𝟐 =
𝟒,𝟓
𝟑
= 𝟏, 𝟓 
 
Logo a solução está no ponto P(4,5 ; 1,5). 
Substituindo na função objetiva teremos o máxima lucro. 
 
Maximizar LUCRO = 2x1 + 3x2 
 
L = 2 . 4,5 + 3 . 1,5 
 
L = 9 + 4,5 
 
L = 13,5 
 
Assista agora a Vídeo Aula: 
Exercício 1 (c) - Solução gráfica 
 
d) Minimizar CUSTO = 10x1 + 12x2 
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𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: {
𝑥1 + 𝑥2 ≤ 20
𝑥1 + 𝑥2 ≥ 10
5𝑥1 + 6𝑥2 ≥ 54
𝑥1 ≥ 0, 𝑥2 ≥ 0
 
 
a) Construir a região de soluções das restrições. 
1) 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟐𝟎 se x1 = 0, então x2 = 20, A(0, 20) 
se x2 = 0, então x1 = 20, B(20, 0) 
 
2) 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟏𝟎 se x1 = 0, então x2 = 10, C(0, 10) 
se x2 = 0, então x1 = 10 , D(10, 0) 
 
3) 𝟓𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 = 𝟓𝟒 se x1 = 0, então 6.x2 = 54, x2 = 9, F(0, 9) 
se x2 = 0, então 5x1 = 54, x1 = 10,8, G(10,8 ; 0) 
 
b) Teste de região de soluções usando o ponto (x1 = 1, x2 = 
1). 
 
1) 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≤ 𝟐𝟎 substituindo os valores de x1 = 1, x2 = 1, 
obtemos 1 + 1 ≤ 20 ou 2 ≤ 20, o que é VERDADEIRO. A 
solução é a região do ponto testado. 
 
2) 𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 ≥ 𝟏𝟎 substituindo os valores de x1 = 1, x2 = 1, 
obtemos 1 + 1 ≥ 10 ou 2 ≥ 10, o que é FALSA. A solução é 
a região do ponto testado. 
 
3) 𝟓𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 ≥ 𝟓𝟒 substituindo os valores de x1 = 1, x2 = 1, 
obtemos 5 . 1 + 6 . 1 ≥ 9 ou 11 ≥ 54, o que é FALSA. A 
solução é a região oposta ao ponto testado. 
 
 
c) Avaliar o objetivo na região de soluções: 
Minimizar CUSTO = 10x1 + 12x2 
Atribuímos dois valores para C: 
C = 60, então 10x1 + 12x2 = 60 
se x1 = 0, então x2 = 5, M(0, 5) 
se x2 = 0, então x1 = 6, N(6, 0) 
 
C = 120, então 10x1 + 12x2 = 120 
se x1 = 0, então x2 = 10, R(0, 10) 
se x2 = 0, então x1 = 12, S(12, 0) 
 
45 
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d) Gráfico: 
 
 
 
e) Solução: 
 
Examinando o gráfico, concluímos que o máximo L atinge o maior 
valor na região de soluções que é o encontro das retas (2) e (3) 
no ponto destacado. 
Para acharmos a solução precisamos então resolver o sistema 
linear composto pelas duas equações, como vemos a seguir: 
 
{
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟏𝟎 
𝟓𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 = 𝟓𝟒
 
 
Multiplicando a primeira por (-5) e somado as duas equações, 
temos: 
 
{
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟏𝟎 . (−𝟓)
𝟓𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 = 𝟓𝟒
 
 
{
−𝟓𝒙𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 = −𝟓𝟎
𝟓𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 = 𝟓𝟒 
 
 
 −𝟓𝒙𝟏 − 𝟓𝒙𝟐 = −𝟓𝟎 
 𝟓𝒙𝟏 + 𝟔𝒙𝟐 = 𝟓𝟒 
𝒙𝟐 = 𝟒 
 
 
 
 
 
20 
20 10 10,8 
10 
9 
C = 120 
C = 60 
P 
Q 
Região das soluções 
 1 
 2 
6 
5 
12 
(1, 1) 
2 
3 1 
46 
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Substituindo em uma das equações, nesse exemplo vamos 
substituir na 1ª, e determinar o valor de x1. 
𝒙𝟏 + 𝒙𝟐 = 𝟏𝟎 
 
𝒙𝟏 + 𝟒 = 𝟏𝟎 
 
𝒙𝟏 = 𝟔 
 
Logo a solução está no ponto Q(6, 4). 
Substituindo na função objetiva teremos o máxima lucro. 
 
 
Examinando o gráfico, concluímos que C atinge o menor valor na 
região de soluções sobre a reta (3). Portanto, todos os pontos do 
segmento PQ são soluções ótimas do modelo. 
 
 Por exemplo: O ponto Q: 
x1 = 6 
x2 = 4 
 
C = 10. 6 + 12 . 4 = 108 
 
é uma das soluções ótimas (menor custo). 
Assista agora a Vídeo Aula: 
Exercício 1 (d) - solução gráfica 
 
e) Minimizar Z = 7x1 + 9x2 
𝑠𝑢𝑗𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑎: 
{
 
 
 
 
−𝑥1 + 𝑥2 ≤ 2
𝑥1 ≤ 5
𝑥2 ≤ 6
3𝑥1 + 5𝑥2