Revisão Geometria Plana Triângulos

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Triângulos
Definição:
Dados três pontos A, B e C não colineares, à
reunião dos segmentos AB, AC e BC chama-se
triângulo ABC
Exemplo:
A
B C
bc
a
Classificação
Classificação quanto aos lados
Quanto aos lados os triângulos se classificam
em:
Equilátero se, e somente se, têm os três lados
congruentes.
Isósceles se, e somente se, possui pelo menos
dois lados congruentes.
Escaleno se, e somente se, dois quaisquer lados
não são congruentes.
Classificação
Classificação quanto aos ângulos
Quanto aos ângulos, os triângulos se classificam
em
Retângulo se, e somente se, têm um ângulo
reto.
Acutângulo se, e somente se, têm 3 ângulos agu-
dos.
Obtusângulo se, e somente se, têm um ângulo
obtuso.
Śıntese de Clairaut
A partir dos lados podemos classificar os triângulos
em relação aos ângulos.
a2 < b2 + c2 −→ Triângulo Acutângulo.
a2 = b2 + c2 −→ Triângulo Retângulo.
a2 > b2 + c2 −→ Triângulo Obtusângulo.
Desigualdade Triangular
Condição de existência
A
B C
bc
a
a < b + c
b < a + c ⇐⇒ b− c < a
c < b + a ⇐⇒ c− b < a
logo
|b− c| < a < b + c
Congruência de Triângulos
Dois triângulos são congruentes se, e somente
se, é posśıvel estabelecer uma correspondência
entre seus vértices de modo que:
i) seus lados são ordenadamente congruentes
aos lados do outro,
ii) seus ângulos são ordenadamente congruentes
aos ângulos do outro.
Congruência de Triângulos
Exemplo:
i) seus lados são ordenadamente congruentes
aos lados do outro,
ii) seus ângulos são ordenadamente congruentes
aos ângulos do outro.
A
B C
A′
B′ C ′
∆ABC ≡ ∆A′B′C ′
a
b c
a′
b′ c′
Critérios de Congruência
1◦ caso:
Lado/Ângulo/Lado (L.A.L)
Exemplo:
A
B C
B′C
′
A′
∆ABC ≡ ∆A′B′C ′
3
4
15◦
3
4
15◦
Critérios de Congruência
2◦ caso:
Lado/Lado/Lado (L.L.L)
Exemplo:
A
B C
B′C
′
A′
∆ABC ≡ ∆A′B′C ′
3
4
35
5
4
Critérios de Congruência
3◦ caso:
Ângulo/Lado/Ângulo (A.L.A)
Exemplo:
A
B C
B′
C ′ A′
∆ABC ≡ ∆A′B′C ′
30◦ 60◦
30◦
60◦
5
5
Critérios de Congruência
4◦ caso:
Lado/Ângulo/Ângulo Oposto (L.A.Ao)
Exemplo:
A
B C
A′
B′
C ′
∆ABC ≡ ∆A′B′C ′
30◦
70◦
6
30◦
70◦
6
Critérios de Congruência
Caso Especial:
Se dois triângulo retângulos tem ordenadamente
congruentes um cateto e a hipotenusa, então es-
ses triângulos são congruentes.
Exemplo:
A
B C A′
B′
C ′
∆ABC ≡ ∆A′B′C ′
5 4
5
4
Ceviana Notáveis
Ceviana
Segmento de reta compreendido entre vértice e
o lado oposto
Exemplo:
A
B C
Ceviana Notáveis
Mediana
Segmento de reta que liga o vértice do triângulo
ao ponto médio do lado oposto
Exemplo:
A
B C
Ceviana Notáveis
Bissetriz
Segmento de reta que divide o ângulo do triângulo
em duas partes iguais
Exemplo:
A
B C
Ceviana Notáveis
Altura
Segmento de reta perpendicular a um lado do
triângulo
Exemplo:
A
B C
Ceviana Notáveis
Mediatriz
Segmento de reta perpendicular a um segmento
de reta que passa pelo seu ponto médio
Exemplo:
A
B C
Pontos Notáveis
Incentro
É o ponto de encontro das 3 bissetrizes.
Exemplo:
A
B C
Propriedade: O incentro é o centro da circun-
ferência inscrita no triângulo
Pontos Notáveis
Circuncentro
É o ponto de encontro das 3 mediatrizes.
A
B C
Propriedade: O circuncentro é o centro da cir-
cunferência circunscrita no triângulo
Circuncentro
Triângulo Acutângulo: O circuncentro é interno
ao triângulo
Exemplo:
A
B C
Circuncentro
Triângulo Retângulo: O circuncentro é o ponto
médio da hipotenusa do triângulo
Exemplo:
A
B C
Circuncentro
Triângulo Obtusângulo: O circuncentro é ex-
terno ao triângulo
Exemplo:
A
B C
Pontos Notáveis
Ortocentro
É o ponto de encontro das 3 alturas
Exemplo:
A
B C
Ortocentro
Triângulo Acutângulo:
O ortocentro é interno ao triângulo
Exemplo:
A
B C
Ortocentro
Triângulo Retângulo: O ortocentro é o vértice
do ângulo reto determinado pelos catetos
Exemplo:
A
B
C
Ortocentro
Triângulo Obtusângulo: O ortocentro é externo
ao triângulo
Exemplo:
A
B
C
Pontos Notáveis
Baricentro:
É o ponto de encontro das 3 medianas
Exemplo:
A
B C
D
T
AT =
2
3
·AD
TD =
1
3
·AD
TD =
1
2
·AT
Triângulo Equilátero
Baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro
coincidindo no mesmo ponto
Exemplo:
Determinação da Mediana
A
B C
a
ma bc
mb mc
ma =
1
2
√
2 · (b2 + c2)− a2
mb =
1
2
√
2 · (a2 + c2)− b2
mc =
1
2
√
2 · (a2 + b2)− c2
Determinação da Altura
C
A B
hahb
hc
c
ab
ha =
2
a
√
p · (p− a)(p− b)(p− c)
hb =
2
b
√
p · (p− a)(p− b)(p− c)
hc =
2
c
√
p · (p− a)(p− b)(p− c)
Determinação bissetriz Interna
A
C B
bc
bb
ba
c
a
b
ba =
2
b + c
√
b · c · p · (p− a)
bc =
2
a + b
√
a · b · p · (p− c)
bb =
2
a + c
√
a · c · p · (p− b)
Determinação bissetriz Externa
A
B C
b′a
D
b
a
c
y
x
b′a =
2
|b− c|
√
b · c · (p− b) · (p− c)
b′b =
2
|a− c|
√
a · c · (p− a) · (p− c)
b′c =
2
|a− b|
√
a · b · (p− a) · (p− b)
Observação: Em caso de dúvidas basta entrar
em contato clicando sobre o ı́cone �
At. Prof Wedson Rodrigues °
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