TRIANGULOS-IME-ITA

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1. (G1 - col. naval 2017) Analise as afirmativas a seguir. 
 
I. Sejam a, b e c os lados de um triângulo, com c b a.  Pode-se afirmar que 2 2 2c a b= + se, e somente se, o triângulo for 
retângulo. 
II. Se um triângulo é retângulo, então as bissetrizes internas dos ângulos agudos formam entre si um ângulo de 45 ou 135 . 
III. O centro de um círculo circunscrito a um triângulo retângulo está sobre um dos catetos. 
IV. O baricentro de um triângulo retângulo é equidistante dos lados do triângulo. 
 
Assinale a opção correta. 
a) Somente I e II são verdadeiras. 
b) Somente II e III são verdadeiras. 
c) Somente I e IV são verdadeiras. 
d) Somente I, II e IV são verdadeiras. 
e) As afirmativas I, II, III e IV são verdadeiras. 
 
2. (Esc. Naval 2016) Um triângulo inscrito em um círculo possui um lado de medida 42 3 oposto ao ângulo de 15 . O produto do 
apótema do hexágono regular pelo apótema do triângulo equilátero inscritos nesse círculo é igual a: 
a) 3( 3 2)+ 
b) 4(2 3 3)+ 
c) 8 3 12+ 
d) 2(2 3 3)+ 
e) 6( 2 1)+ 
 
3. (G1 - epcar (Cpcar) 2016) Um terreno com formato de um triângulo retângulo será dividido em dois lotes por uma cerca feita na 
mediatriz da hipotenusa, conforme mostra figura. 
 
 
 
Sabe-se que os lados AB e BC desse terreno medem, respectivamente, 80 m e 100 m. Assim, a razão entre o perímetro do lote I e 
o perímetro do lote II, nessa ordem, é 
a) 
5
3
 
b) 
10
11
 
c) 
3
5
 
d) 
11
10
 
 
4. (G1 - epcar (Cpcar) 2016) As cidades A, B e C situam-se às margens de um rio e são abastecidas por uma bomba situada em P, 
conforme figura abaixo. 
 
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Sabe-se que o triângulo ABC é retângulo em B e a bissetriz do ângulo reto corta AC no ponto P. Se BC 6 3 km,= então CP é, 
em km, igual a 
a) 6 3+ 
b) ( )6 3 3− 
c) 9 3 2− 
d) ( )9 2 1− 
 
5. (Ime 2015) Num triângulo ABC isósceles, com ângulos iguais em B e C, o seu incentro I se encontra no ponto médio do segmento 
de reta que une o seu ortocentro H a seu baricentro G. O segmento de reta AG é menor que o segmento de reta AH. Os 
comprimentos dos segmentos de reta HI e IG são iguais a d. Determine o perímetro e a área desse triângulo em função de d. 
 
6. (Ita 2014) Em um triângulo isósceles cuja área mede a razão entre as medidas da altura e da base é igual 
a Das afirmações abaixo: 
 
I. As medianas relativas aos lados e medem 
II. O baricentro dista 4 cm do vértice A; 
III. Se é o ângulo formado pela base com a mediana relativa ao lado então 
 
é (são) verdadeira(s) 
a) Apenas I. 
b) Apenas II. 
c) Apenas III. 
d) Apenas I e III. 
e) Apenas II e III. 
 
7. (Ita 2013) Em um triângulo de vértices A, B e C, a altura, a bissetriz e a mediana, relativamente ao vértice C, dividem o ângulo ˆBCA 
em quatro ângulos iguais. Se é a medida do lado oposto ao vértice C, calcule: 
a) A medida da mediana em função de . 
b) Os ângulos ˆCAB, ˆABC e ˆBCA. 
 
8. (G1 - col. naval 2011) Em um triângulo acutângulo não equilátero, os três pontos notáveis (ortocentro, circuncentro e baricentro) 
estão alinhados. Dado que a distância entre o ortocentro e o circuncentro é 'k', pode-se concluir que a distância entre o circuncentro e 
o baricentro será 
a) 
5k
2
 
ABC, 248cm , AP BC
2
.
3
AB AC 97 cm;
α BC BM, AC,
3
cos ,
97
α =
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b) 
4k
3
 
c) 
4k
5
 
d) 
k
2
 
e) 
k
3
 
 
9. (Pucrj 1999) Seja ABC um triângulo equilátero de lado 1cm em que O é o ponto de encontro das alturas. Quando mede o segmento 
AO? 
 
10. (Pucmg 1997) Na figura, o triângulo ABC é equilátero e está circunscrito ao círculo de centro 0 e raio 2 cm. AD é altura do triângulo. 
Sendo E ponto de tangência, a medida de AE, em centímetros, é: 
 
a) 2 3 
b) 2 5 
c) 3 
d) 5 
e) 26 
 
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Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
 [A] 
 
[I] Verdadeira, pois todo triângulo que obedece o teorema de Pitágoras é retângulo. 
 
[II] Verdadeira. Seja α e β as medidas dos ângulos agudos de um triângulo retângulo e x e y as medidas dos ângulos formados 
pelas suas bissetrizes. Observe a figura abaixo que representa essa situação. 
 
 
 
x 180 x 180
2 2 2
x 180 45 x 135 e y 45
α β α β+
+ + =   =  − 
=  −   =  = 
 
 
[III] Falsa. O círculo do círculo circunscrito em um triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa deste triângulo. 
 
[IV] Falsa. O ponto que equidista dos lados é o incentro. 
 
Resposta da questão 2: 
 [A] 
 
( )
( )
( )
4 4
4 4
2
2
4
a 2 3 2 3
2R 2R 2R
sen sen15 sen(45 30 )
4
2 3 2R R 3 6 2
6 2
RApótema triângulo equilátero inscrito
2 R 3
Pr oduto
4R 3Apótema hexágono regular inscrito
2
3 6 2 3
6 3 3 3 3 2
4
α
= → = → =
  − 
 = → =  +
−
→
=
→
  + 
 
= + = +
 
 
Resposta da questão 3: 
 [D] 
 
Se que os lados AB e BC medem 80 e 100 metros, então o lado AC mede 60 metros (Teorema de Pitágoras). Sabe-se também 
que os segmentos CM e BM são iguais e medem 50 metros (pois MP é mediatriz da hipotenusa). Como o triângulo ABC é 
semelhante ao triângulo PMB, pode-se escrever: 
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lote1 lote1
lote2 lote2
100 50 125
PB m
PB 80 2
125 35
AP 80 AP m
2 2
MP 50 75
MP m
60 80 2
75 35
P 60 50 P 165 m
2 2
75 125
P 50 P 150 m
2 2
=→ =
= − → =
= → =
= + + + → =
= + + → =
 
 
Portanto, a razão entre os perímetros dos lotes I e II será: 
lote1
lote2
P 165 11
P 150 10
= = 
 
Resposta da questão 4: 
 [B] 
 
Com os dados da figura, pode-se escrever: 
BA 3 BA
tg 30 BA 6
3BC 6 3
 = → = → = 
 
Ainda, pelo Teorema de Pitágoras: 
( )
22 2 2 2 22AC BC BA AC 6 3 6 AC 144 AC 12= + → = + → = → = 
 
E finalmente pelo teorema da bissetriz interna: 
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
BC BA 6 3 6
72 3 6 3 PC 6 PC 6 PC 1 3 72 3
PC PA PC 12 PC
1 372 3
6 PC 6 PC 36 3 1 3 PC 18 6 3 PC 6 3 3
1 3 1 3
= → = → −  =  →   + =
−
−
 =  →  = − − → = − → = −
+ −
 
 
Resposta da questão 5: 
 Pelos dados do enunciado pode-se desenhar: 
 
 
 
Se G é o baricentro do triângulo ABC, e considerando a como sendo o lado maior do triângulo isósceles, então pode-se escrever: 
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AGB ABC
a GJ a CL
3 S S 3 CL 3GJ
2 2
 
 = →  = → = 
 
Sabendo que AG 2GM,= e considerando HM como x, pode-se escrever: 
( )
GM 2d x
AG 2 2d x AG 4d 2x
= +
=  + → = +
 
 
Por semelhança de triângulos, têm-se: 
( ) ( )d x 6d 2xHL d x
HL
6d 2x 5d 2x 5d 2x
+  ++
= → =
+ + +
 ¨ 
( )x 5d 2xCH 5d 2x
CH
x d x d x
 ++
= → =
+ +
 
( ) ( )d x 4d 2xGJ d x
GJ
4d 2x 5d 2x 5d 2x
+  ++
= → =
+ + +
 
 
Sabe-se que CL 3GJ,= logo: 
( ) ( )d x 4d 2x
CL 3
5d 2x
+  +
= 
+
 
 
Mas CL CH HL,= + portanto: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 2 3 3 2 2 2 2 3 2 2 3 3
x 5d 2x d x 6d 2x x 5d 2x d x 6d 2x
CL CH HL
d x 5d 2x d x 5d 2x
25d x 20dx 4x 6d 12d x 6dx 2xd 4dx 2x 39d x 30dx 6x 6d
CL
d x 5d 2x d x 5d 2x
 + +  +  + + +  +
= + = + =
+ + +  +
+ + + + + + + + + + +
→ =
+  + +  +
 
Igualando as duas equações, tem-se: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 3 3
2 2 2 3 3
3 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2
d x 4d 2x 39d x 30dx 6x 6d
3 3 d x 4d 2x 39d x 30dx 6x 6d
5d 2x d x 5d 2x
12d 30d x 24dx 6x 39d x 30dx 6x 6d 6d 9d x 6dx 0
+  + + + +
 = →  +  + = + + +
+ +  +
+ + + = + + + → − − =
 
Dividindo tudo por d e resolvendo a equação, tem-se: 
3 2 2 2 2
2 2 2 2 2
6d 9d x 6dx 0 6d 9dx 6x 0
( 9x) 4 6 ( 6x ) 81x 144x 225x
9x 15x
d d 2x (OBS. : solução com d 0 descartada)
12
d
x
2
− − = → − − =
 = − −   − = + →  =

= → = 
=
 
 
Substituindo o valor de x, tem-se: 
( ) 2d d5d d 6d d 2 12d 12d2 2CH 6d CH 2d
d 3d 2 3d 6d 6d
2 2
 + 
= = =   = = → =
+
 
 
Analisando o triângulo CHM e considerando b como sendo o lado menor do triângulo isósceles, pelo Teorema de Pitágoras, tem-se: 
( )
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2d b d b2d 4d 16d d b b 15d b d 15
2 2 4 4
   
= + → = + → − = → = → =   
   
 
 
Para encontrar o lado maior a, pode-se analisar o triângulo AMB, também pelo Teorema de Pitágoras: 
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( )
22 2
22 2 2 2
d d 15d
AM AG 2d HM 4d 2x 2d x 4d 2 2d AM
2 2 2
b 15d d 15
a AM a a 60d a d 60 a 2d 15
2 2 2
= + + = + + + = +  + + → =
    
= + → = + → = → = → =           
 
 
A área do triângulo ABC será: 
2
ABC ABC
15d
d 15
b AM 15d 152S S
2 2 4


= = → = 
 
O perímetro do triângulo ABC será: 
P b 2a d 15 2 2d 15 P 5d 15= + = +  → = 
 
Resposta da questão 6: 
 [A] 
 
[I] Verdadeira. Sabendo que a área do triângulo mede e que vem 
 
 
Logo, 
 
 
 
Como é ponto médio de é imediato, pelo Teorema de Pitágoras aplicado no triângulo que 
 
Portanto, sendo o pé da mediana relativa ao lado tem-se 
 
 
 
[II] Falsa. De fato, sendo o baricentro do triângulo temos 
 
 
 
[III] Falsa. Sabendo que vem Assim, do triângulo obtemos 
 
 
ABC 248cm
2
AP BC,
3
= 
2 2
1 1 2
(ABC) BC AP 48 BC BC
2 2 3
BC 3 4
BC 12cm.
=    =   
 = 
 =
2
AP 12 8cm.
3
=  =
P BC, APC, AB AC 10cm.= =
M AC,
2 2 2
2 2 2
1
2 (AB BC ) AC
2
1
2 (10 12 ) 10
2
122 25
97 cm
B
.
M   + −
=   + −
= −
=
=
G ABC,
2 2
AG AP 12 8cm.
3 3
=  =  =
BM 97 cm,=
2 2 97
BG BM cm.
3 3
=  = BGP,
BP 6 9
cos .
BG 2 97 97
3
α = = =
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Resposta da questão 7: 
 Considere a figura. 
 
 
 
Seja P o ponto diametralmente oposto ao ponto C e H o pé da perpendicular baixada de C sobre AB. É fácil ver que ACB BPC 
e AHC CBP (pois CP é diâmetro). Logo, ACH BCP e, portanto, o diâmetro CP contém a mediana do triângulo ABC relativa 
ao vértice C e o circuncentro O do triângulo ABC. Além disso, como O é a interseção da mediana relativa ao vértice C e da 
mediatriz de AB, segue que M O,= com M sendo o ponto médio do lado AB. Por conseguinte, o triângulo ABC é retângulo em 
C. 
 
a) Como o triângulo ABC é retângulo em C, temos 
AB
CM .
2 2
= = 
b) Sendo I o pé da bissetriz por C, considere a figura. 
 
 
 
Sejam ACH HCI ICM MCB .α   = Logo, ACB 4 90 4 22 30'.α α α=   =  =  Portanto, 
 
BAC 90 ACH
90 22 30'
67 30'
=  −
=  − 
= 
 
 
e 
 
ABC 90 BAC
90 67 30'
22 30'.
=  −
=  − 
= 
 
 
Resposta da questão 8: 
 [E] 
 
Seja ABC um triângulo acutângulo isósceles. 
Sejam O, G e H, respectivamente, o circuncentro, o baricentro e o ortocentro. 
Como a distância do baricentro ao ortocentro é o dobro da distância do baricentro ao circuncentro, segue que 
 
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= 
  =  =
= + =
GH 2 OG k
3 OG k OG .
3OH GH OG k
 
 
 
 
Resposta da questão 9: 
 AO = 
3
3
cm 
 
Resposta da questão 10: 
 [A]