Exercícios Gerais Resolvidos Integrais - Cálculo 1 - James Stewart

Prévia do material em texto

1 
 
Exercícios de Integrais – James Stewart 
 
Exercício 39, página 484 – 5ª Edição: Avalie a integral 
 
 
Solução: Aqui, usamos a mesma técnica usada para o cálculo da integral 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando então: , temos que, 
 
Fazendo a substituição obtemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Poderíamos também fazer: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tomando então: , temos que, 
 
Fazendo a substituição obtemos: 
 
 
 
 
Assim, temos que: 
 
 
 
 e 
são primitivas da função . 
 
De fato: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Também, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
 
 
 
 
 
Exercício Extra: Mostre que: 
 
 
 
 
Solução: Temos, pelo exercício anterior, que: 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Mostrando de outra forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 34, página 484 – 5ª Edição: Avalie a integral 
 
 
Solução: Aqui, observe que a potência da tangente é par e a potência da secante é 1. Desta 
forma, não podemos usar a estratégia constante na página 482 do Livro, 5ª Edição. 
Desta forma, escrevemos: 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da integral : 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo, , temos . 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da integral : 
3 
 
 
 
 
 
 
 
Integramos por partes: 
 e 
Logo, 
 e 
Daí, 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde 
 
Exercício: Calcule a integral 
 
Solução: Inicialmente, fazemos a seguinte substituição: e . 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, vamos calcular a integral : 
Escrevamos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da integral : 
 
 
 
 
 
 
 
Integramos por partes: 
 e 
Logo, 
 e 
4 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
Mas: 
 
 
 
 
 
e, 
 
 
 
 
 
já calculado no exercício 34. 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde . 
 
Cálculo da integral : 
 
 
 
 
 
 
 
Integramos por partes: 
 e 
Logo, 
 e 
Daí, 
 
 
 
 
 
Mas: 
 
 
 
 
 
e, 
 
 
 
 
 
 
 
 
já calculado acima. 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Disto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde e . 
 
Por fim, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde . 
 
Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1: Se for contínua em , então a função definida 
por 
 
 
 
 
é contínua em e diferenciável em e . 
 
Página 364 (6ª Edição) – Exercício 15: Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para 
achar a derivada da função. 
 
 
 
 
Solução: Faça . Então 
 
 
 . 
Também, 
 
 
 
 
 
 
 
 
, e então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
Página 401 (5ª Edição); 364 (6ª Edição) – Exercício 17: Use a Parte 1 do Teorema Fundamental 
do Cálculo para achar a derivada da função. 
 
 
 
 
 
 
 
Solução: Faça . Então 
 
 
 . 
Também, 
 
 
 
 
 
 
 
 
, e então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 401 (5ª Edição); 364 (6ª Edição) – Exercício 18: Use a Parte 1 do Teorema Fundamental 
do Cálculo para achar a derivada da função. 
 
 
 
 
 
Solução: Faça . Então 
 
 
 . 
Também, 
 
 
 
 
 
 
 
 
, e então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
Exercício 54, Página 401 (5ª Edição); Exercício 58, Página 365 (6ª Edição): Ache o intervalo em 
que a curva 
 
 
 
 
 
 
 
é côncava para cima. 
 
Solução: Temos, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, 
 
 
 
 
Visto que . Logo, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a curva é côncava para cima no intervalo . 
 
Página 401 (5ª Edição); 365 (6ªEdição) – Exercício 37: Use a Parte 2 do Teorema Fundamental 
do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
7 
 
Solução: Temos que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício Extra do Guidorizzi: Ache os pontos de inflexão da função . 
 
Solução: Temos que: 
 
 
 
 
Derivando temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, temos: 
 
 
 
 
 
Visto que é contínua em , e 
 , podemos afirmar que é um ponto de inflexão da função . 
 
Exercícios do Stewart (7ª Edição): Página 398 
Exercício 61: (a) Escreva uma integral para o volume de um toro sólido (o sólido com formato 
de rosquinha) com raios e . 
(b) Interpretando a integral como uma área, encontre o volume do toro. 
 
Solução: O toro é o sólido obtido pela rotação do círculo de equação , isto é, o 
círculo de centro e raio , em torno do eixo . 
Da equação do círculo, escrevemos duas funções de em função de : 
 
 
 
 
Chame e . 
Então, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Observe que a integral: 
 
 
 
 
representa a área de um quarto do círculo de raio . 
Por outro lado, a área de um quarto do círculo de raio é 
 
 
 
 
Então, temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios do Stewart (7ª Edição): Página 403 
Exercício 46: Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do toro sólido do Exercício 61 
da página 398. 
 
Solução: O toro é o sólido obtido pela rotação do círculo de equação , isto é, o 
círculo de centro e raio , em torno do eixo . 
Temos que: e . Vamos considerar a 
função positiva ( ) e para considerar a parte negativa, pela simetria, 
multiplicamos por . Então: 
 
 
 
 
Por substituição façamos: 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da integral : 
 
 
 
 
 
 
 
 
pois representa a área de um semicírculo de raio . 
Outra forma de se ver isto: 
Faça: 
 
 
 . Também, ; . 
Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
 
Cálculo da integral : 
 
 
 
 
 
Faça: . Também, ; . 
Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(O fato da integral ter dado zero não é de se estranhar pois a função é uma função 
impar, isto é, ) 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios do Stewart (7ª Edição): Página 424 
Exercício 62: Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela 
rotação da região delimitada pelas curvas , , , e em torno de 
 . 
 
Solução: Como o volume solicitado gerado da rotação da região em torno do eixo ( ), temos 
que o volume é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da Integral : 
 
 
 
 
 
Faça , , . 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da Integral : 
 
 
 
 
 
Faça , , . 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios do Stewart (7ª Edição): Página 424 
Exercício 63: Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela 
rotação da região delimitada pelas curvas , , e em torno de . 
 
10 
 
Solução: Inicialmente fazemos a seguinte consideração: se o volume solicitado fosse da rotação da 
região em torno do eixo ( ), teríamos que o volume seria dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
Faça , , . 
Assim, 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
Agora, voltemos ao problema proposto: 
A rotação é feita em torno da reta . 
Portanto, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Faça , , . 
Assim, 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
Exercícios do Stewart (7ª Edição): Página 398 
Exercício 61: (a) Escreva uma integral para o volume de um toro sólido (o sólido com formato de rosquinha) 
com raios e . 
(b) Interpretando a integral como uma área, encontre o volume do toro. 
 
Solução: O toro é o sólido obtido pela rotação do círculo de equação , isto é, o círculo de 
centro e raio , em torno do eixo . 
 
Da equação do círculo, escrevemos duas funções de em função de : 
 
 
 
 
Chame e . 
Então, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
 
 
 
 
(b) Observe que a integral: 
 
 
 
 
representa a área de um quarto do círculo de raio . 
Por outro lado, a área de um quarto do círculo de raio é 
 
 
 
 
Então temos, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios do Stewart (7ª Edição): Página 403 
Exercício 46: Use cascas cilíndricas para encontrar o volume do toro sólido do Exercício 61 
da página 398. 
 
Solução: O toro é o sólido obtido pela rotação do círculo de equação , isto é, o 
círculo de centro e raio , em torno do eixo . 
Temos que: e . Vamos considerar a 
função positiva ( ) e para considerar a parte negativa, pela simetria, 
multiplicamos por . Então: 
 
 
 
 
Por substituição façamos: 
 
 
 
 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da integral : 
 
 
 
 
 
 
 
 
pois representa a área de um semicírculo de raio . 
Outra forma de se ver isto: 
Faça: 
 
 
 . Também, ; . 
Então,Cálculo da integral : 
 
 
 
 
 
12 
 
Faça: . Também, ; . 
Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(O fato da integral ter dado zero não é de se estranhar pois a função é uma função impar, 
isto é, ) 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios do Stewart (7ª Edição): Página 424 
Exercício 62: Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela rotação da região 
delimitada pelas curvas , , , e em torno de . 
 
Solução: Temos a seguinte região: 
 
Como o volume solicitado gerado da rotação da região em torno do eixo ( ), temos que o volume é 
dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da Integral : 
 
 
 
 
 
Faça , , . 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da Integral : 
 
 
 
 
 
Faça , , . 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercícios do Stewart (7ª Edição): Página 424 
Exercício 63: Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela 
rotação da região delimitada pelas curvas , , e em torno de . 
 
Solução: Inicialmente fazemos a seguinte consideração: se o volume solicitado fosse da rotação da 
região em torno do eixo ( ), teríamos que o volume seria dado por: 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faça , , . 
Assim, 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
Agora, voltemos ao problema proposto: 
A rotação é feita em torno da reta . 
Portanto, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Faça , , . 
Assim, 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
Exercícios do Stewart (7ª Edição): Página 424 
Exercício 61: Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela 
rotação da região delimitada pelas curvas , e em torno do eixo 
 , isto é, . 
 
Solução: Como o volume solicitado gerado da rotação da região em torno do eixo ( ), temos 
que o volume é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Faça , , . 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 62: Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela 
rotação da região delimitada pelas curvas , , , e em torno de 
 . 
 
Solução: Como o volume solicitado gerado da rotação da região em torno do eixo ( ), temos 
que o volume é dado por: 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da Integral : 
 
 
 
 
 
Faça , , . 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo da Integral : 
 
 
 
 
 
Faça , , . 
Assim, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exercício 63: Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela 
rotação da região delimitada pelas curvas , , e em torno de . 
 
Solução: Inicialmente fazemos a seguinte consideração: se o volume solicitado fosse da rotação da 
região em torno do eixo ( ), teríamos que o volume seria dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
Faça , , . 
Assim, 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
Agora, voltemos ao problema proposto: 
A rotação é feita em torno da reta . 
Portanto, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
Faça , , . 
Assim, 
15 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
Exercício 58: Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume gerado pela 
rotação da região delimitada pelas curvas , e ao redor do eixo . 
 
Solução: Como o volume solicitado gerado da rotação da região em torno do eixo ( ), temos 
que o volume é dado por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 451 – 7ª Edição. 
15. (13 – 5ª Edição) Calcule a integral 
 
 
 
 
 
Solução: Fazendo , ( ), temos então que . Assim, podemos 
reescrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
41. (41 – 5ª Edição) Calcule a integral 
 
 
Solução: Aqui, vamos integrar por partes. Faça , . Temos então 
que , . Assim, podemos reescrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
 
 
 
 
 
49. (49 – 5ª Edição) Calcule a integral 
 
 
 
 
 
Solução: Aqui, fazemos . Logo, . Disto, 
 . 
Então, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Página 500 – 5ª Edição. 
25. Avalie a integral 
 
 
 
 
 
Solução: Temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo , na equação , obtemos: . E passa a 
 . 
Agora, fazendo , na equação , obtemos: . E 
torna-se: . 
Assim, de , temos 
Logo, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29. Avalie a integral 
 
 
 
 
 
Solução: Temos que é irredutível pois . Assim, temos: 
17 
 
 
 
 
 
 
 
(aqui não temos que fazer nada em termos de fatoração de ). 
Daí,Cálculo de : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
37. Avalie a integral 
 
 
 
 
 
Solução 1: Temos que é irredutível pois . Observamos que 
 . Assim, escrevemos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Daí, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cálculo de : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
18 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto,