Lei de Coulomb para uma Distribuição Discreta de Cargas Elétricas2

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Distribuição de Cargas Discretas. Lei de Coulomb 
Carga elétrica 
A carga elétrica é uma propriedade física fundamental que determina as interacções 
electromagnéticas. Encontra-se nas partículas 
elementares que compõem o átomo. O átomo é 
formado por protões, neutrões e electrões, sendo que: 
Protões: Localizam-se no núcleo do átomo e possuem 
carga elétrica positiva; Electrões: Ficam na 
electrosfera, região ao redor do núcleo atômico, e têm 
carga elétrica negativa; Neutrão: Também localizado 
no núcleo atômico, não possui carga elétrica. 
As cargas são normalmente equivalentes a um número muito elevado de cargas elementares. Por 
isso é uma boa aproximação admitir que a carga varia continuamente e não de forma discreta. 
A unidade de grandeza da carga elétrica no Sistema Internacional de Unidades é o Coulomb, 
representado pela letra C, em homenagem a Charles Augustin Coulomb. Todos os corpos são 
formados por cargas elétricas, porém, não é fácil perceber suas propriedades, pois a maioria dos 
corpos, estão electricamente neutros e possuem, portanto, a mesma quantidade de protões e 
electrões. Um corpo pode ser eletrizado de duas formas: positivamente: se possui mais protões 
que electrões ou negativamente: se possui mais electrões do que protões. 
 carga elementar 
A carga elétrica elementar é a menor quantidade de carga que pode ser encontrada na natureza. 
Seu valor é igual a 1,6 . 10
-19
 C e é atribuído à carga do electrtão (com sinal negativo) e à do 
protão (com sinal positivo). A partir desse valor, podemos perceber que 1 C é uma unidade muito 
grande para a carga elétrica, por isso, é comum a utilização de seus submúltiplos. Os principais 
são: mC (milicoulomb) 10
-3
C; μC (microcoulomb) 10
-6
C; nC (nanocoulomb) = 10
-9 
C 
Princípios da eletrostática 
A eletrostática é a parte da Física que estuda fenômenos associados às cargas elétricas em 
repouso. Ela é regida pelos seguintes princípios: (a) Princípio da conservação da carga elétrica: a 
somatória da carga elétrica de um sistema eletricamente isolado é constante; (b) Quantificação da 
carga elétrica: de acordo com esse princípio, a carga elétrica é quantificada, ou seja, sempre um 
múltiplo do valor da carga elétrica elementar. A carga de um corpo é 
dada pela equação: Q = n . e, sendo Q - a carga elétrica total de um 
corpo; n - o número de electrões perdidos ou recebidos; e - a carga 
elementar (1,6 . 10
-19
 C). (c) Princípio da atração e repulsão das cargas 
elétricas: cargas elétricas de mesmo sinal repelem-se, e cargas de sinais contrários atraem-se. 
Eletrização 
Para que um corpo, inicialmente neutro, fique eletricamente carregado, ele precisa passar por um 
processo de eletrização, que pode ocorrer de três formas: (a) por atrito: quando dois corpos 
neutros e feitos de diferentes materiais são atritados entre si, um deles ganha electrões (adquire 
carga negativa) e o outro perde electrões (adquire carga positiva). Nesse tipo de eletrização, os 
dois corpos ficam com carga de módulo igual, mas de sinais opostos. (b) por contato: ocorre 
quando dois corpos condutores, estando um deles eletrizado, são colocados em contato e a carga 
elétrica é redistribuída entre os dois, estabelecendo equilíbrio eletrostático. Ao fim desse 
processo, os dois corpos ficam com a mesma carga. (c) por indução: esse processo de 
eletrização ocorre em três etapas: 
I. inicialmente se aproxima um corpo eletrizado de um corpo neutro, fazendo com que neste 
haja a separação de cargas (indução electroestática); 
II. em seguida, conecta-se um condutor ao corpo neutro, ligando-o a terra, fazendo com que 
uma parte do condutor seja neutralizada; 
III. por fim, desconecta-se o corpo da terra e ele fica eletrizado com mesma carga, porém 
com sinal oposto às cargas do corpo usado para induzir a separação de cargas. 
Entre partículas elétricas existem forças gravitacionais de atração devido às suas massa e forças 
eléctricas devidas às suas cargas elétricas. Nesse caso, as forças gravitacionais podem ser 
desprezadas, visto que a massa de uma partícula é ínfima. A força gravitacional só é perceptível 
quando há a interação entre corpo de massas de grandes proporções, como a Terra e a Lua, por 
exemplo. 
Lei de Coulomb 
Todas as forças em Física são derivadas a partir de quatro interações fundamentais: 
gravitacional, eletromagnética, nuclear forte e interação fraca. As forças nuclear e de interação 
forte são importantes apenas nas dimensões nucleares, em algumas colisões entre núcleos e no 
decaimento de partículas elementares instáveis. A força gravitacional, que nos é bastante 
familiar, é importante somente quando a massa de um dos dois objetos interagentes é comparável 
com a massa de um planeta qualquer. 
As forças do tipo eletromagnéticas dominam todos as interações entre sistemas desde os átomos 
aos planetas.Usamos a palavra electromagnetismo para enfatizar que os fenômenos elétricos e 
magnéticos não são separáveis e estão diretamente correlacionados. Os efeitos elétricos e 
magnéticos são conseqüências de uma propriedade da matéria denominada "carga elétrica". 
No século XVIII Benjamim Franklin descobriu que as cargas elétricas colocadas na superfície de 
um objeto metálico podem produzir forças elétricas elevadas nos corpos no exterior do objeto, 
mas não produzem nenhuma força nos corpos colocados no interior. 
No século anterior Isaac Newton já tinha demonstrado de forma analítica que a força 
gravítica produzida por uma casca oca é nula no seu interior. Esse resultado é consequência da 
forma como a força gravítica entre partículas diminui em função do quadrado da distância. 
Concluiu então Franklin que a força elétrica entre partículas com carga deveria ser também 
proporcional ao inverso do quadrado da distância entre as partículas. No entanto, uma diferença 
importante entre as forças elétrica e gravítica é que a força gravítica é sempre atrativa, enquanto 
que a força elétrica pode ser atrativa ou repulsiva. Vários anos após o trabalho de Franklin, 
Charles Coulomb (1736-1806) investigou, por volta de 1780, as forças elétricas usando uma 
balança de torção. 
Embora, não havia instrumentos precisos para fazer medidas elétricas, 
Coulomb conseguiu determinar relações matemáticas importantes na 
descrição das interações eletrostáticas. Ele observou que força atractiva 
ou repulsiva era proporcional ao produto das duas cargas em interacção 
(q1e q2) e inversamente proporcional ao quadrado da distância r entre 
elas, que matematicamente pode ser expresso por ⃗ 
 
 
. Esta 
equação ficou conhecida como lei de Coulomb. A constante k é denominada permissividade do 
vácuo e algumas vezes é escrita em termos de uma outra constante Estas duas constantes estão 
relacionadas por; 
 
 
 
 
 
 
A lei de Coulomb pode ser verificada usando o equipamento denominado de balança de torsão, 
representado na figura abaixo. 
Pela lei de Coulomb, duas cargas elétricas pontuais de 1 coulomb separadas de um metro 
exercem uma sobre a outra uma força de 9 × 10
99
N, isto é, 
aproximadamente o peso de 900 000 toneladas. O coulomb 
é, portanto, uma unidade de ordem de grandeza elevada 
para exprimir quantidades de cargas estáticas e utilizam-se 
geralmente seus sub-múltiplos microcoulomb (μC) 
ou nanocoulomb (nC). Outras unidades de medida de carga elétrica, usadas em situações 
especiais, são: carga eléctrica (e); Ampére-hora (Ah); Abcoulomb (AbC) e; Statcoulomb (StC). 
Campo elétrico 
Uma forma diferente de explicar a força eletrostática entre duas partículas com carga consiste em 
admitir que cada carga elétrica cria à sua volta um campo que atua sobre outras partículas com 
carga. Se colocarmos uma partícula com carga q num ponto onde existe um campo elétrico, o 
resultado será uma força elétrica F; o campo elétrico E define-se como a força por unidade de 
carga: ⃗⃗ 
 ⃗
 
 Consequentemente, o campo elétriconum ponto é um vetor que indica a direção e 
o sentido da força elétrica que sentiria uma carga unitária positiva colocada nesse ponto.No 
sistema SI, o campo elétrico tem unidades de newton sobre coulomb (N/C). 
 O campo elétrico produzido por uma carga pontual positiva Q são vetores com direção e sentido 
a afastar-se da carga, como se mostra no lado esquerdo da figura ao lado. 
Uma forma mais conveniente de representar esse campo vetorial consiste em desenhar algumas 
linhas de campo, como foi feito no lado direito da figura anterior. Em cada ponto, a linha de 
campo que passa por esse ponto aponta na direção do campo. O módulo do campo é maior nas 
regiões onde as linhas de campo estão mais perto umas das outras. 
Para calcular o valor do campo elétrico produzido pela carga pontual num ponto, coloca-se uma 
carga de prova nesse ponto e divide-se a força elétrica pela carga ⃗⃗ 
 ⃗
 
. Usando a lei de 
Coulomb, obtemos o módulo do campo elétrico produzido pela carga Q : a: ⃗⃗ 
 ⃗
 
 
 
 
 
 
 
 
 
onde d é a distância desde a carga Q que produz o campo, até o ponto onde se calcula 
o campo. O sinal da carga Q indica se o campo é repulsivo ou atractivo 
O campo elétrico criado por uma única carga pontual é muito fraco para ser observado. Os 
campos que observamos mais facilmente são criados por muitas cargas; seria preciso somar 
vectorialmente todos os campos de cada carga para obter o campo total. 
As linhas de campo elétrico produzidas por um sistema de muitas cargas já não serão retas, como 
na figura anterior, mas poderão ser curvas. 
Exemplos 
Exemplo 1 - Calcule o número de electrões existentes em uma pequena bola de carvão 
com 1,0 g de massa. 
Resolução - Para resolver esta questão estamos levando em conta que o carvão é 
formado apenas por átomos de carbono que tem número atômico (Z) igual a 6 e peso 
atômico 12. Portanto 12g de carvão formam um mol e contém 6,02 x 1023átomos ou 
seis vezes mais electrões. O número de electrtãos em 1 g de carbono é então 
 
 
( ) 
Existe uma grande similaridade entre a lei de Coulomb e a lei universal da gravitação. 
Ambas são inversamente proporcional ao quadrado distância entre dois objetos. 
Ambas são proporcionais ao produto de uma propriedade de cada corpo - massa para a 
gravitação e carga para eletrostática. A maior diferença entre estas duas leis é que a 
gravitacional é sempre atrativa, enquanto a eletrostática pode ser tanto repulsiva 
quanto actrativa. 
Exemplo 2 - Determine a magnitude da força elétrica em um electrtão no 
átomo de hidrogênio, exercida pelo protão situado no núcleo atômico. 
Assuma que a órbita eletrônica tem um raio médio de r = 0.53 x 10-10 m. Veja figura 
ao lado. 
Solução - De acordo com a lei de Coulomb, força, em módulo, entre as duas cargas é 
dada por: 
 
 
 
 
 
( )( )
( ) 
 . A 
direção da força no electrtão é a mesma da linha que liga ambas. Como as cargas têm 
sinais opostos então a força é do tipo atrativa. 
Exemplo 3 - Calcule a força eletrostática resultante na 
carga qo devido as cargas q1 e q2, distribuídas na 
configuração apresentada na figura ao lado 
Solução - As forças ⃗ e ⃗ têm as suas direcções e 
sentidos no diagrama vetorial ao lado; q1 exerce uma força atractiva sobre qo e q2 uma 
força repulsiva. As magnitudes (módulos) de ⃗ e ⃗ são iguais a 
 
 
 
 
 
 
( )( )
( ) 
=45N e 
 
 
 
( )( )
( ) 
=360N 
A força ⃗ pode ser decomposta em componentes nas direções x e y. Assim, = 
 ( 
 ) e = ( 
 ) 
A força ⃗ tem apenas uma componente y. Assim, as componentes da força resultante 
em qo são = e = . 
A força resultante é ⃗ ⃗ ⃗ e cujo módulo é F √ 
 
 . 
Princípio da Superposição 
Até agora, discutimos as forças elétricas devido a interação entre dois corpos 
carregados. Sabemos também que as cargas elétricas elementares podem se agrupar no sentido 
de formarem diferentes tipos de distribuição de cargas. Estas distribuições pertencem a dois 
grupos distintos; a distribuição discreta e a contínua. As distribuições contínuas de cargas se 
dividem em três classes; as distribuições lineares, as de superfícies e as volumétricas. 
Vamos supor que uma carga de prova positiva (qo) tenha sido colocada na presença de 
várias outras cargas.Qual será, então, a força eletrostática resultante sobre qo? Somos 
tentado a resolver este problema da mesma maneira como é feito com a força 
gravitacional na mecânica, isto é, adicionar vetorialmente as forças que atuam 
separadamente entre dois corpos, para obter a força resultante. Este método é 
conhecido como princípio da superposição. Na figura do exemplo 3, mostramos a 
representação esquemática das forças actuando em qo, devido a todas as outras forças. 
Embora este resultado possa parecer óbvio, ele não pode ser derivado de algo mais 
fundamental. A única forma de verificá-lo é testando-o experimentalmente. 
No caso de N partículas carregadas, temos que a força resultante 
sobre qo, é a soma vetorial de todas as forças como a seguir se 
mostra: ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ∑ ⃗ 
 
 
Neste caso, dizemos que a força resultante sobre qo deve-se à 
uma distribuição de cargas discreta e concluímos que a lei de Coulomb para distribuição 
discreta de cargas, também satisfaz o princípio da superposição, isto é; a força resultante sobre a 
carga de prova é a força devido a cada umas das cargas pertencentes à distribuição. 
Exercícios 
1. De acordo com a lei de Coulomb, a força eletrostática entre duas cargas puntiformes em 
repouso é: a) inversamente proporcional ao produto do módulo das cargas e inversamente 
proporcional ao quadrado da distância entre elas. b) diretamente proporcional ao produto do 
módulo das cargas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre elas. c) 
diretamente proporcional ao produto do módulo das cargas e ao quadrado da distância entre 
elas. d) uma grandeza escalar, pois é completamente descrita somente por seu módulo. e) 
uma força de contato e de natureza elétrica. 
2. O equilíbrio eletrostático é uma condição atribuída aos materiais condutores. Em relação a 
esse fenômeno, assinale a alternativa correta: a) Nos condutores em equilíbrio eletrostático, o 
campo elétrico interno é sempre constante, enquanto seu potencial elétrico interno é nulo. b) 
Nos condutores em equilíbrio eletrostático, o campo elétrico interno é sempre nulo, enquanto 
seu potencial elétrico interno é constante. c) Nos condutores em equilíbrio eletrostático, tanto 
o campo elétrico quanto o potencial elétrico são constantes. d) Nos condutores em equilíbrio 
eletrostático, tanto o campo elétrico quanto o potencial elétrico são nulos. 
3. Um corpo condutor inicialmente neutro perde 5.1013 electrões. Qual será a carga elétrica no 
corpo após esta perda de electrões? 
4. Duas esferas elétricas condutoras e idênticas de cargas elétricas iguais a + 2,0 C e -3,0 C 
tocam-se, transferindo elétrons entre si. A carga elétrica remanescente em cada esfera após o 
contato será igual a: a) 5,0 C; b) 0,5 C; c) -0,5 C; d) -1,0 C; e) 0 C 
5. Um corpo possui 5.0.1019 electrões. Qual é a carga deste corpo? 
6. Em uma actividade no laboratório de física, um estudante, usando uma luva de material 
isolante, encosta uma esfera metálica A, carregada com carga +8 µC, em outra idêntica B, 
eletricamente neutra. Em seguida, encosta a esfera B em outra C, também idêntica e 
eletricamente neutra. Qual a carga de cada uma das esferas? 
7. Considere duas partículas carregadas 
respectivamente com +2,5 µC e -1,5 µC, dispostas 
conforme mostra a figura ao lado. Qual a intensidade da força que atua sobre a carga 2? (0,375N, 
horizontal de direita para esquerda) 
8. Duas cargas elétricas iguais,de módulo 2.10-6 C, encontram-se separadas a uma 
distância de 0,5 m. O módulo da força elétrica entre elas é igual a: a) 0,144 N; b) 0,150 N; c) 4,5 
N; d) 16,9 N; e) 0,169 N 
9. O campo elétrico produzido por uma carga pontual é igual a 50 V/m. Quando uma carga 
de prova de 2.10
-8
 C surge, a força elétrica entre as cargas possui módulo igual a: a) 5.10-6 N; b) 
1.10-6 N; c) 2.10-6 N; d) 1.10-3 N; e) 4.10-2 N 
10. O potencial elétrico de uma carga pontual é de 100 V/m. Um ponto distante dessa carga 
em 0,25 m apresenta potencial elétrico igual a: a) 2,5 V b) 10 V c) 100 V d) 400 V e) 25 V 
11. Determinado corpo encontra-se com excesso de 2.1017 elétrons. O sinal da carga 
adquirida por esse corpo e o seu módulo são respectivamente iguais a: a) 1,6.10-2 C; b) 0,8.10-2 
C; c) 3,2.10-2 C; d) 2,0.10-3 C; e) 2,0.10-3 C 
12. Três cargas puntiformes, de 2,0 mC , 7,0 mC e -4,0 mC estão colocadas nos vértices de 
um triângulo equilátero, de 0,5 m de lado, conforme mostra Fig. 1.2 ao lado. 
Calcular a força resultante sobre a carga de 7,0 mC. 
13. Duas cargas puntiformes, q1=+q e q2=+4q, estão separadas por uma 
distância L, como mostra a Fig. 1.3. Uma terceira 
carga é colocada de forma que o sistema inteiro esteja em 
equilíbrio. Determinar o sinal, o módulo e a localização da terceira carga. 
 
 
14. Duas pequenas esferas idênticas, carregadas, cada qual com massa de 3 x 10-2kg, estão 
penduradas e em equlíbrio, conforme mostra a Fig. 1.4 ao lado. Se o comprimento 
do fio for 0,15 m e o ângulo q=5°, calcular o módulo da carga sobre cada esfera, 
supondo que as esferas tenham cargas idênticas.