Aula_07_DT

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Você verá por aqui... 
Estimado aluno, seja bem vindo! É com grande satisfação que estamos de volta 
ao mundo maravilhoso do Desenho Geométrico. Recorde-se que estudamos na 
aula passada o assunto denominado Circunferência e o Círculo, onde foram 
abordados os conceitos fundamentais que envolvem esse importante capítulo da 
Geometria, além da construção, da divisão em partes iguais e da retificação de 
Circunferências. Na presente aula, por sua vez, estudaremos os temas Tangência e 
Concordância, onde trabalharemos os conceitos e a construção geométrica que 
envolvem mais um importante capítulo da Geometria. É importante ressaltar que 
Tangência e Concordância são os últimos assuntos de Desenho Geométrico que 
serão tratados diretamente neste Curso, encerrando, assim, a primeira unidade 
desta disciplina, a qual se propôs a resolver graficamente problemas de Geometria 
Plana. 
É bom lembrar que devemos obedecer ao conceito e finalidades do Desenho 
Geométrico. Assim sendo, utilizaremos apenas a régua e o compasso como 
instrumentos básicos de desenho para a resolução dos problemas geométricos 
propostos. Desse modo, o traçado, a construção e as operações gráficas deverão 
 
2 
dispensar o uso do par de esquadros durante todo nosso estudo que envolve 
diretamente o Desenho Geométrico. 
 
Objetivo 
 Compreender a definição do conceito de Tangência e 
Concordância. 
 Conhecer os tipos de Tangência e Concordância. 
 Aprender a construir tangências e concordância entre entidades 
geométricas lineares e curvas. 
 
 
 
 
3 
Tangência 
 
A Geometria nos ensina que o menor segmento de reta que se pode traçar a 
partir de um ponto qualquer a uma dada reta (t), num determinado plano, está 
situado sobre a reta perpendicular à reta t em questão, baixada a partir do referido 
ponto à reta t. O citado segmento de reta corresponde à definição do conceito de 
distância entre um ponto e uma reta, desde que esse ponto não pertença a essa 
reta. Este teorema tem aplicação no estudo das posições relativas entre uma reta e 
uma Circunferência. Neste caso, uma reta tem um só ponto em comum com a 
Circunferência quando sua distância ao centro é igual ao raio dessa Circunferência. 
Então, diz-se que uma reta é tangente a uma Circunferência quando o ponto comum 
em que a reta tangente toca a curva, chama-se ponto de contato ou ponto de 
tangência e o raio da citada Circunferência, chama-se normal à reta tangente nesse 
ponto (figura 01). 
 
 
Figura 01 
 
Tipos de Tangência 
Há dois tipos de Tangência. A Tangência entre Circunferência e 
Reta e a Tangência entre Circunferências. Vejamos primeiramente a 
Tangência entre Circunferência e Reta, conforme se segue. 
Tangência entre Circunferência e Reta 
Sabemos que uma reta é dita tangente quando possui apenas um 
ponto em comum com a circunferência. Esse ponto é denominado 
 
4 
Ponto de Tangência e toda reta tangente é perpendicular ao raio no 
ponto de tangência. Como vimos anteriormente, esse raio é 
denominado de normal da tangente (figura 02). 
 
Figura 02 
 
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Tangência entre duas circunferências 
Sabemos que uma reta é dita tangente quando possui apenas 
um ponto em comum com a circunferência. Quanto à Tangência 
entre duas circunferências, devemos saber, ainda, que: 
 duas circunferências são tangentes entre si quando têm 
apenas um ponto comum, que também é denominado ponto de 
tangência; 
 nas circunferências tangentes entre si, os centros e o ponto de 
tangência são alinhados, ou seja, são colineares; 
 as circunferências tangentes entre si podem ser internas ou 
externas; 
 uma circunferência é interna quando seu centro está na região 
interna de outra circunferência; 
 uma circunferência é externa quando seu centro está na região 
externa de outra circunferência. 
 
Tangentes externas 
Podemos dizer que uma Circunferência é Tangente 
Externa a uma outra Circunferência, quando (figura 03): 
 
 
Figura 03 
 
 
 
6 
 
 
Tangentes internas 
Podemos dizer que uma Circunferência é Tangente 
Interna a uma outra Circunferência, quando (figura 04): 
 
 
Figura 04 
 
 
Regras de Tangência 
Como vimos no tópico anterior, há dois tipos de Tangência. A 
Tangência entre Circunferência e Reta e a Tangência entre 
Circunferências. Desse modo, apresentaremos as regras que dão 
suporte à resolução de problemas que envolvem esses dois tipos de 
Tangência. 
Regras de Tangência entre Circunferência e Reta 
Neste caso, é importante saber que: 
 o centro da circunferência e o ponto de tangência 
estão em uma mesma reta suporte (figura 05); 
 a reta tangente e o raio formam um ângulo de 90
0
 
entre si no ponto de tangência (figura 05). 
 
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Figura 05 
 
Regras de Tangência entre Circunferências 
Neste caso, é importante saber que: 
 os centros das circunferências e o ponto de tangência 
estão em uma mesma reta suporte (figura 06); 
 as circunferências tangentes podem ser internas(C1 e 
C2) ou externas (C1 e C3 ou C2 e C3) (figura 06); 
 o centro da circunferência e o ponto de tangência estão 
em uma mesma reta suporte (figura 06); 
 
 
Figura 06 
 
 
Atividade 01 
Pense e responda às questões abaixo: 
1. Quando uma reta é dita tangente a uma dada circunferência? 
 
 
8 
2. Podemos afirmar que duas circunferências tangentes entre si admitem uma reta 
tangente as ambas no ponto de tangência? 
 
3. A distância entre um ponto de tangência e o centro de uma circunferência 
corresponde a que entidade geométrica? 
 
4. Qual é o ângulo formado entre uma reta tangente a uma circunferência e o raio 
dessa circunferência? 
 
5. Quando podemos afirmar que uma circunferência é tangente externa a uma dada 
circunferência? 
6. Quando podemos afirmar que uma circunferência é tangente interna a uma dada 
circunferência? 
 
7. Quando estamos diante de duas circunferências tangentes entre si, podemos 
afirmar que os seus respectivos centros e o ponto de tangência pertencem a uma 
mesma reta? 
 
Construção de retas e circunferências tangentes entre si 
Iremos explorar a Tangência entre Circunferência e Reta e a 
Tangência entre Circunferências através da resolução de problemas 
propostos. 
Aplicação 1 
Dada a circunferência de centro P, traçar a reta tangente m 
que passa pelo ponto A: 
Dado(s) (figura 07): 
 
9 
 
 
Figura 07 
 
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s) 
 Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta r que 
passe pelos pontos P e A; 
 Com auxílio do compasso, construa, geometricamente, o 
ângulo de 90
0
 no ponto A, em relação a r; 
 Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta t sobre 
a semi-reta recém traçada ao construir o ângulo de 90
0
. 
Portanto, t é a solução do problema. 
 
 
 
 
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Aplicação 2 
Dada a reta t e o ponto O não-pertencente a t, construir a 
circunferência de centro O, tangente à reta t: 
Dado(s) (figura 08): 
 
 
Figura 08 
 
 
 
11 
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s) 
 Com o auxílio do compasso, trace um arco de centro O cujo 
raio é maior do que a distância entre o ponto O e a reta t, 
encontrando os pontos 1 e 2; 
 Encontre o ponto 3, equidistante dos pontos 1 e 2, traçando 
dois arcos de mesmo raio e centros 1 e 2, respectivamente, 
utilizando-se do compasso; 
 Com auxílio da lapiseira e da régua, trace uma reta definida 
pelos pontos O e 3, encontrando, assim, o ponto de tangência 
T; 
 Construa a circunferência solução com auxílio do compasso, 
cujo centro é o ponto O e o raio é o segmento de reta OT. 
 
 
 
 
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Aplicação 3 
Dada a circunferência de centro O e ponto P, pertencente a 
essa circunferência, construir uma circunferência tangente 
externa à circunferência dada, sabendo que o raio da 
circunferência a ser construída mede 1,8cm e P é ponto de 
tangência das duas circunferências: 
Dado(s)(figura 09): 
 
 
Figura 09 
 
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s) 
 Com o auxílio do compasso e da régua, construa o raio da 
circunferência a ser construída de medida igual a 1,8cm; 
 Com o auxílio lapiseira e da régua, trace a reta r definida 
pelos pontos O e P; 
 Com o auxílio do compasso, transporte o raio recém 
construído para o ponto P, determinando, assim, o ponto 3. 
Observe que 3 é o centro da circunferência a ser traçada e 
que o segmento de reta 3P é o seu raio; 
 Construa a circunferência solução com auxílio do 
compasso, cujo centro é o ponto 3 e o raio é o segmento de 
reta 3P. 
 
 
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15 
 
 
Aplicação 4 
Construir a circunferência tangente externa à circunferência de centro R, de 
modo que passe pelos pontos M e N, e que M seja ponto de tangência: 
Dado(s) (figura 10): 
 
 
Figura 10 
 
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s) 
 Observando a figura dada, verificamos que o segmento de 
reta MN é uma corda da circunferência a ser traçada 
(solução) e que o centro dessa nova circunferência 
pertencerá à reta definida pelos pontos RM, tendo em vista 
que quando duas circunferências são tangentes entre si, seus 
respectivos centros e o ponto de tangência pertencem a uma 
mesma reta suporte; 
 Com o auxílio da lapiseira e da régua, trace a reta s 
definida pelos pontos M e N; 
 
16 
 Com auxílio do compasso, trace a reta mediatriz do 
segmento de reta MN (corda da circunferência) centrando o 
compasso nos extremos desse segmento e construindo arcos 
de circunferências de raios congruentes a partir de M e N. 
Desse modo, serão encontrados os pontos 1 e 2, os quais 
são equidistantes de M e N; 
 Com o auxílio da lapiseira e da régua, encontre o ponto O2 
em r, a partir da construção da mediatriz acima mencionada. 
Destacamos que O2 é o centro da circunferência solução, 
pois ele é fruto da interseção da mediatriz de uma corda da 
circunferência a ser construída e da reta que passa pelos 
centros e pelo ponto de tangência das circunferências 
tangentes entre si. 
 Por fim, construa a circunferência solução com auxílio do 
compasso a qual terá como centro o ponto O2 e O2M ou O2N 
segmentos de reta congruentes ao seu raio. 
 
 
É bom lembrar que... 
A mediatriz de qualquer corda de uma circunferência passa pelo seu centro. 
Os centros e o ponto de tangência de duas circunferências tangentes entre si 
estão sempre alinhados, ou seja, pertencem a uma mesma reta suporte. 
 
 
 
 
 
 
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Atividade 02 
Realize os seguintes exercícios práticos: 
1. Dados os pontos M e P, construa a circunferência de centro M e raio MP (M; MP) 
e a reta tangente r, sabendo que P é o ponto de tangência. 
Dado(s) (figura 11). 
 
 
Figura 11 
 
 
2. Dada a reta m e o ponto T, construa a circunferência de centro T de modo que m 
seja tangente a essa circunferência. 
Dado(s) (figura 12). 
 
 
19 
 
Figura 12 
 
 
3. Dada a reta t, construa o par de circunferências tangentes à reta t, sabendo que 
M é o ponto de tangência, o raio de uma delas é igual a 1,5cm e o da outra é igual a 
2,5cm. 
Dado(s) (figura 13). 
 
 
Figura 13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Concordância 
Concordar duas linhas de mesma ou de diferente espécie é reuni-las de 
modo tal que nos pontos de encontro não haja fratura. Ou seja, a passagem de uma 
linha para outra é feita harmoniosamente (figura 14). 
 
 
Figura 14 
 
 
Atenção! 
É bom lembrar que as concordâncias nada mais são que aplicações dos 
casos de tangência, passando o ponto de tangência a se chamar ponto de 
concordância, e o centro de cada circunferência tangente às retas ou a outras 
circunferências a se chamar centro de concordância. 
 
 
Regras de concordância 
 
Entre arco e reta (figura 15) 
 A reta é tangente ao arco no ponto de concordância; 
 centro do arco(O) e o ponto de concordância(C) estão em 
uma mesma reta suporte(f); 
 A reta(s) e o raio do arco(ro) formam 90
o
 no ponto de 
concordância(C). 
 
21 
 
 
Figura 15 
 
 
Entre arcos (figura 16a e 16b) 
 Os arcos admitem num ponto qualquer, uma tangente 
comum. 
 Os centros dos arcos(O1 e O2) e o ponto de 
concordância(C) estão em uma mesma reta suporte(a); 
 
 
Mesmo sentido Sentidos opostos 
Figura 16a Figura 16b 
 
 
Atividade 03 
 
1. Podemos afirmar que a concordar duas linhas de mesma ou de diferente espécie 
é reuni-las de modo tal que nos pontos de encontro não haja fratura? 
 
 
22 
2. Podemos afirmar que por traz de uma concordância entre duas entidades 
geométricas lineares há sempre uma tangência? Por quê? 
 
3. Quando ocorre a concordância entre um arco e uma reta (ou semi-reta)? 
 
4. Quando ocorre a concordância entre dois arcos de mesmo sentido? 
 
5. Quando ocorre a concordância entre dois arcos de sentidos contrários? 
Construção 
Chegou a hora de partirmos para a construção de arcos que 
concordem com outros arcos de mesmo e de sentido contrário ao 
arco dado, através da resolução de problemas propostos. 
 
Aplicação 1 
Concordar a semi-reta PR com o arco de circunferência de 
2,5 cm de raio, sabendo que P é o ponto de concordância. 
Dado(s) (figura 17): 
 
 
Figura 17 
 
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s) 
 Com o auxílio do compasso e da régua, construa o raio do 
arco de circunferência de 2,5cm de comprimento (segmento de 
reta 12); 
 Com o auxílio do compasso, construa, geometricamente, o 
ângulo de 90
0
 a partir do ponto R; 
 Com o auxílio do compasso, transporte o raio do arco a ser 
construído, tomando o ponto R como ponto inicial, de modo a 
determinar o ponto 3; 
 
23 
 Com o centro do compasso em 3 e raio 3R, construa o arco 
solução a partir do ponto R dado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
24 
Aplicação 2 
Concordar a semi-reta MA com um arco que passa pelo ponto 
P. 
Dado(s) (figura 18): 
 
 
FIGURA 18 
 
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s) 
 Com auxílio do compasso, construa, geometricamente, o 
ângulo de 90
0
 no ponto M, em relação a MA. É bom lembrar 
que essa etapa conduzirá a encontrarmos o centro do arco a 
ser traçado, visto que esse centro deverá se encontrar sobre a 
reta perpendicular à semi-reta dada no ponto de concordância 
M; 
 Com auxílio do compasso, construa, geometricamente, a 
mediatriz da corda PM do arco a ser traçado. Recorde-se que a 
mediatriz de qualquer corda de uma circunferência ou de um 
arco de circunferência passa pelo seu centro; 
 O cruzamento da mediatriz da corda com a reta 
perpendicular a semi-reta MA determinará o ponto 3, o qual 
define o centro do arco a ser construído; 
 Por fim, com auxílio do compasso, construa o arco 
concordante com MA, em M, cujo centro é o ponto 3 e o raio é 
3M ou 3P. 
 
 
 
25 
 
 
 
 
26 
 
 
Aplicação 3 
Concordar o arco da circ (M;AM) com um arco da 
circunferência de 3,5 cm de raio, sabendo que A é o ponto de 
concordância e os arcos concordantes têm sentidos opostos. 
Dado(s) (figura 19): 
 
 
FIGURA 19 
 
Operação gráfica e Figura(s) demonstrativa(s) 
 Com o auxílio do compasso e da régua, construa o raio do 
arco de circunferência de 3,5cm de comprimento (segmento de 
reta 12); 
 Trace a reta r definida pelos pontos M e A. Observe que o 
centro do arco a ser construído deverá pertencer a essa reta; 
 Com auxílio do compasso, transporte o raio 12 para a reta r, 
a partir do ponto A, determinando o centro 3 do arco 
concordante a ser traçado; 
 
27 
 Por fim, construa, com auxílio do compasso, o arco solução, 
tomando o ponto 3 como o centro o arco e o ponto A o início 
do seu traçado. 
 
 
 
 
 
 
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Atividade 04 
 
Realize os seguintes exercícios práticos: 
1. Concorde o arco dado arc (A; 3,0cm) com outro de raio de medida igual a 2,0cm. 
Sabe-se que N é o ponto de concordância e que o arco concordante tem sentido 
oposto ao arco dado. 
 
2. Traceuma semi-reta vertical AM e faça a concordância dessa semi-reta com um 
arco de circunferência com raio igual a 2,5cm 
 
3. Trace o arco MN da circ (G; 3,0cm) e faça a concordância desse arco com uma 
semi-reta horizontal MR. 
 
Bom trabalho e até o nosso próximo encontro... 
 
 
 
 
 
29 
Resumo 
 
Na presente aula trabalhamos o objeto intitulado Tangência e Concordância. 
Estudamos a ocorrência da Tangência e da Concordância entre entidades 
geométricas lineares e curvas. Assim sendo, aprendemos que uma reta pode ser 
tangente a uma circunferência e que duas circunferências podem ser tangentes 
entre si, respeitando-se certas condições. Aprendemos, também, que Concordar 
duas linhas de mesma ou de diferente espécie é reuni-las de modo tal que nos 
pontos de encontro não haja fratura. Ou seja, a passagem de uma linha para outra é 
feita harmoniosamente e que as concordâncias nada mais são que aplicações dos 
casos de tangência, passando o ponto de tangência a se chamar ponto de 
concordância, e o centro de cada circunferência tangente às retas ou a outras 
circunferências a se chamar centro de concordância. Por fim, relembramos que 
Tangência e Concordância são os últimos assuntos de Desenho Geométrico que 
serão tratados diretamente neste Curso, encerrando, assim, a primeira unidade 
desta disciplina, a qual se propôs a resolver graficamente problemas de Geometria 
Plana. 
Auto-avaliação 
Buscando avaliar o grau de apropriação do conteúdo por nós estudado na 
presente aula, preparamos um breve exercício, no qual você deve ler atentamente 
as proposições, de modo a executá-las com atenção e esmero. Assim sendo, 
responda as questões abaixo sem recorrer a qualquer tipo de anotação, num 
primeiro momento: 
 
1. Faça uma síntese do conteúdo visto nesta aula e destaque o assunto que você 
mais gostou e o que você sentiu mais dificuldade para aprender. 
 
2. O que é Tangência? 
 
3. O que é Concordância? 
 
 
30 
4. Por quê podemos afirmar que a Concordância está intimamente ligada à 
Tangência? 
 
5. Elabore e resolva uma questão de tangência entre uma reta e uma circunferência. 
 
6. Elabore e resolva uma questão de tangência entre duas circunferências. 
 
7. Elabore e resolva uma questão de concordância entre uma reta (ou semi-reta) e 
uma circunferência. 
 
8. Elabore resolva uma questão de concordância entre dois arcos de 
circunferências. 
 
 
Referências 
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Técnico,3ª edição,1993. 
INED - Instituto Nacional de Ensino a Distância. Curso de Formação de Técnicos em 
Transações Imobiliárias - TTI. Técnico em Transações Imobiliárias. Noções de 
Desenho Arquitetônico e Construção Civil - Módulo 06. Gráfica e Editora Equipe 
LTDA. Brasília, 2005. Disponível em www.ineddf.com.br. 
LOPES, Elizabeth Teixeira e KANEGAE, Cecília Fujiko. Desenho Geométrico. São 
Paulo: ed. Scipione, vol. I, 7ª edição, 1991. 
MOURA, Chateaubriand Vieira (a). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico. 
Curso Técnico Integrado de Informática. Centro de Educação Tecnológica de 
Sergipe - CEFET-SE. Ed. 1
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. 2007, 59p. 
MOURA, Chateaubriand Vieira (b). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico, 
Técnico e Arquitetônico. Curso Técnico em Construção Civil - Modular. Centro 
de Educação Tecnológica de Sergipe - CEFET-SE. Ed. 15
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. 2007, 139p. 
MOURA, Chateaubriand Vieira (c). Estudo Dirigido de Desenho Geométrico e 
Técnico. Curso Técnico Integrado em Construção Civil. Centro de Educação 
Tecnológica de Sergipe - CEFET-SE. Ed. 1
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. 2007, 148p. 
 
31 
PINTO, Nilda Helena S. Corrêa. Desenho Geométrico. São Paulo: ed. Moderna, 
vol. 1, 2, 3 e 4, 1ª edição, 1991. 
PUTNOKI, José Carlos. Elementos de Geometria e Desenho Geométrico. São 
Paulo: ed. Scipione, vol. I e 2 , 1ª edição, 1989. 
REIS, Jorge Henrique de Jesus. Apostila: Desenho Geométrico. Universidade do 
Estado do Pará-UEPA. Pará, 2007.