SLIDE MATRIZES 2020

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Matrizes
Conceitos básicos, representações e aplicações.
Operações envolvendo matrizes.
Matrizes
Exemplo:
.
Agora você deve resolver as atividades!
Em uma escola a professora pediu para os alunos coletarem os preços de um 
eletrodoméstico durante 3 meses em 4 lojas diferentes da cidade, para poderem fazer um trabalho 
com os dados coletados . Os resultados encontrados pelos alunos foram organizados na tabela a 
seguir: 
 
 M
1
 M
2
 M
3
 
L
1
 232,26 234,00 233,21 
L
2
 224,20 226,10 230,12 
L
3
 241,00 237,18 239,26 
L
4
 221,90 224,25 223,19 
 
Cada valor localizado na linha i e na co luna j dessa tabela é o preço d o eletrodoméstico na 
loja L no mês M. Desta forma, encontramos os preços desejados a partir das coordenadas da 
tabela, como linha e coluna. As tabelas podem ser utilizadas em várias situações diferentes. 
Em Matemática, chamaremos de matriz as tabelas de elementos organizados em linhas e 
colunas. Dizemos que uma matriz 𝒎×𝒏 tem m linhas e n colunas e representaremos entre 
parênteses ou colchetes. Ex.: 
 
 𝐴=
൥
67
−40
2−1
൩
3×2
 𝐵=
ቆ
−90
1
4
ξ
25−7,2
ቇ
2×3
 
 
Os elementos de uma matriz são indicados através de sua posição (linha e coluna) dentro 
da matriz e geralmente são representados por letras minúsculas. Ex.: 
 Na matriz A acima, o número 6 está na 1ª linha e 1ª coluna. Por isso dizemos que 𝑎
11
=6 
 Na matriz B acima temos que 𝑏
23
=−7,2 e 𝑏
12
=0. 
Uma rede comercial é formada por cinco lojas, numeradas de 1 a 5. A matriz abaixo mostra o 
faturamento, em reais, de cada loja nos quatro primeiros dias do mês. 
 
𝐴=
ۉ
ۈ
ۇ
195020301800
150018201740
301028002700
 
1950
1680
3050
250024202300 
180020202040
 2680
 1950
ی
ۋ
ۊ
 
Cada elemento 𝑎
𝑖𝑗
 dessa matriz é o faturamento da loja i no dia j. 
a) Qual o faturamento da loja 3 no dia 2? 
b) Qual foi o faturamento total dessa rede de lojas no dia 3? 
c) Qual o faturamento da loja 1 nos quatro dias? 
Algumas matrizes podem ser definidas através de fórmula s, usando a forma genérica e a 
posição dos elementos. Ex.: 
𝐴=
൫
𝑎
𝑖𝑗
൯
2×3
,𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑎
𝑖𝑗
=𝑖+𝑗 
𝐴=
ቀ
𝑎
11
𝑎
12
𝑎
13
𝑎
21
𝑎
22
𝑎
23
ቁ
 𝑎
11
=1+1=2 𝑎
12
=1+2=3 𝑎
13
=1+3=4 
 𝑎
21
=2+1=3 𝑎
22
=2+2=4 𝑎
23
=2+3=5 
𝑨=ቀ
𝟐𝟑𝟒
𝟑𝟒𝟓
ቁ 
𝐵=
൫
𝑏
𝑖𝑗
൯
2×2
,𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 ,𝑏
𝑖𝑗
=2𝑖−𝑗 
𝐵=
൬
𝑏
11
𝑏
12
𝑏
21
𝑏
22
൰
 𝑏
11
=2∙1−1=1 𝑏
12
=2∙1−2=0 
 𝑏
21
=2∙2−1=3 𝑏
22
=2∙2−2=2 
𝑩=ቀ
𝟏𝟎
𝟑𝟐
ቁ 
TIPOS DE MATRIZES 
 
1) MATRIZ LINHA: matriz no formato 1×𝑛, ou seja, formada por uma única linha; 
2) MATRIZ COLUNA: matriz no formato 𝑛×1, ou seja, formada por uma única coluna; 
3) MATRIZ NULA: matriz em que todos os elementos são iguais a zero; 
4) MATRIZ TRANSPOSTA: dada uma matriz qualquer, s e transformamos suas linhas em 
colunas (trocando de lugar), teremos uma matriz transposta; 
5) MATRIZ OPOSTA: também chamado OPOSTO de uma matriz. Dada uma matriz qualquer , 
matriz oposta será aquela cujos elementos têm sinal oposto aos da matriz original; 
6) MATRIZ QUADRADA: matriz em que o número de linhas é igual ao de colunas; 
7) MATRIZ IDENTIDADE: matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são 
todos iguais a 1, enquanto os outros elementos são zero. Segue a fórmula 
𝑰=
൫
𝒂
𝒊𝒋
൯
𝒎×𝒎
,𝒕𝒒 𝒂
𝒊𝒋
=
൜
𝟎,𝒔𝒆 𝒊≠𝒋
𝟏,𝒔𝒆 𝒊=𝒋
 
Ex.: 
𝐴=
ቀ
10
01
ቁ
 𝐵=
൥
100
010
001
൩
 
IGUALDADE DE MATRIZES 
Duas matrizes serão iguais se satisfizerem duas condições: 
1. Possuírem a mesma ordem (o mesmo tamanho); 
2. Elementos correspondentes de cada matriz iguais, um a um 
ሺ
𝑎
11
=𝑏
11
; 𝑎
12
=
𝑏
12
;𝑒𝑡𝑐…
ሻ
, ou seja, comparar os termos da primeira matriz que ocupam o mesmo lugar que 
ele na outra matriz. 
Algumas situações envolvendo igualdade entre matrizes acabam gerando equações que 
precisamos resolver para encontrar os valores dos elementos que formam a matriz. Observem o 
exemplo a seguir: 
 
Dada as matrizes A=ቂ
5ab+c
2a−b−4
ቃ e B=ቂ
−20−9
3c+2d
ቃ, qual deverá ser o valor das 
incógnitas a, b, c e d para que tenhamos 𝐀=𝐁? 
1) ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO : essas operações só podem ser feitas entre matrizes que 
possuem a mesma ordem. Cada elemento será somado (ou subtraído) com o seu 
correspondente na outra matriz (eleme ntos que ocupam a mesma posição), atentando para 
os sinais e possíveis regras de sinais que sejam necessárias. Ex.: 
𝐴=
ቀ
−325
1−812
ቁ
 𝐵=
ቀ
4−59
−1120−7
ቁ
 
 
𝐴+𝐵=
ቀ
−325
1−812
ቁ
+
ቀ
4−59
−1120−7
ቁ
=
ቀ
−3+42−55+9
1−11−8+2012−7
ቁ
=
ቀ
1−314
−10125
ቁ
 
 
𝐴−𝐵=
ቀ
−325
1−812
ቁ
−
ቀ
4−59
−1120−7
ቁ
=
൬
−3−4𝟐−
ሺ
−𝟓
ሻ
5−9
𝟏−
ሺ
−𝟏𝟏
ሻ
−8−20𝟏𝟐−
ሺ
−𝟕
ሻ
൰
=
=
ቀ
−3−4𝟐+𝟓5−9
𝟏+𝟏𝟏−8−20𝟏𝟐+𝟕
ቁ
=
ቀ
−77−4
12−2819
ቁ
 
Para a adição de matrizes valem todas as propriedades de adição existentes para os núm eros reais, 
ou seja, Comutativa, Associativa, Elemento Neutro (Matriz Nula), Elemento Oposto. 
1) MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL: dada uma matriz 
qualquer, ela pode ser multiplicada por um número real qualquer. Nes se caso, o número irá 
multiplicar todos os elementos que compõe essa matriz. Ex.: 
 
𝐴=
ቀ
−325
1−812
ቁ
 𝐵=
ቀ
4−59
−1120−7
ቁ
 
3∙𝐴=3∙
ቀ
−325
1−812
ቁ
=
ቀ
−9615
3−2436
ቁ
 
−2∙𝐵=−2∙
ቀ
4−59
−1120−7
ቁ
=
ቀ
−810−18
22−4014
ቁ
 
Em algumas situações po dem aparecer expressões envolvendo matrizes, onde é 
necessária a realização de adições, subtrações e multiplicações por escalares (números reais). Ex.: 
5𝐴−3𝐵=5∙
ቀ
−325
1−812
ቁ
−3∙
ቀ
4−59
−1120−7
ቁ
=
=
ቀ
−151025
5−4060
ቁ
−
ቀ
12−1527
−3360−21
ቁ
=
ቀ
−2725−2
38−10081
ቁ
 
1) MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES: dada duas matrizes, só será possível efetuar a operação 
de multiplicação quando o número de colunas da primeira matriz for igual ao número de 
linhas da segunda. A operação consiste em multiplicar cada linha da primeira matriz pelas 
colunas da segunda, elemento por elemento, somando -se os produtos encontrados, que 
darão origem aos elementos da matriz produto, que terá o número de linhas da primeira 
matriz e o número de colunas da segunda. Ex.: 
 
𝑀=
൭
2−3
15
−1−2
൱
3×2
 𝑁=
ቀ
0−43
26−7
ቁ
2×3
 
𝑀∙𝑁=
ቌ
2∙0−3∙22∙
ሺ
−4
ሻ
−3∙62∙3−3∙
ሺ
−7
ሻ
1∙0+5∙21∙
ሺ
−4
ሻ
+5∙61∙3+5∙
ሺ
−7
ሻ
−1∙0−2∙2−1∙
ሺ
−4
ሻ
−2∙6−1∙3−2∙
ሺ
−7
ሻ
ቍ
3×3
=
൭
−6−2627
1026−32
−4−811
൱
 
 
Para a multiplicação de matrizes valem apenas algumas das propriedade s de multiplicação 
existentes para os números reais, sendo elas, Associativa, Elemento Neutro (Matriz Identidade) 
e Distributiva (à esquerda e à direita) . 
A propriedade Comutativa da multiplicação de números ( a ordem dos fatores não altera o 
produto) não é válida para a multiplicação de matrizes. Vamos tomar o exemplo anterior e inverter a 
ordem das matrizes, para ver como fica o resultado. 
 
𝑀=
൭
2−3
15
−1−2
൱
3×2
 𝑁=
ቀ
0−43
26−7
ቁ
2×3
 
𝑁∙𝑀=
൬
0∙2−4∙1+3∙(−1)0∙
ሺ
−3
ሻ
−4∙5+3∙(−2)
2∙2+6∙1−7∙(−1)2∙
ሺ
−3
ሻ
+6∙5−7∙(−2)
൰
2×2
=
ቀ
−7−26
1738
ቁ