Matrizes: Noção, Notação, Tipos e Operações

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Alga – USTM/ 2021 
 
1 
 
 
 
 
UNIVERSIDADE SÃO TOMÁS DE MOÇAMBIQUE 
FACULDADE DE TECNOLOGIAS E CIÊNCIAS DE INFORMAÇÃO 
CURSOS DE ADMINISTRAÇÃO DE SISTEMAS DE INFORMAÇÃO E REDES 
& 
DESENVOLVIMENTO DE SOFTWARE 
 
FICHA TEÓRICO – PRÁTICA – ALGA– 2021A 
 
1. MATRIZES 
 
1.1.Noção de matriz 
Matrizes formam um importante conceito em matemática, de especial uso no estudo de 
transformações lineares. matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas. 
Matriz mxn é uma tabela de m.n números reais dispostos em m linhas (filas horizontais) e n colunas 
(filas verticais). 
 
 
 
 
Uma matriz Am,n pode ser entendida 
como um conjunto de mn (m 
multiplicado por n) números, 
dispostos em m linhas e n colunas, 
conforme figura ao lado. 
Os elementos de uma matriz podem 
ser números (reais ou complexos), 
funções ou ainda outras matrizes. 
 
 
1.2.Notação de uma matriz 
Usamos a letra maiúscula para denotar matrizes, Por exemplo: 
 
1. Uma matriz de ordem 22: ou 
2. Uma matriz de ordem 23: 
 onde: a11 = 4, a12 = -3, a21 = , a1 3= 0, a22 = 1, 
 a23 =6 
 
1.3.Igualdade de matrizes 
 
Definição:Duas matrizes Am,n e Br,s são iguais, se e somente se, os elementos da mesma posição são 
iguais, ou seja, têm o mesmo numero de linhas (m = r) e colunas (n = s)os elementos 
correspondentes são iguais. 
Por exemplo: 
 
 
 













mnmm
n
n
nm
aaa
aaa
aaa
A




21
22221
11211
,





 

40
12
A
40
12 
A







 

61
5
2
034
D
5
2















542
0º909
522
1lg13
2
2 sen
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2 
 
 
1.4.Tipos de matrizes 
 
Matriz quadrada é aquela cujo o número de linhas é igual ao número de colunas (m = n) 
Exemplo: é uma matriz quadrada de ordem 22 (matriz quadrada de ordem 2). 
 é uma matriz quadrada de ordem 33 (matriz quadrada de ordem 3). 
 é uma matriz quadrada de ordem 11 (matriz quadrada de ordem 1). 
 
Matriz nula é aquela em que = 0, para tudo i e j. 
 Exemplo: 
 
Matriz coluna é aquela que possui uma única coluna (n = 1). 
 Exemplo: 
Matriz linha é aquela onde (m = 1). 
Exemplo: 
 
Matriz diagonal é uma matriz quadrada (m = n) onde = 0, para 
i ≠ j, isto é os elementos que não estão na “diagonal” são nulos. 
 Exemplo: ; e 
Matriz Identidade ou Matriz Unidade é uma matriz quadrada em que = 1 e = 0, 
para i ≠ j. 
Exemplo: , matriz identidade de ordem 2; 
 , matriz identidade de ordem 3; 
 , matriz identidade de ordem 4, e etc. 
 
 
 
 
 







20
71
A













654
103
021
B
7A
ija












 
00000
00000
00
00
5322 BeA


















y
x
BeA
9
7
2
   0054,019  BeA
ija











800
070
002
A
















10000
0300
0040
0009
B











000
000
000
C
iia ija







10
01
2I











100
010
001
3I















1000
0100
0010
0001
4I
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3 
 
Matriz triangular superior é uma matriz quadrada onde todos os elementos abaixo da diagonal 
são nulos, isto é m = n e = 0, para i > j 
 Ex: 
 
 
Matriz triangular inferior é aquela que m = n e = 0, para i < j. 
Exemplo: 
Matriz simétrica é aquela que m = n e = . 
Exemplo: 
 
 
1.5.Operações sobre Matrizes 
 
 1.5.1.Adição de matrizes 
 A soma de duas matrizes e é a matriz , ambas do mesmo tipo 
. 
Exemplo: Dadas as matrizes e , calcular A + B. 
A + B = + = 
 
Propriedades da Adição de Matrizes: 
 
Sejam A , B e C matrizes de mesma ordem mn, então: 
1. A adição de matrizes é comutativa: A + B = B + A 
2. A adição de matrizes é associativa: (A + B) + C = A+ (B +C) 
3. A matriz nula é neutra na adição: A + O = O + A = A, onde O denota a matriz nula mn. 
 
1.5.2.Transposição de Matrizes 
Quando se troca ordenadamente as linhas pelas colunas de uma matriz, a nova matriz é chamada 
matriz transposta. 
Exemplo: a sua transposta é . 
 
 
 
ija






















c
ba
eA
0
6000
5300
7410
8012
B
ija


























574
032
001
4501
0221
0011
0002
BeA
ija jia


























kigd
ihfc
gfeb
dcba
BeA
501
023
134
 ijaA   ijbB   ijij baBA 
mxn





 

95
61
A 







43
20
B





 
95
61






 43
20





 
132
41











0110
864
752
A











087
165
1042
tA
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4 
 
Propriedades da Matriz Transposta 
Sejam A e B matrizes mn e k um escalar. Então: 
1. 
2. 
3. 
Obs: Se A é simétrica então . 
 
 
Matriz Anti-simétrica 
Uma matriz quadrada , diz-se anti-simétrica quando para todo i, , para 
todo j, . 
Obs: Se A é simétrica então ; os elementos da diagonal principal são todos nulos. 
 
Exemplo: A matriz é anti-simétrica 
 
1.5.3.Multiplicação de uma Matriz por uma Constante 
Seja a matriz Am,n e k um escalar (k  IR). A matriz P = k A é uma matriz mn tal que cada elemento 
de P é dado por: pij = kaij. 
Exemplo: 
 
Propriedades da multiplicação de uma matriz por um escalar 
 
Sejam A e B matrizes mn e k1 e k2 escalares. Então: 
 
1. k1 (A + B) = k1A + k1B 
2. k2 (k1A) = (k2 k1)A. 
3. k2A + k1A = (k2 + k1)A 
4. Se k1A = k1B então A = B. 
 
Matriz Oposta 
Matriz oposta de uma matriz A é uma que somada com a matriz A, resulta na matriz Nula. 
Exemplo: a sua oposta é: 
 
1.5.4.Multiplicação de Matrizes 
Sejam e . Definimos , onde 
Observação: É preciso que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas 
da segunda matriz. Caso isso não aconteça a multiplicação é impossível. 
Assim, por exemplo: 
a)  , isso significa que se você multiplica uma matriz de ordem 2x3 por uma 
matriz 3x4, o resultado, ou seja, o produto é uma matriz de ordem 2x4; 
b)  
 
 
  AA tt 
  ttt BABA 
  tt AkAk .. 
tAA 
 
nxnij
aA  jiij aa  ni 1
nj 1
tAA 












0
0
0
cb
ca
ba
A






















0210
282
1464
015
141
732
2A







13
07
A 







13
07
A
  nmijaA    pnrsbB    pmuvcAB  nvunvu
n
k
kvukuv bababac 

11
1
4332 xx XBA 42xC
1443 . xx AM 13xD
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5 
 
Exemplo: 
1. Dadas as matrizes e Calcule 
Resolução: 
 
1. Dadas as matrizes e Calcule e 
 
 
Resolução: 
 
= 
 
= 
Obs. ≠ e que = O, sem que A = O ou B = O. 
Propriedades de multiplicação de matrizes 
 
1. A multiplicação de matrizes não é comutativa. 
2. A multiplicação de matrizes é associativa: (AB) C = A (BC) 
 3. A multiplicação de matrizes é distributiva em relação à adição: A.(B + C) = AB+AC 
4. Multiplicação de um número real por uma matriz: 
5. Multiplicação pela matriz identidade: 
6. Multiplicação pela matriz nula: 
7. , se A 
8. A1=A 
9. para p N 
10. AP=A.A.A.….A, p fatores 
11. 
 
1.6.Matrizes especiais 
 Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se: Ak = 0 
 Uma matriz A é periódica de índice k natural, se: Ak+1= A 
 Uma matriz A é idempotente, se: A2 = A 
 As matrizes A e B são comutativas, se: A B = B A 
 As matrizes A e B são anti-comutativas, se: A B = - B A 
 









3
2
5
4
12
23A 




 

40
11
22B BA 
 
 
23
22
23 75
44
22
43150315
42)1(40214
41120112
40
11
3
2
5
4
12































 









 BA














012
123
111
A











321
642
321
B BA  AB 















012
123
111
BA










321
642
321










000
000
000











321
642
321
AB














012
123
111













1611
21222
1611
BA  AB  BA 
   BABA ....  
AAIIA nn 
OOIOA n 
nIA 
0 0
,.1 AAA pp  
  ttt ABBA .. 
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6 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
1. Seja: 
 
 
a) Qual é a ordem de M? 
b) Escreva os elementos da segunda linha. 
c) Escreva os elementos da quarta coluna. 
d) Escreva o elemento , o elemento , e o elemento . 
 
 a)Quantos elementos há numa matriz ? 
 b) Quantos elementos há numa matriz ? 
 c) Quantos elementos há numa matriz ? 
 d) Quantos elementos há numa matriz ? 
2. Sendo as matrizes e , achar os valores de x, y, m e n para 
que se tenha A=B. 
 
3. Escreva a matriz cujos elementos são a soma dos elementos correspondentes das matrizes A e B, 
onde: e . 
4. Dados: , e . 
Calcule: a) ; b) ; c) . 
 
5. Sejam: 
Encontre: a) A + B b) A - C c) B - C d) -2D 
 e) A·C f) C·A g)D·B h) B·A 
6. Se D é uma matriz diagonal então Dt = _____ 
7. Sendo as matrizes e , calcule x e y de modo que . 
 
8. Sejam as matrizes e . Se , Determine x, 
y, z e t. 
9. Sejam as matrizes A e B, de mesma ordem mxn. Demonstre que: . 
10. Seja . Determine o valor de a, b, c, d. 
11. Seja , e . 

















07-112
3739
0540
1137
02-83
M )4,3( )4,1( )1,3(
11
53
nm
rr









nmyx
nmyx
A
32 








101
68
B











06
43
12
A












12
43
06
B










2
101
853
A 




 

301
850
B 









90
710
C
2
1
CBA  CBA  )( )( CBA 
 12
4
2
1
,
103
102
,
112
321
























 DeCBA








112
52
A 








152y
yxyx
B tBA 


















16
40
323
24
tz
yx
z
yx
A


















136
140
323
245
B
tt BA 
  ttt BABA 












 






40
21
51
24
dc
ba









 

093
164
721
M











702
051
130
N














170
471
172
P
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7 
 
 Determine o resultado das seguintes operações: 
a) ; b) ; c) ; d) . 
12. Dadas as matrizes: e . 
Determine a matriz M tal que . 
 
13. Dadas as matrizes: 
 Calcule: a) A · B + 2C b) B · C 
14. Mostre que a equação é satisfeita por cada uma das seguintes matrizes: 
 a) , b) , c) 
15. Dadas as matrizes: , e . 
 
 Mostre que , embora . 
 
16. Verifique que: 
17. Seja A = . Se A = A, então x = ____ 
18. Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas: 
a) (-A
t
) = -( A
t
) 
b) (A + B)
t
 = A
t
 + B
t
 
c) Se AB = 0, então A = 0 ou B = 0 
d) (-A) (-B) = - (AB) 
19. Se A2 = AA, então ________ 
20. Dadas matrizes: 
 
 
 Mostre que AB = AC 
 
21. Calcule: 
a) ; b) ; c) 
. 
 
 
 
PM 3 PNM 32  )2(2 PNM  )(33 PNM 







8617
12513
A 






1215
3116
B
B3M2A 
0I4x5x 2
2 






10
01






40
04








21
23











202
110
201
A











032
140
031
B











633
422
756
X
BXAX  BA 
























11
11
23
32
23
32
11
11








 012
2 2
x
x





 
2
23
12








































0152
1123
2112
,
2121
1112
0141
,
134
312
231
CBA
 









 

0213
1050
2101
232





















 










 
10
04
31
705
241
032
005
430
121






















 
10705
04241
31032
005
430
121









































142
960
724
531
512
014
72
12
31
01
CBA
Alga – USTM/ 2021 
 
8 
 
22. Determine quais das seguintes matrizes são simétricas, explique porquê: 
 
a) ; b) ; c) ; d) ; e) 
23. Seja . Mostre que . 
24. Escreva a matriz tal que . 
 
25. a)Se A é uma matriz triangular superior, qual é a transposta de A ? 
 b) Se A é uma matriz triangular inferior, qual é a transposta de A? 
26. Determine o número b R, para que a matriz , seja simétrica. 
27. Seja a matriz , para a qual . 
Determine A e A
t
. A é simétrica? 
28. Se = , determine os números a, b e c. 
29. Seja a matriz A, quadrada de ordem n. Demonstre que A+At é simétrica. 
 
2.4.Operações elementares sobre as linhas de uma matriz 
 
São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz a saber: 
1. Permuta das i-ésima e j-ésima linhas ( Li → Lj). 
 Exemplo: L2 → L3 
 → 
2. Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo k (Li → kLi). 
Exemplo: L2 → -5L2 
 → 
 
3. Substituição da i-ésima linha pela i-ésima linha mais k vezes a j-ésima linha (Li → Li + kLj). 
Exemplo: L3 → L3 + 2L2 
 → 
 
 
 
 
 
 










45
12
21













257
523
732












023
202
320










756
551
613









 
023
221
310











001
100
010
A 3
3 I5A 
32)(  ijaA jiaij 23
2 
 






bb
b
A
2
23
 
44xij
aA 








41,
0
jisejia
aa
a
ij
jiij
ii
 












33
2
cossen4cos
cossen2sen








ca
b
2
1










1
7
5
3
01











73
15
01











73
15
01











73
525
01











73
15
01











513
15
01
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9 
 
2.5.Matriz Reduzida à forma Escada 
 
Definição: Uma matriz mn é linha reduzida à forma escada se: 
1. O primeiro elemento não nulo de uma linha não nula é 1. 
2. Cada coluna que contém o primeiro elemento não nulo de alguma linha tem todos os seus 
elementos iguais a zero. 
3. Toda linha nula ocorre abaixo de todas as linhas não nulas. 
4. Se as linhas 1, 2, ..., r são as linhas não nulas, e se o primeiro elemento não nulo da linha i 
ocorre na coluna ki então k1< k2< ... < kr . Esta condição impõe a forma escada, isto é, o 
número de zeros precedendo o primeiro elemento não nulo de uma linha aumenta a cada 
linha, até que sobrem apenas linhas nulas, se houverem. 
 
 
 
 
Exemplos. 
a) 
 
 
Não é a forma reduzida à escada porque a 2ª condição não 
é satisfeita. 
 
 b) 
 
 
Não é a forma reduzida à escada pois a 1ª e 4ª condições 
não são satisfeita. 
 
c) 
 
 
Não é a forma reduzida à escada porque não satisfaz a 1ª 
nem a 3ª condição. 
d) 
 
 
É forma reduzida à escada porque todas as condições são 
satisfeitas. 
 
Teorema 2: Toda matriz A mn é linha equivalente a uma única matriz-linha reduzida a forma escada. 
 
Definição: Dada matriz A mn, seja B mn a matriz-linha reduzidaa forma escada linha equivalente de 
A. O posto de A, denotado por p, é o número de linhas não nulas de B. A nulidade de A é o número 
n - p. 
 
Observação: Para achar o posto de uma matriz dada é necessário primeiro encontrar a sua matriz-
linha reduzida a forma escada, e depois contar suas linhas não nulas. E a nulidade é a diferença entre 
colunas de A e o posto. 
 
 
 
 
 
 
 











0100
0210
0001
A











100
401
130
B













41000
00000
10710
C











00000
71000
90810
D
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10 
 
Exemplo: 
Encontre o posto da matriz . 
Resolução: 
Reduzindo à forma escada temos: 
 
pc = 2 e pa = 3, isto é pc ≠ pa O sistema é impossível. 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
30. Descreva todas as possíveis matrizes 22, que estão na forma escada reduzida por linhas. 
 
31. Reduza as matrizes à forma escada reduzida por linhas: 
 
32. Calcule o posto e a nulidade das matrizes da questão 3. 
 
33. Reduzir cada matriz seguinte à forma escalonada e depois à sua forma canônica por linhas. Calcule 
também o posto de cada uma 
 
a) ; b) ; c) ; d) ; 
 
34. Determine o posto das seguintes matrizes para os diferentes valores do parâmetro . 
 
 
 a) ; b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 












2111
1111
3111
A












2111
1111
3111
A












1200
2200
3111













1200
1100
3111










1000
1100
2011
)(Ar













56263
32142
12121













75654
40213
15232

















5114
1352
35110
2131

















4350
1200
3140
2310
















3314
417101
2741
213 
A


















11221
1101
1111
11121


A









 































960
724
531
132
243
311
220
3213
3212
1321
CBA
Alga – USTM/ 2021 
 
11 
 
 
2. Determinantes 
 
A toda matriz quadrada A = [aij] está associado um número real chamado determinante. E denota-se 
por detA ou |A| ou det [aij]. 
Então: 
det (a) = |a| = a 
 
det = 
Para facilitar o cálculo do determinate de 2ª 
ordem podemos usar o esquema ao lado 
apresentado. 
 
 
 
 
Exemplos: Calcular os determinantes das matrizes: 
a) b) 
Resolução: 
a) detA = 4.7 – 6(-2) = 28 + 12 = 40 
b) detB= 5.2 – 3. 4 = 10 – 12 = -2 
 
4.1.Regra de Sarrus 
 
Para facilitar o cálculo do determinate de 3ª ordem podemos formar um dispositivo prático, 
denominado regra de Sarrus 
 
 
A regra de Sarrus consiste em: 
 Repetir ao lado do determinante as 
duas primeiras colunas. 
 Obter o produto como mostra ao 
esquema 
 
 
 
131 + 1(-2) 3 + (-1) 2(-2) – (-1) 33 - 1(-2)(-2)- 
121= 4 
 
 
 






2221
1211
aa
aa
21122211
2221
1211
aaaa
aa
aa






 

76
24
A 






24
35
B


76
24

24
35

333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa 




123
232
111
Alga – USTM/ 2021 
 
12 
 
Definição: 
onde é o número de inversões da permutação e  indica que a 
soma é estendida a todas as n! Permutações de (1,2, ...,n). 
 
Em relação a esta definição podemos fazer três observações: 
i) Se a permutação tem um número par de inversões, o coeficiente (-1)J do 
termo correspondente na somatória terá sinal positivo; caso contrário, terá sinal negativo. 
ii) Em cada termo da somatória, existe um e apenas um elemento de cada linha , e um e 
apenas um elemento de cada coluna da matriz. 
 
 Propriedades dos determinantes 
Sejam A, B, In e N matrizes quadradas e k um escalar: 
1. Se In é a matriz identidade, então: det(In) = 1 
2. Se N é uma matriz nula, então: det(N) =0 
3. Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então: det(A) =0 
4. A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é: det(At) = 
det(A) 
5. Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, 
então: det(B) = k det(A) 
6. Se B = kA, onde k é um escalar, então: det(B) = kn det(A) 
7. Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então: det(B) = - det(A) 
8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então: det(A) = 0 
9. Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma 
constante, então: det(A) = 0 
10. Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então: det(A) = 
0 
11. Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz excepto uma delas, o determinante de A será 
uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz. 
12. O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma 
constante. Esta propriedade é válida para as colunas. 
13. Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o 
determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k. 
4.2.Desenvolvimento de Laplace 
 
Vimos que: 
 
Podemos escrever esta soma como: 
 Ou ainda: 
 
Observe que o determinate da matriz inicial 33 pode ser expresso em função dos determinantes de 
submatrizes 22 , isto é, 
 
Onde Aij é a submatríz da inicial, de onde a i-ésima linha e a j-ésima coluna foram retiradas. Além 
disso, se considerarmos obtemos a seguinte expressão: 
 
    

nnjjj
J
ij aaaa 21 211det
),,( 21 njjjJJ  ),,( 21 njjj 
),,( 21 njjj 

333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332112322311312213322113312312332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaa 
     312232211331233321123223332211 aaaaaaaaaaaaaaa 
3231
2221
13
3331
2321
12
3332
2322
11
aa
aa
a
aa
aa
a
aa
aa
a 
131312121111det AaAaAaA 
  ij
ji
ij A

 1
131312121111det  aaaA
Alga – USTM/ 2021 
 
13 
 
Esta propriedade continua a ser válida para matrizes de ordem n, e assim podemos expressar. 
 ou ainda: 
 
Ao número (que é o determinante afectado pelo sinal (-1)
i+j
 da submatriz Aij, obtida de A 
retirando a i-ésima linha e a j-ésima coluna) chamamos de cofactor ou complemento algébrico do 
elemento aij 
 
Observe que na fórmula dada, o determinante foi desenvolvido pela i-ésima linha. Uma fórmula 
análoga é valida para as colunas. 
 
Exemplo1: 
 
= 1 + 4 + 0 = 5 
 
Poderiamos também fazer o desenvolvimento para uma coluna. Vejamos: 
 
= 4 + 8 -7 = 5 
 
O desenvolvimento de Laplace é um fórmula de recorrência que permite calcular o determinante de 
uma matriz de ordem n, a partir dos determinantes das submatrizes quadradas de ordem n-1. O 
procedimento fica simplificado se for aplicado as outras propridades dos determinantes. 
 
Por exemplo no exercício anterior poderiamos aplicar a propriedade 12, isto é, o determinante não se 
altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma constante. 
Neste caso L3 → L2 + L3 
 
 
Exemplo 2 
 
 Aplicando a propriedade 12, isto é, C1→ C1-2C2 podemos criar mais um zero 
na 2ªlinha. 
 
 Aplicando a 
propriedade 13 (ao multiplicar a 1ªcoluna por -1 a matriz fica também multiplicada por -1). 
 
n
j
ijijininiiiiiinn aaaaaA 332211det
 

 
n
j
ij
ji
ijnn AaA det1det
ij
        













12
12
13
22
12
12
21
11
11321
212
112
321
det
312111
131211A
           












12
31
11
22
31
11
22
12
12112
212
112
321
det
232221
322212A
  551
12
21
11
100
112
321
212
112
321
det
33









A
1352
0321
0024
4321


138
035
435
2
138
035
435
)1(2
1358
0325
0020
4325
1352
0321
0024
4321
22















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14 
 
 aplicando a propriedade 12, isto é, L1→ L1+4L3 podemos criar 
mais um zero na 3ªColuna. 
 
 
Exercícios 
 
35. Dadas as matrizes , Calcule 
a) detA + detB b) det(A + B) 
 
36. Resolva a equação . 
 
37. Calcule o determinante . 
 
38. Mostre que . 
 
39. Calcule os seguintes determinantes aplicando a regra de Sarrus: 
a) b) c) 
 
 
40. Resolva a equação . 
 
41. Aplicando o teorema de Laplace, calcule o valor dos seguintes determinantes : 
 
a) b) c) d) 
e) 
 
 
 
138
035
435
2
138
035
435
2 






    372751112
35
1537
112
138
035
01537
2
138
035
435
2
33











 







10
13
01
21
BeA
0
69
2

x
1cos
1
2
2
x
xsen 
0
1log
log1

b
a
a
b
123
232
111



224
612
053


300
030
003

0
643
62
231


x
506
235
406
9118
7234
6103
5000
3214
1120
0312
3142

1035
4202
3150
4203



1265
1220
2413
0237




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15 
 
42. Dada a matriz A: 
 
 
a) Determine k e w de modo que o determinante de A seja nulo. 
b) Calcule o determinante de a se k = 1 e w = 0 
 
 















2011
3200
232
1201
w
k
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16 
 
3. Matriz inversa 
 
5.1.Matriz Adjunta 
Dada uma matriz A. Com os cofactores dos elementos aij da matriz A podemos 
formar uma nova matriz A, denominada matriz dos cofactores de A, . 
 
Exemplo: Determinar a matriz dos cofactores da Matriz 
Resolução: ; ; 
 ; ; 
 
 
Então, 
 
Definição: Dada uma matriz quadrada A, chamamos de matriz adjunta de A à transposta da matriz 
dos cofactores de A, isto é . 
No Exemplo anterior 
Teorema: 
 
Vamos verificar este teorema a partir do exemplo anterior. 
 
= det A  = 1· 
 
Definição: Dada uma matriz quadrada A de ordem n, chamamos de inversa de A a uma matriz B tal 
que A · B = B · A = I, onde I é a matriz identidade. Denomidamos A
-1
 para inversa de A. 
 
Suponhamos agora que Ann tenha inversa, isto é, existe A
-1
 tal que A · A
-1
 = I. Usando o 
determinande temos, det(A · A
-1
) = det I  detA · detA
-1
 = 1. 
Da última relação concluimos que se A tem inversa então. 
1. detA ≠ 0 
2. 
Ou seja detA ≠ 0, é condição necessária para que A tenha inversa. 
Vamos de seguida que esta condição é também suficiente: 
Sabemos que . Considerando detA ≠ 0 podemos afirmar que , então. 
  ij
ji
ij Adet1


 ijA 












231
452
341
A
  2
23
45
1
11
11 


   8
21
42
1
21
12 


   11
31
52
1
31
13 



  1
23
34
1
12
21 


   5
21
31
1
22
22 


   7
31
41
1
32
23 



  1
45
34
1
13
31 
   2
42
31
1
23
32 
   3
52
41
1
33
33 















321
751
1182
A
AadjA 














3711
258
112
adjA
  IAAA  det
  IAAA  det










 231
452
341














3711
258
112










100
010
001










100
010
001










100
010
001
A
A
det
1
det 1 
  IAAA  det IA
A
A 
det
1
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17 
 
 
Teorema: uma matriz quadrada A admite uma inversa se , e somente se detA ≠ 0. 
 
Exemplo: Determine a inversa da matriz 
Resolução: ; ; 
 ; ; 
 
 
 
Então, A matriz dos cofactores é e a Adjunta é 
 
Sabendo que o , logo 
 
 
 Propriedades das matrizes inversas 
Sejam A e B matrizes inversíveis então: 
1. (A–1)–1 = A 
2. (A–1)t = (At)–1 
3. (AB)–1 = B–1 · A–1 
4. 
 
 
5.2.Método de Jordan para a inversão de Matrizes 
 
Teorema: Se uma matriz A pode ser reduzida à matriz identidade por sequência de operações 
elementares com linhas, então A é inversível e a matriz inversa de A é obtida a partir da matriz 
identidade, aplicando-se a mesma sequência de operações. 
 
Na prática, operamos simultaneamente com matrizes A e I, através de operações elementares, até 
chegarmos à matriz identidade I na posição correspondente à matriz A. A matriz obtida no lugar 
correspondente à matriz I será a inversa de A: 
 
 
 adjA
A
A
det
11 











561
413
012
A
  19
56
41
1
11
11 
   19
51
43
1
21
12 


   19
61
13
1
31
13 



  5
56
01
1
12
21 
   10
51
02
1
22
22 
   11
61
12
1
32
23 

  4
41
01
1
13
31 
   8
43
02
1
23
32 


   5
13
12
1
33
33 

















584
11105
191919
A














51119
81019
4519
AadjA
19
561
413
012
det A  















51119
81019
4519
19
1
det
11 adjA
A
A






















19
5
19
11
1
19
8
19
10
1
19
4
19
5
1
1A
A
A
det
1
det 1 
   1 AIIA 
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18 
 
Exemplo: 
Determinar a inversa de A= . 
Resolução: 
Coloquemos a matriz junto com a Identidade e apliquemos as operações com linhas, para reduzir a 
parte esquerda (que corresponde a A) à forma escada linha reduzida e efectuando simultaneamente 
cada operação na parte direita. 
 
 
 
 
 
Trocando a 1ª linha 
e 2ª linha obtemos 
 
 
 
Agora, 
Somando à 4ª 
a 1ª , e à 
segunda, a 1ª 
multiplicada 
por -2. 
 
Subtraindo a 
2ª linha da 
3ª obtemos 
 
Trocando o sinal da 3ª 
linha e, 
subsequentemente, 
anulamos o resto da 3ª 
coluna 
 
Finalmente, obtemos a 
identidade à esquerda e a 
inversa de A à direita. 
 
 Portanto A 
-1
 = 
 
Exemplo: Seja Determine B
-1
 
 
Partimos 
de 
 
e de seguida fazemos 
operações com linhas, 
para converter a parte 
esquerda á forma 
escada linha reduzida. 
 
 
Como a forma escada não é a identidade, a matriz B não tem inversa. 
 
 
 
 
 
 
















3001
1110
1101
0012
















10003001
01001110
00101101
00010012




















10003001
01001110
00010012
00101101





















10104100
01001110
00212210
00101101






















10104100
01213100
00212210
00101101






















11111000
01213100
02214010
01112001






















11111000
34540100
46650010
23330001






















1111
3454
4665
2333











020
121
101
B











100020
010121
001101



B














111000
0
2
1
2
1
110
001101



B
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19 
 
EXERCÍCIOS: 
 
43. Dada a matriz . Obtenha a matriz C dos cofactores 
44. Dada amatriz Calcule: a) ; b) ; c) . 
45. Dada a matriz A = Calcule: a) Adj A b)Det Ac)A-1 
 
46. Em cada caso determinar a inversa da matriz dada e verificar o resultado 
 
a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; 
 
f) ; g) ; g) ; h) ; i) ; 
 
j) ; l) m) ; n) 
 
47. Verifique se são inversas uma da outra as matrizes é . 
Caso não sejam, determine a inversa da matriz A. 











264
390
158
A











315
120
312
A AAdj || A
1
A









 
315
120
312





 
12
53








25
13





 


cos
cos
sen
sen













824
442
224










001
010
100










100
001
010













225
5615
113












1535
020
515










 300
0200
004
.










574
232
111










100
110
011
















1170
0132
0013
2214














1000
0100
1010
1101
















1000
2100
3210
7531











142
810
163
A














302
24116
47231
B