ESTUDO DAS MATRIZES

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MATRIZES
DEFINIÇÃO
Chama-se matriz do tipo m x n toda tabela de números dispostos em m linhas (horizontal) e n colunas (vertical). Esta tabela poderá ser representada com os elementos colocados entre parênteses (...) , colchetes ou ainda entre duas barras verticais .
Exemplos:
A = A é uma matriz do tipo 2 x 3 pois tem duas linhas e três colunas.
B = B é uma matriz do tipo 3 x 1 pois tem três linhas e uma coluna
C = C é uma matriz do tipo 2 x 2 pois tem duas linhas e duas colunas.
REPRESENTAÇÃO GENÉRICA DOS ELEMENTOS.
Cada elemento da matriz A será representado por aij onde o i representa a linha e o j indica a coluna em que o elemento está localizado.
Exemplo:
Assim, na Matriz A = teremos:
· O elemento 4 está localizado na linha 1 e coluna 2, assim será representado por a12
· O elemento 6 está localizado na linha 2 e coluna 1, assim será representado por a21
· O elemento 0 está localizado na linha 2 e coluna 2, assim será representado por a22
· Da mesma maneira, teremos: a11 = 9, a13 = -1, a23 = 3.
Assim, uma matriz genérica do tipo m x n é representada da seguinte maneira:
Esta matriz também poderá ser representada de forma mais simplificada da seguinte maneira: A=(aij )mxn
CONSTRUÇÃO DE MATRIZES
Toda matriz poderá ser construída através de uma fórmula de recorrência, veja o exemplo:
Exemplo:
Construir e representar a matriz A = ( aij )2x4 tal que aij = 2i + j
MATRIZES ESPECIAIS
· Matriz Quadrada
Uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas.
Desta forma, o número de linhas (ou colunas) será a ordem (ou tipo) da matriz.
Exemplo:
M = é uma matriz quadrada de ordem 3.
P = é uma matriz quadrada de ordem 2.
OBS: Nas matrizes quadradas de ordem n, os elementos aij, tais que i = j formam a diagonal principal, enquanto os elementos aij tais que i + j = n + 1 formam a diagonal secundária.
· Matriz Identidade
A matriz Identidade I é qualquer matriz quadrada onde os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos os demais valem zero.
Exemplos:
I1 = é a matriz identidade de ordem 1.
I2 = é a matriz identidade de ordem 2.
I3 = é a matriz identidade de ordem 3.
· Matriz Nula
É uma matriz de ordem m x n onde todos os elementos valem zero.
O = matriz nula de ordem 2 x 3
· Matriz Transposta
Chamamos de Transposta da matriz A à matriz At na qual a linha de A será a coluna de At. 
Exemplos:
A transposta de B2x3 = será a matriz Bt3x2 = 
A transposta da matriz C2x2 = será a matriz Ct2x2 = 
OBS: Note que (At)t = A.
· Matriz Oposta 
Denominamos matriz oposta de A à matriz –A, formada por elementos opostos (ou simétricos) aos elementos de A.
Exemplos:
Se A = , então –A = 
Se B = então –B = 
IGUALDADE DE MATRIZES
Duas matrizes de mesma ordem são consideradas iguais quando todos os seus elementos correspondentes são iguais.
Exemplo:
Determinar o número real x tal que : = 
Como as matrizes são de mesma ordem 2 x 2, elas serão iguais se os seus elementos correspondentes forem iguais.
Assim: Como o número -3 é a única solução comum, concluímos que as matrizes serão iguais se, e somente se, x = -3.
OPERAÇÕES COM MATRIZES
· Adição de matrizes
A soma de duas matrizes do mesmo tipo, A e B, é uma matriz de mesma ordem das anteriores, onde cada elemento será a soma de seus correspondentes em A e em B.
Exemplo:
 + = = 
· Subtração de matrizes
A diferença de duas matrizes de mesmo tipo, A e B, nessa ordem, é a soma de A com a oposta de B.
Exemplo: A – B = A + (-B)
- = + = 
· Multiplicação de um número real por uma matriz.
O produto de um número real k por uma matriz A será a matriz k.A em que cada elemento é o produto de seu correspondente de A pelo número k.
Exemplo:
Dada a matriz A = , calcule a matriz 5.A.
Resolução: A matriz 5.A será obtida fazendo: 5. A = 5.A = 
PRODUTO DE LINHA POR COLUNA
Considerando as matrizes A = (aij)mxp e B = (bij)pxn, tomemos a linha i de A e a coluna j de B.
Para obter o produto da linha i pela coluna j, multiplicamos, ordenadamente, os elementos da linha i pelos elementos da coluna j e somamos os resultados, assim:
(ai1 ai2 ai3 ... aip) . = ai1 . b1j + ai2 . b2j + … +aip . b pj
Exemplo:
Considere as matrizes: A3x2 = e B2x2 = 
O produto da 1ª linha de A pela 1ª coluna de B será: 5.4 + 3.9 = 47
O produto da 3ª linha de A pela 2ª coluna de B será: 4.2 + 8.7 = 64
· Multiplicação de matriz por matriz
A multiplicação de duas matrizes A e B só será possível , se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B, assim:
A2x3 e B3x5 é possível efetuar A.B pois o número de colunas de A (3) é igual ao número de linhas de B (3). 
P2x4 e Q3x4 não será possível efetuar o produto P.Q, pois o número de colunas de P (4) é diferente do número de linhas de Q (3). 
Pelo que foi observado acima, esta condição deverá ser sempre seguida.
Sendo possível a realização do produto de A por B, a matriz produto A.B terá o número de linhas de A e o número de colunas de B.
No exemplo dado acima, como A2x3 e B3x5, o produto A.B será de ordem 2 x 5.
Veja outros exemplos.
M3x5 e N5x2 teremos MN que terá 3 linhas e 2 colunas,
R2x7 e T7x1 teremos RT que terá 2 linhas e 1 coluna,
K3x5 e L4x2 não poderemos efetuar K.L 
Depois de analisada e bem entendida esta condição de existência do produto de matrizes podemos então efetuar tal produto.
O produto da matriz A = (aij)mxn pela matriz B =(bij)nxp será a matriz C =(cij)mxp tal que cada elemento de C será obtido pelo produto da linha i de A pela coluna j de B.
Exemplo 1:
Considere as matrizes: A3x2 = e B2x2 = . Vamos efetuar o produto C3x2 = A.B
Para obtermos o elemento c11 efetuaremos o produto da linha 1 de A pela coluna 1 de B, para obtermos o elemento c12 efetuaremos o produto da linha 1 de A pela coluna 2 de B, e assim sucessivamente.
C = C = 
Exemplo 2:
Seja M3x3 = e B3x2 = . Vejam que M.N terá ordem 3x2
Assim: MN = 
MN = 
MN = 
Vamos agora trabalhar estes conteúdos na forma de exercícios.
Vejamos antes alguns exercícios resolvidos:
01) 
02) 
03) 
EXERCÍCIOS
01) Construir as matrizes:
a) A = (aij)2x2 tal que aij = 3i - 2j
b) B = (bij)2x4 tal que bij = 1 + i - j
02) Qual é o elemento a46 da matriz A = (aij)8x8 tal que aij = (-1) i + j . ?
03) Seja a matriz A = (aij)3x2 tal que aij = 
Escreva A e At
04) 
05) 
06) 
07) Em cada item determine, caso exista, o número real m que satisfaz a igualdade:
a) = 
b) = 
08) 
09) Efetuar as operações 
a) + 
b) - + 
010) Sejam as matrizes A = (aij)10x12, em que aij = 2i – j e B=(bij)10x12 em que bij = i + j. Seja C = A + B, em que cij = aij + bij .
a) Obtenha os valores dos elementos c78 e c95.
b) Obtenha a fórmula que fornece o valor de um elemento genérico cij em função de i e j.
011) 
012) 
013) Sejam as matrizes A = e B = . Se C = (cij)3x2 é a matriz produto A.B, determine, se existirem, os elementos:
a) c22
b) c31
c) c33
014) Determine x e y reais, a fim de que: 
015) Sabendo que A = e que A² = A.A, determine m tal que A² = 
016) 
017) 
RESPOSTAS DESTAS QUESTÕES
01) b) 
02) 
03) A = e At =
04) a) Canadá 0 x 1 México b) Menor pontuação – Argentina, com 3 pontos.
05) 
06) 
07) a) Não existem m que satisfaça simultaneamente. b) m = -3
08) a) A e C b) 3
09) a) b) 
010) a) c78 = 21 e c95 = 27 b) cij = 3i
011) 
012) a) A é antissimétrica b) não existe m real.
013) a) c22 = 3 b) c31 = 17 c) não existe esse elemento.
014) x = 2 e y = -4
015) m = 3
016) 
017)