aritmética e teoria dos números

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O sistema de numeração que teve maior importância, contribuindo para as operações aritméticas serem mais simples, é o sistema decimal ou sistema de numeração indo-arábico. Ele foi desenvolvido pelo hindus e popularizado pelos árabes na Europa Ocidental e tomou conta de todo o mundo. Basicamente dez símbolos representam de forma posicional valores diferentes. Hoje temos a possibilidade de trabalhar com estes mesmos símbolos e criar outros tipos de sistemas. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O número 42 na base 5, representa na base 10 o número 24.
(    ) O número 61 na base 10, representa na base 4 o número 331.
(    ) O número 212 na base 3, representa na base 10 o número 23.
(    ) O número 27 na base 10, representa na base 7 o número 38.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - F - V - F.
	 b)
	V - F - F - V.
	 c)
	F - F - V - V.
	 d)
	F - V - V - F.
	2.
	Brincadeiras de adivinhação são comuns entre as pessoas e principalmente entre alunos e professores de matemática. Obviamente que para o professor, os problemas matemáticos não são restritos a adivinhações, mais sim em estabelecer um procedimento ou método para sua resolução. Acompanhe este pequeno desafio:
"Ache um múltiplo de 6 que deixa o mesmo resto quando dividido por 5 e 4".
É evidente que há infinitas soluções! Com base nesta pergunta, como uma possibilidade para a solução do problema, classifique V para as opções verdadeiras e F para as falsas:
(    ) 342 é uma possível solução.
(    ) 306 é uma possível solução.
(    ) 242 é uma possível solução.
(    ) 282 é uma possível solução.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - F - V - F.
	 b)
	V - V - F - V.
	 c)
	F - V - V - F.
	 d)
	V - F - F - V.
	3.
	Uma importante propriedade nos conjuntos numéricos é o fechamento. Mesmo um conjunto T não sendo fechado em algumas operações, podemos achar um outro conjunto contendo T que é fechado. Este menor conjunto fechado é chamado de o fechamento de T. Sobre o exposto, analise as sentenças a seguir:
I- O conjunto dos números naturais é fechado com relação à adição.
II- O conjunto dos números inteiros é fechado co relação à multiplicação.
III- O conjunto dos números naturais é fechado com relação à subtração.
IV- O conjunto dos números inteiros é fechado com relação à subtração.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Somente a sentença I está correta.
	 b)
	As sentenças I e III estão corretas.
	 c)
	As sentenças I, II e IV estão corretas.
	 d)
	As sentenças II, III e IV estão corretas.
	4.
	A mudança de base nos sistemas de numeração é do ponto de vista procedimental, algo simples na aritmética. Para realizar a mudança, basta verificar a base utilizada e a posição dos algarismos para realizar a conversão. Um problema um pouco mais elaborado pode ser obtido, considerando o número 65 na base 10 e querer determinar uma base em que este número é escrito como 1001. Sobre qual será esta base, assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	Base 4.
	 b)
	Base 5.
	 c)
	Base 6.
	 d)
	Base 7.
	5.
	Podemos dividir o conjunto dos números inteiros em outros subconjuntos, utilizando para isso alguma forma de classificação. Uma forma de realizar isso é separando eles pela paridade, ou seja, se ele é par ou ímpar. Após feito isso, criamos dois conjuntos de números que são ao mesmo tempo disjuntos, por não ter nenhum elemento comum. Com base no exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Ao multiplicarmos dois números ímpares, o resultado é um número ímpar.
(    ) O zero não é considerado par nem ímpar, ou seja, é neutro.
(    ) Ao diminuir dois números ímpares, a solução pode ser ímpar.
(    ) Elevando ao quadrado um número par, obtemos um número par.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - F - F.
	 b)
	V - F - V - F.
	 c)
	V - F - V - V.
	 d)
	V - F - F - V.
	6.
	Uma das operações básicas que você aprendeu deste o ensino fundamental é a divisão. Com essa operação, surge a ideia de divisibilidade que é um tratamento, ou ainda, uma continuação do conceito de múltiplos e divisores. Sendo assim, qual dos números a seguir NÃO é divisor do 504?
	 a)
	48.
	 b)
	28.
	 c)
	21.
	 d)
	18.
	7.
	Com relação ao conjunto dos números naturais, duas operações são bem definidas, a adição e a multiplicação, pois é sempre possível operar nesse conjunto. Já a subtração de dois números naturais, por exemplo, nem sempre resulta em um outro número natural. Sobre o exposto, assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	A subtração de dois números inteiros resulta em um número natural.
	 b)
	O conjunto dos números naturais é fechado em relação somente à adição.
	 c)
	O conjunto dos números naturais é fechado em relação à subtração.
	 d)
	O conjunto dos números naturais é fechado em relação à adição e multiplicação.
	8.
	Na elaboração da prova por indução, a primeira etapa da demonstração é a verificação para o primeiro número envolvido, no caso n = 1. Logo a seguir, supomos que a P(k) é verdadeira para n = k e, por último, provamos que é válida para k + 1. Sobre a primeira etapa para demonstrar a situação anexa, analise as opções a seguir:
	
	 a)
	Somente a opção IV está correta.
	 b)
	Somente a opção I está correta.
	 c)
	Somente a opção II está correta.
	 d)
	Somente a opção III está correta.
	9.
	A indução (ou dedução) é o processo de descoberta de leis gerais pela observação e combinação de exemplos particulares. É usada em todas as ciências, na matemática é usada especificadamente para provar certos tipos de teoremas. Seguindo as etapas da indução matemática e considerando a P(n):
	
	 a)
	Somente a sentença III está correta.
	 b)
	As sentenças I e III estão corretas.
	 c)
	As sentenças I e II estão corretas.
	 d)
	Somente a sentença II está correta.
	10.
	Definimos o módulo de um número inteiro, representado por 'a', observando o seu valor. Caso seja maior ou igual a zero apenas reescrevemos, caso seja menor que zero, devemos escrever o oposto dele. Outra forma de pensarmos no módulo de um número é na reta numérica, como a distância dele até na origem. Com base na definição, então, '- 12 - (-7)' corresponde a:
	 a)
	19.
	 b)
	5.
	 c)
	-5.
	 d)
	-19.
	1.
	Todo inteiro positivo n > 1 é igual a um produto de fatores primos. Essa decomposição em produto de fatores primos é única, a menos da ordem dos fatores. O número 2970 pode ser escrito com 2 .3³.5 .11. Qual o menor inteiro positivo pelo qual se deve dividir 2970 para se obter um quadrado perfeito?
	 a)
	495.
	 b)
	330.
	 c)
	135.
	 d)
	594.
	2.
	Pedro, João e Paulo costumam frequentar o parque de esportes de sua cidade. Pedro anda de bike, João joga futebol e Paulo aproveita a pista de skate. Na última sexta-feira, os três se encontraram por acaso no parque praticando seus esportes. Sabendo que Pedro vai ao parque uma sexta-feira a cada duas semanas, João joga futebol de três em três semanas e Paulo de quatro em quatro semanas, depois de quanto tempo os três irão se encontrar no mesmo parque em uma sexta-feira?
	 a)
	24 semanas.
	 b)
	8 semanas.
	 c)
	4 semanas.
	 d)
	12 semanas.
	3.
	É comum as pessoas acharem que a palavra "primo", que utilizamos para nomear os números primos, está se referindo a alguma relação de parentesco. Este pensamento está totalmente equivocado. Na verdade, a palavra primo está relacionada à ideia de primeiro, enquanto os demais, seriam os secundários, pensamento este dos primeiros matemáticos gregos. Com base neste conceito, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Existem 10 números primos entre 0 e 30.
(    ) Existem infinitos números primos.
(    ) Se dois números são primos entre si, então um deles é primo.
(    ) O produto de dois números primos é um número ímpar.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - V - F.
	 b)
	V - V - F - F.
	 c)
	V - F - V - F.
	 d)
	V -F - F - V.
	4.
	Uma equação diofantinas é uma equação polinomial em que as variáveis podem assumir apenas valores inteiros. Um caso mais específico são as equações diofantinas lineares, em que os monômios envolvidos são de grau 0 ou 1. Sobre cada equação diofantinas, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) A equação 4x + 3y = 7, possui solução nos naturais.
(    ) A equação 2x - 6y = 5, possui solução nos inteiros.
(    ) A equação 2x + 5y = 17, possui solução nos inteiros.
(    ) A equação 8x - 4y = 6, possui solução nos inteiros.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - F - V - V.
	 b)
	F - F - V - F.
	 c)
	V - F - V - F.
	 d)
	F - V - F - F.
	5.
	Para realizar uma melhoria no processo de tinturaria, foi analisado o tempo para o tingimento da malha. O tempo de execução do processo depende de alguns fatores, entre eles o modelo da máquina e a cor a ser tingida. Após algumas observações, percebeu-se que o tempo médio para aquelas máquinas que sempre realizam o mesmo processo foi de:
Máquina X, 40 min.
Máquina Y, 32 min.
Máquina W, 50 min.
Sabendo que elas iniciam simultaneamente a produção às 5h da manhã, depois de quanto tempo, ambas estarão iniciando um processo juntas? (Obs.: a empresa trabalha 24h por dia).
	 a)
	19h 40min.
	 b)
	17h 20min.
	 c)
	18h 20min.
	 d)
	16h 40min.
	6.
	O teorema de Legendre fornece o valor do expoente de um número primo p, na decomposição em números primos de um inteiro n, quando aplicado n!. Com este tema, é definido a Ep(m) como sendo o expoente da potência de p que aparece na fatoração de m em fatores primos. Assim sendo, sobre o número corresponde a 50!, analise as afirmativas a seguir:
I- É composto por 14 números primos.
II- A potência do primo 5 é 12.
III- A potência dos primos acima do 23 são todos 1.
IV- A potência do primo 7 é 7.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As afirmativas III e IV estão corretas.
	 b)
	As afirmativas II e III estão corretas.
	 c)
	As afirmativas I e II estão corretas.
	 d)
	As afirmativas I, II e IV estão corretas.
	7.
	Um aluno fez uma suposição de um método que busca determinar o valor de dois números, quando conhecido o resultado do seu produto e o mdc entre eles. Basicamente, o método consiste em observar a decomposição em fatores primos do resultado apresentado pela multiplicação. Percebendo que o método realmente estava correto, o professor questionou o aluno sobre o seguinte problema:
"Sabendo que o produto de dois números com dois algarismos é 1944 e que o mdc entre eles é 18, quais seriam estes números?". Sobre este questionamento, analise as afirmativas a seguir:
I- Um dos números é um quadrado perfeito.
II- Os números são divisíveis também pelo 12.
III- Ambos os números são pares.
IV- O módulo da diferença entre eles é 18.
Assinale a alternativa CORRETA:
	 a)
	As afirmativas I, II e IV estão corretas.
	 b)
	As afirmativas I e II estão corretas.
	 c)
	As afirmativas I, III e IV estão corretas.
	 d)
	As afirmativas II e III estão corretas.
	8.
	Equação diofantina linear é uma equação da forma ax + by = c, em que a, b, c são números inteiros. E possui solução se, e somente se, d = mdc (a, b) divide c. Na equação 28x + 36y = 20 podemos encontrar o mdc (28, 36) facilmente através das divisões sucessivas e logo encontramos x, y que satisfazem a equação. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução particular:
	 a)
	x = 20 e y = -15.
	 b)
	x = 5 e y = 3.
	 c)
	x = 20 e y = 15.
	 d)
	x = 4 e y = - 3.
	9.
	Uma aplicação curiosa da fatoração de um número em primos é poder determinar a quantidade de divisores deste número e ainda descobrir quais são, pelas possíveis combinações existentes. Sobre o exposto, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) O números 60 possui 12 divisores.
(    ) Todo número possui uma quantidade par de divisores naturais.
(    ) Para o número 6 elevando a n (6^n) ter 16 divisores, n deve ser 3.
(    ) Se dois números possuem 4 divisores cada, o produto deles terá 8 divisores.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - F - V - V.
	 b)
	V - F - V - F.
	 c)
	F - V - F - F.
	 d)
	V - F - F - F.
	10.
	Uma propriedade de mdc muito útil é o proposto por Euclides, por não precisar utilizar a fatoração em números primos. Esta propriedade mostra que o mdc (a, b) = mdc (a, b - na), com n pertencendo aos números naturais. Baseado nisso, acompanhe o desenvolvimento a seguir para cada mdc, e classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) mdc (76, 248) = mdc (76, 20) = mdc (20, 16) = mdc (16, 4) = 4.
(    ) mdc (24, 178) = mdc (24, 14) = mdc (14, 10) = mdc (10, 4) = mdc (4, 2) = 2.
(    ) mdc (48, 105) = mdc (48, 9) = mdc (9, 3) = 3.
(    ) mdc (48, 314) = mdc (48, 26) = mdc (26, 22) = mdc (22, 4) = mdc (4, 2) =  2.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	V - F - F - V.
	 b)
	V - F - V - F.
	 c)
	V - F - V - V.
	 d)
	F - F - V - V.
	1.
	A tricotomia nos fornece uma relação muito forte no conjunto dos números inteiros. Diante deste conceito, surgem algumas propriedades para completar a relação de ordem nos números inteiros. Sobre as propriedades e as operações de ordem, associe os itens, utilizando o código a seguir:
I- Transitiva.
II- Antissimétrica.
III- Lei do Cancelamento.
(    ) 1 + 2 < 3 + 2   então  1 < 3
(    ) -1 < 3 e 3 < 5   então  -1 < 5
(    ) Se a menor ou igual a  b e b menor ou igual a  a então  a = b
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	II - I - III.
	 b)
	III - II - I.
	 c)
	I - II - III.
	 d)
	III - I - II.
	2.
	Considere o anexo:
	
	 a)
	Somente a sentença II está correta.
	 b)
	Somente a sentença I está correta.
	 c)
	As sentenças I e IV estão corretas.
	 d)
	As sentenças II e III estão corretas.
	3.
	Um sistema completo de resíduos é um conjunto que apresenta por meio de números todos os possíveis restos da divisão por um certo número. Determine quais dos conjuntos são sistemas completos de restos módulo 4:
	 a)
	{-5, 0, 6, 22}.
	 b)
	{-2, -1, 0, 1}.
	 c)
	{-4, 0, 5, 22}.
	 d)
	{0, 4, 8, 12}.
	4.
	Pierre de Fermat foi um matemático francês que possuía como primeira formação o direito. Apesar disso, trouxe muitas contribuições para matemática e alguns enigmas, entre eles, temos o pequeno teorema de Fermat, em que, se p é um número primo e p não divide a, então, a elevado a p - 1 e congruente a 1 módulo p. Sendo assim, assinale a alternativa CORRETA que apresenta o resto da divisão de 2 elevando a 2020 por 7:
	 a)
	O resto 1.
	 b)
	O resto 7.
	 c)
	O resto 4.
	 d)
	O resto 2.
	5.
	Para realizar uma melhoria no processo de tinturaria, foi analisado o tempo para o tingimento da malha. O tempo de execução do processo depende de alguns fatores, entre eles o modelo da máquina e a cor a ser tingida. Após algumas observações, percebeu-se que o tempo médio para aquelas máquinas que sempre realizam o mesmo processo foi de:
Máquina X, 40 min.
Máquina Y, 32 min.
Máquina W, 50 min.
Sabendo que elas iniciam simultaneamente a produção às 5h da manhã, depois de quanto tempo, ambas estarão iniciando um processo juntas? (Obs.: a empresa trabalha 24h por dia).
	 a)
	19h 40min.
	 b)
	16h 40min.
	 c)
	18h 20min.
	 d)
	17h 20min.
	6.
	Os sistemas decimal, hexadecimal, octal e binário são os sistemas de numeração mais comuns, sob o ponto de vista computacional (TOCCI; WIDMER; MOSS, 2018). Contudo o sistema octal deu lugar ao sistema hexadecimal, devido às atuais necessidades dos recursos computacionais. De acordo com as características do sistema octal, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Quantidade de símbolos admissíveis: 8.
(    ) Símbolos admissíveis: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
(    ) A conversão do valor 5461 na base 8 para a base decimal resulta em 2863.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
FONTE: TOCCI, R. J.; WIDMER, N. S.; MOSS, G. L. SistemasDigitais: Princípios e Aplicações. 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2018.
	 a)
	V - F - F.
	 b)
	V - F - V.
	 c)
	F - F - V.
	 d)
	F - V - F.
	7.
	Resolver uma equação diofantinas linear aX + bY = c, nos naturais, pode ser simples, devido ao método procedimental existente para a sua solução. No entanto, saber se a equação possuirá solução, para um certo valor c, pode ter suas complicações. Em alguns casos, a verificação é óbvia da impossibilidade, porém, saber generalizar para qualquer valor c é fundamental. Sendo assim, para a equação 5X + 3Y = c, em que X, Y e c são números naturais incluindo o zero. Sobre as impossibilidades de obter uma solução com a mudança da constante c, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
(    ) Existem 5 impossibilidades para c, em que a equação não possua solução.
(    ) O produto entre os casos impossíveis é 56.
(    ) A equação possui solução para qualquer c > 6.
(    ) Dois deles são números primos.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - V - V.
	 b)
	V - F - V - F.
	 c)
	V - F - F - V.
	 d)
	F - V - F - V.
	8.
	Equação diofantina linear é uma equação da forma ax + by = c, em que a, b, c são números inteiros. E possui solução se, e somente se, d = mdc (a, b) divide c. Na equação 28x + 36y = 20 podemos encontrar o mdc (28, 36) facilmente através das divisões sucessivas e logo encontramos x, y que satisfazem a equação. Assinale a alternativa CORRETA que apresenta a solução particular:
	 a)
	x = 20 e y = -15.
	 b)
	x = 5 e y = 3.
	 c)
	x = 20 e y = 15.
	 d)
	x = 4 e y = - 3.
	9.
	Em uma gincana de matemática que Ana está participando, a única questão que a menina acertou tinha o seguinte enunciado:
"Procure todos os números naturais que ao serem divididos por 5 resultam em quociente igual o dobro do resto."
Usando o procedimento da divisão euclidiana, logo a menina chegou na seguinte conclusão n = 5 . q + r e ainda q = 2 . r. Com base nas informações, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
I- O primeiro número procurado é 5.
II- 11, ao ser dividido por 5, resulta em quociente 2 e resto 1, sendo um dos números procurados.
III- O quinto número que atende ao requisito da questão é o 44.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
	 a)
	F - V - V.
	 b)
	V - F - F.
	 c)
	F - V - F.
	 d)
	V - F - V.
	10.
	Considere:
	
	 a)
	Nenhuma.
	 b)
	1.
	 c)
	3.
	 d)
	2.