Probabilidade Condicional e Função Densidade de Probabilidade

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UFV- CCE - DET
EST 105 - 1o/2021 - PER 2 - Prova 2 - 24/abr/21
1.(6 pts) Admita que a primeira remessa ou 60% de um grande estoque de caixas
contenha cada uma 5% de mercadorias com algum defeito de fabricação. Admita
também que a segunda remessa, ou o restante das caixas deste estoque, contenha
10% de mercadorias com algum defeito de fabricação, por caixa. Se aleatoriamente
for selecionada uma caixa de mercadorias deste estoque, e, em seguida, for aleato-
riamente selecionada uma mercadoria desta caixa, pede-se: Se for constatado que a
mercadoria selecionada possui algum defeito de fabricação, qual é a probabilidade
condicional de que a caixa selecionada tenha sido uma das caixas da primeira re-
messa e que contém 5% de mercadorias com algum defeito de fabricação? Dica:
Utilize um diagrama em árvore para visualizar o espaço amostral deste experimento
aleatório.
a.(X) ≈ 0, 429 ou 42, 9%.
b.( ) ≈ 0, 571 ou 57, 1%.
c.( ) 0, 07 ou 7%.
d.( ) 0, 03 ou 3%.
e.( ) Nenhuma das alternativas anteriores.
SOLUÇÃO:
Considere os eventos:
Ri = {Caixa é da remessa i para i = 1, 2} e D = {Peça é defeituosa}
Portanto,
P (D) = P (R1 ∩D) + P (R2 ∩D) = P (R1)P (D|R1) + P (R2)P (D|R2)
= 0, 6 . 0, 05 + 0, 4 . 0, 10
= 0, 03 + 0, 04 = 0, 07
Pede-se:
P (R1|D) =
P (R1 ∩D)
P (D)
=
0, 03
0, 07
≈ 0, 429 ou42, 9%
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2.(6 pts) Sejam A, B e C três tipos de riscos associados a um investimento. Em
uma análise de riscos admite-se que os riscos A e B sejam eventos independentes
e ainda que os riscos B e C sejam eventos mutuamente exclusivos, associados às
seguintes probabilidades: P (A) = 0, 18, P (B) = 0, 15, P (C) = 0, 10 e P (A ∩ C) =
0, 05. Utilize essas informações para calcular as seguintes probabilidades: (i) Que
exatamente um e somente um destes três riscos ocorra. (ii) Que nenhum destes três
riscos ocorra. Dica: Utilize um diagrama de Venn para visualizar o espaço amostral
deste experimento aleatório.
a.( ) (i) 0, 077 e (ii) 0, 276.
b.( ) (i) 0, 077 e (ii) 0, 353.
c.( ) (i) 0, 276 e (ii) 0, 353.
d.(X) (i) 0, 276 e (ii) 0, 647.
e.( ) Nenhuma das alternativas anteriores.
SOLUÇÃO: Tem-se que:
P (A ∩ C) = 0, 05 (informado),
P (A ∩B) = P (A) . P (B) = 0, 027 (independentes),
P (B ∩ C) = P (∅) = 0 (mutuamente exclusivos),
P (A ∩B ∩ C) = P (∅) = 0 (B e C mutuamente exclusivo),
Portanto,
(i) P (A ∩Bc ∩ Cc) + P (Ac ∩B ∩ Cc) + P (Ac ∩Bc ∩ C)
= 0, 103 + 0, 123 + 0, 05 = 0, 276
(ii) P (Ac ∩Bc ∩ Cc) = P (A ∪B ∪ C)c = 1− P (A ∪B ∪ C) = 0, 647
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3.(6 pts) Admita que 50% dos habitantes de uma população já tenham sido va-
cinados contra a COVID-19 e que 80% já tenham sido vacinados contra a gripe.
Adicionalmente, 40% dos habitantes receberam somente a vacina contra a gripe
(não foram vacinados contra a COVID-19). Pede-se: Dado que uma pessoa selecio-
nada aleatoriamente já recebeu a vacina contra a COVID-19, qual é a probabilidade
condicional de que ela também já recebeu a vacina contra a gripe?
a.( ) 0, 5 ou 50%.
b.( ) 0, 1 ou 10%.
c.(X ) 0, 8 ou 80%.
d.( ) 0, 4 ou 40%.
e.( ) Nenhuma das alternativas anteriores.
SOLUÇÃO:
Tem-se que:
P (COVID-19) = P (C) = 0, 50
P (GRIPE) = P (G) = 0, 80
P (G ∩ Cc) = P (G)− P (G ∩ C) = 0, 40 então tem-se,
P (G ∩ C) = 0, 80− 0, 40 = 0, 40
Portanto,
P (G|C) = P (G ∩ C)
P (C)
=
0, 40
0, 50
= 0, 80 ou 80%
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4.(6 pts) Seja (X, Y ) uma variável aleatória discreta bidimensional com a seguinte
distribuição de probabilidades.
y
x 0 2 5 9 P (x)
0 0,10 0,05 0,20 0,05 0,40
1 0,10 0,12 0,30 0,08 0,60
P (y) 0,20 0,17 0,50 0,13 1,00
Se W é uma variável aleatória dada por W = XY , calcule a seguinte probabilidade
condicional: P (W ≤ 2|X = 1).
a.( ) 0, 60.
b.( ) ≈ 0, 533.
c.(X ) ≈ 0, 367.
d.( ) 0, 22.
e.( ) Nenhuma das alternativas anteriores.
SOLUÇÃO:
Tabela auxiliar:
x y w P (w) = P (x, y)
0 0 0 0,10
0 2 0 0,05
0 5 0 0,20
0 9 0 0,05
1 0 0 0,10
1 2 2 0,12
1 5 5 0,30
1 9 9 0,08
Portanto,
P (W ≤ 2|X = 1) = P ({X = 1} ∩ {W ≤ 2})
P (X = 1)
=
P (X = 1,W = 0)
P (X = 1)
+
P (X = 1,W = 2)
P (X = 1)
=
0, 10
0, 60
+
0, 12
0, 60
=
0, 22
0, 60
≈ 0, 3666 ≈ 0, 367
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5.(6 pts) Seja f(x, y) uma função dada por,
f(x, y) =

K (x2 + y2x) , 0 ≤ x ≤ 2 e 1 ≤ y ≤ 3
0 , outros valores
Pede-se: Calcule o valor da constante K para que f(x, y) seja uma função densidade
de probabilidade conjunta.
a.( ) 6/33.
b.( ) 1/33.
c.( ) 1/27.
d.(X) 3/68.
e.( ) Nenhuma das alternativas anteriores.
SOLUÇÃO:
Condição:
∫ 3
1
∫ 2
0
K
(
x2 + y2x
)
dx dy = 1
K
∫ 3
1
(
x3
3
+ y2
x2
2
)
|20 dy = 1
K
∫ 3
1
(
8
3
+ 2y2
)
dy = 1
K
[(
8
3
y +
2
3
y3
)
|31
]
= 1
K
(
16
3
+
52
3
)
= 1
K =
3
68
5