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Estrutura de Madeira Aula 5 - Análise e Dimensionamento de Peças Tracionadas INTRODUÇÃO A “tesoura” de telhado ou cobertura, muitas vezes, é construída com peças de madeira. A preferência pelo material pode ser explicada pelo seu peso e pela resistência axial das peças de madeira, tanto à tração quanto à compressão. As ações de tração em peças de madeira de treliças e outras estruturas são muito comuns. Por isso, é necessário o conhecimento do cálculo, dimensionamento e veri�cação da capacidade resistente das peças de madeira estrutural tracionadas longitudinalmente. OBJETIVOS Compreender os procedimentos e a teoria utilizada para calcular peças de madeira tracionadas longitudinalmente. Identi�car os principais pontos da norma relativos ao cálculo de peças tracionadas axialmente. Calcular peças de madeira tracionadas axialmente segundo a Norma NBR 7190/1997. PREMISSA Os projetistas, muitas vezes, preferem usar peças de madeira, que têm resistência à tração superior a do concreto, sem precisarem recorrer ao concreto, mais resistente e caro. O cálculo de peças de madeira à tração paralela às �bras é realizado segundo as leis da Mecânica dos sólidos e visa obter as dimensões que uma peça de madeira deve possuir para resistir ao carregamento que lhe é imposto (o que é chamando de “dimensionamento”) ou veri�car a estabilidade da peça ou estrutura de madeira existente quando submetida a um carregamento especí�co (por exemplo: o apoio de um equipamento no pendural de uma tesoura de cobertura). Para isso, são necessários conhecimentos prévios de resistência dos materiais. RESISTÊNCIAS USUAIS DE CÁLCULO A norma NBR 7190/1997 de�ne resistências de cálculo para as peças de madeira, conforme o seu item 7.2.7, em tabelas (nº 12, 13 e 14) que devem ser observadas: Tabela 1: Valores usuais para carregamentos de longa duração. Situações duradouras de projeto para carregamentos de longa duração (k = 0,70) Madeira serrada (segunda categoria: k = 0,80) Classes de umidade (1) e (2) k = 0,70 x 1,0 x 0,80 = 0,56 Classes de umidade (3) e (4) k = 0,70 x 0,80 x 0,80 = 0,45 γ = 1,4 f = 0,70f γ = 1,8 f = 0,54f γ = 1,8 Fonte: donatas1205 / Shutterstock mod,1 mod,3 mod mod wc wN,k,12 wN,m,12 wt wV,k,12 wV,m,12 wv f = f f = 0,25 .α f = f f = 0,25f .α Coníferas: f = 0,12f Dicotiledôneas: f = 0,10f Fonte: Reprodução da NBR 7197/97, Tabela 12. Os coe�cientes α são de�nidos na Tabela 2: Tabela 2: Valores de α . Extensão da carga normal às �bras, medida paralelamente a estas (em cm) α 1 2,00 2 1,70 3 1.55 4 1,40 5 1,30 7,5 1,15 10 1,10 15 1,00 Fonte: Reprodução da NBR 7197/97, Tabela 13. A norma NBR 7190/97 ainda estabelece que: 1 O coe�ciente α indicado na Tabela 1 será igual a 1, no caso da extensão de aplicação da carga ser maior ou igual a 15cm, medida na direção das �bras da madeira (Tabela 2). 2 Se a extensão da aplicação da carga na direção das �bras for inferior a 15cm e a carga estiver afastada pelo menos 7,5cm da extremidade da peça, será utilizada a Tabela 2 (Tabela 13 da NBR 7190/97). 3 t0,d c0,d c90,d fc0,d n e0,d c0,d e90,d c0,d e v0,d c0,d v0,d c0,d n n n n Esse coe�ciente deve ser aplicado no caso de arruelas, tomando-se como extensão de carga o seu diâmetro ou lado. A Tabela 3 apresenta os valores de αe relativos às resistências ao embutimento, consideradas para o caso desses critérios simpli�cados de caracterização da madeira, variando em função do diâmetro do pino embutido: Tabela 3: Valores de α . Diâmetro do pino (em cm) ≤ 0,62 0,95 1,25 1,60 1,90 2,20 Coe�ciente α 2.50 1,95 1,68 1,52 1,41 1,33 Diâmetro do pino (em cm) 2.50 3,10 3,80 4,40 5,00 ≥ 7,50 Coe�ciente α 1,27 1,19 1,14 1,10 1,07 1,00 Fonte: Reprodução da NBR 7197/97, Tabela 14. CÁLCULO DE PEÇAS TRACIONADAS O cálculo das peças de madeira à tração é relativamente simples e consiste em satisfazer a equação: Porém: Logo: Onde: σ é a tensão solicitante de cálculo decorrente do esforço de tração. f é a resistência de cálculo à tração da madeira. f é a resistência nominal à tração da madeira. A é a área líquida (ou útil) da seção, descontados os entalhes e demais detalhes que reduzam a área resistente da seção. N é o esforço axial de tração solicitante de cálculo. e e e t0,d t0,d t0,k n d γ = 1,8 é o coe�ciente de ponderação para tração paralela às �bras. Exemplo Considerando um carregamento axial dimensionante à tração de 200kN em uma peça de madeira serrada com 2,0m de comprimento, dimensionar conforme a NBR 7190/1997: Madeira dicotiledônea classe C-30 em ambiente com 85% de umidade, de segunda categoria, com carregamento de média duração. PASSO 1 De�nição do Kmod da seguinte forma: K = 0,80 (para a madeira serrada e carregamento de longa duração). K = 0,80 (para a madeira serrada e classe de umidade 3 ou 4 = 85% de Uamb). K = 0,80 (para a madeira de segunda categoria). Obtém-se: K = K x K x K = 0,80 x 0,80 x 0,80 = 0,512 PASSO 2 Obtenção da resistência de cálculo (f ): Onde: PASSO 3 Veri�cação da área mínima: Como foi de�nida a carga na qual a peça está submetida (200kN), teremos: wt mod,1 mod,2 mod,3 mod mod,1 mod,2 mod,3 t0,d Atenção: é conservador arredondarmos as áreas resistentes “para cima”. As peças de madeira carregadas à tração axial não devem possuir um comprimento superior a 50 vezes a menor largura da sua seção transversal para reduzir o efeito de instabilidade lateral. Neste caso: 15cm x 50 = 750cm → Como 200cm < 750cm OK, PASSA! O efeito da inclinação das �bras em relação ao eixo longitudinal da peça pode ser desprezado desde que o ângulo de inclinação seja igual ou inferior a seis graus (θ ≤ 6º, o que signi�ca arctg(θ) = 0,10). Caso contrário, a resistência de cálculo à tração deve ser reduzida de acordo com a expressão de Hankinson (θ > 6º → f = f ): Recomenda-se que a altura do entalhe (e) não seja maior que ¼ da altura da seção da peça entalhada (h). Caso seja necessária uma altura de entalhe maior, devem ser utilizados dois dentes (1). Figura 1: Exemplo de ligação entalhada Fonte: Calil et al (2003). Vamos exempli�car a situação de cálculo de peças tracionadas inclinadas em relação ao eixo longitudinal das �bras. td t0,d Exemplo Uma dada treliça de madeira apresenta uma ligação entalhada conforme a Figura 1, onde f = 30MPa e f = 3MPa e θ = 30°. A altura “h” mede 15cm e o entalhe “e” feito alcança 3cm dentro da peça. Calcule a resistência da peça entalhada conforme a equação de Hankinson: PASSO 1 Segundo as disposições construtivas, o entalhe simples não deve ultrapassar ¼ da altura da peça entalhada, assim: e = 3,0cm e ¼ h = 15,0 * (¼) cm = 3,75cm > 3,0cm OK, PASSA! PASSO 2 Basta conhecer as resistências f e f da madeira e considerar o ângulo de inclinação da carga, aplicando a equação de Hankinson: t0,d t90,d t0,d t90,d DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS É incomum encontrar peças de madeira maiores que 6,0m sem defeitos como empenamentos, arqueamentos e abaulamentos. Para isso, o fornecedor das peças de madeira deve ser idôneo e apresentar peças de qualidade. A NBR 7190/97 estabelece dimensões mínimas para as seções das peças de madeira serrada, conforme apresentado na Tabela 4: Tabela 4: Dimensões mínimas para as peças estruturais de madeira serrada. Uso Dimensões Mínimas Peças principais isoladas Área ≥ 50 cm Espessura ≥ 5,0 cm Peças secundárias isoladas Área ≥ 18 cm Espessura ≥ 2,5 cm Peças principais múltiplas Área ≥ 35 cm (cada uma) Espessura ≥ 2,5 cm (cada uma) Peças secundárias múltiplas Área ≥ 18 cm (cada uma) Espessura ≥ 1,8 cm (cada uma) Fonte: NBR 7190/1997, item 10.2.1. O item 10.3 da NBR 7190/1997 não permite que sejam empregadas peças tracionadas de seção retangular cheia ou peças tracionadas múltiplas nas quais o seu comprimento teórico de referência “L ” (de�nido conforme o item 7.5.1 da NBR 7190/97) exceda 50 vezes a dimensão transversal correspondente. O L é de�nido segundo ligações e graus de liberdade das extremidadesdas suas barras, de forma idêntica ao de�nido para a carga crítica de Euler. Exemplo Considere a Figura 2 para dimensionarmos a peça de madeira tracionada (entre os nós 3 e 4), conforme a Figura 3. galeria/aula5/img/13a.jpg Figura 2: Treliça de madeira suportando um equipamento de 100kN. galeria/aula5/img/13b.jpg Figura 3: Esforços axiais nas peças de madeira. Os valores positivos signi�cam esforços de tração e os negativos indicam esforços de compressão. 2 2 2 2 0 0 Considere que na sua obra será necessário suspender um equipamento de 100kN para a passagem de outro equipamento e para isso, foi projetada uma treliça conforme a Figura 2. As peças serradas de madeira dicotiledôneas de segunda categoria existentes no local possuem dimensões de 6”x3” e de 6”x6”, submetidas a um ambiente com umidade relativa do ar de 90%. Assim, vamos dimensionar a peça de madeira necessária para suportar os esforços aos quais ela está submetida: PASSO 1 Veri�car as disposições construtivas: De acordo com a Tabela 4 - Dimensões mínimas para as peças estruturais de madeira serrada. (Fonte: NBR 7190/1997, item 10.2.1), devemos veri�car se as peças existentes atendem os requisitos mínimos construtivos, conforme a norma NBR 7190/97. Assim: A = 7,50 × 15 = 112,5cm > 50cm (para peças principais isoladas) espessura = 7,50cm > 5,0cm OK! A PEÇA PASSA NAS DIMENSÕES! Em seguida, é preciso fazer a veri�cação em relação ao perigo de �ambagem. Neste caso, a norma recomenda que o comprimento da peça não exceda 50 vezes a menor dimensão da seção transversal. Logo: Menor dimensão = 3” = 7,50 cm. Logo: 7,50cm × 50 = 375cm ou 3,75m Neste caso, como o comprimento da barra tracionada é 4,0m > 3,75, a peça não deve ser utilizada, por perigo de �ambagem. Deve-se, então, veri�car a outra seção: Assim: A = 15 × 15 = 225cm > 50cm (para peças principais isoladas) espessura = 15cm > 5,0cm n 2 2 n 2 2 OK! A PEÇA PASSA NAS DIMENSÕES! Por �m, segue a veri�cação quanto à possibilidade de �ambagem: 15cm × 50 = 750cm ou 7,50m > 4,0m OK, A PEÇA ATENDE A TODAS AS DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS! PASSO 2 Veri�cação da tensão máxima: Como foi de�nida a carga na qual a peça está submetida (≈ 200kN), teremos: Assim, o f deve ser superior a esse valor para que a peça apresente segurança, segundo a NBR 7190/97. PASSO 3 De�nição do K : Os K são de�nidos segundo as determinações do item 7 da norma NBR 7190/97: Considerando a madeira existente como uma madeira serrada de segunda categoria, com classe de umidade 4, tem-se, segundo as tabelas 7, 10 e 11 da NBR 7190/97: K = 0,90 (para a madeira serrada e carregamento de curta duração) K = 0,80 (para a madeira serrada e classe de umidade 4 = 90% de U ) K = 0,80 (para a madeira dicotiledônea de segunda categoria) Desse modo, obtém-se: K = K x K x K = 0,90 x 0,80 x 0,80 = 0,576 t0,d mod mod’s mod,1 mod,2 amb mod,3 mod mod,1 mod,2 mod,3 PASSO 4 Obtenção da resistência característica (f ): Onde: Assim: A resistência característica à tração axial para essa peça é, no mínimo, 27,78MPa. Para tanto, por ser uma madeira dicotiledônea, escolheremos, conforme a NBR 7190/97, uma madeira que satisfaça a Classe C-30, por ser a classe imediatamente superior à resistência característica. Na prática, para tentarmos maximizar os esforços, seria interessante veri�car se a peça menor (6”x3”) não obteria resultados mais econômicos. Para isso, poderia ser considerado um novo projeto, com uma barra que a dividisse ao meio, conforme a Figura 4: Figura 4: Proposta para ajuste e novo dimensionamento das peças de madeira com seção transversal de 6”x3”. EXERCÍCIOS Questão 1: Uma perna de uma tesoura de cobertura chega em um tirante em um ângulo de 22º. Sabendo que esta perna será embutida no tirante (ou linha) e que este é um pranchão com 10 x 25cm (base x altura), assinale a opção correta: t0,k a) O tirante não deve ser submetido a entalhes, pois a sua reduzida largura (10cm) torna-o frágil para resistir aos esforços gerados. b) Com um ângulo de 22º, a ligação entre a perna e a linha pode ter sua força desprezada estruturalmente. c) O entalhe no tirante é permitido em qualquer circunstância e sob qualquer detalhe. d) Para o dimensionamento do tirante, basta aplicar a fórmula de Hankinson para obter a resistência ponderada da madeira quando submetida a esforços inclinados em relação às �bras. e) Independentemente do uso da fórmula de Hankinson e das demais considerações de seção e distância das extremidades do tirante, o entalhe máximo da perna na linha não deverá ultrapassar 6,25cm. Justi�cativa Questão 2: Segundo as tabelas 12, 13 e 14 da Norma NBR 7190/97, para uma madeira dicotiledônea com f = 90MPa, assinale a opção correta: a) Neste caso, teremos f = 175MPa. b) f = 9,60MPa, considerando k = 0,192, γ = 1,8 e extensão da aplicação normal da carga igual a 20cm. c) O valor de α considera a tração normal às �bras longitudinais, não importando a extensão de aplicação da carga normal. d) Segundo a Tabela 12 da NBR 7190/97, a resistência de cálculo à compressão longitudinal é diferente da resistência de cálculo à tração longitudinal. e) O embutimento nas peças de madeira pode ser considerado sem preocupação para o diâmetro do pino embutido. Justi�cativa Questão 3: Para uma madeira conífera serrada de segunda categoria, classe C-30, submetida a um esforço de tração axial permanente de 500kN em um ambiente seco (U% = 40%), assinale a opção correta: a) Segundo a NBR 7190/97, um pranchão de 6”x10” é su�ciente para resistir aos esforços de tração aplicados. b) A resistência de cálculo (f ) para estas condições é igual a 31,10MPa. c) O K para esta situação é igual 0,65. d) O coe�ciente de minoração das resistências características é igual a 1,40. e) Para esta situação, K = 0,8; K = 1,0 e K = 0,80. Justi�cativa t0,k t0,d c90,d mod wt n t0,d mod mod,1 mod,2 mod,3 Glossário
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