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Conjuntos, Expresões numéricas, Racionalização e
Fatoração
Raphael Donisete Ferreira Gomes
Pré-Vestibular Comunitário Dom Bosco
Matemática I
26 de março de 2020
Números Decimais
Além de frações podemos representar números fracionários pela
sua forma decimal.
Nessa forma o número a esquerda da vı́rgula representa a parte
inteira e o número a direita da vı́rgula representa a parte
fracionária.
Para encontrar uma fração na sua forma decimal basta dividir o
numerador pelo denominador.
Exemplo
3
2
= 1,5 (1)
(UFSJ) PVCDB 2 / 23
Transformação de Decimais em frações
Como foi visto, podemos transformar frações em números
decimais, agora vamos ver como é feito o processo inverso,
transformar números decimais em frações.
Existem três casos em que podemos transformar números
decimais em frações, são eles: com números decimais normais,
com dı́zimas periódicas simples, e com dı́zimas periódicas
compostas
O primeiro caso se trata de um número decimal qualquer que seja
finito. Nessa transformação basta dividir o número visto
ignorando a vı́rgula por um múltiplo de 10 que tenha o número de
zeros igual ao número de casas depois da vı́rgula.
Figura 1: Soma de Decimais.
(UFSJ) PVCDB 3 / 23
Transformação de Decimais para fração
O segundo caso se trata das dı́zimas periódicas simples
simples. Esses números decimais possuem um elemento depois
da vı́rgula que se repete infinitamente.
O exemplo dessa transformação é dado a seguir.
Figura 2: Transformação de Decimais para frações(UFSJ) PVCDB 4 / 23
Transformação de Decimais para fração
O terceiro caso se trata das dı́zimas periódicas Compostas.
Esses números decimais possuem elementos que não se
repetem depois da vı́rgula além do número que se repete
infinitamente.
O exemplo dessa transformação é dado a seguir.
Figura 3: Transformação de Decimais para frações
(UFSJ) PVCDB 5 / 23
Adição e Subtração de Decimais
Na soma e subtração de decimais é de extrema importância
organizar os números em relação a vı́rgula.
Dica: Vı́rgula sempre embaixo de vı́rgula.
Figura 4: Soma de Decimais.
(UFSJ) PVCDB 6 / 23
Multiplicação de Decimais
A multiplicação de números decimais é semelhante a
multiplicação de números inteiros, a diferença é que no produto
devemos ter o número de casas decimais igual a soma de casas
decimais das parcelas.
Figura 5: Multiplicação de Decimais.
(UFSJ) PVCDB 7 / 23
Divisão de Decimais
O segredo para se fazer uma divisão de números decimais é
deixar ambos números com o mesmo número de casas decimais.
Figura 6:
(UFSJ) PVCDB 8 / 23
Potenciação e radiciação de números decimais
A potenciação com números decimais é semelhante a dos
números inteiros, basta multiplicar a base com o numero de vezes
definido pelo expoente.
Exemplo : 0,42 = 0,4×0,4 = 0,16 (2)
Para realizar a radiciação de um número decimal é preciso os
mesmos conhecimentos necessários para realizar em números
inteiros.
Dica: Transforme o número decimal em fração.
Exemplo :
√
0,64 =
√
64
100
=
√
82
102
=
8
10
= 0,8 (3)
(UFSJ) PVCDB 9 / 23
Números Decimais em notação cientı́fica
Números decimais também podem ser representados por meio
de potências. Sabendo que A−m = 1Am , ou usando exemplos
númericos.
5−2 =
1
52
=
1
25
, 2−1 =
1
2
, 3−3 =
1
33
=
1
27
(4)
Podemos representar números muito pequenos em potências de
10. Exemplo: suponha que queremos representar o número
0,000025 em potência de 10. Para isto basta contar os zeros da
esquerda para direita. Como é apresentado na figura a seguir.
(UFSJ) PVCDB 10 / 23
Números Decimais em notação cientı́fica
Figura 7: Contando os zeros
Assim podemos representar o número 0,000025 por
0,000025 = 2,5×10−5 (5)
(UFSJ) PVCDB 11 / 23
Notações Cientı́ficas
Figura 8: Notações Cientı́ficas
(UFSJ) PVCDB 12 / 23
Conjuntos numéricos
Conjuntos numéricos são formas de classificação de números.
São usadas letras maiúsculas para representação, os conjuntos
numéricos que iremos estudar são:
Números Naturais: São aqueles números que podemos contar
usando os dedos. Se existe um ”*”em frente da letra que
representa o conjunto, o conjunto não considera o número 0.
N = [0, 1, 2, 3, 4, 5,...] (6)
N∗ = [1, 2, 3, 4, 5,...] (7)
(UFSJ) PVCDB 13 / 23
Conjuntos Numéricos
Números Inteiros: Englobam os números naturais N e os
negativos.
Z = [...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,...] (8)
Z∗ = [...,−3,−2,−1, 1, 2, 3, 4, 5,...] (9)
Números Racionais: São os números fracionários e decimais, e
englobam os números naturais N e os números Inteiros Z. Pode
ser dito que são os números que podem ser representados por
frações.
Q = [...,−2,−1.5,−1,−0.5, 0, 0.5, 1, 1.5, 2,...] (10)
(UFSJ) PVCDB 14 / 23
Conjuntos Numéricos
Números Irracionais:São os números que não conseguimos
representá-los por frações.
I = [e,
√
5, π, 3,78754875984...] (11)
Números Reais: É o conjunto que engloba todos os outros
anteriores, a imagem a baixo facilita a visualização desse
conjunto.
Figura 9: Conjuntos Numéricos
(UFSJ) PVCDB 15 / 23
Expressões Numéricas
Expressões numéricas são encontradas em toda parte. Devemos
conhecer suas regras para resolve-las corretamente.
Exemplo : 30−
√
100×2+4×62 +10 =? (12)
A principal regra de expressões numéricas é a prioridade de
algumas funções. Abaixo podemos ver a relação de prioridade
entre as funções matemáticas que já estudamos
xx
√
x >> ∗ : >> + − (13)
Outra relação de prioridade esta entre parenteses, colchetes e
chaves, essa relação é dada abaixo.
( ) >> [ ] >> { } (14)
Exemplo : (30−
√
100)×2+{4×62 +[10×2]}=? (15)
(UFSJ) PVCDB 16 / 23
Racionalização de denominadores
Tentativa de eliminar todos radicais (raı́zes) que aparecem na
forma de denominadores em frações, sem alterar o valor
numérico das frações. Dentro desse método podemos encontrar
três casos principais.
Raiz quadrada: Para racionalizar, bastar multiplicar o numerador
e o denominador pelo mesmo valor, esse valor tem que eliminar a
raiz no denominador. Repare que fazendo isso a fração continua
a mesma.
3√
2
=
(3)× (
√
2)
(
√
2)× (
√
2)
=
3
√
2√
2×2
=
3
√
2√
22
=
3
√
2
2
(16)
(UFSJ) PVCDB 17 / 23
Racionalização
Raiz não quadrada: Nesse caso a fração multiplicada não é igual
a raiz do primeiro denominador, a diferença está no expoente, o
método é apresentado a seguir:
Figura 10: Racionalização de raı́zes não quadradas
(UFSJ) PVCDB 18 / 23
Racionalização
Soma ou subtração dom raı́zes: Semelhante aos casos
anteriores, porém agora a multiplicação é feita pela conjugado,
Na imagem abaixo podemos ver como é esse método.
Figura 11: Racionalização de raı́zes não quadradas(UFSJ) PVCDB 19 / 23
Produtos Notáveis
No nosso estudo vamos deparar com equações do 2o grau (ou
3o, 4o e assim por diante), por isso devemos conhecer as regras e
as propriedades para transformar essas equações para uma
forma mais simples.
Fatoração por Termo em Evidência ou Fator Comum: Quando
existem termos que se repetem em algumas ou todas as parcelas
de uma expressão é possı́vel realizar a fatoração deles.
Exemplo : 2a2 + 2ab (17)
Veja acima que tanto o 2 quanto o a aparecem nas duas parcelas
(fator comum). Podemos transformar essa expressão colocando
os termos que se repetem em evidência, multiplicando com o que
resta.
Exemplo : 2a2 + 2ab = 2a(a+b) (18)
(UFSJ) PVCDB 20 / 23
Produtos Notáveis
Quadrado da Soma: Quando existem a soma (ou subtração) de
dois termos elevados ao quadrado devemos seguir o método
abaixo para resolver a equação:
Exemplo : (a+b)2 = (a+b)(a+b) (19)
Produto da Soma pela Diferença: Multiplicação de uma soma
pelo seu conjugado, nesse caso temos a seguinte definição.
Exemplo : (a+b)(a−b) = a×a−a×b+b×a−b×b (20)
(a+b)(a−b) = a2 +0−b2 (21)
(a+b)(a−b) = a2−b2 (22)
(UFSJ) PVCDB 21 / 23
Produtos Notáveis
Cubo da Soma: Quandotemos termos somados elevados ao
cubo, basta seguir os seguintes passos:
(a+b)3 = (a+b)(a+b)2 (23)
(a+b)3 = (a+b)(a2 +2ab+b2) (24)
Agora basta aplicar a distributiva para encontrar o resultado.
Figura 12: Distributiva
(UFSJ) PVCDB 22 / 23
Produtos Notáveis
Reparem que usando o método acima podemos realizar somas
ou subtrações de temos elevados a qualquer número.
(a−b)4 = (a−b)2(a−b)2 (25)
(a−b)4 = (a2−2ab+b2)(a2−2ab+b2) (26)
(a−b)4 = a4−2a3b+a2b2−2a3b+4a2b2−2ab3 +a2b2−2ab3 +b4 (27)
(a−b)4 = a4−4a3b+6a2b2−4ab3 +b4 (28)
(UFSJ) PVCDB 23 / 23
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