1 EM - ap3 - Mat III

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Mat
III
243
1E
M
20
16
AP
3
Matemática
Atividades de SalaAS
1. Uma folha de papel retangular foi dobrada como 
mostra a figura abaixo. De acordo com as medidas for-
necidas, encontre o perímetro do triângulo EDA.
10 cm
A D
B C
6 cm4 cm
B C
E
A
D
2. Na figura, ABC é um triângulo isósceles de base BC 
inserido em uma circunferência de raio r e centro O. 
Se BC mede 2 3 e a altura relativa a base mede 3, en-
contre a medida do raio.
B C
O
A
33
2 3
3. Considere duas circunferências de centro O. Na fi-
gura I as circunferências são tangentes externamente 
e AB = 11 cm. Na figura II as circunferências são tan-
gentes internamente e AB = 5 cm. Determine os raios.
A
A
B
B
Frente III
Aulas 25 e 26
Aplicações do Teorema de Pitágoras e Circunferências
Tangentes
Mat
III
244
4. Na figura abaixo, as circunferências de centros A e 
B e raios 4 e 9, respectivamente, são tangentes à reta 
t nos pontos C e D. Calcule a medida do segmento CD.
B
A
C D
t
 
Tarefa ObrigatóriaTO
1.
a) Calcule o valor de x:
x + 2
2 5
x
b) Um fio foi esticado entre as extremidades de duas 
torres de transmissão. Sabendo que a torre menor 
tem 16 m de altura, a torre maior tem 21 m de 
altura e que a distância entre as duas torres é de 
12 m qual é o comprimento do fio?
d
2.
a) As circunferências abaixo são tangentes. Se a dis-
tância entre os centros é 14 cm e a diferença entre 
os raios é 4 cm, calcule os raios.
b) Na figura, as circunferências são tangentes entre si 
e tangentes à reta t nos pontos C e D. Se os raios 
medem 5 cm e 3 cm, respectivamente, calcule a 
distância CD.
B
A
C D
t
Atividades ComplementaresAC
1. Um trapézio retângulo tem bases 5 e 2 e altura 4. 
Qual é o seu perímetro?
2. Em um triângulo retângulo a soma dos quadrados 
dos lados é 10. Encontre a medida da hipotenusa.
3. Na figura, O é o centro da circunferência. Se AB = 4, 
BD = 2 3, calcule o raio da circunferência.
O
CA
D
B
4. Na figura, as circunferências de centro P e Q têm 
raios 6 cm e 3 cm, respectivamente. Se a reta r é tan-
gente às circunferências nos pontos R e S, e RS = 12 cm, 
calcule a distância entre os centros P e Q.
R
Q
P
5. Livro didático - página 280 - exercícios 54 ao 56.
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3
DesafioD
1. (Fuvest Adaptada) Um lenhador empilhou 3 troncos 
de madeira num caminhão de largura 2,5 m, conforme 
a figura a seguir. Cada base do tronco é uma circunfe-
rência cujo raio da base mede 0,5 m. Logo, a altura h, 
em metros, é: 
h
2,5
a
b
c
d
e
)
( )
)
( )
)
( )
)
)
1
1
1
+
+
+
+




+




7
2
7
3
7
4
1 7
3
1 7
4
 
Anotações:
Mat
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Matemática
Frente III
Aulas 27 e 28
Aplicações do Teorema de Pitágoras
Atividades de SalaAS
1. Na figura abaixo, a reta t é tangente à circunferên-
cia de centro O no ponto A.
O
A
P
t
a) Trace o segmento AO. Que nome ele recebe?
b) Qual a medida do ângulo formado pelo segmento 
AO e pela reta tangente t?
c) Se AO = 5 e AP = 12, qual é a distância do ponto P à 
circunferência?
2. Dois círculos concêntricos tem raios 3 e 5 centí-
metros. Desenha-se um segmento de reta, com maior 
comprimento possível, inteiramente contido na região 
interna ao círculo maior e externa ao círculo menor. 
Determine a medida desse segmento.
3. Nas figuras abaixo, calcule x:
a) 
x + 22x
A B
DC
O
1414
 
b) 
B C
A
O
1616
14
16x
14
1818
4. Qual é o perímetro do quadrilátero convexo ABCD 
circunscrito à circunferência de centro O?
D
A B
2x 3x
Cx + 3
3x + 1
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Tarefa ObrigatóriaTO
1. Calcule o valor de x:
a) 
O
Q
T3x + 5
2x
 +
 1
0
P
 
b) 
B C
1013
A
O
1611
16x
 
2.
a) Na figura a seguir temos duas circunferências con-
cêntrica, com raios medindo 8 cm e 10 cm, res-
pectivamente. Por um ponto T traçamos uma reta 
tangente à circunferência menor, encontrando os 
pontos P e Q na circunferência maior. Qual é a me-
dida de segmento PQ?
O
T
b) Encontre a medida do raio da figura a seguir, sendo 
T o ponto de tangência e O, A e B colineares.
O B 4
6
A
T
Atividades ComplementaresAC
1. Na figura a seguir a circunferência de centro O está 
inscrita no triângulo retângulo. Determine a medida do 
raio.
r
8
66
8
1010
2. Um quadrilátero ABCD convexo circunscreve uma 
circunferência e tem a medida do lado AB excedendo 
em 15 unidade o lado BC. Calcule o valor da diferença 
entre AD e CD.
M
O
P
N
3. Na figura a seguir, M, N e P são pontos de tangência 
e a medida OM é 16. Qual o perímetro do triângulo 
assinalado?
4. Livro didático - página 280 - exercício 53; página 
274 - exercícios 44 ao 46.
DesafioD
1. (Fuvest) Os segmentos AB e CD interceptam-se no 
ponto P e são cordas perpendiculares de um mesmo 
círculo. Se AP = CP = 2 e PB = 6 ache o raio do círculo.
Anotações:
Mat
III
248
Matemática
Frente III
Aulas 29 e 30
Trigonometria no triângulo retângulo
Atividades de SalaAS
1. A tirolesa é uma técnica utilizada para o transporte de carga de um ponto a outro. Nessa técnica, a carga é presa 
a uma roldana que desliza por um cabo, cujas extremidades geralmente estão em alturas diferentes. A tirolesa 
também é utilizada como prática esportiva, sendo considerado um esporte radical.
Em certo ecoparque, aproveitando a geografia do local, a estrutura para a prática da tirolesa foi montada de ma-
neira que as alturas das extremidades do cabo por onde os participantes deslizam estão a cerca de 52m e 8m, cada 
uma, em relação ao nível do solo, e o ângulo de descida formado com a vertical é de 80º.
a) Faça um desenho que represente a situação descrita acima.
b) Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e que tg 10º = 0,176, encontre aproximadamente a distância 
horizontal percorrida, em metros, ao final do percurso.
2. No triângulo retângulo MNP, o cateto MP mede 6 e tgα = 3/4. Determine a medida da hipotenusa.
P
MN
a
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AP
3
3. Considere o quadrado ABCD de lado a abaixo:
A
D
B
C
a) Trace a diagonal AC e encontre a sua medida em 
função de a.
b) Determine todos os ângulos do triângulo ADC.
c) Calcule o seno, cosseno e a tangente do ângulo 
ADC.
4. Considere o triângulo equilátero ABC de lado a abaixo:
A
B
C
a) Trace a altura BM relativa ao lado BC e determine a 
sua medida em função de a.
b) Determine todos os ângulos do triângulo ABM.
c) Calcule o seno, cosseno e a tangente do ângulo 
ABM.
d) Calcule o seno, cosseno e tangente do ângulo Â.
Tarefa ObrigatóriaTO
1.
a) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo 
constante de 15º. A 3,8 km da cabeceira da pista 
existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a 
decolagem, fora de escala.
3,8 km
15º
Aeroporto
Calcule a altura que o avião ultrapassa o morro a partir 
da sua base.
Dados (sen15º = 0,25; cos15º = 0,96 e tg15º = 0,26)
b) No triângulo retângulo abaixo, a medida da hipote-
nusa é o dobro do cateto CB, calcule a medida do 
ângulo MÂC.
C
BM A
Mat
III
250
2.
a) Encontre o cosseno do ângulo BÂC.
C
B
5
A
13
b) Encontre o perímetro do triângulo ABC, sabendo 
que senα = 3/5 e que BC = 20.
C
A B
a
Atividades ComplementaresAC
1. Uma rampa faz um ângulo de 30° com o plano hori-
zontal. Uma pessoa que subiu 40 metros dessa rampa 
se encontra a que altura do solo?
2. Um edifício comercial tem 48 salas, distribuídas em 
8 andares, conforme indica a figura. O edifício foi feito 
em um terreno cuja inclinação em relação à horizontal 
mede a graus. A altura de cada sala é 3m a extensão 
10m e a altura da pilastra de sustentação, que mantém 
o edifício na horizontal, é 6m.
a sena cosa tga
4º 0,0698 0,9976 0,0699
5º 0,0872 0,9962 0,0875
6º 0,1045 0,9945 0,1051
7º 0,1219 0,9925 0,1228
8º 0,1392 0,9903 0,1405
6 m
α
10 m
3 m
Usando os dados da tabela, encontre a melhor aproxi-
mação inteira para a. 
3. Livro didático - página 220 - exercícios 1 a 4.
DesafioD
1. (Fuvest) Na figura, tem-se AE paralelo a CD, BC, pa-
ralelo a DE, AE = 2, a = 45º, β = 75°. Nessas condições, 
a distância do ponto E ao segmentoAB é igual a
A B
E
D
C
β
a
a
b
c
d
e
)
)
)
)
)
3
2
3
2
2
2
2
4 
Anotações:
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3
Matemática
Frente III
Aulas 31 e 32
Trigonometria no triângulo retângulo
Atividades de SalaAS
1. O comandante de um navio fez, pela primeira vez, 
uma rota retilínea AC orientado por um farol F locali-
zado numa ilha. Ele pretendia determinar as distâncias 
do farol F à rota AC e do ponto inicial A ao farol F. 
No início da viagem, o comandante obteve a medida 
FAC = 30º e, após percorrer 6 milhas marítimas, locali-
zando-se em B, ele fez a medição do ângulo FBC, ob-
tendo 60º. Observe a figura a seguir que ilustra esta 
situação.
A B
60º30º
F
C
a) Trace a distância do Farol a rota AC, obtendo o pon-
to D.
b) Determine os ângulos desconhecidos dos triângulos 
da figura obtida no item anterior.
c) De acordo com as informações, encontre as distân-
cias, em milhas, do farol F à rota AC e do ponto 
inicial A ao farol F, obtidas pelo comandante.
2. Observe a figura:
Tendo como vista lateral da escada com 6 degraus, um 
triângulo retângulo isósceles de hipotenusa 10 me-
tros, Magali observa que todos os degraus da escada 
têm a mesma altura. 
Calcule a medida aproximada de cada degrau.
3. Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfí-
cie plana de uma mesma praia e, num dado instante, 
veem sob respectivos ângulos de 30º e 45º, um pássaro 
(P) voando, conforme é representado na planificação 
abaixo.
A
45º30º
P
G
Mat
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252
Considerando desprezíveis as medidas das alturas de 
Abílio e Gioconda e sabendo que, naquele instante, a 
distância entre P e A era de 80 m responda:
a) Qual era a altura do pássaro?
b) Qual era a distância entre P e G?
4. Um observador vê um prédio mediante um ângulo 
visual a. Afastando-se do prédio uma distância de 14 
metros a partir desse ponto, o observador vê o prédio 
mediante um ângulo visual β.
Sabendo-se que a = 45º e tgβ = 5/6, determine, em 
metros, a altura do prédio.
Tarefa ObrigatóriaTO
1.
a) Sobre uma rampa de 3 m de comprimento e incli-
nação de 30º com a horizontal, devem-se construir 
degraus de altura 30 cm.
 Quantos degraus devem ser construídos? 
b) Na figura abaixo determine x e H.
10 m x
D
H
30º
30º
B A C
60º
10 m x
2.
a) 
D E F
BA
C
60º 60º
 
 Se na figura, AD = 3 2 e CF = 3 6 , determine a 
medida de AB.
b) Uma pessoa está a 3 8 m de um prédio e vê o topo 
do prédio sob um ângulo de 30º como mostra a fi-
gura abaixo. 
30º
1,60m
80 3m
Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m de dis-
tância do solo, determine a altura do prédio.
Atividades ComplementaresAC
1. Em uma de suas viagens para o exterior, Luís Alves 
e Guiomar observaram um monumento de arquitetura 
asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus conhe-
cimentos matemáticos, colocou um teodolito distante 
1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60º, conforme 
mostra a figura:
Mat
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M
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16
AP
3
Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 
130 cm, qual é a altura aproximada do monumento?
2. Um prédio hospitalar está sendo construído em um 
terreno declivoso. Para otimizar a construção, o arqui-
teto responsável idealizou o estacionamento no subso-
lo do prédio, com entrada pela rua dos fundos do terre-
no. A recepção do hospital está 5 metros acima do nível 
do estacionamento, sendo necessária a construção de 
uma rampa retilínea de acesso para os pacientes com 
dificuldades de locomoção. A figura representa esque-
maticamente esta rampa (r), ligando o ponto A, no piso 
da recepção, ao ponto B, no piso do estacionamento, a 
qual deve ter uma inclinação mínima de 30º e máxima 
de 45º.
A
5 m
nível da recepção
r
B
a
nível do
estacionamento
Nestas condições e considerando 2 @ 1,4, quais de-
verão ser os valores máximo e mínimo, em metros, do 
comprimento desta rampa de acesso? 
3. O raio de uma roda gigante de centro C mede
CA = CB = 10 m. Do centro C ao plano horizontal do 
chão, há uma distância de 11 m. Os pontos A e B, si-
tuados no mesmo plano vertical, ACB, pertencem à 
circunferência dessa roda e distam, respectivamente, 
16 m e 3,95 m do plano do chão. Observe o esquema 
e a tabela:
plano horizontal
C
A
B
16
 m
3,
95
 m
θ (graus) senθ
15º 0,259
30º 0,500
45º 0,707
660º 0,866
Encontre a medida, em graus, mais próxima do menor 
ângulo ACB.
4. Livro didático - página 225 - exercícios 12 a 15. 
DesafioD
1. (Unifesp) Por razões técnicas, um armário de altura 
2,5 metros e largura 1,5 metro está sendo deslocado 
por um corredor, de altura h metros, na posição mos-
trada pela figura.
1,5 m 2,5 m
x
α
α
y
h
teto
chão
a) Calcule h para o caso em que a = 30º.
b) Calcule h para o caso em que x = 1,2 m.
Anotações:
Mat
III
254
Matemática
Frente III
Aulas 33 e 34
Polígonos Regulares (triângulo equilátero)
Atividades de SalaAS
1.
a) Quais pontos notáveis de um triângulo nunca se 
posicionam externamente em relação à sua região 
triangular?
b) No triângulo ABC, da figura, AM e CN são media-
nas que se interceptam em G. Sendo AG = a + 2b, 
CG = 2a + b , GM = 2a + 1 e GN = b. Determine o 
valor de a + b.
CB
G
M
N
A
2. Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A e M é o 
ponto médio do lado BC.
Calcule a medida de a.
A
M
40º
B C
a
3. Um triângulo equilátero tem lado 9 cm. Determine 
a medida:
a) do raio da circunferência circunscrita.
b) do raio da circunferência inscrita.
A
CB
Tarefa ObrigatóriaTO
1. Considere os pontos notáveis de um triângulo, sendo:
B - Baricentro; C - Circuncentro; I - Incentro; O - Or-
tocentro
Preencha os parênteses:
a) ( ) Ponto de encontro das medianas.
b) ( ) Ponto de encontro das mediatrizes dos lados de 
um triângulo.
c) ( ) Ponto de encontro das bissetrizes internas de um 
triângulo
d) ( ) Ponto de encontro das retas suportes das alturas.
e) ( ) Ponto que divide cada mediana numa razão de 2 
para 1.
f) ( ) Centro da circunferência inscrita num triângulo.
g) ( ) Centro da circunferência circunscrita a um triân-
gulo.
h) ( ) Ponto do plano de um triângulo e eqüidistante 
dos vértices desse triângulo.
2. Um triângulo equilátero tem lado de 6 cm. Encontre 
a medida:
a) do raio da circunferência circunscrita
b) do raio da circunferência inscrita.
Mat
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1E
M
20
16
AP
3
3. Na figura, M é o ponto médio do lado BC e CN é a 
bissetriz interna. Encontre a medida d e a, em graus.
A
N
40º
B
M
C
α
 
Atividades ComplementaresAC
1. Calcule a medida do apótema de um triângulo equi-
látero inscrito numa circunferência de raio 6 cm.
2. Na figura, o quadrilátero ABCD é um retângulo, M é o 
ponto médio de AD e o triângulo BCM é equilátero. Sa-
bendo que BC = 24, calcule a medida do segmento BP.
P
A
B C
M D
3. O triângulo ABC da figura é retângulo em A, AS é a 
bissetriz interna e AM é mediana. Determine a medida 
de a em graus.
A
B CM S
a
60º
DesafioD
1. Gerard Stenley Hawkins, matemático e físico, nos 
anos 1980, envolveu-se com o estudo dos misteriosos 
círculos que apareceram em plantações na Inglaterra. 
Ele verificou que certos círculos seguiam o padrão indi-
cado na figura a seguir, isto é, três círculos congruen-
tes, com centros nos vértices de um triângulo equilá-
tero, tinham uma reta tangente comum.
Nestas condições, e considerando-se uma circunfe-
rência maior que passe pelos centros dos três círculos 
congruentes, calcule a razão entre o raio da circunfe-
rência maior e o raio dos círculos menores.
Anotações:
Mat
III
256
Matemática
Frente III
Aulas 35 e 36
Polígonos Regulares (Quadrado e Hexágono)
Atividades de SalaAS
1. Um quadrado tem lado medindo 12 cm. Encontre a 
medida:
a) do raio da circunferência inscrita;
b) do raio da circunferência circunscrita.
2. Um hexágono regular tem lado 15 cm. Determine a 
medida:
a) do raio da circunferência circunscrita;
b) do raio da circunferência inscrita.
Tarefa ObrigatóriaTO
1. Um quadrado tem lado de 8 cm. Determine a me-
dida:
a) do raio da circunferência inscrita;
b) do raio da circunferência circunscrita.2. Um hexágono regular tem lado 4 cm. Calcule a me-
dida:
a) do raio da circunferência circunscrita
b) do raio da circunferência inscrita.
Atividades ComplementaresAC
1. Calcule a medida do apótema de um hexágono regu-
lar inscrito numa circunferência de raio 6 cm.
2. Quanto mede o lado de um quadrado inscrito numa 
circunferência de raio 4 cm?
3. Um quadrado inscrito em uma circunferência tem 
lado medindo 2 6 cm. Determine a medida do lado de 
um triângulo equilátero inscrito nessa circunferência.
Mat
III
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1E
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AP
3
DesafioD
1. O quadrado ABCD está inscrito na circunferência de 
centro O e raio de medida 2 2 cm, como mostra a 
figura.
H G
CD
O
A B
Os vértices E e F do quadrado EFGH pertencem ao lado 
CD e os vértices G e H pertencem à circunferência. 
Assim, a medida do lado do quadrado EFGH, em cm, 
é igual a
a) 0,8.
b) 0,9.
c) 1,0.
d) 1,1.
e) 1,2.
Anotações:
Mat
III
258
Matemática
Frente III
Aulas 37 e 38
Comprimento de uma circunferência
Atividades de SalaAS
1. A maior roda gigante do mundo, a Singapore Flyer, 
está localizada em Singapura e foi inaugurada em 15 
de abril de 2008. 
Com um diâmetro de 150 metros a circunferência atin-
ge 42 andares de altura e uma pessoa leva aproximada-
mente 30 minutos para dar uma volta completa.
a) Calcule o comprimento da circunferência da Singa-
pore Flyer.
b) Considerando a velocidade constante, quanto tem-
po demora uma pessoa para percorrer um arco de 
comprimento 188,40 metros?
2. Qual é a medida, em graus, de um arco de 25,12 cm 
em uma circunferência de raio 6 cm?
3. Uma bicicleta, cuja medida do raio da circunferên-
cia de cada pneu é 35 cm, percorreu uma distância 
de 100 m, em linha reta, sem deslizamento de pneu 
ao longo do percurso. O número inteiro que indica, de 
forma mais aproximada, a quantidade de giros com-
pletos de cada pneu da bicicleta, ao longo do trajeto 
realizado, é:
Observação: Use p = 3,14 
a) 42. 
b) 45. 
c) 50. 
d) 53. 
4. Em qualquer circunferência, se aumentarmos 1 me-
tro no seu comprimento, quanto aumentará aproxima-
damente o raio?
Tarefa ObrigatóriaTO
1.
a) A London Eye também conhecida como Millen-
nium Wheel (Roda do Milênio), é uma roda-gigante 
de observação com 135 metros de diâmetro e está 
situada na cidade de Londres, capital do Reino 
Unido. Quanto aproximadamente percorrerá uma 
pessoa nesta roda-gigante em 6 voltas, conside-
rando p = 3,14?
b) Qual o comprimento de um arco de 45º em uma 
circunferência de raio 16cm.
2.
a) A roda de um carro tem 30 cm de raio. Depois de a 
roda completar uma volta, qual foi o deslocamento 
do carro? 
 (Adote p = 3,14)
b) Em um percurso de 942 metros, quantas voltas dá 
uma das rodas de um carro, sabendo-se que cada 
roda tem 60 cm de diâmetro?
Atividades ComplementaresAC
1. Uma bicicleta tem uma roda de 30 centímetros de 
raio e outra de 40 centímetros de raio. Sabendo-se que 
a roda menor dá 136 voltas para certo percurso, de-
termine quantas voltas dará a roda maior para fazer o 
mesmo percurso.
2. O maior relógio de torre de toda a Europa é o da 
Igreja St. Peter, na cidade de Zurique, Suíça, que foi 
construído durante uma reforma do local, em 1970.
O Estado de S. Paulo. Adaptado.
O mostrador desse relógio tem formato circular, e o 
seu ponteiro dos minutos mede 4,35 m. Considerando 
p ≈ 3,1, a distância que a extremidade desse ponteiro 
percorre durante 20 minutos é, aproximadamente, 
a) 10 m. c) 8 m. e) 6 m.
b) 9 m. d) 7 m.
3. Livro didático - página 283 - exercícios 58 a 60.
Mat
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1E
M
20
16
AP
3
DesafioD
1. Uma máquina possui duas engrenagens circula-
res, sendo a distância entre seus centros A e B igual a 
11 cm, como mostra o esquema:
11 cm
A B
Sabe-se que a engrenagem menor dá 1000 voltas no 
mesmo tempo em que a maior dá 375 voltas, e que os 
comprimentos dos dentes de ambas têm valores des-
prezíveis.
A medida, em centímetros, do raio da engrenagem me-
nor equivale a: 
a) 2,5
b) 3,0
c) 3,5
d) 4,0
Anotações:
Mat
III
260
Respostas
Aulas 25 e 26
1. 16 2. 5 3. R = 4 4. 15 cm 
5. Resposta no livro didático.
Desafio
1. e
Aulas 27 e 28
1. 2 2. 15 3. 32 4. Resposta no livro didático.
Desafio
1. 2 5
Aulas 29 e 30
1. 20 m 2. 6º 3. Resposta no livro didático.
Desafio
1. a
Aulas 31 e 32
1. 3,34 m
2. o valor mínimo do comprimento da rampa de acesso será 7 m e o 
valor máximo será 10 m.
3. 75º
Desafio
1. a) h m= +5 3 3
4
 
 b) h = 2,7 m
Aulas 33 e 34
1. 3 cm 2. 16 3. 15º
Desafio
1. O raio do círculo maior é igual a 43 do raio dos círculos menores.
Aulas 35 e 36
1. 3 3 2. 4 2 3. 6 cm
Desafio
1. a
Aulas 37 e 38
1. 102 2. b 3. Resposta no livro didático.
Desafio
1. b