Mackenzie EM 1 Série - Matemática (Caderno de Atividades) - Livro do Professor - 2 Semestre - Parte 2

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CAP
ÍTUL
O
10
TRIGONOMETRIA: 
A BASE É O TRIÂNGULO
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PRIMEIRAS IDEIAS
350. Durante uma aula de geometria, o professor Paulo, baseado na his-tória de Tales de Mileto, propôs aos alunos os seguintes problemas:
A. Em uma viagem de negócios ao Egito, o sábio grego Tales, impressio-
nado com o tamanho das pirâmides de Quéops, decidiu descobrir qual 
era a medida de sua altura. Para tanto, �ncou um cajado de madeira na 
areia, de modo que �casse totalmente na vertical. Em seguida, mediu a 
altura dele em 1,5 m. Depois de alguns instantes, quando a sombra do 
pedaço de madeira media 4,5 m, mediu a distância da base da pirâmi-
de até a ponta de sua sombra e, depois, tomou a medida da base até 
metade da lateral, exatamente onde, acima, estava o cume da pirâmi-
de, obtendo, no total, 439,80 m. Qual a altura aproximada da pirâmide?
B. Certo dia, enquanto andava pela praia 
de Mileto, Tales deparou com um navio 
parado bem longe e se sentiu desa�ado 
a determinar a que distância ele estava 
da costa. Para tanto, marcou um ponto 
( ), caminhou até outro ponto ( ), de 
modo que, entre a posição do navio e o 
segundo ponto, houvesse um ângulo 
reto (laranja). Depois, colocando-se so-
bre o primeiro ponto, estabeleceu o 
ângulo (verde) de visão entre o navio e 
A pirâmide mede, aproximadamente, 146,6 m de altura.
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rua A
rua B
rua C
Praça
calçada
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o segundo ponto. Em seguida, marcou, na areia, outro ponto ( ), 
de modo que se formasse um triângulo ( ) com os mesmos ân-
gulos obtidos na observação do navio. Qual é a distância ( ) 
aproximada do navio até costa, sabendo que as medidas do triân-
gulo feito na areia são 49,2 m ( ), 48 m ( ) e 10,4 m ( ).
351. Uma prefeitura decidiu fazer uma praça em um quarteirão da cidade e uma calçada vai ligar a esquina da Rua B com a Rua C a um ponto da Rua A. A cal-
çada vai formar um ângulo reto com essa rua. Sabendo que os comprimentos 
das ruas A, B e C são, respectivamente, 1,25 km, 1 km e 750 m, qual será o 
comprimento de uma pista de caminhada feita ao redor dessa praça?
O navio está a aproximadamente 227 m de distância da costa.
A pista terá um total de 3,6 km de comprimento.
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352. Um importante instrumento de resgate utilizado pelo corpo de bombeiros é a escada que, no Brasil, é conhecida como es-
cada Magirus. Ela pode tanto girar 360º quanto alcançar 
grandes alturas. O nome da escada se deve à antiga empresa 
alemã Magirus-Deutz, que se instalou no Brasil por volta de 
1960 e fabricava, entre outros tipos de veículos, caminhões pa-
ra o corpo de bombeiros. Sabendo que determinada prefeitura 
adquiriu um caminhão novo para o corpo de bombeiros com 
uma escada Magirus cujo comprimento é 39 m, determine 
qual a distância aproximada que deve haver entre a base da 
escada e a parede de um edifício, para que ela atinja a altura 
máxima de 41,1 m. Considere que a escada está na caçamba 
do caminhão, a 3,4 m do chão.
O caminhão deve �car a, aproximadamente, 10 m 
da parede do prédio.
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20 m
120°
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A. 48° B. 177°
C. 231° D. 345°
353. Com a ajuda de uma calculadora, determine o valor das razões trigo-nométricas dos ângulos a seguir usando quatro casas de aproximação. 
A. Uma câmera de vigilância foi instalada no 
estacionamento de um supermercado, no 
topo de um poste de 20 m. Se o ângulo de 
captura de imagem dela é de 120°, qual é a 
distância máxima entre os pontos que apa-
recem na �lmagem?
354. Resolva as seguintes situações-problema:
B. Fábio e alguns amigos, estudantes de 
engenharia, foram passar as férias em 
uma praia que não conheciam. Durante 
uma caminhada pela orla, avistaram uma 
pequena ilha. Intrigados com a distância 
que ela estava da margem, voltaram, no 
outro dia, e �zeram o seguinte:
I. Marcaram como ponto A um local na 
praia em que se avista a ilha exatamente à 
frente da orla (perpendicular à margem).
II. Chamando a orla de ponto C, caminha-
ram 100 m até um ponto B de forma 
perpendicular ao segmento AC.
III. Com um transferidor, mediram 85° 
de ângulo de visão ilha-ponto A.
A distância máxima entre os pontos é 69,28 m.
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A. 19° B. 128°
C. 250° D. 286°
Analisando o que eles �zeram, você pode a�rmar que os dados são 
su�cientes para determinar a distância da ilha até a orla? Justi�que 
sua resposta e, em caso a�rmativo, determine essa medida.
355. Uma circunferência de raio unitário está circunscrita a um triân-gulo cujas medidas de dois dos seus lados são, respectivamente, 
uma unidade e duas unidades. Determine os possíveis ângulos 
desse triângulo.
356. Determine o seno, o cosseno, a tangente, a secante, a cossecante e a cotangente dos ângulos abaixo usando quatro casas de aproximação.
Sim, basta calcular a distância utilizando tan 85° para chegar ao valor aproximado de 1,14 km.
 ou ou 
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357. Os lados de um triângulo medem 4 cm, 5 cm e 6 cm. Determine:
359. Um trapézio isósceles é tal que dois ângulos das bases medem 30º, os lados congruentes medem 
 e suas diagonais medem . Determine 
o perímetro desse trapézio.
A. o cosseno do maior ângulo desse triângulo. B. o cosseno do menor ângulo desse triângulo.
358. Dois lados de um triângulo medem 10 cm e 12 cm e formam entre si um ângulo de 60º. Determine a 
medida do terceiro lado desse triângulo.
360. Um triângulo é tal que , e 
. Determi-
ne a medida do lado .
361. Um triângulo isósceles é tal que seus lados congruentes 
medem 4 cm e formam 
entre si um ângulo de 30º. 
Determine a medida do ter-
ceiro lado desse triângulo.
O cosseno maior é 1/8. O cosseno menor é 1/12.
O terceiro lado mede .
O perímetro é .
.
O terceiro lado mede 
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24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
24 cm
90
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30 cm
corrimão
30 cm
90
 c
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362. (Enem 2009) A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao 
caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 
metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância 
em metros que o paciente ainda deve caminhar para 
atingir o ponto mais alto da rampa é
A. 1,16 metros
B. 3,0 metros
C. 5,4 metros
D. 5,6 metros
E. 7,04 metros.
363. (Enem 2009) 
A. 1,8 m
B. 1,9 m
C. 2,0 m
D. 2,1 m
E. 2,2 m
364. (Enem 2009) A fotogra�a mostra uma turista aparen-temente beijando a es�nge de Gizé, no Egito. A 
�gura a seguir mostra como, na verdade, foram posi-
cionadas a câmera fotográ�ca, a turista e a es�nge.
Na �gura acima, que representa o projeto de 
uma escada com 5 degraus de mesma altura, 
o comprimento total do corrimão é igual a:
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posição da 
turista
posição da 
es� nge
posição da 
câmera
2 Trajetória do barco
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Medindo-se com uma régua diretamente na fotogra� a, veri� -
ca-se que a medida do queixo até o alto da cabeça da turista 
é igual a da medida do queixo da es� nge até o alto da sua 
cabeça. Considereque essas medidas na realidade são repre-
sentadas por e , respectivamente, que a distância da 
es� nge à lente da câmera fotográ� ca, localizada no plano ho-
rizontal do queixo da turista e da es� nge, é representada por
, e que a distância da turista à mesma lente, por . A razão 
entre e será dada por
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
365. (Enem 2011) Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um 
ponto , mediu o ângulo visual fazendo mira em um ponto � xo 
da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um 
ponto B de modo que fosse possível ver o mesmo ponto da praia, 
no entanto sob um ângulo visual . A � gura ilustra essa situação: 
Suponha que o navegante tenha medido o ângulo e, ao 
chegar ao ponto , veri� cou que o barco havia percorrido a distân-
cia . Com base nesses dados e mantendo a mesma 
trajetória, a menor distância do barco até o ponto � xo será
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
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Balão
1,8 km
30o60o
3,7 km
3 km
João Pedro
José
2 km
1km
1km
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366. (Enem 2010) Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Pau-
lista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato 
faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, 
Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua 
descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram 
o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical 
do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a ou-
tra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, 
alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, 
conforme se vê na �gura, e o avistou sob um 
ângulo de 30°. Qual a altura aproximada em 
que se encontrava o balão?
A. 1,8 km B. 1,9 km C. 3,1 km D. 3,7 km E. 5,5 km
367. (Enem 2009) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro 
delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior es-
querdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os 
irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um �casse com 
a terça parte da área de extração, conforme mostra a �gura. Em relação à parti-
lha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a 
João corresponde, aproximadamente, a (considere )
A. 50%
B. 43%
C. 37%
D. 33%
E. 19%
368. (Enem 2009) Considere um ponto em uma circunferência de raio no plano cartesiano. Seja a projeção ortogonal de sobre o ei-
xo , como mostra a �gura, e suponha que o ponto percorra, no 
sentido anti-horário, uma distância ≤ sobre a circunferência. En-
tão, o ponto percorrerá, no eixo , uma distância dada por 
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369. (Enem 2005) Quatro estações distribuidoras de energia A, B, C e D estão dispos-tas como vértices de um quadrado de 40 km de lado. Deseja-se construir uma 
estação central que seja ao mesmo tempo equidistante das estações A e B e da 
estrada (reta) que liga as estações C e D. A nova estação deve ser localizada 
370. (PUC-Rio 2013) Uma bicicleta saiu de um ponto que estava a 8 metros a leste de um hidrante, andou 6 metros na direção norte e 
parou. Assim, a distância entre a bicicleta e o hidrante passou a ser:
A. no centro do quadrado.
B. na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto 
médio, a 15 km dessa estrada.
C. na perpendicular à estrada que liga C e D passando por seu ponto 
médio, a 25 km dessa estrada.
D. no vértice de um triângulo equilátero de base AB oposto a essa base.
E. no ponto médio da estrada que liga as estações A e B.
A. 8 metros
B. 10 metros
C. 12 metros
D. 14 metros
E. 16 metros
371. (UESPI 2012) Uma circunferência de raio 𝑅 é tangente externamente a duas circunferências de raio , com < 𝑅. As três circunferências 
são tangentes a uma mesma reta, como ilustrado a seguir. Qual a 
distância entre os centros das circunferências de raio ? 
A. B. 
C. D. 
E. 
A. B. 
C. D. 
E. 
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3,8 km
Aeroporto
15o
�
30o
2
3
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372. (UFPR 2012) A tela de uma TV está no formato widescreen, no qual a largura e a altura estão na proporção de 16 para 9. Sabendo que a diagonal dessa tela mede 
37 polegadas, qual é sua largura e a sua altura, em centímetros? (Para simpli�car 
os cálculos, use as aproximações e 1 polegada cm)
373. ( Comvest/Vestibular Unicamp 2013) Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da pista existe 
um morro íngreme. A �gura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala. 
Podemos concluir que o avião ultrapassa o 
morro a uma altura, a partir da sua base, de
A. 3,8 tan (15°) km.
374. (Mackenzie 2003) Na �gura, tg � vale:
B. 3,8 sen (15°) km.
C. 3,8 cos (15°) km. D. 3,8 sec (15°) km. 
A. 1
B. 2
C. 1
D. 3
E. 2
Ela tem 80 cm de largura e 45 cm de altura.
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1,5 m
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375. (Comvest/Vestibular Unicamp 2012) Um carpinteiro foi contratado para construir uma cerca formada por ripas de madeira. As �guras 
abaixo apresentam uma vista parcial da cerca, bem como os detalhes 
das ligações entre as ripas, nos quais os parafusos são representados 
por círculos brancos. Note que cada ripa está presa à cerca por dois 
parafusos em cada extremidade.
Para construir uma 
cerca com 300 m de 
comprimento, são 
necessários 
A. 1201,5 m de ripas
B. 1425,0 m de ripas
C. 2403,0 m de ripas
D. 712,5 m de ripas
376. (Comvest/Vestibular Unicamp 2013) Em um aparelho experimental, um feixe laser emitido no ponto re�ete internamente três vezes e chega ao 
ponto , percorrendo o trajeto . Na �gura abaixo, considere que o 
comprimento do segmento é de 6 cm, o do lado é de 3 cm, o polí-
gono é um retângulo e os ângulos de incidência e re�exão são 
congruentes, como se indica em cada ponto da re�exão interna. Qual 
é a distância total percorrida pelo feixe luminoso no trajeto ?
A. 12 cm
B. 15 cm
C. 16 cm
D. 18 cm 
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377. (UFRGS 2012) Na �gura abaixo, é um quadrado e os triângulos sombreados são 
triângulos semelhantes tais que as alturas 
correspondentes formam uma progressão 
geométrica de razão . Se o perímetro do 
triângulo é 1, a soma dos perímetros 
dos quatro triângulos sombreados é
A. B. C. D. E. 
378. (Udesc 2012) Quando olhamos para um ambiente qualquer, a percepção de pro-fundidade é possível devido a nossa visão binocular. Por estarem separados em 
média 65 mm em adultos, cada um dos nossos olhos registra uma imagem de um 
ângulo ligeiramente diferente. Ao interpretar essas imagens ao mesmo tempo, o 
cérebro forma um “mapa” dessas diferenças, tornando possível estimar a distância 
dos objetos em relação a nós.
A estereoscopia (popularmente conhecida 
como “imagem 3D”) é uma técnica que consiste 
em exibir imagens distintas para cada olho do 
observador, representando o que se observaria 
em uma situação real. Assim, o cérebro pode ser 
“enganado” a interpretar os objetos representa-
dos como se estivessem �utuando diante da 
tela ou atrás dela.
Diversas tecnologias existem atualmentepara conseguir isso. A mais comum delas, usada 
nas salas de cinema 3D, funciona com o uso de 
óculos polarizadores que �ltram a imagem pro-
jetada na tela, permitindo que cada olho receba 
somente a imagem correspondente.
Um observador está em uma sala de cinema 
3D usando óculos polarizadores e sobre a tela 
são projetados dois pontos e a uma distân-
cia de 30 cm um do outro, com à esquerda de 
. Os �ltros polarizadores dos óculos fazem 
com que o ponto A seja visto apenas por seu 
olho direito e o ponto apenas por seu olho es-
querdo, de forma que as linhas de visão de cada 
um dos olhos se interseccionem em um ponto 
X, conforme a Figura 1. O observador verá ape-
nas um único ponto, resultado da junção em 
seu cérebro dos pontos e , localizado em X.
Sabendo que a reta imaginária que passa por 
seus olhos é paralela àquela que passa pelos 
pontos e e estas distam 20 m entre si, e que 
sua distância interocular é de 60 mm, a distân-
cia da tela em que ele verá a imagem virtual, 
formada no ponto X, é aproximadamente:
A. 6,6 m B. 3,3 m
C. 4 m D. 16,7 m
E. 16 m
FIGURA 1
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379. (IFCE 2012) Sobre os lados AB e AC do triângulo ABC, são marcados os pontos D e E, respectivamente, de tal forma, que DE // BC, AE = 6 cm, 
DB = 2 cm, EC = 3 cm e DE = 8 cm. Nessas condições, a soma das me-
didas dos segmentos AD e BC, em centímetros, vale
A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 E. 30
380. (FGV 2012) No triângulo retângulo abaixo, os catetos e medem, respectivamente, 2 e 
3. A área do quadrado é que porcentagem 
da área do triângulo ? 
A. 42%
B. 44%
C. 46%
D. 48%
E. 50%
381. (Vunesp 2012) No futebol, um dos gols mais bonitos e raros de se ver é o chama-
do gol olímpico, marcado como resultado 
da cobrança direta de um escanteio.
383. (FGV 2012) Resolva este antigo problema chinês:
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Suponha que neste tipo de gol:
1. A projeção da trajetória da bola descreva um 
arco de circunferência no plano do gramado;
2. A distância ( ) entre o ponto da cobrança do 
escanteio e o ponto do campo em que a bola 
entra no gol seja 40 m;
3. A distância máxima ( ) da projeção da 
trajetória da bola à linha de fundo do 
campo seja 1 m.
Determine o raio da circunferência ( ), em 
metros, do arco descrito pela trajetória da 
bola, com uma casa decimal de aproximação. 
382. (UFPA 2012) Uma passarela construída em uma BR no Pará tem um vão livre de comprimento 4 . A sustentação da passarela é feita a partir de 3 cabos de aço 
presos em uma coluna à esquerda a uma altura da passarela. Esta coluna por 
sua vez é presa por um cabo de aço preso a um ponto na mesma altura da pas-
sarela, e a uma distância da passarela, conforme representa a �gura abaixo. 
A. 57 B. 111 C. 
D. E. 
383. (FGV 2012) Resolva este antigo problema chinês: 
“Qual é a profundidade de uma lagoa com a forma de um círculo, 
de área 49,6 pés quadrados, se um caniço que cresce no centro e 
se estende 1 pé para fora da água atinge exatamente a superfície, 
se puxado pela ponta para a margem da lagoa, sem arrancá-lo?” 
Use a aproximação . 
Supondo e 
, o comprimento 
total dos quatro cabos de 
aço utilizados é, em metros:
O raio mede 200,5 m.
A profundidade é de 7,5 pés.
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74 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 
384. (UFBA 2012) Com base nos conhecimen-tos de geometria plana, é correto a�rmar:
(01) Se os lados de um triângulo medem 8 cm, 11 cm e cm, então 3 < < 19.
(02) O cosseno do maior ângulo interno de um triângulo 
cujos lados medem 6 cm, 8 cm e cm é igual a .
(04) Se o ponteiro dos minutos de um relógio de parede mede 12 cm, 
então, em 40 minutos, sua extremidade percorre mais que 30 cm.
(08) Se x pertence ao intervalo , então existe um ângulo 
tal que .
(16) Para os ângulos e , indicados na �gura, – dois quadrados 
congruentes com um lado comum – tem-se .
385. (ITA 2011) Seja um triângulo retângulo cujos catetos e medem 8 cm e 6 cm, respectivamente. Se é um ponto sobre e o 
triângulo é isósceles, a medida do segmento , em cm, é igual a
A. B. C. D. E. 
386. (Mackenzie 2001) Observando o triângulo da �gura, podemos a�rmar que vale:
Somatória das proposições verdadeiras:
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12 m 16 m
6 m
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 75
A. 
 
B. 
387. (Comvest/Vestibular Unicamp 2010) Um artesão precisa recortar um retângulo de couro com 10 cm x 2,5 cm. Os dois 
retalhos de couro disponíveis para a obtenção dessa tira são 
mostrados nas �guras a seguir.
A. O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da tira? Justi�que.
B. O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira? Justi�que.
C. 
D. 
E. 
Sim. (A justi�cativa é a própria resolução)
Não. (A justi�cativa é a própria resolução)
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1,20 m
0,80 m
0,90 m
0,40 m
Norte
76 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 
388. (Fuvest 2010) Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola branca na posição 
e uma bola vermelha na posição , con-
forme o esquema a seguir. Deve-se jogar 
a bola branca de modo que ela siga a tra-
jetória indicada na �gura e atinja a bola 
vermelha. Assumindo que, em cada coli-
são da bola branca com uma das bordas 
da mesa, os ângulos de incidência e de 
re�exão são iguais, a que distância do 
vértice deve-se jogar a bola branca?
389. (Fuvest 2010) Um transportador havia entregado uma encomenda na cidade A, localizada a 85 km a noroeste da cidade B, e voltaria 
com seu veículo vazio pela rota AB em linha reta. No entanto, rece-
beu uma solicitação de entrega na cidade C, situada no cruzamento 
das rodovias que ligam A a C (sentido sul) e C a B (sentido leste), 
trechos de mesma extensão. Com base em sua experiência, o trans-
portador percebeu que esse desvio de rota, antes de voltar à cidade 
B, só valeria a pena se ele cobrasse o combustível gasto a mais e 
também R$ 200,00 por hora adicional de viagem. 
A. Indique a localização das cidades 
A, B e C no esquema apresentado.
Deve ser jogada a uma distância de .
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1,4 m
1,5 m
3,9 m
MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 77
B. Calcule a distância em cada um dos trechos 
perpendiculares do caminho. (Considere a 
aproximação )
C. Calcule a diferença de percurso 
do novo trajeto relativamente 
ao retorno em linha reta.
D. Considerando o preço do óleo diesel a R$ 2,00 o litro, a velocidade mé-
dia do veículo de 70 km/h e seu rendimento médio de 7 km por litro, 
estabeleça o preço mínimo para o transportador aceitar o trabalho.
390. (UFPR 2010) Uma corda de 3,9 m de comprimento conecta um ponto na base de um bloco de madeira a uma polia localizada 
no alto de uma elevação, conforme o esquema abaixo. Observe 
que o ponto mais alto dessa polia está 1,5 m acima do plano em 
que esse bloco desliza. Caso a corda seja puxada 1,4 m, na dire-
ção indicada abaixo, a distância x que o bloco deslizará será de:
As distâncias AC e BC são, aproximadamente 59,5 km. A diferença é de 34 km.
O preço mínimo é R$ 106,86.
A medida de é 1,6 m.
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A
C D E F
B
60o 60o
78 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 
391. (FGV 2010) Seja ABC um triângulo retângulo em tal que e , onde é a altura do triângu-
lo ABC pelo vértice . A menor medida possível do 
ângulo tem aproximação inteira iguala:
A. 25º
B. 35º
C. 41º
D. 43º
E. 49º
392. (Mackenzie 2013) 
A. 
B. 
C. 
D. 
tg � valor aproximado de � em graus
3
2
2
2
2
3
22
3
32
3
DADOS
394. (Fuvest 2013) Um teleférico transpo6ta turistas entre os picos e de dois morros. A altitude do pico é de 500 m, a altitu-
de do pico é de 800 m e a distância entre as retas verticais 
que passam por e é de 900 m. Na �gura, T representa o 
teleférico em um momento de sua ascensão e e represen-
tam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical 
do teleférico, em metros, até este momento.
25,2o
35,3o
40,9o
43,3o
49,1o
Se na �gura, e então a medida de é
E. 
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500 m
800 m
900 m
MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 79
A. 10
393. (UECE 2010) Se E1 e E2 são duas circunferências concêntri-cas cujas medidas dos raios são respectivamente 3 m e 5 
m e se uma reta tangente a E1 intercepta E2 nos pontos X e 
Y, então a medida, em metros, do segmento de reta XY é
B. 4 C. 6 D. 8
A. Qual é o deslocamento horizontal do teleférico quando 
o seu deslocamento vertical é igual a 20 m?
394. (Fuvest 2013) Um teleférico transpo6ta turistas entre os picos e de dois morros. A altitude do pico é de 500 m, a altitu-
de do pico é de 800 m e a distância entre as retas verticais 
que passam por e é de 900 m. Na �gura, T representa o 
teleférico em um momento de sua ascensão e e represen-
tam, respectivamente, os deslocamentos horizontal e vertical 
do teleférico, em metros, até este momento.
B. Se o teleférico se desloca com velocidade constante de 1,5 m/s, 
quanto tempo o teleférico gasta para ir do pico ao pico ? 
O deslocamento é de 60 m.
Gastará segundos.
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80 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 
395. (UFMG 2013) Nos séculos XVII e XVIII, foi desenvolvida no Japão uma forma particular de produzir matemática. Um dos hábitos que a popu-
lação adotou foi o de a�xar em templos placas contendo problemas, 
em geral de geometria. Essas placas, conhecidas como sangaku, 
apresentavam o problema com ilustrações e a resposta, sem registrar 
a solução dos autores. O seguinte problema foi adaptado de um des-
ses sangakus: considere um retângulo e ; 
tome uma circunferência de centro O tangente aos lados , e 
do retângulo, e seja uma de suas diagonais, interceptando a cir-
cunferência nos pontos e . Considerando essas informações,
A. DETERMINE o raio O da circunferência.
B. DETERMINE o comprimento do segmento . 
O segmento PQ mede 
O raio mede 40.
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TerraLinha do 
Horizonte
MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 81
396. (UEPG 2013) Num instante , um avião é visto por um observador si-tuado no solo sob um ângulo de 60° e, no instante , sob um ângulo 
de 30°. Sabendo-se que o avião voa numa reta horizontal a uma altitu-
de de 5 km, assinale o que for correto.
(01) No instante , a distância entre o observador e o avião é km.
(02) No instante , a distância entre o observador e o avião é 10 km.
(04) A distância percorrida pelo avião entre os instantes e 
 é maior que 5 km.
(08) A distância percorrida pelo avião entre os instantes e 
 é menor que 4 km.
397. (EsPCEx–SP 2013) Em uma das primeiras tentati-vas de determinar a medida do raio da Terra, os 
matemáticos da Antiguidade observavam, do alto 
de uma torre ou montanha de altura conhecida, o 
ângulo sob o qual se avistava o horizonte, tangen-
te à Terra, considerada esférica, conforme mostra 
a �gura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre 
em função do ângulo � é dado por:
A. 1 – sen � R =
sen (� )𝒉
1 – sen � R =
sen � 𝒉
sen � – 1R =
sen � 𝒉
R = sen � 𝒉
1 + sen �R = sen � 𝒉B. 
C. 
D. 
E. 
1 – sen � 
Somatório das proposições verdadeiras: 02 + 04 = 06.
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82 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 
398. (UFJF 2012) Considere dois triângulos ABC e DBC, de mesma base , tais que D é um ponto interno 
ao triângulo ABC. A medida de é igual a 10 cm. 
Com relação aos ângulos internos desses triângu-
los, sabe-se que , , 
, .
A. Encontre a medida do ângulo .
B. Calcule a medida do segmento .
C. Admitindo-se , determine a medida do segmento .
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 83
399. (UEL 2003) Entre os povos indígenas do Brasil contemporâ-neo, encontram-se os Yanomami. Estimados em cerca de 
9000 indivíduos, vivem muito isolados nos estados de Rorai-
ma e Amazonas, predominantemente na Serra do Parima. O 
espaço de �oresta usado por cada aldeia Yanomami pode 
ser descrito esquematicamente como uma série de três cír-
culos concêntricos: o primeiro, com raio de 5 km, abrange a 
área de uso imediato da comunidade; o segundo, com raio 
de 10 km, a área de caça individual e da coleta diária fami-
liar; e o terceiro, com raio de 20 km, a área das expedições 
de caça e coleta coletivas, bem como as roças antigas e no-
vas. Considerando que um indivíduo saia de sua aldeia 
localizada no centro dos círculos, percorra 8 km em linha re-
ta até um local de caça individual e a seguir percorra mais 8 
km em linha reta na direção que forma 120° com a anterior, 
chegando a um local onde está localizada sua roça antiga, a 
distância do ponto de partida até este local é:
A. 
400. (CESGRANRIO 1995) Um navegador devia viajar duran-te duas horas, no rumo nordeste, para chegar a certa 
ilha. Enganou-se, e navegou duas horas no rumo norte. 
Tomando, a partir daí, o rumo correto, em quanto tem-
po, aproximadamente, chegará à ilha?
A. 30min B. 1h C. 1h30min
D. 2h E. 2h15min
B. 
C. D. 
E. 
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84 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 
401. (PUC -SP 2008) Leia com atenção o problema proposto a Calvin na tira.
Supondo que os pontos A, B e C sejam vértices de 
um triângulo cujo ângulo do vértice A mede 60°, 
então a resposta correta que Calvin deveria encon-
trar para o problema é, em centímetros,
A. B. 
C. D. 
E. 
402. (Udesc 2012) Quadros interativos são disposi-tivos de interface humana que permitem ao 
usuário interagir com as imagens projetadas 
sobre uma tela grande, geradas por um com-
putador. O uso desses quadros é cada vez mais 
comum em instituições de ensino, substituin-
do o quadro para giz ou o quadro branco.
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 85
Ponto Distância Ângulo
A 2 m 60°
B 2 m 30°
C 1 m 30°
O triângulo com vértices 
nos pontos A, B e C é: 
A. escaleno
B. equilátero
C. isósceles de base 
D. isósceles de base 
E. retângulo em 
Uma das tecnologias que possibilita essa interação funciona a 
partir de um sensor instalado em um dos cantos da tela onde a 
imagem é projetada, e de uma caneta eletrônica especial que, 
ao ser acionada, emite dois sinais simultâneos: um pulso sono-
ro (ultrassom) e um pulso luminoso (infravermelho). O pulso de 
ultrassom é usado para calcular a distância da ponta da caneta 
até o sensor, enquanto o pulso de infravermelho indica ao sis-
tema o ângulo entre a base da tela e o segmento de reta que 
une o sensor à ponta da caneta.
Considere um quadro interativo de 3 metros de largura por 2 
metros de altura, representado no primeiro quadrante de um 
plano cartesiano, com o sensor instalado na origem. Um usuá-
rio aciona a caneta em três pontos distintos da tela, gerando 
as leituras de distância e de ângulo apresentadas na Tabela 2:
TABELA 2
403. (Fuvest 1995) No quadrilátero a seguir,, , e .
A medida, em cm, do perímetro do quadrilátero é: 
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 E. 15
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1
86 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 
404. (CESGRANRIO 1993) Os lados de um triângulo são 3, 4 e 6. O cosseno do maior ângulo interno desse triângulo vale:
A. 11/24 B. –11/24 C. 3/8 D. –3/8 E. –3/10
405. (Comvest/Vestibular Unicamp 1992) Na �gura adiante, é o 
lado do decágono regular inscrito em 
uma circunferência de raio 1 e centro O.
A. Calcule o valor de .
O ângulo central do decágono regular mede . Como o triângulo é isósceles 
, assim:
O triângulo também é isósceles (de acordo com o enunciado) e . Sendo assim, 
 e são tais que:
Como , temos: 
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 87
B. Mostre que .
406. (Comvest/Vestibular Unicamp 2000) Os lados de um triângulo têm, como medidas, números 
inteiros ímpares consecutivos cuja soma é 15.
A. Quais são esses números?
Sejam , e as medidas dos lados do triângulo.
Logo, as medidas dos lados são , e .
Pela lei dos cossenos, no triângulo , temos: 
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88 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 
B. Calcule a medida do maior ângulo desse triângulo.
C. Sendo e � os outros dois ângulos do referido triângulo, 
com � , mostre que . 
Pela lei dos cossenos, sendo a medida do maior ângulo (oposto ao maior lado), temos:
Logo, ou . Porém, não é possível que o maior ângulo de um triângulo 
meça , porque, nesse caso, a soma dos ângulos do triângulo seria menor que . 
Logo, 
De acordo com o enunciado, temos a representação do triângulo abaixo. 
5
7
3
120o
Assim, pela lei dos senos:
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 89
407. (UFSCar 2002) Na �gura, o dodecágono inscri-to na circunferência tem seis lados medindo 
 e seis lados medindo .
Lei dos cossenos: em um triângulo ABC, onde  
é o ângulo compreendido entre os lados b e c,
A. Calcule o ângulo .
Na �gura, é o lado de um hexágono regular inscrito na circunferência, pois suas 
extremidades são, também, extremidades de um arco que mede 1/6 da circunferência. A 
medida do lado de um hexágono regular inscrito em uma circunferência é igual à medida 
do raio dessa circunferência. Sendo assim, se R é o raio da circunferência e O é seu centro, 
temos . Como consequência, Sejam 
 e , temos os triângulos e isósceles:
Como
Então:
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1
90 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 
B. Calcule o raio da circunferência.
408. (UFSCar 2004) Na �gura, é reto, , �, e .
Sabendo que , o valor de é
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
Pela lei dos cossenos aplicada no triângulo ABC:
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 91
409. (Fuvest 1993) A corda comum de dois círculos que se interceptam é vista de seus centros sob ângulos de e , respectivamente, como é mostra-
do na �gura a seguir. Sabendo-se que a distância entre seus centros é igual 
a , determine os raios dos círculos.
Sejam r e R, respectivamente, as medidas dos raios das circunferências de centro O1 e O2.
 divide o quadrilátero em dois triângulos congruentes cujas medidas dos 
ângulos internos são , e .
Usando-se o teorema de Pitágoras no triângulo :
Usando-se a lei dos cossenos no triângulo :
No triângulo :
Como , temos que = 2.
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30o
150o
90o
2 km
1 km
92 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 
410. (Comvest/Vestibular Unicamp 2005) Sejam A, B, C e N quatro pontos em um mesmo plano, conforme mostra 
a �gura a seguir.
A. Calcule o raio da circunferência que passa pelos pontos A, B e N.
B. Calcule o comprimento do segmento NB.
Pela lei dos senos, sendo o raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABN, 
Seja a medida do ângulo . Então e, também, 
. Além disso,
Usando-se, ainda, a lei dos senos no triângulo , e lembrando que 
, temos:
Como o triângulo é retângulo, temos que sua hipotenusa é um diâmetro da 
circunferência inscrita a ele. Aplicando-se o teorema de Pitágoras nesse triângulo:
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 93
411. (Fuvest 2006) Na �gura a seguir, O é o centro da circunferência de 
raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo mede e .
A. Determine em função de AB.
B. Calcule AB.
Usando-se a lei dos senos no triângulo OAB, temos:
Seja C o segundo ponto de intersecção da reta AB com a circunferência, vale lembrar que o triângulo 
BOC é equilátero de lado unitário. Assim, usando-se a lei dos senos no triângulo OAC, temos:
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94 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 
412. (ITA 2011) Num triângulo o ângulo mede e os lados e medem e , respectiva-
mente. A circunferência de centro em e raio igual à medida 
de intercepta no ponto .
A. Mostre que mede .
Utilizando-se o teorema dos senos, temos:
 é um ângulo agudo, pois e
Como e e são ângulos agudos, temos que .
120o
30o
2
15o
15o
30o
2 –
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64
00
 k
m
640
0 k
m
Satélite
Terra
MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 95
B. Calcule o comprimento de .
413. (Comvest/Vestibular Unicamp 2013) Um sa-télite orbita a da superfície da Terra. 
A �gura abaixo representa uma seção plana 
que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco 
de circunferência AB. Nos pontos desse arco, 
o sinal do satélite pode ser captado. Respon-
da às questões abaixo, considerando que o 
raio da Terra também mede 6.400 km.
A. Qual o comprimento do arco AB indicado na �gura?
Vemos, na �gura, que o triângulo é isósceles e que . Vemos, 
também, que o triângulo é isósceles e que . 
Logo, .
Sejam O o centro da circunferência e P o ponto onde o satélite se encontra. 
No triângulo BOP, temos:
O arco AB é, portanto, correspondente a um ângulo central que mede 120o. 
O comprimento do arco AB é, portanto, igual a um terço do comprimento 
da circunferência, ou seja:
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96 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 
B. Suponha que o ponto C da 
�gura seja tal que . 
Determine a distância entre o 
ponto C e o satélite. 
414. (Fuvest 2011) No losango AB-CD de lado 1, representado na 
�gura, tem-se que M é o ponto 
médio de AB, N é o ponto mé-
dio de e . 
Então, DM é igual a
A. B. C. D. E. 
415. (Comvest/Vestibular Unicamp 2013) Na �gura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases e , res-
pectivamente, e o ângulo Portanto, o 
comprimento do segmento CE é:
A. B. C. D. 
Aplicando-se o teorema dos cossenos no triângulo COP, temos:
Sa
té
lit
e
Ce
nt
ro
 d
a 
Te
rr
a
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 10 | 97
416. (Fuvest 2009) Os comprimentos dos lados de um triângulo ABC formam uma PA. Sabendo-se também que o períme-
tro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede 120o, então o 
produto dos comprimentos dos lados é igual a:
A. 25 B. 45 C. 75 D. 105 E. 125
417. (Unifesp 2007) Em um triângulo com lados decompri-mentos , , , tem-se . 
A medida do ângulo oposto ao lado de comprimento é 
A. 30o B. 45o
C. 60o D. 90o
E. 120o
418. (UFSCar 2006) Se os lados de um triângulo me-dem , e , então, para qualquer real 
e maior que 1, o cosseno do maior ângulo interno 
desse triângulo é igual a
A. B. 
C. D. 
E. 
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a 
an
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e
ENTRE 
TRIÂNGULOS 
E CÍRCULOS: 
POLÍGONOS
11
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 11 | 99
PRIMEIRAS IDEIAS
419. A soma dos ângulos internos de um polígono regular é igual a 1440°. Qual é a medida do 
ângulo interno desse polígono?
420. Dois lados de um triângulo formam um ângulo de 150o entre si e medem, respectivamente, 8 cm e 10 cm. De-
termine a área desse triângulo.
421. Um triângulo acutângulo de área cm2 tem dois lados que medem 7 cm e 4 cm. 
Determine o ângulo entre esses dois lados.
422. Determine os ângulos de um triângulo acutângulo de área , cujos lados 
medem , e .
A área mede 20 cm2.
O ângulo é de 45o.
Os ângulos são 45o, 60o e 75o.
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Plani�cação
5 cm
11,6
4 cm
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423. Fabiola produz embalagens arte-sanais para algumas lojas de sua 
cidade. Pensando no período de 
festas de �nal de ano, decidiu fa-
zer uma embalagem que, ao ser 
desmontada, vira uma estrela. 
Para saber quanto vai cobrar por 
unidade, é preciso fazer o levanta-
mento da quantidade de material 
necessário. Considerando as me-
didas dadas na imagem ao lado e 
que o custo do material para: 
 • o fundo é R$ 17,50/m²;
 • a lateral é R$ 13,20/m².
Com a ajuda de uma 
calculadora, determine:
A. o custo por unidade; B. quanto ela deve cobrar, se o valor de 
venda deve ser 130% maior que o custo, 
tendo em vista mão de obra e encargos.
C. Fabiola só encontra o material utilizado para o fundo e para as laterais em 
folhas de 1,2 m por 0,9 m. Considerando o formato e tamanho das peças, 
estabeleça uma forma de o desperdício de material ser o menor possível.
424. O processo de admissão de opera-dor de maquinário em uma fábrica 
exigia que o candidato respondes-
se à seguinte questão:
O custo por unidade é de R$ 0,27.
Ela deve cobrar R$ 0,61.
Resposta pessoal.
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Uma folha de aço chega à fábrica enrolada em uma bobina de 4 m 
de largura, considerando que, para cortar discos circulares de 50 
cm de diâmetro, em toda a folha, eles serão colocados um ao lado 
do outro, conforme pode ser visto no exemplo abaixo, determine 
qual o percentual de desperdício de material se a folha tem 100 m 
de comprimento. 
Qual a resposta que o candidato deveria dar?
425. Uma circunferência de raio unitário está circuns-
crita a um triângulo cujas 
medidas de dois dos seus 
lados são, respectiva-
mente, uma unidade e 
duas unidades. Determi-
ne os possíveis ângulos 
desse triângulo.
426. Determine a área de um triân-gulo que está circunscrito a um 
quadrilátero , tal que o 
ângulo mede 60o e a diagonal 
 mede 9 cm.
O candidato deveria responder que 
ocorrerá um desperdício de 21,46%.
As possibilidades são: 30°, 45° e 105°, 
ou 15°, 30° e 135°, ou 15°, 45° e 120°.
A área mede 9 πcm2
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5 c
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4 c
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102 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 11
427. Raquel comemorará 15 anos e como lembrança de 
sua festa decidiu fazer, so-
zinha, �ores de papel, mas 
está em dúvida entre dois 
modelos, uma com cinco 
pétalas e outra com sete, 
representadas na imagem 
a seguir. Com ajuda de 
uma calculadora, responda:
A. qual a quantidade de material necessário 
para fabricar cada uma das �ores?
B. qual a �or que gastará menos papel, conside-
rando um acréscimo de 5% na quantidade de 
material verde para a área de colagem?
C. quanto Raquel gastará para fazer 300 lembrancinhas da �or 
mais escolhida no item b com um custo de R$ 23,00/m² de 
papel verde e de R$ 35,00/m² de papel laranja?
428. Os lados de um hexágono regular medem 4 cm. De-
termine as medidas das 
diagonais desse hexágono.
Para a �or de cinco pétalas, serão necessários 48,75 cm² de papel verde 
e 78,54 cm² de papel laranja Já para a �or de sete pétalas, serão 
necessários 26,25 cm² de papel verde e 50,26 cm² de papel laranja.
A que gastará menos papel, com o acréscimo, será a �or com sete pétalas.
Gastará, aproximadamente, R$ 35,32 com papel verde 
e R$ 52,78 com papel laranja.
As diagonais medem 8 cm e cm.
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Figura 1: Ladrilhos retangulares 
pavimentando o plano
Figura 2: Heptágonos regulares 
não pavimentam o plano 
(há falhas ou superposição)
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429. Determine o raio da circunferência circunscrita a um triângulo que tem um lado medindo 5 cm 
e cujo ângulo oposto a esse lado mede 30o.
430. (Enem 2002) Na construção civil, é mui-to comum a utilização de ladrilhos ou 
azulejos com a forma de polígonos para 
o revestimento de pisos ou paredes. En-
tretanto, não são todas as combinações 
de polígonos que se prestam a pavimen-
tar uma superfície plana, sem que haja 
falhas ou superposições de ladrilhos, co-
mo ilustram as �guras:
O raio mede 5 cm.
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Nome Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Octógono Eneágono
Figura
Ângulo 
interno
60° 90° 108° 120° 135° 140°
104 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 11
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, 
com as respectivas medidas de seus ângulos internos.
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de 
dois tipos diferentes de ladrilhos entre os polígonos 
da tabela, sendo um deles octogonal, o outro tipo 
escolhido deverá ter a forma de um
A. triângulo
B. quadrado
C. pentágono
D. hexágono
E. eneágono
431. (Enem 2012) Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre pla-
taformas giratórias. Uma medida de segurança 
é que a base da escultura esteja integralmente 
apoiada sobre a plataforma. Para que se provi-
dencie o equipamento adequado, no caso de 
uma base quadrada que será �xada sobre uma 
plataforma circular, o auxiliar técnico do evento 
deve estimar a medida � do raio adequado pa-
ra a plataforma em termos da medida � do lado 
da base da estátua. Qual relação entre � e � o 
auxiliar técnico deverá apresentar de modo que 
a exigência de segurança seja cumprida?
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 11 | 105
432. (UEPG 2011) Três polígonos regulares, A, B e C, têm números de lados, respectivamente, , onde . Sabendo-se 
que e estão em progressão aritmética de razão –2 e que 
a soma de todos os ângulos internos dos três polígonos é 
3240o, assinale o que for correto. 
1. O polígono A tem 35 diagonais.
2. O número de diagonais do polígono C é maior que 10.
4. A soma dos ângulos internos do polígono C é 720º.
8. Cada ângulo externo do polígono A mede 36º.
16. Cada ângulo interno do polígono B mede 135º.
433. (UTFPR 2010) A soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180º. A soma das me-
didas dos ângulos internos de um hexágono é: 
A. 180º
B. 360º
C. 540º
D. 720º
E. 900º
434. (Unifesp 2008) A soma de ângulos internos de um polígono 
convexo de lados é 1900o. O ân-
gulo remanescente mede
A. 120°
B. 105°
C. 95°
D. 80°
E. 60°
Somatório das proposições verdadeiras: 01 + 04 + 08 + 16 = 29
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106 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 11
435. (PUC-Rio 2009) Considere o pentágono regular . 
Quanto vale o ângulo ? 
A. 24°
B. 30°
C. 36°
D. 40°
E. 45°
436. (UEG 2006) Na �gura a seguir, para quaisquer que sejam � e 
�, as medidas dos ângulos sa-
tisfazem a relação
A. 
B. 
C. 
D. 
437. (ITA 2007) Seja um polígono regular de la-dos, com . Denote por o apótema e por 
 o comprimento de um lado de . O valor de 
 para o qual valem as desigualdades e 
, pertence ao intervalo
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
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8 cm
2 cm
Figura 1 Figura 2
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438. (UFLA 2007) As aranhas são notáveis geômetras, já que suas teias revelam variadas relações geométricas. No desenho, a 
aranha construiu sua teia de maneira que essa é formada por 
hexágonos regulares igualmente espaçados. Qual é a menor 
distância que a aranha deve percorrer ao longo da teia para 
alcançar o infeliz inseto? 
A. 
B. 
C. 
D. 
439. (ITA 2005) Seja o número de la-dos de um polígono convexo. Se a 
soma de ângulos (internos) 
do polígono é 2004°, determine o 
número de lados do polígono.
440. (UFSCar 2005) A �gura 1 representa um determi-nado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais 
regulares (1 hexágono, 2 triângulos, 4 quadra-
dos), sem sobreposições e cortes. 
Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados 
perfeitamente nos espaços da �gura 1, como in-
dicado na �gura 2, é correto dizer que
A. 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângu-
los isósceles de ângulo da base medindo 15o.
B. 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângu-
los isósceles de ângulo da base medindo 30o.
C. 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50° e 4 são 
triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30o.
D. 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos retângulos isósceles.
E. 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos escalenos. 
O polígono tem 14 lados.
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441. (PUC-Rio 2005) Os ângulos internos de um quadrilátero medem , , 
e graus. O menor ângulo mede:
A. 90°
B. 65°
C. 45°
D. 105°
E. 80°
442. (Mackenzie 1998) A área do triângulo a seguir é: 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
443. (Comvest/Vestibular Unicamp 2006) Um triângulo retângulo de vértices , e é tal que , 
 e . Os segmentos , 
e também são lados de quadrados construídos 
externamente ao triângulo . Seja o centro da 
circunferência que circunscreve o triângulo e sejam 
, e os centros dos quadrados com lados , 
e , respectivamente. 
A. Calcule os comprimentos dos 
segmentos , e .
A �gura ao lado é a ilustração do que o exercício descreve. 
Como o lado é o diâmetro da circunferência, temos 
que é um ponto da circunferência, e que tem a mesma 
medida do raio da circunferência. Portanto, . 
Ao traçarmos os segmentos e , marcamos as 
intersecções desses segmentos com os lados do triângulo 
 e as denominamos, respectivamente, e , conforme 
a ilustração.
Os triângulos e são semelhantes. Logo,
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444. (PUC-SP 2005) Para formar uma estrela regu-lar de seis pontas foram superpostos dois 
triângulos equiláteros, cada qual com 12 cm2 
de área, como mostra a �gura a seguir. 
Nessas condições, a área da superfície 
da estrela, em centímetros quadrados, é
A. 16
B. 18
C. 21
D. 24
E. 27
Sendo assim, os lados do triângulo medem o dobro 
dos lados do triângulo . Assim, . Como 
, temos que , e consequentemente, 
. Além disso,
Portanto, , e .
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445. (UFSC 2004) Assinale a soma dos números associados à(s) proposição(ões) CORRETA(S).
1. Se a altura de um triângulo retângulo relativa ao ângulo 
reto dividir a hipotenusa em segmentos de 3 cm e 12 cm, 
então a área desse triângulo é de 45 cm2.
2. A única maneira de provar que a soma dos ângulos 
internos de um polígono convexo de lados é 
 consiste em traçar todas as diagonais 
desse polígono que tenham origem num vértice �xado, o 
que dividirá o polígono em triângulos.
4. Num pentágono regular, as diagonais traçadas de um 
mesmo vértice formam entre si um ângulo de 40°.
8. Se o perímetro do quadrado inscrito numa circunferência 
é de 8 cm então a área do quadrado circunscrito a essa 
circunferência é de 8 cm2.
446. (UFPE 2001) Sobre os lados de um triângulo , retângulo em , 
são construídos quadrados , 
 e (veja a ilustração a 
seguir). O triângulo é retângu-
lo em e as medidas de , são 
iguais às de , , respectiva-
mente. Considerando os dados 
acima, não podemos a�rmar que
A. e têm a mesma área.
B. e são congruentes.
C. e têm a mesma área.
D. e são congruentes.
E. A área de é igual à soma das 
áreas de e .
Somatório das proposições verdadeiras: 01 + 08 = 09
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Parafuso
Cabeça da ferramenta
Braço da ferramenta
�
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447. (IFBA 2012) Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja diagonal mede . 
O comprimento dessa circunferência é: 
A. 
B. 
C. 
D. 
E. 
448. (UFSCar 2007) O projeto de uma ferramenta prevê que ela se encaixe perfeitamente em um parafuso 
de cabeça hexagonal regular, como indica a �gura. 
A. Calcule as medidas de � e �, admitindo a medida do lado 
do hexágono que forma a cabeça do parafuso igual a 2 cm.
B. Considere como um arco de circunferência cujo centro é o 
ponto médio do segmento de comprimento �, indicado no 
projeto da ferramenta. Sendo � a medida do lado do hexágo-
no que forma a cabeça do parafuso, e � a medida do raio de 
, determine � em função de �.
 e 
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112 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 11
449. (UEG 2010) Seja � a medida do lado de um octógono regular circunscrito a uma circunferência de raio �. Com base nessa in-
formação, determine a medida do perímetro desse octógono 
em função do raio �.
450. (UFRGS 2005) Na �gura a seguir, o pentágo-no , inscrito no círculo, é regular. A 
soma das medidas dos ângulos , , , e , 
indicados na �gura, é
A. 150°
B. 180°
C. 270°
D. 360°
E. 450°
451. (UFC 2006) Um octógono regular está inscrito em uma circun-ferência de raio 1. Os vértices , e do octógono são tais 
que é um diâmetro de sua circunferência circunscrita e e 
 são adjacentes. Determine o comprimento da diagonal . 
O perímetro � em função do raio � mede: 
AD mede .
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 11 | 113
452. (FGV 2012) 
A. Construa um triângulo isósceles cujo ângulo 
menor seja metade de cada um dos ângulos 
maiores e nomeie seus vértices de , e , sen-
do o ângulo menor. Em seguida, desenhe 
uma circunferência que passe pelos três vérti-
ces desse triângulo. Por �m, trace as bissetrizes 
dos dois ângulos maiores do triângulo; batize 
de ponto o encontro da bissetriz de com 
a circunferência e, de ponto , o encontro da 
bissetriz de com a circunferência.
Notas: (i) indique a localização dos pontos 
, , , e ; (ii) como referência, adote 
para o segmento de reta qualquer 
tamanho entre 5 e 10 centímetros.
36o
36o
36o 36o
36o
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114 | MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 11
B. Imagine que a �gura construída no itemanterior seja 
a versão, em miniatura, de uma �gura na qual o raio 
da circunferência circunscrita ao triângulo mede 
2 km. Nesse caso, qual é o comprimento do arco ?
C. Na �gura ampliada descrita no item anterior, 
qual é o perímetro do pentágono ?
Se necessário, adote: 
453. (Unifesp 2009) Tem-se um triângulo equilátero em que cada lado mede 6 cm. O raio do círculo circuns-
crito a esse triângulo, em centímetros, mede
A. 
B. 
454. (UFLA 2006) Uma questão interessante é obter círculos que 
tangenciam um círculo central e 
que sejam consecutivamente tan-
gentes. Considerando o problema 
de se tentar envolver um círculo 
central com 7 círculos, com os oito 
círculos de mesmo raio, um esboço 
da solução seria da forma ao lado. 
C. 
D. 
E. 
O perímetro do pentágono é, aproximadamente, 
igual a 11,8 km.
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MATEMÁTICA | 1a SÉRIE | UNIDADE 4 | CAPÍTULO 11 | 115
Nesse caso, pode-se a�rmar que
A. o desenho está correto e vale para qualquer valor de raio.
B. o desenho está correto; porém, tal fato é válido apenas 
para um valor especí�co do raio.
C. tal situação não pode ocorrer e o desenho não representa 
a solução do problema.
D. o desenho está correto, mas o raio tem que ser su�ciente-
mente pequeno.
E. o desenho é falso, pois um círculo não pode tangenciar si-
multaneamente outros três círculos.
455. (Comvest/Vestibular Unicamp 1999) Sejam , e pontos de uma circunfe-
rência tais que, , 
e a medida do ângulo seja de 135o.
A. Calcule o raio dessa circunferência. B. Calcule a área do triângulo .
.
Sejam e �, respectivamente, o centro e a medida 
do raio, em km, da circunferência. O ângulo é 
um ângulo central, correspondente ao ângulo 
inscrito . Portanto, 
No triângulo , temos 
, 
ou seja,
No triângulo , temos 
Portanto, o raio da circunferência mede 
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