Funções de uma variável real (Notas de Aula com Exercícios Resolvidos)

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Professora Gabriela Coutinho
Funções de Variável Real
Rectangle
Rectangle
O que é uma função?
f
D E
f(a)a
x ƒ(x)
x
(entrada)
ƒ(x)
(saída)
f
D E
x
não é função
As funções surgem quando uma quantidade depende de 
outra. Uma função é uma lei que associa, a cada elemento 
em um conjunto , exatamente um elemento, chamado , 
em um conjunto . 
f x
D f(x)
E
Rectangle
Como representar uma função?
Também podemos relacionar o conjunto com elementos do 
conjunto através de uma equação algébrica, como . 
Existem 4 formas de representar uma função: 
• Através de um gráfico 
• Através de uma expressão algébrica 
• Através de uma tabela 
• Através de palavras 
D
E f(x) = x + 1
variável independente 
variável dependente
x ⟶
y = f(x) ⟶
x y = f(x)
 
 
 
 
 
6
5
4
3
2
1
(4,5)
D E
 
 
 
 
 
6
5
4
3
2
1
(3,4)
(2,3)
(1,2)
x
y = f(x)
 
 
 
 
 
6
5
4
3
2
1
1 2 3 4 5 6
f(x) = x + 1x
1
2
3
4 5
3
4
2
Cada ponto da curva corresponde 
a um par de números que associa 
um elemento do domínio a um 
elemento do contradomínio, ou 
seja, corresponde à .(x, f(x))
Rectangle
Teste da Reta Vertical
Uma curva no plano é o gráfico de uma função de se e 
somente se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez. 
xy x
a
x a
(a, b)
0 a
(a, c)
(a, b)
x a
0 x
y
x
y
Rectangle
Teste da Reta Vertical
Como exemplo vamos utilizar a curva da expressão . Observe que e então 
, ou seja, para cada valor de temos dois valores de , um e outro , o 
que não caracteriza uma função de variável .
x = y2 − 2 y2 = x + 2
y = ± x + 2 x y − x + 2 x + 2
x
Se invertemos os papéis de e , 
teremos uma função de e não de 
, ou seja, . Cada 
elemento de possui apenas uma 
imagem . Podemos também ter 
uma função de que resulta 
somente no positivo 
ou uma função de que resulta 
somente no 
negativo 
x y
y
x x = h(y) = y2 − 2
y
h(y)
x
y = x + 2
x
y = − x + 2
(b) y x 2
2 0 x
y
( 2, 0)
(a) x y2 2
0 x
y
(c) y x 2
2
0
y
x
Rectangle
Classificação das funções quanto a sua imagem
Sobrejetora: Todos os elementos do contradomínio estão associados a algum elemento do domínio. 
Injetora: Cada elemento da imagem está associado a apenas um elemento do domínio, ou seja, se 
, então . 
Bijetora: Uma função que é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora é chamada de bijetora.
x1 ≠ x2 f(x1) ≠ f(x2)
f
D E
a
b
c4
1
2
3
f
D E
a
b
4
1
2
3
f
D E
a
b
1
2
3 d
c c
d
Rectangle
Domínio de uma Função
O domínio de uma função pode ser descrito explicitamente ou pode ser descrito 
implicitamente por uma equação usada para definir a função. O domínio implícito é o 
conjunto de todos os números reais para os quais a equação é definida, enquanto um 
domínio definido explicitamente é aquele que é fornecido junto com a função. 
Por exemplo, a função dada por 
 
tem o domínio está explícito em 
quando fornecemos que os valores 
permitidos de tal que 
. 
f(x) =
1
x2 − 4
, 4 ≤ x ≤ 5
x
{x ∈ ℝ |4 ≤ x ≤ 5}
Mas se a função é dada por 
 
está implícito que o domínio da função é 
o conjunto . 
g(x) =
1
x2 − 4
{x ∈ ℝ |x ≠ ± 2}
Rectangle
Domínio de uma Função
Exemplo: Determine o domínio e a imagem da função . 
Neste caso, o domínio é conjunto de valores de tais que de maneira 
que o termo dentro da raiz quadrada não seja negativo. Como a raiz quadrada 
nunca será negativa, a imagem será .
f(x) = x − 1
x x − 1 ≥ 0
[0,∞)
Rectangle
Função definida por partes
f(x) = |x | = {x se x ≥ 0−x se x < 0.
Esse tipo de função tem fórmulas distintas em diferentes partes do seu domínio. A 
função modular é uma função definida por parte uma vez que
x
y | x |
0
y
Ou seja, ela apresenta duas expressões distintas para e para .x ≥ 0 x < 0
Rectangle
Função definida por partes
Exemplo: Seja . Obtenha e . f(x) = {1 − x se x ≤ − 1x2 se x > − 1 f(−2), f(−1) f(0)
Rectangle
Função definida por partes
Exemplo: Seja . Obtenha e . 
Como para , sendo e pertencente a este intervalo, temos 
que e . 
Como para , sendo pertencente a este intervalo, temos que . 
Note que para temos uma reta e para temos uma parábola.
f(x) = {1 − x se x ≤ − 1x2 se x > − 1 f(−2), f(−1) f(0)
f(x) = 1 − x x ≤ − 1 x = − 2 x = − 1
f(−2) = 1 − (−2) = 3 f(−1) = 1 − (−1) = 2
x > − 1 x = 0 f(0) = 02 = 0
x ≤ − 1 x > − 1
1
x
y
11 0
Rectangle
Simetria
Uma função pode ser par se como é o caso da função em que 
. Da mesma forma, uma função pode ser ímpar se como 
é o caso da função em que . 
Geometricamente, podemos dizer que uma função par tem seu gráfico simétrico 
ao eixo e uma função ímpar tem seu gráfico simétrico em relação à origem.
f(x) = f(−x) x2
x2 = (−x)2 f(x) = − f(−x)
x3 x3 = − (−x)3
y
0 xx
f( x) ƒ(x)
x
y
0
x
x ƒ(x)
x
y
f( x)
Rectangle