logaritmo_decimal (2)

Prévia do material em texto

Lista de Exercícios – Logaritmo Decimal 
 
Página 1 de 8 
 
Nota: Os exercícios desta aula são referentes ao seguinte vídeo : 
Extensivo Matemática – Aula 15 – Função Logarítmica – (Parte 1 de 3) 
Endereço: https://youtu.be/B65JnNhQOgU 
Gabaritos nas últimas páginas! 
 
E1. (Unesp 2003) A tabela mostra 3 números com as correspondentes mantissas de seus logaritmos na 
base 10. 
 
a) Escreva os valores dos log10(x). 
b) Calcule os valores aproximados de log10(3,04), log10(3010) e log10(302). 
 
E2. (Pucpr 2015) Suponha que a vazão de água de um caminhão de bombeiros se dá pela expressão 
t
0V(t) V 2 ,
−
= ⋅ em que 0V é o volume inicial de água contido no caminhão e t é o tempo de 
escoamento em horas. Qual é, aproximadamente, utilizando uma casa decimal, o tempo de escoamento 
necessário para que o volume de água escoado seja 10% do volume inicial contido no caminhão? 
(utilize: log2 0,03.)≅ 
a) 3h e 30 min. b) 3h e 12 min. c) 3h e 18 min. d) 2h e 15 min. e) 2h e 12 min. 
 
E3. (Uerj 2015) Observe no gráfico a função logaritmo decimal definida por y = log(x). 
 
 
 
Admita que, no eixo x, 10 unidades correspondem a 1 cm e que, no eixo y, a ordenada log(1000) 
corresponde a 15 cm. 
A escala x:y na qual os eixos foram construídos equivale a: 
a) 5:1 b) 15:1 c) 50:1 d) 100:1 
 
Lista de Exercícios – Logaritmo Decimal 
 
Página 2 de 8 
 
E4. (Insper 2014) Uma pessoa irá escolher dois números reais positivos A e B. Para a maioria das 
possíveis escolhas, o logaritmo decimal da soma dos dois números escolhidos não será igual à soma de 
seus logaritmos decimais. Porém, se forem escolhidos os valores A = 4 e B = r, tal igualdade se verificará. 
Com essas informações, pode-se concluir que o número r pertence ao intervalo 
a) [1, 0; 1, 1]. b) ]1, 1; 1, 2]. c) ]1, 2; 1, 3]. d) ]1, 3; 1, 4]. e) ]1, 4; 1, 5]. 
 
E5. (Insper 2012) Considere N o menor número inteiro positivo tal que log( log( logN)) seja um inteiro 
não negativo. O número N, representado no sistema de numeração decimal, possui 
a) 2 algarismos. b) 3 algarismos. c) 10 algarismos. d) 11 algarismos. 
e) 100 algarismos. 
 
E6. (Ufes 2002) Sabe-se que log10 3 = 0,477, aproximado até a terceira casa decimal. O número de 
algarismos do inteiro N=30
30
 é igual a 
a) 43 b) 44 c) 45 d) 46 e) 47 
 
E7. (Uerj 2003) O logaritmo decimal do número positivo x é representado por log x. 
Então, a soma das raízes de log
2
x - log x
3
 = 0 é igual a: 
a) 1 b) 101 c) 1000 d) 1001 
 
E8. (Ufmg 2005) Um engenheiro estava estudando uma grandeza v em função de outra grandeza u . Ao 
tentar traçar o gráfico de v em função de u, ele observou que os valores de v tinham uma grande 
variação e que seria conveniente substituir v por seu logaritmo decimal w = log v. 
Ele fez, então, um gráfico de w em função de u (Figura 1). 
Assinale, entre as seguintes alternativas, a ÚNICA em que se relacionam corretamente os valores da 
grandeza v correspondentes aos valores 10, 20 e 30 da grandeza u. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de Exercícios – Logaritmo Decimal 
 
Página 3 de 8 
 
E9. (Ufal 2006) Uma pessoa necessitava saber o valor do logaritmo decimal de 450, mas não tinha 
calculadora. Em uma busca na internet, encontrou a tabela a seguir e, através dela pôde calcular 
corretamente o que precisava. 
 
 x log x 
 ------------------------ 
 2 0,30 
 3 0,48 
 7 0,85 
 11 1,04 
 
Determine o valor encontrado. 
 
E10. (Unifesp 2008) A tabela apresenta valores de uma escala logarítmica decimal das populações de 
grupos A, B, C, ... de pessoas. 
 
Por algum motivo, a população do grupo E está ilegível. A partir de valores da tabela, pode-se deduzir 
que a população do grupo E é 
a) 170.000. b) 180.000. c) 250.000. d) 300.000. e) 350.000. 
 
E11. (Fatec 1999) Na química, o pH de uma solução é uma medida de sua acidez. Ele é definido como o 
oposto (ou o negativo) do logaritmo decimal da concentração de íons positivos da solução. (Essa 
concentração é medida em moles por litro.) 
Se log2=0,3 e a concentração de certa solução é 2×10
-9
, então o seu pH é 
a) -9,3 b) 2,7 c) 8,7 d) 9,3 e) 9,7 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de Exercícios – Logaritmo Decimal 
 
Página 4 de 8 
 
 
E12. (Ufrj 1998) Sejam x e y duas quantidades. O gráfico abaixo expressa a variação de log y em função 
de log x, onde log é o logaritmo na base decimal. 
 
Determine uma relação entre x e y que não envolva a função logaritmo. 
 
Lista de Exercícios – Logaritmo Decimal 
 
Página 5 de 8 
 
Gabarito: 
Resposta da questão E1: 
 
 a) log10(301) = 2,4786, log10(303) = 2,4814 
e log10(304) = 2,4829. 
b) log10(3,04) = 0,4829, log10(3010) = 3,4786 e 
 log10(302) = 2,4800. 
 
 
Resposta da questão E2: 
 
 [C] 
 
t
0
t
0 0
t
V(t) V 2
0,1 V V 2
0,1 2
−
−
−
= ⋅
⋅ = ⋅
=
 
 
Aplicando logaritmo na base 10 nos dois membros da igualdade, temos: 
tlog0,1 log2
1 t log2
1 t 0,3
t 3,3333333...
−
=
− = − ⋅
− = − ⋅
=
 
 
Utilizando uma casa decimal, como foi pedido no enunciado encontramos o seguinte valor para t. 
t 3,3h 3h e (0,3 60)min 3h e 18min= = ⋅ = 
 
Resposta da questão E3: 
 
 [C] 
 
No eixo x: 1 cm corresponde a 10 unidades; 
No eixo y: 1 cm corresponde a (log1000)/15 = 3/15 = 1/5 unidades. 
Logo, x/y = 50/1. 
 
Resposta da questão E4: 
 
 [D] 
 
O número r é tal que 
 
log(4 r) log4 logr log(4 r) log4r
4 r 4r
4
r 1,33.
3
+ = + ⇔ + =
⇔ + =
⇔ = ≅
 
 
Portanto, r ]1,3;1,4].∈ 
 
Resposta da questão E5: 
 
Lista de Exercícios – Logaritmo Decimal 
 
Página 6 de 8 
 
 [D] 
 
Para que log( log( logN)) seja um inteiro não negativo, devemos ter: 
10log( logN) 1 logN 10 N 10 ,= ⇔ = ⇔ = com onze algarismos. 
 
 
E6. 
Temos que: 
 N � 30�� 
 
Podemos então fazer: 
logN � log 30�� 
 
Lembrando	que	 log� a� � c ⋅ log� a temos: 
logN � 30 log 30 
logN � 30�log�3 ⋅ 10�� 
logN � 30�log�3 ⋅ 10�� 
logN � 30�log 3 � log 10� 
logN � 30�0,477 � 1� 
logN � 30�1,477� 
logN � 30�1,477� 
logN � 44,31 
 
A quantidade de algarismos é sempre a característica + 1. Por exemplo note que log10 3 = 0,477 (a 
característica é zero, mas a parte inteira (que vale 3) possui 0 + 1 algarismos). Como obtivemos 
característica valendo 44, isso significa que o inteiro 30^30 possui 44 + 1 = 45 algarismos. Alternativa C. 
 
 
E7. 
Cuidado. log
2
x representa o logaritmo de x na base 10. De forma mais simples: log
2
x = (log x)² 
 
log x " logx� � 0 
log x " 3 log # � 0 
log #	�log # " 3� � 0 $ log # � 0 ⇔ 10
� � # ⇔ # � 1
log # � 3 ⇔ 10� � # ⇔ # � 1000	 
 
Somando as raízes: 1000 + 1 = 1001. 
ALTERNATIVA D 
 
E8. 
Observando o gráfico podemos determinar os valores de u e w (posteriormente determinaremos v). 
Apenas 3 pontos são evidentes, que são: (10; -2) (20, 1) e (30, 5). Estes pares ordenados representam os 
valores de u e w(respectivamente). Com isso, facilmente poderemos determinar o valor de v. 
Note que se & � log ' ⇔ 10( �' 
Assim sendo, temos: 
 
u w � log '	 ' � 10( 
10 -2 10* � 0,01 
20 1 10+ � 10 
30 5 10, � 100000 
 
Isso corresponde à ALTERNATIVA D 
 
 
Lista de Exercícios – Logaritmo Decimal 
 
Página 7 de 8 
 
 
E9. 
log 450 � 
log 9 ⋅ 5 ⋅ 10 � 
log 3 ⋅ 5 ⋅ 10 � 
log 3 � log 5 � log 10 � 
log 3 � log 5 � log 10 � 
2log 3 � log 102 � 1 � 2 ⋅ �0,48�� log 10 " log 2 � 1 � 
2 ⋅ �0,48��1 " 0,30 � 1 � 2,66 
 
 
E10. 
Exercício excelente e que exige atenção: Ao olharmos a coluna E, observamos que o logaritmo decimal 
do número em questão é 5,54407. Essa parte decimal é a mantissa. A mantissa é a mesma para a 
família de decimais multiplicados por uma potência de 10. 
Explicando melhor � veja o exemplo abaixo: 
log 2 = 0,3010 (valor arredondado, na verdade a mantissa possui infinitas casas) 
log 20 = 1,3010 
log 200 = 2,3010 
log 20.000 = 4,3010 
ao olharmosa tabela, vemos que a mantissa é a mesma do logaritmo decimal de 35 (coluna b). Logo, o 
número é do tipo 35 seguido de zeros. Isso já dá a Alternativa E. 
Como a mantissa (parte inteira) vale 5, o número em questão possui 5 + 1 algarismos. Logo, ele vale 
350000. Alternativa E. 
 
E11: 
pH	 � 	"�log	2 ⋅ 10*4� ⇔ 
pH	 � 	"�	log	2 � log 10*4� ⇔ 
pH	 � 	"�	log	2 � log 10*4� ⇔ 
pH	 � 	"5log 2 � �"9 log 10�6 ⇔ 
pH	 � 	"50,3 � �"9 ⋅ 1�6 ⇔ 
pH	 � 	"�0,3 " 9� ⇔ 
pH	 � 	"�"8,7� ⇔	
pH	 � 	8,7	
	
	
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lista de Exercícios – Logaritmo Decimal 
 
Página 8 de 8 
 
 
E12: Observamos que a variação mostrada é linear, o que nos permite encontrar (por enquanto) uma 
função de primeiro grau que relaciona os valores de x e y. Posteriormente, podemos substituir esses 
valores de x e y pelas reais grandezas envolvidas (log x e log y, respectivamente). 
 
Temos então que encontrar a função do tipo y = ax + b que intercepta os pontos (0, 2) e (2, 6). 
 
7	 � 	8# � 9	
Para x = 0: 2	 � 	8 ⋅ 0 � 9 ⇔ 9 � 2 
Para x = 2: 6 � 8 ⋅ 2 � 9 ⇔ 6 � 28 � 2 ⇔ 8 � 2 
 
Assim sendo, nossa função (por enquanto) vale: 7 � 2# � 2 
 
Substituindo y por log y e x por log x, temos: 
 
log 7 � 2 log # � 2 ⇔ log 7 � log # � 2 
 
Pela definição de logaritmo, podemos escrever então que: 
10:;< =>? � 7 
10:;< => ⋅ 10 � 7 
 
Lembrando que 8:;<@ A � 9, temos: 
# ⋅ 100 � 7 
 
Logo, 
7 � # ⋅ 100