Forças de compressão e tração

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A Resistência dos Materiais faz parte da Mecânica e se ocupa em estudar:
As mudanças ocasionadas no corpo pela ação de forças externas e internas
As propriedades que o fazem capaz de resistir à ação das forças tais como: dimensões, forma e material 
SOLICITAÇÕES
Um sistema de forças pode ser aplicado num corpo de diferentes maneiras, originando diversos tipos de solicitações tais como:
Tração, Compressão, Cisalhamento, flexão e torção.
2
DEFORMAÇÃO
A ação de qualquer força sobre um corpo altera a sua forma provocando uma deformação
3
4
4
5
ALONGAMENTO UNITÁRIO
6
TENSÃO
7
DIAGRAMA 
TENSÃO x DEFORMAÇÃO
O ensaio de tração consiste em aplicar num corpo de prova uma força axial com o objetivo de deformá-lo até que se produza sua ruptura
O ensaio é feito com o auxílio do extensômetro conforme figura ao lado
8
 Aumentando a tensão a deformação também vai aumentando e os resultados da experiência podem ser mostrados pelo gráfico abaixo marcando nas abcissas as deformações (alongamento unitário) e nas ordenadas as tensões
9
LEI DE HOOKE
Até o ponto P, o gráfico é uma reta. Neste trecho é válida a Lei de HOOK, que diz:
As deformações são diretamente proporcionais às tensões que as produzem
 O ponto P é o limite de elasticidade e a tensão correspondente é a tensão de proporcionalidade
 O trecho PE ainda se verifica a elasticidade mas já não é pura, pois, tem-se um misto de deformações elásticas e deformações permanentes. Cessando as solicitações o corpo de prova não readquiri completamente o formato primitivo, mas tenderá à este permanecendo parcialmente deformado.
 Depois do ponto E a tensão sofre oscilações descoordenadas enquanto o material vai se deformando com grande fluidez. Este fenômeno é chamado de escoamento e a tensão corresponde tensão de escoamento
Nota-se que a curva toma um aspecto definido até atingir o ponto R, onde se verifica a ruptura do corpo. Este ponto é o limite de ruptura e a tensão atingida é a tensão de ruptura
11
Exemplo 01: Os dados de um teste tensão x deformação 
de um perfil de aço são fornecidos na tabela. A curva é linear
entre a origem e o primeiro ponto. Construir o diagrama e
determinar o módulo de elasticidade e o módulo de resilência. 
12
Solução:
O Módulo de Elasticidade (E) é a tangente do ângulo 
entre a reta inicial e o eixo das deformações 
= 2 GPa
13
O Módulo de resiliência é a área sob essa reta inicial.
Fisicamente a resiliência de um material representa sua habilidade para
absorver energia sem sofrer dano permanente 
14
Exemplo 02: Os dados são de um teste Tensão x Deformação 
de um perfil de aço fornecidos na tabela. 
A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto.
Determinar o Módulo de Elasticidade e o Módulo de Tenacidade 
aproximado se a tensão de ruptura for de 53,4 Kpa. 
=55,33 GPa
Módulo de Elasticidade
15
O Módulo de Tenacidade será a soma das áreas abaixo da curva do Diagrama
Tensão x Deformação , neste caso, um triângulo e quatro trapézios:
O Módulo de tenacidade indica a densidade da energia de deformação do material
imediatamente antes da ruptura 
16
=0,00996+0,01574+0,01898+0,02018+0,02098=0,08584 Pa
17
Exemplo 03: Os dados de um teste Tensão x Deformação 
de um aço fornecidos na tabela. 
A curva é linear entre a origem e o primeiro ponto.
Determinar o Módulo de Elasticidade e o Módulo de resiliência. 
18
Diagrama Tensão x Deformação
 =
Pa = 2 GPa
DIMENSIONAMENTO
19
 No dimensionamento dos elementos de máquinas admitem-se apenas deformações elásticas. Os cálculos podem ser de verificação ou de dimensionamento.
 VERIFICAÇÃO
 No primeiro caso escolhem-se as dimensões e depois verifica-se se a tensão de trabalho não ultrapassa a tensão admissível.
 DIMENSIONAMENTO
 No segundo caso, o processo é inverso: as dimensões são calculadas admitindo-se a tensão de trabalho, com critério e segurança.
Vejamos agora um exemplo de cálculo para uma área de seção circular:
20
Substituindo temos:
Isolando o diâmetro temos:
Onde ( d ) é o diâmetro da peça(mm)
21
Forças e Tensões
1 KPa= 10³ Pa= 10³ N/m²
1 MPa=Pa=N/m²
1 GPa=Pa= N/m²
Exercício:01 A estrutura esta em equilíbrio. Calcular as forças normais atuantes . Começamos pelo ponto que tenha o menor numero de incógnitas
Determinada a força F3 partimos para calcular as forças F1 e F2 
22
F1
F2
F3
F3=P
Exercício: 02 A construção dada está em equilíbrio. A carga P aplicada em D é de 2 tf. Determinar as forças normais atuantes nos cabos. Utilizando o método do polígono de forças. Neste caso temos apenas 03 forças a serem determinadas, o nosso polígono será um triângulo de forças.
Sabemos que F3=P, como no exemplo anterior.Para traçarmos o triângulo de forças, vamos utilizar o ponto C procedendo da seguinte forma:
1. Traçamos o vetor F3=P, que sabemos ser vertical
2. A F2 forma com F3 um ângulo de 37 ⁰, sabemos ainda que o vetor F2 tem o seu início no final do vetor F3, portanto, com uma inclinação de 37 ⁰ em relação ao final do vetor F3, traçamos o vetor F2.
3. O vetor F1 forma 90⁰ com o vetor F3, sabemos que o início de F3 é o final de F1, teremos, portanto, o triângulo de forças abaixo. Pela lei dos senos temos:
23
F1= 1500 Kgf. e F2=2500 Kgf. 
Exercício: 03 A estrutura representada na figura ao lado está em equilíbrio. A carga P aplicada em D é de 3,0 tf. Determinar as forças normais atuantes nas barras 1, 2 e 3 utilizando o método do polígono de forças.
Observando a figura , concluímos que as barras 1 e 3 estão tracionadas e a barra 2 está comprimida. Teremos, portanto um triângulo de forças. Sabemos que F3= 3,0 tf e através de C, traçaremos o triângulo de forças.
Pela lei dos senos temos:
Como o sen 90⁰=1, tem-se que:
F2 = F3 sen 53⁰
F2= 3,0x0,8=2,4 tf
F1=F3 sen 37 ⁰
F1=3,0x0,6=1,8 tf
24
Exercício: 04 A luminária de 2224 N é suportada por duas hastes de aço acopladas por um anel em A. Determinar qual das hastes está sujeita à maior tensão normal m édia e calcular seu valor. Suponha que Ѳ = 60⁰. O diâmetro d cada haste é dado na figura.
Solução:
25
26
x x = 0
= 0,57 
x+
Resolvendo 
 
 = 
 = 
 
27
Exercício: 05 As barras da treliça têm uma área da seção transversal de 160 mm². Determinar a tensão normal média em cada elemento devido à carga P =8 kN. Indicar se a tensão é de tração ou de compressão. 
=6
28
29
Exercício 06 :Considerando a estrutura ao lado, que consiste nas barras AB e BC, verificar se essa estrutura pode suportar com segurança a carga de 30KN, aplicada no ponto B.
30
= 
B
30 KN
3
4
5
30 KN
31
 Cortando a barra BC, por uma seção transversal, em um ponto arbitrário entre B e C, obtemos duas partes BD e CD. Para que estas duas partes permaneçam em equilíbrio é necessário aplicar a cada uma delas uma força que foi calculada de 50 KN no ponto D.
Os resultados obtidos representam o primeiro passo na análise da estrutura, mas não nos levam à conclusão de que a carga pode ser suportada com segurança.
A intensidade da força distribuída na barra BC é:
1 KPa= 10³ Pa= 10³ N/m²
1 MPa=Pa=N/m²
1 GPa=Pa= N/m²
Vamos imaginar que a barra BC é constituída de aço e possui um diâmetro de 20 mm e que a tensão máxima admissível para o aço utilizado é: 
Como o valor da tensão calculado é menor que a admissível, concluímos que a barra BC pode suportar com segurança a carga aplicada de 159 MPa. 
 
32
P== + 50 x 10² N
m)²=
A=
𝝈=
𝝈=
Exercício 07: Imaginar por exemplo que na estrutura do exercício 06, a barra BC seja de alumínio e que a tensão admissível do alumínio seja de 100MPa
Qual deve ser o diâmetro da barra para suportar com segurança a carga aplicada de 50 KN?
33
Concluímos então que uma barrade alumínio de 26 mm de diâmetro será adequada para a barra BC
𝝈=
A= 
=
m²
r =
=
d=2r= 25,2 mm
Exercício 08: As hastes AB e CA são de alumínio e suportam uma carga vertical de P=20KN. Determinar seus diâmetros se a tração admissível para o alumínio for de: 
34
P
35
Dimensionamento de corrente de elo soldada indicado na figura ao lado
36
T/2
T/2
T
=
37
T
T
Dimensionamento da corrente de elo não soldada
Exemplo 9: Calcular a tensão de trabalho no elo da corrente. 
38
 T= 200 N
2 A= 2 ∏ (2,5 mm)²= 39,27 mm²
= 5,09 N/m²
Exemplo 10: Escolher a corrente destinada a resistir uma carga intermitente de 1 T. Material aço ABNT 1040.
39
T=1T= 1000 Kgf
A=∏d²/4
9,5=
d==8,2 mm
Exemplo 11: Calcular o diâmetro de um arame de aço ABNT 1030 destinado a manter suspenso um peso de 200 Kg
40
=15,5 Kg/mm²
15,5=
d² x 15,5 =
d=4 mm
Exercício 12: No dispositivo em figura a bucha é de aço ABNT 1010 e o parafuso de aço ABNT 1030. Calcular os diâmetros ,d e D quando a porca exerce uma força axial de 2 T
41
a) Diâmetro (parafuso à tração)
A= ∏
F=2000 Kgf
Diâmetro adotado d= 20 mm
13,5=
x 13,5= 
Parafuso W 11/16”
42
Calculo do diâmetro D
A=∏(D²-d²)/4
F= 2000 Kgf
8 = 
8(D²- d²) = 
D² - 20² = 
D²= +20²
D=26,8 cm
42
Exercício 13: Um elo de corrente aberto é obtido quando se flexiona uma barra de aço doce de 12 mm de diâmetro na forma indicada na figura. Sabendo-se que a corrente deve suportar uma carga de 800 N, determinar a tensão máxima. 
43
800 N
800 N
A=∏ (0,006m)²= 113,1 x 
= 7,07 MPa
Exercício 14: A luminária da figura pesa 120 N, estará preso ao teto através do ponto A, por uma corrente de aço. Determinar o diâmetro do arame da corrente para que suporte com segurança n=5, o peso da luminária.
O material do arame é o ABNT 1010 L com 
44
T= 120 N
A
B
= 44 MPa
 2 mm
45
Exercício 15 :Determinar a área mínima da seção transversal das barras AD,DC e DB da treliça representada na figura. O material utilizado é o ABNT 1010 L com 
α
46
1- Carga axial nas barras
1.1- ângulo 
1.2- Reações de apoio
Como a treliça é simétrica, conclui-se que:
1.3- Carga axial na barra AD
34°
= 35,7 KN
0
47
1.4- Carga axial na barra DC 
40 KN
=0
1.5-Carga axial na barra DB
Por simetria conclui-se que:
2- Dimensionamento das barras:
2.1- Tensão admissível
==
47
48
2.2- Área mínima da seção transversal das barras AD; DC e DB 
2.2.1- Barras AD e DB
𝝈=
A = 
= 269 mm²
2.2.2- Barra DC
49
50
Exercício 18 : Determinar a tensão máxima do elo da corrente. Material: aço ABNT 1020 laminado 
51
T
T/2
T/2
T= 300 Kg
52
ALONGAMENTO UNITÁRIO
53
54
Aço e sua Classificação
Aço é um produto siderúrgico que se obtém através de via líquida, cujo teor de carbono não supere a 2%
CLASSIFICAÇÃO
55
CARACTERÍSTICAS ELÁSTICAS DOS MATERIAIS
Obs.: É comum encontrar-se o módulo de elasticidade em Mpa (Megapascoal)
Exemplos:
56
AÇO
ALUMÍNIO
57
Fofo Nodular
COBRE
ESTANHO
58
COEFICIENTE DE DILATAÇÃO LINEAR DOS MATERIAIS
59
MÓDULO DE ELASTICIDADE TRANSVERSAL
COEFICIENTE DE POISSON (v)
60
TENSÕES
61
TENSÕES
62
Exercício 19: A barra circular representada na figura é de aço, possui d= 20mm
 e comprimento l =0,8 m. Encontra-se submetida à tração de uma carga axial de 7,2 KN.
Pede-se determinar para a barra:
a) Tensão normal atuante (𝝈)
b) O alongamento (∆l)
c) A deformação longitudinal (ε)
d) A deformação transversal (
7,2 KN
d= 20 mm
l=0,8 m
(Módulo de elasticidade do aço)
(Coeficiente de Poisson)
63
Solução:
a) Tensão normal atuante
x 
MPa
b) Alongamento da barra (
64
c) A deformação longitudinal (
d) Deformação transversal (
= - 0,3x109
65
Exercício 20: Determinar o diâmetro da barra 
1
1
da construção representada na figura.
O material da barra é o ABNT 1010 L comMpa, e o coeficiente de
Segurança indicado para o caso é n=2
66
1
SOLUÇÃO:
1- Carga Axial na barra
0,8x= 0,8 x 10 sen 53°+1,6x4
=16 KN
1
67
2- Dimensionamento da barra
1
2.1- Tensão admissível 
= 110 MPa
2.2- Diâmetro da barra
=m
=
A barra possuíra 14 mm
1
68
Exercício 21: Os arames de aço AB e AC suportam a massa de 200 Kg. Supondo que a tensão normal admissível para eles seja =130 Mpa. Determinar o diâmetro requerido para cada arame. Além disso, qual será o novo comprimento do arame AB depois que a carga for aplicada? Supor o comprimento sem deformação de AB como sendo 750 mm. = 210 GPa.
69
70
O deslocamento do arame AB será:
 = 0,46 mm
Resposta: Os diâmetros requeridos para os arames AB e AC são 3,54 mm
e 3,23 mm, respectivamente.
O novo comprimento do arame AB será de 750,46 mm 
l = = 0,488+750= 750,46 mm
1
71
4,5 KN
=15 mm
= 25 mm
A
A
B
B
2
Exercício 22: A Figura abaixo representa, duas barras de aço soldadas 
na seção BB 
A carga de tração que atua na peça é 4,5 KN.
A seção 1 da peça possui e
Comprimento , sendo que a seção 2
Possui e 
Desprezando o efeito do peso próprio
do material pede-se determinar para 
As seções 1 e 2. 
72
O alongamento ( e )
A deformação longitudinal ( e 
A deformação transversal ( e )
A tensão normal ( e)
O alongamento total da peça )
= 210 Gpa
= 0,3
a) Tensão normal ( e)
1
Na seção 
da barra tem-se:
73
Na seção 
2
da barra tem-se:
A carga é a própria carga de 4,5 KN, portanto, tem-se:
b) Alongamento da barra ( e )
Na seção
1
 0,073x 
0,073
 73
da barra tem-se;
74
Na seção 
2
da barra tem-se:
0,039 x 
 0,039
 39 
c) deformação longitudinal ( e 
1
Na seção 
Na seção 
2
75
d) deformação transversal ( e )
Na seção 
1
Na seção 
2
e) Alongamento total da peça )
+ 39 = 112 µm
76
Exercício 23: A barra composta de Aço ( ) mostrada na figura abaixo está composta por dois segmentos AB e BD, com áreas transversal = 2 cm² . Determinar o deslocamento vertical da extremidade A e o deslocamento de B em relação a C.
77
==
== 3xm = 0,0 3mm
=m= - 0,054 mm
O deslocamento da extremidade A é: 
O deslocamento de B em relação a C é:
= 0,03 mm
78
Exercício 24: A barra da figura abaixo tem largura constante de 35 mm e espessura de 10 mm. Determinar a tensão normal da barra quando submetida ao carregamento mostrado. 
= 22 KN 
22 KN
12 KN
9 KN
9 KN
= 30 KN 
12 KN
= 12 KN 
A
B
C
D
22 KN
12 KN
35 mm
9 KN
9 KN
4 KN
4 KN
79
= 85,7 MPa
O exame das figuras mostra que a maior carga está na região BC, onde
80
Exercício 25: Uma carga axial no eixo mostrado na figura é resistida 
pelo colar em C, que está preso ao eixo e localizado à direita do mancal em B.
 Determinar o maior valor de P para as duas forças axiais em E e F de modo que 
a tensão no colar não exceda uma tensão de apoio admissível em C de
= 75 MPa e que a tensão normal média no eixo não exceda um esforço 
de tração admissível de 
colar
81
Solução
Para resolver o problema, vamos determinar P para cada condição de falha
possível no eixo e no colar. Então escolheremos o menor valor. Por quê ?
Tensão Normal. Pelo método das seções, a carga axial no interior da região FE
 do eixo é 2P, enquanto à maior carga axial, 3P, ocorre no interior da região EC.
Como a área da seção transversal de todo o eixo é constante, a região EC, será
Submetida à tensão normal média máxima.
55x = 
P= 51,8 KN
82
Como mostrado na figura ao lado.
O colar deve resistir a uma carga de 3 P em C,
Que atua sobre uma área de apoio em B.
= Área da seção do colar – Área da seção do eixo
=- 
d= 60 mm
- = 2,199 m²
75 N/m²=
P= 55 KN
Por comparação, a maior carga que pode ser aplicada no eixo é P = 51,8 KN, visto que
qualquer carga maior do que essa fará com que a tensão normal admissível
no eixo seja excedida. 
= 55 MPa
Se usarmos: 58 356 812,47 N/m²= 58MPa 
58 MPa