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Questão 2/10 - Análise Matemática “Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista. É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: I. A soma dos nn primeiros números ímpares é n2, n≥1n2, n≥1. PORQUE II. Dados os números ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0), se tivermos dois ímpares n=2n=2 a soma será S=1+3=4=22S=1+3=4=22 e se tivermos 55 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52S=1+3+5+7+9=25=52 A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta: Nota: 10.0 A As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira. B As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da primeira. Você acertou! Apesar das duas afirmações serem verdadeiras, a segunda não é uma justificativa da primeira porque não prova que a proposição seja verdadeira para todo n>2n>2. Ela mostra apenas dois casos particulares. Para justificar a veracidade da primeira afirmação pode-se usar o Princípio da Indução Finita (livro-base, capítulo 1). C A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa. D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. E As asserções I e II são proposições falsas. Questão 3/10 - Análise Matemática Leia a passagem de texto a seguir: “No conjunto dos números naturais, que, segundo o matemático Leopold Kronecker (1823–1891), foi criado por Deus (o resto foi criado pelo homem, complementava ele), a diferença entre a e b só está definida se a≥ba≥b . Mas há questões envolvendo a ideia de subtração de números naturais em que o minuendo é menor que o subtraendo – por exemplo, gastar mais do que se tem. Para enfrentar essas questões, foi preciso ampliar o conjunto dos números naturais, com a adjunção de novos números, os números inteiros negativos, introduzidos a princípio para possibilitar uma resposta a uma subtração qualquer de dois elementos de N”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna. 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29. Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a construção dos números inteiros, analise as assertivas que seguem e marque V para as asserções verdadeiras e F para as asserções falsas. I. ( ) A operação de adição definida para o conjunto dos números inteiros é associativa e comutativa. II. ( ) Cada elemento do conjunto dos números inteiros possui um inverso multiplicativo. III. ( ) A classe de equivalência que representa o número zero é formada pelos pares ordenados que possuem o número zero em uma de suas coordenadas. IV. ( ) O conjunto dos números inteiros é definido por meio de classes de equivalência da relação do conjunto N∪{0}XN∪{0}N∪{0}XN∪{0}. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta: Nota: 10.0 A V – V – V – F B V – F – F – V Você acertou! C F – F – V – V D V – V – F – F E V – V – F – V Questão 4/10 - Análise Matemática Leia o seguinte fragmento de texto: “Diz-se que a sequência (xn)(xn) é limitada quando o conjunto dos seus termos é limitado, isto é, quando existem números reais aa e bb tais que a≤(xn)≤ba≤(xn)≤b para todo n∈Nn∈N”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 101. De acordo com estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a afirmativa correta: Nota: 10.0 A A sequência (sin(n)n)n∈N(sin(n)n)n∈N é divergente B limsin(n)n=0limsin(n)n=0 Você acertou! A alternativa correta é a letra b), pois lim1n=0lim1n=0 e (sin(n))(sin(n)) é uma sequência limitada. (livro-base, Capítulo 2) C ∣∣sin(n)n∣∣≤12|sin(n)n|≤12, para todo n∈Nn∈N D limsin(n)n=1limsin(n)n=1 E A sequência (sin(n)n)n∈N(sin(n)n)n∈N é limitada Questão 5/10 - Análise Matemática Considere o trecho de texto a seguir: “As séries de funções mais importantes da Análise são as do tipo ∑∞0an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯∑0∞an(x−x0)n=a0+a1(x−x0)+⋯+an(x−x0)n+a1+⋯, (a0,a1,⋯∈R(a0,a1,⋯∈R são escalares)) que são chamadas séries de potências.” Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 384.} Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas. I. ( ) A série de Maclaurin ocorre quando x0=0x0=0 isto é f(x)=∑∞0Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯f(x)=∑0∞Cnxn=C0+C1x+C2x2+⋯+Cnxn+⋯ (C0,C1,⋯∈R(C0,C1,⋯∈R são escalares)). II. ( ) Podemos escrever exex como ex=∑∞0xnn!ex=∑0∞xnn! para x∈Rx∈R. III. ( ) Podemos escrever sin(x)sin(x) como sin(x)=∑∞0(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1sin(x)=∑0∞(−1)n(2n+1)!⋅x2n+1 para x∈Rx∈R. Agora marque a sequência correta: Nota: 10.0 A F – F – F B F – V – V C V – V – F D V – F – V E V – V – V Você acertou! A afirmativa I é verdadeira como consequência da série de Taylor (p.154). A afirmativa II é verdadeira pois a expansão de exex pode ser escrita desta maneira(p.185). A afirmativa III Questão 6/10 - Análise Matemática Leia o fragmento de texto a seguir: “Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica segundo a qual nos referimos ao corpo RR como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos ‘a<ba<b’ por ‘aa está à esquerda de bb’, dados x,y∈Rx,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y||x−y| como ‘distância do ponto xx ao ponto yy’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b][a,b] como o segmento de reta cujos extremos são os pontos aa e bb.” Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 162. Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas da reta, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas. I. ( ) O ponto x=1x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2]X={1}∪[32 , 2]. II. ( ) O conjunto X={n | n∈N}X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação. III. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. IV. ( ) O ponto x=0x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}X={12 | n∈N}. Assinale a alternativa que contém a sequência correta: Nota: 10.0 A V-V-F-V B F-F-V-V C V-F-F-V D V-F-V-F E F-V-V-V Você acertou! A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1x=1 não está contido no conjunto XX. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈Rx∈R, com x∉Xx∉X, é fácil ver que existem vizinhanças de xx que não contém pontos de XX e para os pontos x∈Xx∈X, existem vizinhanças de xx que contém apenas o ponto xx. Logo, não existem pontos de acumulação. A afirmativa III está correta, pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente de zero que pertence ao conjunto XX. A afirmativa IV está correta pois zero é o limite da sequência (1n)(1n) que é formada por pontos de XX. (livro-base, Capítulo3). Questão 7/10 - Análise Matemática Leia o fragmento de texto a seguir. “(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x). Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x))(fg(x)) e, então, expressar em palavras como: A derivada de (f(g(x))(f(g(x)) é a derivada da função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada da função de dentro”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1. 2007. p. 210-211. Considere as funções e f(x)=exf(x)=ex , g(x)=x2+2g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2)h(x)=f(g(x))=e(x2+2). Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada. Nota: 10.0 A h′(x)=(x2+2)e(x2+2)h′(x)=(x2+2)e(x2+2) B h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2xh′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x C h′(x)=2x⋅e(x2+2)h′(x)=2x⋅e(x2+2) Você acertou! h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2)h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2) (livro-base, capítulo 4). D h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1 E h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1 Questão 8/10 - Análise Matemática Observe o intervalo X=(−√2,√2 )X=(−2,2 ) representado na reta real: Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas. I. ( ) XX é um conjunto aberto. II. ( ) XX é um conjunto limitado. III. ( ) XX é um conjunto compacto. IV. ( ) XX é um conjunto fechado. Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta. Nota: 10.0 A V-V-F-F Você acertou! A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é verdadeira porque todo ponto do conjunto XX é ponto interior de XX. A afirmativa II é verdadeira porque existe R>0R>0, por exemplo, R=3R=3 tal que |x|<3|x|<3 para todo x∈Xx∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto XX não é fechado e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o complementar do conjunto XX não é aberto, por exemplo, x=√2x=2 pertence ao complementar de XX, mas não é ponto interior do complementar. (livro-base, p. 88-91). B V-V-V-F C F-F-V-V D F-V-F-F E V-F-V-F Questão 9/10 - Análise Matemática Leia o seguinte fragmento de texto: “Historicamente os inteiros negativos não foram os primeiros números a surgir dos naturais – as frações positivas vieram antes. Nem foram introduzidos de maneira estruturada e com bom acabamento matemático. Muito pelo contrário. Simplesmente surgiram”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29. De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito dos números racionais, assinale a alternativa correta. Nota: 10.0 A O conjunto dos números racionais, com as operações de adição e multiplicação usuais, é um corpo ordenado completo. B Existe uma bijeção entre o conjunto Nn= {1,2,...,n} e o conjunto Q para algum nϵNnϵN. C Os cortes de Dedekind são subconjuntos do conjunto de números racionais. Você acertou! D O conjunto dos números racionais não é enumerável. E O número que satisfaz a equação X2 = 2 é racional. Questão 10/10 - Análise Matemática Considere o trecho de texto a seguir: “Um espírito mais crítico indagaria sobre a existência dos números reais, ou seja, se realmente se conhece algum exemplo de corpo ordenado completo. Em outras palavras: partindo dos números naturais (digamos, apresentados através dos axiomas de Peano) seria possível, por meio de extensões sucessivas do conceito de número, chegar à construção dos números reais? A resposta é afirmativa. Isto pode ser feito de várias maneiras. A passagem crucial é dos racionais para os reais, a qual pode seguir o método dos cortes de Dedekind ou das sequências de Cauchy [...], para citar apenas os dois mais populares”. Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: LIMA, E. L. Curso de Análise. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. v. 1. p. 60. Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas. I.( ) A relação de equivalência que permite a construção dos números racionais dá a esse conjunto a propriedade de seus elementos possuírem um inverso multiplicativo, exceto ao elemento neutro da adição. II.( ) Os cortes de Dedekind são subconjuntos próprios do conjunto dos números racionais com algumas propriedades. III. ( ) O conjunto Xα={x∈Q∣x2<1}Xα={x∈Q∣x2<1} é um corte de Dedekind. IV. ( ) Pelos axiomas de Peano constrói-se o conjunto dos números naturais, partindo de um conjunto denominado NN e uma função denominada de função sucessor. Agora marque a sequência correta: Nota: 10.0 A a) F – V – V – V B b) V – F – F – V C c) F – V – F – V D d) V – F – V – V E e) V – V – F – V Você acertou! A afirmativa I é verdadeira pois, se x∈Qx∈Q, então x=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b) a,b∈Z,b≠0x=(a,b)¯ a,b∈Z,b≠0. Se a≠0a≠0, então, xx não é o elemento neutro da adição e y=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)∈Qy=(b,a)¯∈Q. Temos que ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(a,b)⋅¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(b,a)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ba)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(ab,ab)=¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1)(a,b)¯⋅(b,a)¯=(ab,ba)¯=(ab,ab)¯=(1,1)¯. Como ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯(1,1)(1,1)¯ é o elemento neutro da multiplicação, temos que y=x−1y=x−1. A afirmativa II é verdadeira, pois se XαXα é um corte de Dedekind, então Xα⊂QXα⊂Q e Xα≠QXα≠Q por definição. A afirmativa III é falsa porque XαXα não contém todos os pontos menores que seus pontos. Basta ver que, por exemplo, 0∈Xα,−2<00∈Xα,−2<0, mas −2∉Xα−2∉Xα. A afirmativa IV é verdadeira por definição. (livro-base, capítulo 1).
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