apol 1 - analise matemática

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Questão 1/10 - Análise Matemática
Observe o intervalo X=(−√2,√2 )
 representado na reta real:
 
 
Levando em consideração o intervalo dado e os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas, analise as assertivas a seguir e marque V para as assertivas verdadeiras e F para as assertivas falsas.
 
I.   ( ) X é um conjunto aberto.
II.  ( ) X é um conjunto limitado.
III. ( ) X  é um conjunto compacto.
IV.  ( ) X é um conjunto fechado.
 
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta.
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-F
Você acertou!
A alternativa que apresenta a sequência correta é a letra a). A afirmativa I é verdadeira porque todo ponto do conjunto X
 é ponto interior de X. A afirmativa II é verdadeira porque existe R>0, por exemplo, R=3 tal que |x|<3 para todo x∈X. A afirmativa III é falsa porque o conjunto X não é fechado e nem limitado. A afirmativa IV é falsa porque o complementar do conjunto X não é aberto, por exemplo, x=√2 pertence ao complementar de X
	, mas não é ponto interior do complementar. (livro-base, p. 88-91).
	
	B
	V-V-V-F
	
	C
	F-F-V-V
	
	D
	F-V-F-F
	
	E
	V-F-V-F
Questão 2/10 - Análise Matemática
Considere o trecho de texto a seguir:
“Quando f
 é integrável, sua integral ∫baf(x)dx é o número real cujas aproximações por falta são as somas superiores s(f,P) e cujas aproximações por excesso são as somas superiores S(f,P).”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Análise Real . 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. p. 122.
Conforme os conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras, e F para as afirmativas falsas.
I.   ( ) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo podemos deduzir que ∫10x2dx=13
.
II.  ( ) Se uma integral é imprópria então ela não pode ser convergente.
III. ( ) Toda função contínua é integrável.
Agora marque a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	F – F – F
	
	B
	F – V – V
	
	C
	V – V – F
	
	D
	V – F – V
Você acertou!
A afirmativa I é verdadeira por ser uma consequência do Teorema Fundamental do Cálculo (p.156). A afirmativa II é falsa pois uma integral imprópria pode ser tanto convergente como divergente conforme a função e o intervalo considerado (p.161). A afirmativa III é verdadeira pois representa uma propriedade que tem recíproca falsa ou seja, uma função pode ser integrável e não ser contínua (livro-base p.143 e 144)
	
	E
	V – V – V
Questão 3/10 - Análise Matemática
Considere o seguinte trecho de texto a seguir:
“Por exemplo quando se diz que uma função f:[c,d]→R
, definida num intervalo compacto, é derivável num ponto a∈[c,d] isto significam, no caso de a∈(c,d), que possui as duas derivadas laterais no ponto a e elas são iguais. No caso de a ser um dos extremos, isto quer dizer apenas que existe, ponto a, aquela derivada lateral que faz sentido.”
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: 
LIMA, E.L. Curso de análise v.1 . 12. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,2008,p. 257.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	As derivadas laterais f′+(x0)
 e f′−(x0) devem ter valores diferentes para exista a derivada no ponto x0
	.
	
	B
	Toda função derivável em um ponto x0
 é contínua no ponto x0
	.
Você acertou!
Teorema de derivadas que tem utilidade no estudo da continuidade das funções (livro-base p.115 e 116)}
	
	C
	Toda função contínua em um ponto x0
 é derivável no ponto x0
	.
	
	D
	Uma aplicação das derivadas é a regra de L’Hôpital pode ser aplicada no cálculo de limites para qualquer tipo de expressão indeterminada.
	
	E
	Segundo o teorema de Rolle a derivada de um produto de duas funções f
 e g
	 é igual ao produto das derivadas.
Questão 4/10 - Análise Matemática
“Se alguém me perguntasse o que é que todo estudante de Ensino Médio deveria saber de matemática, sem sombra de dúvida, o tema Indução figuraria na minha lista.
É com o conceito de Indução que se estabelece o primeiro contato com a noção de infinito em Matemática, e por isso ele é muito importante; porém, é, ao mesmo tempo, sutil e delicado”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: HEFEZ, A. Indução Matemática. Programa da Iniciação Científica OBMEP, v. 4. 2009. p. iii. 
Tendo em vista a citação dada e de acordo com os conteúdos do livro-base sobre o Princípio da Indução Finita, analise as seguintes asserções: 
I. A soma dos n
primeiros números ímpares é n2, n≥1
.
 
PORQUE
 
II. Dados os números ímpares: 1,3,5,7,9,11,⋯2n−1 (n natural n>0)
, 
se tivermos dois ímpares n=2 a soma será S=1+3=4=22 e se tivermos
5 números ímpares a soma será S=1+3+5+7+9=25=52
 
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Nota: 10.0
	
	A
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da primeira.
	
	B
	As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa  correta da primeira.
Você acertou!
Apesar das duas afirmações serem verdadeiras, a segunda não é uma justificativa da primeira porque não prova que a proposição seja verdadeira para todo n>2
	. Ela mostra apenas dois casos particulares. Para justificar a veracidade da primeira afirmação pode-se usar o Princípio da Indução Finita (livro-base, capítulo 1).
	
	C
	A asserção I é uma proposição verdadeira , e a II é uma proposição falsa.
	
	D
	A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.
	
	E
	As asserções I e II são proposições falsas.
Questão 5/10 - Análise Matemática
Observe o gráfico de uma função f(x)=(1+1x)x
 representado na figura a seguir.
 
 
 
 
 
Com base no gráfico da função f(x)=(1+1x)x
  e nos conteúdos estudados no livro-base Análise Matemática, analise as afirmativas a seguir.
I. limx→∞f(x)=∞ e limx→−∞f(x)=−∞
II. limx→∞f(x)=e e limx→−∞f(x)=−∞
III. limx→0+f(x)=1 e limx→0−f(x)=∞
IV. limx→0+f(x)=−∞ e limx→0−f(x)=∞
V. limx→0+f(x)=1 e limx→∞f(x)=e
São corretas apenas as afirmativas:
Nota: 10.0
	
	A
	III e V
Você acertou!
A afirmativa I está incorreta porque limx→∞f(x)=e
 e limx→−∞f(x)=e. A afirmativa II está incorreta porque limx→−∞f(x)=e. A afirmativa III está correta. A afirmativa IV está incorreta porque limx→0+f(x)=1
	. A afirmativa V está correta (livro-base, Capítulo 3).
	
	B
	I e III
	
	C
	I e IV
	
	D
	II e V
	
	E
	II, III e V
Questão 6/10 - Análise Matemática
Leia o seguinte fragmento de texto: 
“Historicamente os inteiros negativos não foram os primeiros números a surgir dos naturais – as frações positivas vieram antes. Nem foram introduzidos de maneira estruturada e com bom acabamento matemático. Muito pelo contrário. Simplesmente surgiram”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: DOMINGUES, H. H.; IEZZI, G. Álgebra Moderna, 4. ed. reform. São Paulo: Atual, 2003. p. 29.
De acordo com os conteúdos do livro-base Análise Matemática a respeito dos números racionais, assinale a alternativa correta.
Nota: 10.0
	
	A
	O conjunto dos números racionais, com as operações de adição e multiplicação usuais, é um corpo ordenado completo.
	
	B
	Existe uma bijeção entre o conjunto Nn= {1,2,...,n}  e o conjunto Q para algum nϵN
	.
	
	C
	Os cortes de Dedekind são subconjuntos do conjunto de números racionais.
Você acertou!
	
	D
	O conjunto dos números racionais não é enumerável.
	
	E
	O número que satisfaz a equação  X2 = 2 é racional.
Questão 7/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir:
 
“Utilizaremos, porém, com frequência cada vez maior, a linguagem geométrica segundo a qual nos referimos ao corpo R
 como ‘a reta’, diremos ‘ponto’ em vez de ‘número real’, traduziremos ‘a<b’ por ‘a está à esquerda de b’, dados x,y∈R, interpretaremos o valor absoluto |x−y| como ‘distância do ponto x ao ponto y’ e, finalmente, veremos o intervalo [a,b] como o segmento de reta cujos extremos são os pontosa e b
.”
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Curso de Análise. 14. ed. v 1. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada, 2013. p. 162.
 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre noções topológicas da reta, analise as afirmativas a seguir e marque V para as afirmativas verdadeiras e F para as afirmativas falsas.
 
I.   ( ) O ponto x=1 é um ponto interior do conjunto X={1}∪[32 , 2].
II.  ( ) O conjunto X={n | n∈N} não possui pontos de acumulação.
III. ( ) O ponto x=0 é um ponto de acumulação do conjunto X={12 | n∈N}.
IV.  ( ) O ponto x=0 é um ponto de aderência do conjunto X={12 | n∈N}.
 
Assinale a alternativa que contém a sequência correta:
Nota: 10.0
	
	A
	V-V-F-V
	
	B
	F-F-V-V
	
	C
	V-F-F-V
	
	D
	V-F-V-F
	
	E
	F-V-V-V
Você acertou!
A alternativa que contém a sequência correta é a letra e). A afirmativa I está incorreta, pois qualquer intervalo centrado em x=1
 não está contido no conjunto X. A afirmativa II está correta, pois para qualquer x∈R, com x∉X, é fácil ver que existem vizinhanças de x que não contém pontos de X e para os pontos x∈X, existem vizinhanças de x que contém apenas o ponto x. Logo, não existem pontos de acumulação. A afirmativa III está correta, pois qualquer vizinhança de zero contém um ponto diferente de zero que pertence ao conjunto X. A afirmativa IV está correta pois zero é o limite da sequência (1n) que é formada por pontos de X
	. (livro-base, Capítulo 3).
Questão 8/10 - Análise Matemática
Considere a seguinte citação: 
“Diz-se que um número real a
 é limite da sequência (xn) quando, para todo número real ε>0, dado  arbitrariamente, pode-se obter n0∈N tal que todos os termos xn com índice n>n0 cumprem a condição |xn−a|<ε. Escreve-se então a=limn∈Nxn. [...] Em vez de a=limxn, escreve-se também a=limn∈Nxn, a=limn→∞xn ou xn→a. Esta última expressão lê-se ‘xn  tende para a’ ou ‘converge para a
’. Uma sequência que possui limite diz-se convergente”.
 
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em:
LIMA, E. L., Análise Real: Funções de Uma Variável. 9. ed. v. 1. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. p. 23-24.
Dada a sequência (12n)n∈N
.
Considerando estas informações e os conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre sequências numéricas, é correto afirmar que a sequência dada converge para:
Nota: 10.0
	
	A
	12
	
	
	B
	∞
	
	
	C
	−∞
	
	
	D
	1
	
	E
	0
Você acertou!
Dado ε>0
, escolhemos n0∈N tal que n0>log21ε, isto é, 12n0<ε. Assim, se n>n0 temos que ∣∣12n−0∣∣=∣∣12n∣∣=12n<12n0<ε. Portanto, lim12n=0
	. (livro-base, Capítulo 2).
Questão 9/10 - Análise Matemática
Leia o fragmento de texto a seguir. 
“(f∘g)′(x)=f′(g(x))⋅g′(x)
. Uma maneira conveniente de lembrar essa fórmula consiste em chamar  a ‘função de fora’ e g a ‘função de dentro’ na composição (fg(x))
 e, então, expressar em palavras como:
A derivada de (f(g(x))
 é a derivada da função de fora calculada na função de dentro vezes a derivada da função de dentro”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: ANTON, H., BIVENS, I., DAVIS, S. Cálculo. 8. ed. Porto Alegre: Bookman , v. 1.  2007. p. 210-211.
Considere as funções e f(x)=ex
, g(x)=x2+2 e a função composta h(x)=f(g(x))=e(x2+2)
.
Com base no fragmento de texto dado e nos conteúdos do livro-base Análise Matemática sobre a Regra da Cadeia, assinale a única alternativa que representa a derivada da função composta dada.
Nota: 10.0
	
	A
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)
	
	
	B
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1⋅2x
	
	
	C
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)
Você acertou!
h′(x)=f′(g(x))g′(x)=e(x2+2)⋅2x=2x⋅e(x2+2)
	(livro-base, capítulo 4).
	
	D
	h′(x)=(x2+2)e(x2+2)−1
	
	
	E
	h′(x)=2x⋅e(x2+2)−1
	
Questão 10/10 - Análise Matemática
Leia o excerto de texto a seguir. 
“Para que tenha sentido determinar o limite ou indagar sobre a continuidade de uma função, e o domínio e o contradomínio da mesma devem possuir um certo tipo de estrutura, tornando-se o que se chama um ‘espaço topológico’. Em outras palavras, espaços topológicos são conjuntos equipados com estruturas tais que entre eles tem sentido falar em limites e continuidades de funções”.
Após esta avaliação, caso queira ler o texto integralmente, ele está disponível em: Lima, E. L. Curso de Análise. v. 1. 14. ed. Rio de Janeiro: Associação Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada,  2013. p. 161. 
Conforme os conteúdos do livro-base Análise Matemática com respeito à conceitos topológicos, enumere, na ordem sequencial, as definições – em linguagem não formal – que se relacionam a cada um dos elementos a seguir:
 
1. Conjunto aberto
2. Ponto interior
3. Conjunto fechado
4. Ponto de acumulação
5. Conjunto compacto
6. Ponto aderente
 
( ) É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele.
( ) É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado.
( ) É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele.
( ) É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto.
( ) É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto.
( ) É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores.
 
Agora marque a sequência correta:
 
Nota: 10.0
	
	A
	6 – 5 – 3 – 4 – 2 – 1
	
	B
	4 – 1 – 5 – 6 – 2 – 3
	
	C
	2 – 5 – 1 – 6 – 4 – 3
	
	D
	6 – 3 – 1 – 2 – 4 – 5
	
	E
	4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1
Você acertou!
A sequência correta é 4 – 5 – 3 – 2 – 6 – 1. Segundo o livro-base: “1. Conjunto aberto – É um conjunto onde todos os seus pontos são interiores. 2. Ponto interior – É um ponto que possui uma vizinhança inteiramente contida no conjunto. 3. Conjunto fechado – É um conjunto tal que todos os pontos aderentes pertencem à ele. 4. Ponto de acumulação – É um ponto tal que toda vizinhança dele possui um ponto do conjunto diferente dele. 5. Conjunto compacto – É todo conjunto que é simultaneamente fechado e limitado. 6. Ponto aderente – É um ponto que é limite de uma sequencia de elementos do conjunto” (livro-base, Capítulo 3).