5_Matematica

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PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Didatismo e Conhecimento 1
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
5.1. LINGUAGEM BÁSICA DE CONJUNTOS: 
PERTINÊNCIA, INCLUSÃO, REUNIÃO, 
IGUALDADE E INTERSEÇÃO.
Número de Elementos da União e da Intersecção de 
Conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, como vemos na figura abaixo, 
podemos estabelecer uma relação entre os respectivos números de 
elementos.
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
Note que ao subtrairmos os elementos comuns (n(A ∩ B)) 
evitamos que eles sejam contados duas vezes.
Observações:
a) Se os conjuntos A e B forem disjuntos ou se mesmo um 
deles estiver contido no outro, ainda assim a relação dada será 
verdadeira.
b) Podemos ampliar a relação do número de elementos para 
três ou mais conjuntos com a mesma eficiência.
n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) -
- N(A ∩ C) - n(B ∩ C) + N(A ∩ B ∩ C)
Observe o diagrama e comprove.
Conjuntos
Conjuntos Primitivos 
Os conceitos de conjunto, elemento e pertinência são primiti-
vos, ou seja, não são definidos.
Um cacho de bananas, um cardume de peixes ou uma porção 
de livros são todos exemplos de conjuntos.
Conjuntos, como usualmente são concebidos, têm elementos. 
Um elemento de um conjunto pode ser uma banana, um peixe ou 
um livro. Convém frisar que um conjunto pode ele mesmo ser ele-
mento de algum outro conjunto.
Por exemplo, uma reta é um conjunto de pontos; um feixe de 
retas é um conjunto onde cada elemento (reta) é também conjunto 
(de pontos).
Em geral indicaremos os conjuntos pelas letras maiúsculas A, 
B, C, ..., X, e os elementos pelas letras minúsculas a, b, c, ..., x, y, 
..., embora não exista essa obrigatoriedade.
Em Geometria, por exemplo, os pontos são indicados por le-
tras maiúsculas e as retas (que são conjuntos de pontos) por letras 
minúsculas.
Outro conceito fundamental é o de relação de pertinência que 
nos dá um relacionamento entre um elemento e um conjunto.
Se x é um elemento de um conjunto A, escreveremos x ∊ A
Lê-se: x é elemento de A ou x pertence a A.
Se x não é um elemento de um conjunto A, escreveremos x ∉ A
Lê-se x não é elemento de A ou x não pertence a A.
Como representar um conjunto 
Pela designação de seus elementos: Escrevemos os elementos 
entre chaves, separando os por vírgula.
Exemplos
- {3, 6, 7, 8} indica o conjunto formado pelos elementos 3, 
6, 7 e 8.
{a; b; m} indica o conjunto constituído pelos elementos a, b e m.
{1; {2; 3}; {3}} indica o conjunto cujos elementos são 1, {2; 
3} e {3}.
Pela propriedade de seus elementos: Conhecida uma proprie-
dade P que caracteriza os elementos de um conjunto A, este fica 
bem determinado.
P termo “propriedade P que caracteriza os elementos de um 
conjunto A” significa que, dado um elemento x qualquer temos:
Assim sendo, o conjunto dos elementos x que possuem a pro-
priedade P é0 indicado por:
{x, tal que x tem a propriedade P}
Uma vez que “tal que” pode ser denotado por t.q. ou | ou ainda 
:, podemos indicar o mesmo conjunto por:
{x, t . q . x tem a propriedade P} ou, ainda,
{x : x tem a propriedade P}
Exemplos 
- { x, t.q. x é vogal } é o mesmo que {a, e, i, o, u}
- {x | x é um número natural menor que 4 } é o mesmo que 
{0, 1, 2, 3}
- {x : x em um número inteiro e x2 = x } é o mesmo que {0, 1}
Didatismo e Conhecimento 2
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Pelo diagrama de Venn-Euler: O diagrama de Venn-Euler con-
siste em representar o conjunto através de um “círculo” de tal for-
ma que seus elementos e somente eles estejam no “círculo”.
Exemplos
- Se A = {a, e, i, o, u} então 
- Se B = {0, 1, 2, 3 }, então
Conjunto Vazio
Conjunto vazio é aquele que não possui elementos. Represen-
ta-se pela letra do alfabeto norueguês ∅ ou, simplesmente { }.
Simbolicamente: ∀x, x ∉ ∅
Exemplos
 
- ∅ = {x : x é um número inteiro e 3x = 1}
- ∅ = {x | x é um número natural e 3 – x = 4}
- ∅ = {x | x ≠ x}
Subconjunto
Sejam A e B dois conjuntos. Se todo elemento de A é também 
elemento de B, dizemos que A é um subconjunto de B ou A é a 
parte de B ou, ainda, A está contido em B e indicamos por A ⊂ B. 
Simbolicamente: A⊂B ⇔ (∀x)(x ∈∀ ⇒ x ∊ B)
Portanto, A ⊄ B significa que A não é um subconjunto de B ou 
A não é parte de B ou, ainda, A não está contido em B.
Por outro lado, A ⊄ B se, e somente se, existe, pelo menos, um 
elemento de A que não é elemento de B. 
Simbolicamente: A ⊄ B ⇔ (∃x)(x∈A e x∉B)
Exemplos
- {2 . 4} ⊂ {2, 3, 4}, pois 2 ∈ {2, 3, 4} e 4 ∈ {2, 3, 4}
- {2, 3, 4} ⊄ {2, 4}, pois 3 ∉ {2, 4}
- {5, 6} ⊂ {5, 6}, pois 5 ∊ {5, 6} e 6 ∈ {5, 6}
Inclusão e pertinência
A definição de subconjunto estabelece um relacionamento en-
tre dois conjuntos e recebe o nome de relação de inclusão (⊂).
A relação de pertinência (∊) estabelece um relacionamento en-
tre um elemento e um conjunto e, portanto, é diferente da relação 
de inclusão.
Simbolicamente
x∊A ⇔{x}⊂A
x∉A ⇔{x}⊄A
Igualdade
Sejam A e B dois conjuntos. Dizemos que A é igual a B e 
indicamos por A = B se, e somente se, A é subconjunto de B e B é 
também subconjunto de A. 
Simbolicamente: A = B ⇔A⊂B e B⊂A
Demonstrar que dois conjuntos A e B são iguais equivale, se-
gundo a definição, a demonstrar que A ⊂ B e B ⊂ A.
Segue da definição que dois conjuntos são iguais se, e somente 
se, possuem os mesmos elementos.
Portanto A ≠ B significa que A é diferente de B. Portanto A ≠ B 
se, e somente se, A não é subconjunto de B ou B não é subconjunto 
de A. Simbolicamente: A ≠ B ⇔A⊄ B ou B⊄A
Exemplos
- {2,4} = {4,2}, pois {2,4} ⊂ {4,2} e {4,2} ⊂ {2,4}. Isto nos 
mostra que a ordem dos elementos de um conjunto não deve ser 
levada em consideração. Em outras palavras, um conjunto fica de-
terminado pelos elementos que o mesmo possui e não pela ordem 
em que esses elementos são descritos.
- {2,2,2,4} = {2,4}, pois {2,2,2,4} ⊂ {2,4} e {2,4} ⊂ 
{2,2,2,4}. Isto nos mostra que a repetição de elementos é desne-
cessária.
- {a,a} = {a}
- {a,b = {a} ⇔ a= b
- {1,2} = {x,y} ⇔ (x = 1 e y = 2) ou (x = 2 e y = 1) 
Conjunto das partes
Dado um conjunto A podemos construir um novo conjunto 
formado por todos os subconjuntos (partes) de A. Esse novo con-
junto chama-se conjunto dos subconjuntos (ou das partes) de A e 
é indicado por P(A). 
Simbolicamente: P(A)={X | X ⊂A} ou X⊂P(A) ⇔ X⊂A
Exemplos
a) = {2, 4, 6}
P(A) = {∅, {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, A}
b) = {3,5}
P(B) = {∅, {3}, {5}, B}
c) = {8} 
P(C) = {∅, C}
 
d) = ∅
P(D) = {∅}
Propriedades
Seja A um conjunto qualquer e ∅ o conjunto vazio. Valem as 
seguintes propriedades
Didatismo e Conhecimento 3
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�≠(�) � ∉ � � ⊂ � � ∊ {�}
� ⊂ A ⇔ � ∊ P(A) A ⊂ A ⇔ A ∊ P(A)
Se A tem n elementos então A possui 2n subconjuntos e, por-
tanto, P(A) possui 2n elementos.
União de conjuntos
A união (ou reunião) dos conjuntos A e B é o conjunto forma-
do por todos os elementos que pertencem a A ou a B. Representa-
-se por A ∪ B. 
Simbolicamente: A∪B = {X | X ∈ A ou X ∈ B}
Exemplos
- {2,3}∪{4,5,6}={2,3,4,5,6}
- {2,3,4}∪{3,4,5}={2,3,4,5}
- {2,3}∪{1,2,3,4}={1,2,3,4}
- {a,b} ∪ � {a,b}
Intersecção de conjuntos
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto formado por 
todos os elementos que pertencem, simultaneamente, a A e a B. 
Representa-se por A ∩ B. Simbolicamente: A ∩ B = {X | X ∊ A 
ou X ∊ B}
Exemplos
- {2,3,4} ∩ {3,5}={3}
- {1,2,3} ∩ {2,3,4}={2,3}
- {2,3} ∩ {1,2,3,5}={2,3}
- {2,4} ∩ {3,5,7}= �
Observação: Se A ∩ B= �, dizemos que A e B são conjuntos 
disjuntos.
Subtração
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto formado por 
todos os elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Repre-
senta-se por A – B. Simbolicamente: A – B = {X | X ∊ A e X ∉ B}
O conjunto A – B é também chamado de conjunto comple-
mentar de B em relação a A, representado por CAB. 
Simbolicamente: CAB = A - B{X | X ∊ A e X ∉ B}
Exemplos
- A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 2} 
 CAB = A – B = {1,3} e CBA = B – A =φ
- A = {1, 2, 3} e B = {2, 3, 4}
 CAB = A – B = {1} e CBA = B – A = {14}
- A = {0, 2, 4} e B = {1 ,3 ,5} 
 CAB = A – B = {0,2,4} e CBA = B – A = {1,3,5}
Observações: Alguns autorespreferem utilizar o conceito de 
completar de B em relação a A somente nos casos em que B ⊂ A.
- Se B ⊂ A representa-se por B o conjunto complementar de 
B em relação a A. Simbolicamente: B ⊂ A ⇔ B = A – B = CAB`
Exemplos
Seja S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Então:
a) A = {2, 3, 4} ⇒ A = {0, 1, 5, 6}
b) B = {3, 4, 5, 6 } ⇒ B = {0, 1, 2}
c) C = � ⇒ C = S
Número de elementos de um conjunto
Sendo X um conjunto com um número finito de elementos, 
representa-se por n(X) o número de elementos de X. Sendo, ainda, 
A e B dois conjuntos quaisquer, com número finito de elementos 
temos:
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
A∩B= � ⇒n(A∪B)=n(A)+n(B)
n(A -B)=n(A)-n(A∩B)
B⊂A⇒n(A-B)=n(A)-n(B)
Exercícios
1. Assinale a alternativa a Falsa:
a) � ⊂ {3}
b) (3) ⊂ {3}
c) � ∉ {3}
Didatismo e Conhecimento 4
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d) 3 ∊ {3}
e) 3 = {3}
2. Seja o conjunto A = {1, 2, 3, {3}, {4}, {2, 5}}. Classifique 
as afirmações em verdadeiras (V) ou falsas (F).
a) 2 ∊ A
b) (2) ∊ A
c) 3 ∊ A
d) (3) ∊ A
e) 4 ∊ A
3. Um conjunto A possui 5 elementos . Quantos subconjuntos 
(partes) possuem o conjunto A?
4. Sabendo-se que um conjunto A possui 1024 subconjuntos, 
quantos elementos possui o conjunto A?
5. 12 - Dados os conjuntos A = {1; 3; 4; 6}, B = {3; 4 ; 5; 7} e 
C = {4; 5; 6; 8 } pede-se:
a) A ∪ B
b) A ∩ B
c) A ∪ C
d) A ∩ C
6. Considere os conjuntos: S = {1,2,3,4,5} e A={2,4}. Deter-
mine o conjunto X de tal forma que: X∩A= � e X∪A = S.
7. Seja A e X conjuntos. Sabendo-se que A⊂X e 
A∪X={2,3,4}, determine o conjunto X.
8. Dados três conjuntos finitos A, B e C, determinar o número 
de elementos de A ∩ (B∪C), sabendo-se:
a) A∩B tem 29 elementos
b) A∩C tem 10 elementos
c) A∩B tem 7 elementos.
9. Numa escola mista existem 42 meninas, 24 crianças ruivas, 
13 meninos não ruivos e 9 meninas ruivas. Pergunta-se
a) quantas crianças existem na escola?
b) quantas crianças são meninas ou são ruivas?
10. USP-SP - Depois de n dias de férias, um estudante observa que:
- Choveu 7 vezes, de manhã ou à tarde;
- Quando chove de manhã não chove à tarde;
- Houve 5 tardes sem chuva;
- Houve 6 manhãs sem chuva.
Podemos afirmar então que n é igual a:
a)7
b)8
c)9
d)10
e)11
Respostas
1) Resposta “E”.
Solução: A ligação entre elemento e conjunto é estabelecida 
pela relação de pertinência (∊) e não pela relação de igualdade (=). 
Assim sendo, 3∊{3} e 3≠{3}. De um modo geral, x ≠ {x}, ∀x.
2) Solução:
a) Verdadeira, pois 2 é elemento de A.
b) Falsa, pois {2} não é elemento de A.
c) Verdadeira, pois 3 é elemento de A.
d) Verdadeira, pois {3} é elemento de A.
e) Falsa, pois 4 não é elemento de A.
3) Resposta “32”.
Solução: Lembrando que: “Se A possui k elementos, então 
A possui 2k subconjuntos”, concluímos que o conjunto A, de 5 
elementos, tem 25 = 32 subconjuntos.
4) Resposta “10”.
Solução: Se k é o número de elementos do conjunto A, então 
2k é o número de subconjuntos de A.
Assim sendo: 2k=1024 ⇔ 2k=210 ⇔ k=10.
5) Solução: Representando os conjuntos A, B e C através do 
diagrama de Venn-Euler, temos: 
a) 
A∪B={1,3,4,5,6,7}
b)
A∩B={3,4}
c)
A∪C={1,3,4,5,6,8}
d)
A∩C={4,6}
Didatismo e Conhecimento 5
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6) Resposta “X={1;3;5}”.
Solução: Como X∩A= � e X∪A=S, então X=A =S-A=CsA 
⇒X={1;3;5}
7) Resposta “X = {2;3;4}
Solução: Como A⊂X, então A∪X = X = {2;3;4}.
8) Resposta “A”.
Solução: De acordo com o enunciado, temos:
n(A∩B∩C) = 7
n(A∩B) = a + 7 = 26 ⇒ a = 19
n(A∩C) = b + 7 = 10 ⇒ b = 3
Assim sendo:
e portanto n[A ∩ (B∪C)] = a + 7 + b = 19 + 7 + 3
Logo: n[A ∩ (B∪C)] = 29.
9) Solução:
Sejam:
A o conjunto dos meninos ruivos e n(A) = x
B o conjunto das meninas ruivas e n(B) = 9
C o conjunto dos meninos não-ruivos e n(C) = 13
D o conjunto das meninas não-ruivas e n(D) = y
De acordo com o enunciado temos:
n(B∪D) = n(B) + n(D) = 9+ Y = 42 ⇔ y = 23
n(A∪D) = n(A) + n(B) = x + 9 = 24 ⇔ x = 15
Assim sendo
a) O número total de crianças da escola é: 
n(A∪B∪D)=n(A) + n(B) + n(C) + n(D)=15 + 9 + 13 + 33=70
b) O número de crianças que são meninas ou são ruivas é: 
n[(A∪B)∪(B∪D)]=n(A)+n(B)+n(C)+n(D)=15+9+33=57
10) Resposta “C”.
Solução:
Seja M, o conjunto dos dias que choveu pela manhã e T o 
conjunto dos dias que choveu à tarde. Chamando de M’ e T’ os 
conjuntos complementares de M e T respectivamente, temos:
n(T’) = 5 (cinco tardes sem chuva)
n(M’) = 6 (seis manhãs sem chuva)
n(M Ç T) = 0 (pois quando chove pela manhã, não chove à 
tarde)
Daí:
n(M È T) = n(M) + n(T) – n(M Ç T)
7 = n(M) + n(T) – 0
Podemos escrever também:
n(M`) + n(T`) = 5 + 6 = 11
Temos então o seguinte sistema:
n(M`) + n(T`) = 11
n(M) + N(T) = 7
Somando membro a membro as duas igualdades, vem:
n(M) + n(M`) + n(T) + n(T`) = 11 + 7 = 18
Observe que n(M) + n(M`) = total dos dias de férias = n
Analogamente, n(T) + n(T`) = total dos dias de férias = n
Portanto, substituindo vem:
n + n = 18
2n = 18
n = 9
Logo, foram nove dias de férias, ou seja, n = 9 dias.
Didatismo e Conhecimento 6
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5.2. OS CONJUNTOS DOS NÚMEROS NA-
TURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E REAIS. 
5.2.1. OPERAÇÕES DE ADIÇÃO, MULTIPLI-
CAÇÃO, SUBTRAÇÃO, DIVISÃO, POTEN-
CIAÇÃO E RADICIAÇÃO. 
5.2.2. A RETA NUMÉRICA. 5.2.3. PROPRIE-
DADES ESPECÍFICAS DE CADA UM DOS 
CONJUNTOS: 5.2.3.1. NATURAIS: MÚL-
TIPLOS E DIVISORES, FATORAÇÃO EM 
PRODUTOS DE PRIMOS MÁXIMO DIVISOR 
COMUM E MÍNIMO MÚLTIPLO COMUM. 
5.2.3.2. INTEIROS: MÚLTIPLOS E DIVISO-
RES. 5.2.3.3. RACIONAIS E REAIS: REPRE-
SENTAÇÃO DECIMAL. 
São todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É 
representado pela letra maiúscula N. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 
9, 10,…} O zero corresponde à ausência de unidades. A sucessão 
dos números naturais começa pelo zero e cada número é obtido 
acrescentando-se uma unidade ao anterior. Não existe o maior 
número natural, ou seja, a sucessão dos números naturais é infinita. 
Se excluirmos o zero teremos um novo conjunto: o conjunto dos 
números naturais não nulos, que se indica por N ∗ . N ∗ = {1, 2, 3, 
4, 5...}
Na sucessão de números naturais, dois ou mais números que 
se seguem são chamados consecutivos. Exemplo: 7 8 e 9 são 
números naturais consecutivos. Todo número natural tem um 
antecessor, com exceção do zero, que é o menor número natural. 
Todo número natural tem um sucessor. Ex: O sucessor de 8 é 9; o 
antecessor de 19 é 18.
O conjunto formado por 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12... é chamada 
conjunto dos números naturais pares. O conjunto formado por 1, 
3, 5, 7, 9, 11,... é chamada conjunto dos números naturais ímpares.
Operações fundamentais com números naturais
Adição
A primeira operação fundamental na Matemática é a adição. 
Esta operação nada mais é que o ato de adicionar algo. É reunir 
todos os valores ou totalidades de algo. A adição é chamada 
de operação. A soma dos números chamamos de resultado da 
operação.
Ex: 10 + 5 = 15
10 e 5 são as parcelas; 15 é a soma ou resultado da operação de 
adição. A operação realizada acima se denomina, então, ADIÇÃO.
A adição de dois ou mais números é indicada pelo sinal +.
Subtração
A subtração é o ato ou efeito de subtrair algo. É diminuir 
alguma coisa. O resultado desta operação de subtração denomina-
se diferença ou resto.
Exemplo: 9 – 5 = 4
Essa igualdade tem como resultado a subtração.
Os números 9 e 5 são os termos da diferença 9-5. Ao número 
9 dá-se o nome de minuendo e 5 é o subtraendo.
Multiplicação
É a ação de multiplicar. Denomina-se a operação matemática, 
que consiste em repetir um número, chamado multiplicando, tantas 
vezes quantas são as unidades de outro, chamado multiplicador, 
para achar um terceiro número que representa o produto dos dois.
Definindo ainda, multiplicação é a adição de parcelas iguais, 
onde o produto é o resultado da operação multiplicação; e os 
fatores são os números que participam da operação.
5. 8 = 40 onde 5 e 8 são os fatores e 40 é o produto.
Divisão
É o ato de dividir ou fragmentar algo. É a operação na 
matemática em que se procura achar quantas vezes um número 
contém em outro ou mesmo pode ser definido como parte de um 
todoque se dividiu. À divisão dá o nome de operação e o resultado 
é chamado de Quociente.
1) A divisão exata:
Veja: 8: 4 é igual a 2, onde 8 é o dividendo, 2 é o quociente, 4 
é o divisor, 0 é o resto.
A prova do resultado é: 2 x 4 + 0 = 8
2) A divisão não-exata: Observe este exemplo: 9: 4 é igual a 
resultado 2, com resto 1, onde 9 é dividendo, 4 é o divisor, 2 é o 
quociente e 1 é o resto.
A prova do resultado é: 2 x 4 + 1 = 9
Potenciação
É uma multiplicação de fatores iguais
Exemplo 1:
Base=2
Expoente = 4
Potência = 16 [Resultado da operação]
Lê-se: Dois elevado à quarta potência.
Exemplo 2: 
53 = 5.5.5= 125 (3 fatores iguais)
Base=5
Expoente = 3
Potência = 125 [Resultado da operação]
Lê-se: Cinco elevado à terceira potência.
Potências especiais:
1- O número um elevado a qualquer número é sempre igual 
a 1. 
Ex: 15= 1
Didatismo e Conhecimento 7
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2- Zero elevado a qualquer número é sempre igual a zero.
Ex: 06 = 0
3- Qualquer número (diferente de zero) elevado a zero é 
sempre igual a 1.
Ex: 50= 1
4- Potências de base 10 é igual a 1 seguido de tantos zeros 
quanto estiver indicando no expoente.
Ex: 104= 10000 ( 4 zeros pois o expoente é 4)
5- Qualquer número elevado a 1 é igual a ele mesmo.
Ex: 81= 8
Propriedades da potenciação
1º) Multiplicação de potências de mesma base.
Ex: 
35 . 32 . 33 = 310
24 . 2. 23 . 22 . 2 = 211
Para escrever o produto de potências de mesma base, 
conservamos a base e somamos os expoentes.
2º ) Potência de potência.
(22)3 = 22. 22. 22 = 22+2+2= 26 = 64
(22)4 = 22. 22. 22. 22 = 22+2+2+2= 28 = 256
Para escrever a potência elevada a outro expoente, conserva-
se a base e multiplicam-se os expoentes.
3º) Divisão de potências de mesma base
128 : 126 = 128–6 =
122 25 : 23 = 25-3 = 22
Para escrever o quociente de potências de mesma base, 
conservamos a base e subtraímos os expoentes. 
Observação: Quociente significa o resultado de uma divisão.
Radiciação
Observe os termos da radiciação:
Onde:
n = representa o termo da radiciação chamado Radical. É o 
índice.
X = representa o termo da radiciação chamado de radicando.
Temos que radiciação de números naturais é a operação 
inversa da potenciação. Observe abaixo:
Em termos mais precisos, dado um número natural a 
denominado radicando e dado um número natural n denominado 
índice da raiz, é possível determinar outro número b, 
denominado raiz enésima de a, representada pelo símbolo an , 
tal que b elevado a n seja igual a a.
 Este é o símbolo de raiz ou sinal de raiz ou simplesmente 
radical.
Ex: 25 = 5 porque 52=5.5=25
 3 27 = 3 porque 33= 3.3.3=27
 5 32 = 2 porque 25= 2.2.2.2.2=32
Expressões numéricas
Para resolver uma expressão numérica efetuamos as operações 
obedecendo a seguinte ordem:
1º) Potenciação e radiciação na ordem em que aparecem
2º) Multiplicação e divisão na ordem em que aparecem
3º) Adição e subtração na ordem em que aparecem.
Há expressões em que aparecem os sinais de associação que 
devem ser eliminados na seguinte ordem:
1º) ( ) parênteses
2º) [ ] colchetes
3º) { } chaves
Ex: Resolver a expressão:
[(5² - 6.2²). 3 + (13 – 7)²: 3]: 5 =
= [(25 – 6.4). 3 + 6²: 3]: 5 =
= [(25 – 24). 3 + 36: 3]: 5 =
= [1.3 + 12]: 5 =
= [3 + 12]: 5 =
= 15: 5 = 3
Números Inteiros
É o conjunto formado pelos números inteiros positivos, zero 
e números inteiros negativos. O conjunto Z é uma ampliação do 
conjunto N.
Z= {...-3,-2,-1,0,1,2,3...}
Os subconjuntos de Z são:
Z*= {... -3, -2, -1, 1, 2, 3...} 
* = excluir o zero do conjunto.
Z+ = {0, 1, 2, 3, 4...}
Z- = {... -3, -2, -1, 0}
Z*+= {1, 2, 3, 4...}
Z*-= {..., -3, -2, -1}
Relação de ordem nos números inteiros
Quando estabelecemos uma relação de ordem entre dois 
números, estamos identificando se eles são iguais, ou qual deles é 
o maior. Observe a reta numérica.
Didatismo e Conhecimento 8
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Dados dois números inteiros, o maior é o que estiver à direita.
Ex: -1 é maior que -3, 4 é maior que zero
Módulo ou valor absoluto
É o número sem considerar o seu sinal. Para indicar módulo 
escrevemos o número entre barras. 
Ex: 3− = 3 5+ = 5
Números opostos ou simétricos 
São números com o mesmo valor absoluto e sinais contrários.
Ex: +4 e -4 são números opostos ou simétricos.
Adição e subtração de números inteiros
Para juntar números com sinais iguais, adicionamos os 
valores absolutos e conservamos o sinal. Quando o número tem 
sinais diferentes, subtraímos os valores absolutos e conservamos 
o sinal do maior.
Ex: 
+5+7 = +12
-5 -7 = -12
+5 –7 = -2
-5 +7 = +2
Multiplicação e divisão de números inteiros
Para multiplicar ou dividir números inteiros efetuamos a 
operação indicada e usamos a regra de sinais abaixo:
+ + = + Sinais iguais, resultado positivo.
- - = +
+ - = - Sinais diferentes, resultado negativo.
- + = -
Ex: (+4) . (+5) = +20 (+30) : (+6) = +5
 (-3) . (-6) = +18 (- 20) : (-5) = +4 (+8) . (-3) = -24
 (+18) : (-3) = -6 (-6) (+5) = -30 (- 15) : (+5) = -3
Potenciação e radiciação de números inteiros
Potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
Ex: 23= 2.2.2=8
2 é a base, 3 é o expoente e 8 é a potência
Estamos trabalhando com números inteiros, portanto pode 
aparecer base negativa e positiva.
Exemplo: (+3)2= (+3). (+3) = +9
(+2)3= (+2). (+2). (+2) = +8
(-2)2= (-2). (-2) = +4
(-2)3= (-2). (-2). (-2) = -8
Se a base é positiva o resultado é sempre positivo.
Se a base é negativa e o expoente é par o resultado é positivo.
Se a base é negativa e o expoente é impar o resultado é 
negativo
Importante: Todo número elevado a zero é sempre igual a 1.
Raiz quadrada de um número quadrado perfeito é um número 
positivo cujo quadrado é igual ao número dado.
Ex: 25 =5, pois 52=25
OBS:
1- Para multiplicar 3 ou mais números inteiros, multiplicamos 
os valores absolutos e todos os números e contamos os sinais 
negativos. Se o número de negativos for impar e resultado terá 
sinal negativo, se for par o resultado será positivo.
Ex: 
(-3). (-5). (+2). (-1) = -30 → 3 negativos(impar), resultado 
negativo. 
(-2). (-3). (+6). (-1).( -2) = +72 → 4 negativos(par), resultado 
positivo. 
2- Para eliminar parênteses usamos a mesma regra de sinais da 
multiplicação e da divisão.
Ex: 
-(+4) = -4
-(-5) = +5
Expressões Numéricas em Z
Para resolver uma expressão numérica devemos obedecer a 
seguinte ordem:
1º) Resolver as potenciações e radiciações na ordem em que 
aparecem
2º) Resolver as multiplicações e divisões na ordem em que 
elas aparecem
3º) Resolver as adições e subtrações na ordem em elas 
aparecem
Há expressões em que aparecem os sinais de associação que 
devem ser eliminados na seguinte ordem:
1º) ( ) parênteses
2º) [ ] colchetes
3º) { } chaves
Exercícios Resolvidos
1- Calcule as operações indicadas:
a) (+8) + (-6) – (-3) – (-2)
Resolução
+8 -6 +3 +2 = +13 - 6 = +7
b) -(-3). (-5) + (-4)
Resolução
+3. (-5)-4 = -15 – 4 = -19
c) (+55): (-5) + (-5). (-2) 
Didatismo e Conhecimento 9
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Resolução
-11+(+10) = -11+10 = -1
2- Quais são os números inteiros entre -2 e 1 incluindo esses 
dois?
Resolução:
-2,-1,0,1
3- Calcule as potências e resolva as operações:
(-5)1- [(-2)5: 4-7] + (-1)379. (-5)2R
Resolução: 
5-[-32:4-7]+(-1).(+25)
-5-[-8-7]+(-25)
5-[-15]-25
-5+15-25
+10 -25 -15 
Números Racionais
Os números racionais é um conjunto que engloba os 
números inteiros(Z). Números decimais finitos (por exemplo, 
743,8432) e os números decimais infinitos periódicos (que repete 
uma sequência de algarismos da parte decimal infinitamente). 
Como “12,050505…”, são também conhecidas como dízimas 
periódicas. Os racionais são representados pela letra Q. Todo 
número racional pode ser escrito na forma 
a
b
, com a ZbZ ∈∈ , 
e b 0≠ Um mesmo número racional pode ser representado por 
diferentes frações, todas equivalentes entre si.
Ex: ...
4
2
2
1
6
3
4
2
2
1
=
−
−
=
−
−
===
Um número racional pode ser representado por um número 
decimal exato ou periódico.
Ex: 1
2
= 0,5−3
4
= −0,75 
1
3
= 0,333... (dízima 
periódica)
Todos os números inteiros pertencem aos racionais.
Reta numérica Racional
Adição e subtração com números fracionários
Para adicionar ou subtrair números racionais na forma de fração 
devemos observar os seus denominadores. Se os denominadores 
são iguais, efetuamos as operações e conservamos o mesmo 
denominador. Se os denominadores são diferentes, reduzimos ao 
mesmo denominador usando o m.m.c. e depois procedemos como 
no caso anterior.
Ex: 
1) −1
3
+ 8
3
= 7
3
2) 6
5
− 3
4
 = 24
20
− 15
20
 = 9
20
( o mmc entre 5 e 4 é 20)
Multiplicação e divisão com números fracionários
Para multiplicar números racionais na forma de fração, devemos 
multiplicar os numeradores, multiplicar os denominadores, usar 
a regra de sinais quando necessário e quando possível fazer a 
simplificação.
Ex:
−4
5
. 3
7 
= −12
35
 (nesse caso o resultado é uma fração 
irredutível, pois não pode ser simplificada).
7
4
− 5
4
= 2
4 
= 1
2
 (nesse caso o resultado foi simplificado 
dividindo o numerador e o denominador por 2).
Para dividir números racionais na forma de fração, devemos 
multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, usando 
também a regra de sinais e a simplificação do resultado quando 
possível.
Ex:
3
5
: 2
3
 = 
3
5
. 3
2
 = 
9
10
−5
4
: 3
2
= −5
4
.2
3
= −10
12
= −5
6
Potenciação e radiciação com números fracionários
Resolver uma potenciação de fração é calcular a potência do 
numerador e do denominador de acordo com o expoente.
Ex: −3
7
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
2
= +9
49
 (elevamos o numerador -3 e o denominador 
7 ao expoente 2, lembrando que número negativo elevado a 
expoente par dá resultado positivo) Extrair a raiz quadrada de uma 
fração é encontrar a raiz do numerador e do denominador. Ex: 
9
16
= 9
16
= 3
4
Números decimais 
Os números decimais exatos e as dízimas periódicas também 
pertencem ao conjunto Q.
Adição e subtração com decimais: Na adição ou subtração 
com decimais devemos escrever as parcela colocando vírgula 
embaixo de vírgula, e resolver a operação. 
Ex: 4,879 + 13,14 → Parcelas 13, 140 → Acrescentamos o 
zero para completar casas decimais.+4,879 + 18,019 → Soma 
total.
Didatismo e Conhecimento 10
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Multiplicação e divisão com decimais: Na multiplicação 
de números decimais, multiplicamos os números sem considerar 
a vírgula e colocamos a vírgula no resultado contando as casas 
decimais dos dois fatores:
Ex: 2,35 x 4,3 = 10,105 (no resultado temos 3 casas decimais 
pois são 2 casas no fator 2,35 e uma casa no fator 4,3).
Na divisão igualamos as casas decimais, cortamos as vírgulas 
e resolvemos a divisão.
Ex: 1,4: 0,05
Igualamos as casas decimais: 1,40: 0,05
Cortamos as vírgulas 140: 5
Resolvemos a divisão 140:5 = 28
Potenciação e radiciação com decimais: Para elevar um 
número decimal a um expoente dado, procedemos como a potência 
com número inteiro, respeitando a regra de sinais da multiplicação. 
Lembrar que potenciação é uma multiplicação de fatores iguais.
Ex: (3,2) 3 = (3,2). (3,2). (3,2) = 32,768
Para calcular a raiz quadrada de um número decimal podemos 
transformá-lo em uma fração e depois calcular.
Ex: 0,16 = 
16
100 = 
4
10 = 0,4
Números Reais
O conjunto dos números reais contém os números racionais 
(naturais, inteiros e fracionários) e os números irracionais e é 
representado pela letra R.
OBS: Quando relacionamos elementos e conjuntos usamos 
os símbolos ∈ (pertence) ou ∉ (não pertence) e quando 
relacionamos conjunto com conjunto usamos os símbolos ⊂ (está 
contido) ou ⊄ (não está contido).
Ex: 2 ∈ Z
 -2 ∉ N
 N ⊂ Z
 I ⊄ Q
Exercícios Propostos
1- Quais são os números inteiros;
a) de -1 a -5, incluindo esses dois números?
b) de -4 a 3, incluindo, esses dois números?
2- Qual é:
a) o valor absoluto de 7?
b) o valor absoluto de -9?
3- Verifique se estes números são opostos:
a) +15 e -15
b) +9 e -9 
c) -14 e +14 
d) -4 e +2
4- Qual é o valor das expressões:
a) 25 − [ −3( )3  +6 −] [ − −4( )2 .3+ 5. −2( )3]
b) (+3) 102 )4()2( −+−−
c) 2 3 2 0( 6) .( 4) ( 10) : ( 5) ( 35)− − − − + + −
5- Descubra que número é:
a) -(-15)
b) -(+3)
c) -(-2001)
d) -(+217)
6- Dê três exemplos de:
a) números menores que +1.
b) números menores que -10.
c) números negativos maiores que -10
7- Qual é o número maior
a) +44 ou -100?
b) -20 ou +8?
c) -17 ou -10? 
d) -5 ou 0?
8- Encontre o valor das expressões:
a) -9-(-23+12-1)-(21-9)
b) -5. (-2) + (-3+5). (-1)
c) (-16): 4 . (-2) + (-2)
d) 6 : (-3) + 2(-1) -20 : (-4)
9- Considere as afirmações:
I. Qualquer número negativo é menor que zero.
II. Qualquer número positivo é maior que zero.
III. Qualquer número negativo é menor que um número 
positivo.
Quais dessas afirmações são verdadeiras?
10- Descubra o número que deve ser adicionado a +25 para 
que a soma seja +20.
11- Calcule o valor de cada expressão a seguir:
a) 
22
6
1
3
5





 −−





b) (-0,6) 3 + (-1,5) 2
c) 
2 33 8 1 3. :
2 27 2 16
− − −       −       
       
d) (1,1) 3 . 2-(-0,2) 3 +3
12- Uma garota, caminhando rapidamente, desenvolveu uma 
velocidade de aproximadamente 5,2km/h. Nessas condições, se 
caminhar 18,72 quilômetros, ela demorará quantos horas?
13- O número racional X = (-0,62): (-3,1). (-1,2) + 0,4 – 2. 
Está compreendido entre dois números inteiros a e b consecutivos. 
Determine os números a e b.
14- Encontre o valor dos radicais:
Didatismo e Conhecimento 11
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
a) 81
121
b) - 225
196
15- Encontre o valor das expressões:
a) −2
3
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ :
−5
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ .
1
5
− 2
b) 1
3
. −3
4
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ − 2
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
. −7
6
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
16- A cidade de Peixoto de Azevedo tem aproximadamente 
19.224 habitantes. Se um terço da população é composto de 
jovens, pode-se dizer que:
a) o número de jovens é superior a 7.000
b) o número de jovens é igual a 648
c) o número de jovens está entre 6.000 e 7000
d) o número de jovens é inferior a 5.000
e) o número de jovens é igual a 6.480
17- O rótulo informa que o detergente A rende 16 litros. Qual 
é o rendimento de três desses produtos?
a) 32 litros
b) 1.500 ml
c) 1.500 litros
d) 48 litros
e) 4,8 litros
18- Um carro faz 11 quilômetros com um litro de combustível. 
A distância entre a cidade A e a cidade B é de 691 quilômetros. 
Quantos litros de combustível são necessários para esse carro ir e 
voltar e circular mais 103 quilômetros?
a) 135 litros de combustível
b) 155 litros de combustível
c) 62,5 litros de combustível
d) 270 litros de combustível
e) 153 litros de combustível
19- José é João fizeram uma viagem de férias. José guiou 
694 quilômetros e João guiou 245 quilômetros a mais que José. 
Quantos quilômetros guiaram os dois?
a) 1384.
b) 1576.
c) 1633.
d) 1893.
e) 1921.
20- Calcule o valor da expressão numérica: 75 – (21 – 8 + 18) 
-19 + 4. Em seguida, assinale a alternativa CORRETA.
a) 18
b) 29
c) 32
d) 44
e) 50
21- Na divisão de n por d, o quociente é igual a 8 e o resto é 
igual a 1. Se n - d = 85, então n é igual a:
a) 107
b) 104
c) 102
d) 98
e) 97
22- (concurso Agente Administrativo - Pref. P. Alegre/2012) 
Cinco automóveis estão sendo analisados em relação à 
quilometragem rodada por litro de combustível. Cada um deles 
apresenta consumo diferenciado: 9,8km/L, 10 km/L, 12,5km/L, 
15km/L e 16,2km/L. O que aconteceria com a média do consumo 
desse grupo se outro automóvel com consumo de 12,7km/L fosse 
nele incluído?
a) Diminuiria em 2km/L. 
b) Aumentaria em 1,2km/L.
c) Diminuiria em 0,3km/L.
d) Permaneceria a mesma
Respostas dos exercícios propostos:
1-
a) -5, -4, -3, -2, -1
b) -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3
2-
a) 7
b) 9
3-
a) sim
b) sim
c) sim
d) não
4-
a) +114
b) +4
c) -103
5-
a) -15
b) -3
c) +2001
d) -217
6-
a) zero e todos os nº negativos
b) -11, -12, -13,...
c) -9, -8, -7
7-
a) +44
b) +8
c) -10
d) 0
Didatismo e Conhecimento 12
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
8-
a) -9
b) 8
c) 6
d) 1
9- Todas
10- (-5)
11- 
a) 11
4
b) 2,034
c) 0
d) 5,67
12- 3,6 horas ou 3 horas e 36 minutos
13-x = -1,84 os números a e b são -2 e -1
14- 
a) 9
11
b) −15
14
15- 
a) −46
25
b) 21
8
16- Alternativa C
17- Alternativa D
18- Alternativa A
19- Alternativa C
20- Alternativa B
21- Alternativa E
22- Alternativa D
5.3. SISTEMA LEGAL DE UNIDADES 
DE MEDIDA: COMPRIMENTO, ÁREA, 
VOLUME, ÂNGULO, TEMPO, 
VELOCIDADE E MASSA.
Um sistema de medidas é um conjunto de unidades de medida 
que mantém algumas relações entre si. O sistema métrico decimal 
é hoje o mais conhecido e usado no mundo todo. Na tabela 
seguinte, listamos as unidades de medida de comprimento do 
sistema métrico. A unidade fundamental é o metro, porque dele 
derivam as demais.
Unidades de Comprimento
km hm dam m dm cm mm
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Há, de fato, unidades quase sem uso prático, mas elas têm uma 
função. Servem para que o sistema tenha um padrão: cada unidade 
vale sempre 10 vezes a unidade menor seguinte.
Por isso, o sistema é chamado decimal.
E há mais um detalhe: embora o decímetro não seja útil na 
prática, o decímetro cúbico é muito usado com o nome popular 
de litro.
As unidades de área do sistema métrico correspondem às 
unidades de comprimento da tabela anterior. 
São elas: quilômetro quadrado (km2), hectômetro quadrado 
(hm2), etc. As mais usadas, na prática, são o quilômetro quadrado, 
o metro quadrado e o hectômetro quadrado, este muito importante 
nas atividades rurais com o nome de hectare (ha): 1 hm2 = 1 ha.
No caso das unidades de área, o padrão muda: uma 
unidade é 100 vezes a menor seguinte e não 10 vezes, como nos 
comprimentos. Entretanto, consideramos que o sistema continua 
decimal, porque 100 = 102.
Unidades de Área
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
quilômetro
quadrado
hectômetro
quadrado
decâmetro
quadrado
metro
quadrado
decímetro
quadrado
centímetro
quadrado
milímetro
quadrado
10000m 1000m 100m 1m 0,01m 0,001m 0,0001m
Agora, vejamos as unidades de volume. De novo, temos a 
lista: quilômetro cúbico (km3), hectômetro cúbico (hm3), etc. Na 
prática, são muitos usados o metro cúbico e o centímetro cúbico.
Nas unidades de volume, há um novo padrão: cada unidade 
vale 1000 vezes a unidade menor seguinte. Como 1000 = 103, o 
sistema continua sendo decimal.
Unidades de Volume
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
quilômetro
cúbico
hectômetro
cúbico
decâmetro
cúbico
metro
cúbico
decímetro
cúbico
centímetro
cúbico
milímetro
cúbico
100000m 10000m 1000m 1m 0,001m 0,0001m 0,00001m
A noção de capacidade relaciona-se com a de volume. Se o 
volume da água que enche um tanque é de 7 000 litros, dizemos 
que essa é a capacidade do tanque. A unidade fundamental para 
medir capacidade é o litro (l); 1l equivale a 1 dm3.
Cada unidade vale 10 vezes a unidade menor seguinte.
Unidades de Capacidade
kl hl dal l dl cl ml
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centímetro mililitro
1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l
O sistema métrico decimal inclui ainda unidades de medidas 
de massa. A unidade fundamental é o grama.
Didatismo e Conhecimento 13
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Unidades de Massa
kg hg dag g dg cg mg
quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m
Dessas unidades, só têm uso prático o quilograma, o grama e o 
miligrama. No dia-a-dia, usa-se ainda a tonelada (t): 1t = 1000 kg.
Não Decimais
Desse grupo, o sistema hora – minuto – segundo, que mede 
intervalos de tempo, é o mais conhecido.
2h = 2 . 60min = 120 min = 120 . 60s = 7 200s
Para passar de uma unidade para a menor seguinte, multiplica-
se por 60.
0,3h não indica 30 minutos nem 3 minutos; como 1 décimo de 
hora corresponde a 6 minutos, conclui-se que 0,3h = 18min.
Para medir ângulos, também temos um sistema não decimal. 
Nesse caso, a unidade básica é o grau. Na astronomia, na cartografia 
e na navegação são necessárias medidas inferiores a 1º. Temos, 
então:
1 grau equivale a 60 minutos (1º = 60’)
1 minuto equivale a 60 segundos (1’ = 60”)
Os minutos e os segundos dos ângulos não são, é claro, os 
mesmos do sistema hora – minuto – segundo. Há uma coincidência 
de nomes, mas até os símbolos que os indicam são diferentes:
1h32min24s é um intervalo de tempo ou um instante do dia.
1º 32’ 24” é a medida de um ângulo.
Por motivos óbvios, cálculos no sistema hora – minuto 
– segundo são similares a cálculos no sistema grau – minuto – 
segundo, embora esses sistemas correspondam a grandezas 
distintas.
Há ainda um sistema não-decimal, criado há algumas 
décadas, que vem se tornando conhecido. Ele é usado para 
medir a informação armazenada em memória de computadores, 
disquetes, discos compacto, etc. As unidades de medida são bytes 
(b), kilobytes (kb), megabytes (Mb), etc. Apesar de se usarem os 
prefixos “kilo” e “mega”, essas unidades não formam um sistema 
decimal.
Um kilobyte equivale a 210 bytes e 1 megabyte equivale a 210 
kilobytes.
Exercícios
1. Raquel saiu de casa às 13h 45min, caminhando até o 
curso de inglês que fica a 15 minutos de sua casa, e chegou na 
hora da aula cuja duração é de uma hora e meia. A que horas 
terminará a aula de inglês?
a) 14h
b) 14h 30min
c) 15h 15min
d) 15h 30min
e) 15h 45min
2. 348 mm3 equivalem a quantos decilitros?
3. Quantos decalitros equivalem a 1 m3?
4. Passe 50 dm2 para hectômetros quadrados.
5. Quantos quilômetros cúbicos equivalem a 14 mm3?
6. Quantos centilitros equivalem a 15 hl?
7. Passe 5.200 gramas para quilogramas.
8. Converta 2,5 metros em centímetros.
9. Quantos minutos equivalem a 5h05min?
10. Quantos minutos se passaram das 9h50min até as 
10h35min?
Respostas
1) Resposta “D”.
Solução: Basta somarmos todos os valores mencionados no 
enunciado do teste, ou seja:
13h 45min + 15 min + 1h 30 min = 15h 30min
Logo, a questão correta é a letra D. 
2) Resposta “0, 00348 dl”.
Solução: Como 1 cm3 equivale a 1 ml, é melhor dividir-
mos 348 mm3 por mil, para obtermos o seu equivalente em centí-
metros cúbicos: 0,348 cm3. 
Logo 348 mm3 equivalem a 0, 348 ml, já que cm3 e ml se equi-
valem.
Neste ponto já convertemos de uma unidade de medida de 
volume, para uma unidade de medida de capacidade.
Falta-nos passarmos de mililitros para decilitros, quando en-
tão passaremos dois níveis à esquerda. Dividiremos então por 10 
duas vezes:
0,348 :10 :10 0,00348ml dl⇒
Logo, 348 mm³ equivalem a 0, 00348 dl.
3) Resposta “100 dal”.
Solução: Sabemos que 1 m3 equivale a 1.000 l, portanto para 
convertermos de litros a decalitros, passaremos um nível à esquerda.
Dividiremos então 1.000 por 10 apenas uma vez:
1000 :10l dal⇒
Isto equivale a passar a vírgula uma casa para a esquerda.
Didatismo e Conhecimento 14
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Poderíamos também raciocinar da seguinte forma:
Como 1 m3 equivale a 1 kl, basta fazermos a conversão de 1 
kl para decalitros, quando então passaremos dois níveis à direita. 
Multiplicaremos então 1 por 10 duas vezes:
1 .10.10 100kl dal⇒
Logo, 100 dal equivalem a 1 m³.
4) Resposta “0, 00005 hm²”.
Solução: Para passarmos de decímetros quadrados para hectô-
metros quadrados, passaremos três níveis à esquerda. 
Dividiremos então por 100 três vezes:
2 250 :100 :100 :100 0,00005dm hm⇒
Isto equivale a passar a vírgula seis casas para a esquerda.
Portanto, 50 dm² é igual a 0, 00005 hm².
5) Resposta“0,000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-
17 km3”. 
Solução: Para passarmos de milímetros cúbicos para quilôme-
tros cúbicos, passaremos seis níveis à esquerda. Dividiremos então 
14 por 1000 seis vezes:
3
18 3 18
17 3 3
14 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000 :1000
14 :10 14.10
1,4.10 0.000000000000000
mm
km km
km km
−
−
⇒ ⇒
⇒ ⇒
Portanto, 0, 000000000000000014 km3, ou a 1,4 x 10-17 km3 se 
expresso em notação científica equivalem a 14 mm3.
6) Resposta “150.000 cl”.
Solução: Para irmos de hectolitros a centilitros, passaremos 
quatro níveis à direita.
Multiplicaremos então 15 por 10 quatro vezes:
15 .10.10.10.10 150.000hl cl⇒
Isto equivale a passar a vírgula quatro casas para a direita.
Logo,150.000 cl equivalem a 15 hl.
7) Resposta “5,2 kg”.
Solução: Para passarmos 5.200 gramas para quilogramas, 
devemos dividir (porque na tabela grama está à direita de qui-
lograma) 5.200 por 10 três vezes, pois para passarmos de gra-
mas para quilogramas saltamos três níveis à esquerda.
Primeiro passamos de grama para decagrama, depois de de-
cagrama para hectograma e finalmente de hectograma para qui-
lograma:
5200 :10 :10 :10 5,2g kg⇒
Isto equivale a passar a vírgula três casas para a esquerda.
Portanto, 5.200 g são iguais a 5,2 kg. 
8) Resposta “250 cm”.
Solução: Para convertermos 2,5 metros em centímetros, de-
vemos multiplicar (porque na tabela metro está à esquerda de 
centímetro) 2,5 por 10 duas vezes, pois para passarmos de me-
tros para centímetros saltamos dois níveis à direita.
Primeiro passamos de metros para decímetros e depois de de-
címetros para centímetros:
2,5 .10.10 250m cm⇒
Isto equivale a passar a vírgula duas casas para a direita.
Logo, 2,5 m é igual a 250 cm.
9) Resposta “305min”.
Solução: 
(5 . 60) + 5 = 305 min.
10) Resposta “45 min”.
Solução: 45 Min
5.4. PROPORÇÕES
5.4.1. PROPORCIONALIDADE. 
GRANDEZAS DIRETAMENTE E INVER-
SAMENTE PROPORCIONAIS. (REGRA DE 
TRÊS SIMPLES E COMPOSTA). 5.4.2. POR-
CENTAGEM, JUROS DESCONTOS SIMPLES.
5.4.3. TAXAS COMPOSTAS DE JURO E DE 
DESCONTO.
Números diretamente proporcionais
Considere a seguinte situação:
Joana gosta de queijadinha e por isso resolveu aprender 
a fazê-las. Adquiriu a receita de uma amiga. Nessa receita, os 
ingredientes necessários são:
3 ovos
1 lata de leite condensado
1 xícara de leite
2 colheres das de sopa de farinha de trigo
1 colher das de sobremesa de fermento em pó
1 pacote de coco ralado
1 xícara de queijo ralado
1 colher das de sopa de manteiga
Veja que:
- Para se fazerem 2 receitas seriam usados 6 ovos para 4 
colheres de farinha;
- Para se fazerem 3 receitas seriam usados 9 ovos para 6 
colheres de farinha;
- Para se fazerem 4 receitas seriam usados 12 ovos para 8 
colheres de farinha;
- Observe agora as duas sucessões de números:
Didatismo e Conhecimento 15
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Sucessão do número de ovos: 6 9 12
Sucessão do número de colheres de farinha: 4 6 8
Nessas sucessões as razões entre os termos correspondentes 
são iguais:
6
4
= 3
2
 9
6
= 3
2
 12
8
= 3
2
Assim: 6
4
= 9
6
= 12
8
= 3
2
 
Dizemos, então, que:
- os números da sucessão 6, 9, 12 são diretamente 
proporcionais aos da sucessão 4, 6, 8;
- o número 2
3
, que é a razão entre dois termos correspondentes, 
é chamado fator de proporcionalidade.
Duas sucessões de números não-nulos são diretamente 
proporcionais quando as razões entre cada termo da primeira 
sucessão e o termo correspondente da segunda sucessão são iguais.
Exemplo1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões 
sejam diretamente proporcionais:
2 8 y
3 x 21
Como as sucessões são diretamente proporcionais, as razões 
são iguais, isto é:
2
3
= 8
x
= y
21 
3
2 = 
x
8
 
3
2
= 
21
y
2x = 3 . 8 3y = 2 . 21
2x = 24 3y = 42
x=
24
2 y=
42
3
x=12 y=14
Logo, x = 12 e y = 14
Exemplo 2: Para montar uma pequena empresa, Júlio, César 
e Toni formaram uma sociedade. Júlio entrou com R$ 24.000,00, 
César com R$ 27.000,00 e Toni com R$ 30.000,00. Depois de 6 
meses houve um lucro de R$ 32.400,00 que foi repartido entre eles 
em partes diretamente proporcionais à quantia investida. Calcular 
a parte que coube a cada um.
Solução:
Representando a parte de Júlio por x, a de César por y, e a de 
Toni por z, podemos escrever:








==
=++
300002700024000
32400
zyx
zyx
x
24000
= y
27000
= z
30000
= x + y + z
32400 
24000 + 27000 + 30000
81000
  
Resolvendo as proporções:
x
24000
= 32400
4
8100010
10x = 96 000
x= 9 600 
y
27000
= 4
10
10y= 108 000
y= 10 800
z
3000
= 4
10
10z= 120 000
z= 12 000
Logo, Júlio recebeu R$ 9.600,00, César recebeu R$ 10.800,00 
e Toni, R$ 12.000,00.
Números Inversamente Proporcionais
Considere os seguintes dados, referentes à produção de sorvete 
por uma máquina da marca x-5:
1 máquina x-5 produz 32 litros de sorvete em 120 min.
2 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 60 min.
4 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 30 min.
6 máquinas x-5 produzem 32 litros de sorvete em 20 min.
Observe agora as duas sucessões de números:
Sucessão do número de máquinas: 1 2 4 6
Sucessão do número de minutos: 120 60 30 20
Nessas sucessões as razões entre cada termo da primeira 
sucessão e o inverso do termo correspondente da segunda são 
iguais:
1
1
120
= 21
60
= 41
30
= 61
20
= 120
Dizemos, então, que:
- os números da sucessão 1, 2, 4, 6 são inversamente 
proporcionais aos da sucessão 120, 60, 30, 20;
- o número 120, que é a razão entre cada termo da primeira 
sucessão e o inverso do seu correspondente na segunda, é chamado 
fator de proporcionalidade.
Didatismo e Conhecimento 16
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Observando que
1
1
20
 é o mesmo que 1.120=120 4
1
30
 é mesmo que 4.30=120
2
1
60
 é o mesmo que 2.60=120 6
1
20
 é o mesmo que 6.20= 120
podemos dizer que: Duas sucessões de números não-nulos são 
inversamente proporcionais quando os produtos de cada termo da 
primeira sucessão pelo termo correspondente da segunda sucessão 
são iguais.
Exemplo 1: Vamos determinar x e y, de modo que as sucessões 
sejam inversamente proporcionais:
4 x 8
20 16 y
Para que as sucessões sejam inversamente proporcionais, os 
produtos dos termos correspondentes deverão ser iguais. Então 
devemos ter:
4 . 20 = 16 . x = 8 . y
16 . x = 4 . 20 8 . y = 4 . 20
 16x = 80 8y = 80
 x = 80/16 y = 80/8
 x = 5 y = 10
Logo, x = 5 e y = 10.
Exemplo 2: Vamos dividir o número 104 em partes 
inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 4.
Representamos os números procurados por x, y e z. E como as 
sucessões (x, y, z) e (2, 3, 4) devem ser inversamente proporcionais, 
escrevemos:
4
1
3
1
2
1
zyx
== 
4
1
3
1
2
1
zyx
== =
4
1
3
1
2
1
104
++
++

zyx
 
Como, vem
Logo, os números procurados são 48, 32 e 24.
Grandezas Diretamente Proporcionais
Considere uma usina de açúcar cuja produção, nos cinco 
primeiros dias da safra de 2005, foi a seguinte:
Dias Sacos de açúcar
1 5 000
2 10 000
3 15 000
4 20 000
5 25 000
Com base na tabela apresentada observamos que:
- duplicando o número de dias, duplicou a produção de açúcar;
- triplicando o número de dias, triplicou a produção de açúcar, 
e assim por diante.
Nesse caso dizemos que as grandezas tempo e produção são 
diretamente proporcionais.
Observe também que, duas a duas, as razões entre o número de 
dias e o número de sacos de açúcar são iguais:
Isso nos leva a estabelecer que: Duas grandezas são diretamente 
proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual 
à razão entre os valores da segunda.
Tomemos agora outro exemplo.
Com 1 tonelada de cana-de-açúcar, uma usina produz 70l de 
álcool.
De acordo com esses dados podemos supor que:
- com o dobro do número de toneladas de cana, a usina produza 
o dobro do número de litros de álcool, isto é, 140l;
- com o triplo do número de toneladas de cana, a usina produza 
o triplo do número de litros de álcool, isto é, 210l.
Então concluímos que as grandezas quantidade de cana-de-
açúcar e número de litros de álcool são diretamente proporcionais.
GrandezasInversamente Proporcionais
Considere uma moto cuja velocidade média e o tempo gasto 
para percorrer determinada distância encontram-se na tabela:
Velocidade Tempo
30 km/h 12 h
60 km/h 6 h
90 km/h 4 h
120 km/h 3 h
Com base na tabela apresentada observamos que:
- duplicando a velocidade da moto, o número de horas fica 
reduzido à metade;
Didatismo e Conhecimento 17
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
- triplicando a velocidade, o número de horas fica reduzido à 
terça parte, e assim por diante.
Nesse caso dizemos que as grandezas velocidade e tempo são 
inversamente proporcionais.
Observe que, duas a duas, as razões entre os números que 
indicam a velocidade são iguais ao inverso das razões que indicam 
o tempo:
30
60
 6
12
= inverso da razão 12
 6
30
90
 4
12
= inverso da razão 12
 4
30
120
 3
12
= inverso da razão 12 3
60
90
 4
 6
= inverso da razão 6
 4
60
120
 3
 6
= inverso da razão 6
 3
90
120
 3
 6
= inverso da razão 4
 3
Podemos, então, estabelecer que: Duas grandezas são 
inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 
primeira é igual ao inverso da razão entre os valores da segunda.
Acompanhe o exemplo a seguir:
Cinco máquinas iguais realizam um trabalho em 36 dias. De 
acordo com esses dados, podemos supor que:
- o dobro do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na 
metade do tempo, isto é, 18 dias;
- o triplo do número de máquinas realiza o mesmo trabalho na 
terça parte do tempo, isto é, 12 dias.
Então concluímos que as grandezas quantidade de máquinas 
e tempo são inversamente proporcionais.
Exercícios
1- Calcule x e y nas sucessões diretamente proporcionais:
a) 1 x 7
 5 15 y
b) 5 10 y
 x 8 24
c) x y 21
 14 35 49
d) 8 12 20
 x y 35
2- Calcule x e y nas sucessões inversamente proporcionais:
a) 4 x y 
 25 20 10
b) 30 15 10
 x 8 y
c) 2 10 y
 x 9 15
d) x y 2
 12 4 6
3- Divida 132 em partes inversamente proporcionais a 2, 5 e 8.
4- Reparta 91 em partes inversamente proporcionais a 
6
1
4
1,
3
1 e .
5- Divida 215 em partes diretamente proporcionais a 
3
1
2
5,
4
3 e .
6- Marcelo repartiu entre seus filhos Rafael (15 anos) e 
Matheus (12 anos) 162 cabeças de gado em partes diretamente 
proporcionais à idade de cada um. Qual a parte que coube a Rafael?
7- Evandro, Sandro e José Antônio resolveram montar um 
pequeno negócio, e para isso formaram uma sociedade. Evandro 
entrou com R$ 24.000,00, Sandro com R$ 30.000,00, José Antônio 
com R$ 36.000,00. Depois de 4 meses tiveram um lucro de R$ 
60.000,00, que foi repartido entre eles. Quanto recebeu cada um? 
(Nota: A divisão do lucro é diretamente proporcional à quantia que 
cada um empregou.)
8- Leopoldo e Wilson jogam juntos na Sena e acertam os 
seis números, recebendo um prêmio de R$ 750.000,00. Como 
Leopoldo participou com R$ 80,00 e Wilson com R$ 70,00, o 
prêmio foi dividido entre eles em partes diretamente proporcionais 
à participação de cada um. Qual a parte que coube a Wilson?
9- O proprietário de uma chácara distribuiu 300 laranjas a três 
famílias em partes diretamente proporcionais ao número de filhos. 
Sabendo-se que as famílias A, B e C têm respectivamente 2, 3 e 5 
filhos, quantas laranjas recebeu cada família?
10- (UFAC) João, Paulo e Roberto formam uma sociedade 
comercial e combinam que o lucro advindo da sociedade será 
dividido em partes diretamente proporcionais às quantias que cada 
um dispôs para formarem a sociedade. Se as quantias empregadas 
por João, Paulo e Roberto foram, nesta ordem, R$ 1.500.000,00, 
R$ 1.000.000,00 e R$ 800.000,00, e o lucro foi de R$ 1.650.000,00, 
que parte do lucro caberá a cada um?
Didatismo e Conhecimento 18
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Respostas
1- a) x = 3 y = 35 b) x = 4 y = 30 c) x = 6 y = 15 d) x = 14 
y = 21
2- a) x = 5 y = 10 b) x = 4 y = 12 c) x = 45 y = 6 d) x = 1 y = 3
3- 80, 32, 20 
4- 21, 28, 43
5- 45, 150, 20
6- 90
7- Evandro R$16.000,00 Sandro R$20.000,00 José Antônio 
R$24.000,00
8- R$350.000,00
9- 60, 90, 150
10- João R$750.000,00 Paulo R$500.000,00 Roberto 
R$400.000,00
Resolução 04
x+y+z
--------- = x/3 ou y/4 ou z/6 (as frações foram invertidas porque 
3+4+6 as partes são inversas)
91/13=x/3
13x=273
x=21
91/13=y/4
13y=364
y=28
91/13=z/6
13z=546
z=42
Resolução 05
x/(3/4) = y/(5/2) = z/(1/3) = k (constante)
x + y + z = 215
3k/4 + 5k/2 + k/3 = 215
(18k + 60k + 8k)/24 = 215 → k = 60 
x = 60.(3/4) = 45
y = 60.(5/2) = 150
z = 60/3 = 20 
(x, y, z) → partes diretamente proporcionais
Resolução 06
x = Rafael
y = Mateus
x/15 + y /12 = 160/27 (dividindo 160 por 27 (dá 6), e fazendo 
proporções, só calcular)
x/15=6
x=90 
y/12=6
y=72
Regra de Três Simples
Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou 
inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um 
processo prático, chamado regra de três simples.
Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos 
litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?
Solução:
O problema envolve duas grandezas: distância e litros de 
álcool.
Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.
Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma 
coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem 
em uma mesma linha:
 Distância (km) Litros de álcool
 180 15
 210 x
Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), 
vamos colocar uma flecha:
 Distância (km) Litros de álcool
 180 15	
  
 210 x
Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de 
álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de 
álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos 
montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna 
“distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de 
álcool”:
 Distância (km) Litros de álcool
 180 15
 210 x
 
 
 mesmo sentido
 
 
Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:
x
15
210
180
7
6
=
 
 6x = 7 . 15 6x = 105 x = 
6
105 x = 17,5
Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool.
Exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, 
eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade 
para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?
Solução: Indicando por x o número de horas e colocando as 
grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas 
de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, 
temos:
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 4
 80 x
Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos 
colocar uma flecha:
Didatismo e Conhecimento 19
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 4 
 80 x
Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica 
reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e 
tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse 
fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha 
em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:
 
 
Velocidade (km/h) Tempo (h)
 60 480 x 
 sentidos contrários
Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das 
flechas. Assim, temos:
3
4
60
804
=
x 4x = 4 . 3 4x = 12 x = 4
12 x = 3
 
Resposta: Farei esse percurso em 3 h.
Exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um 
competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o 
percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, 
qual o tempo que ele teria gasto no percurso?
Vamos representar pela letra x o tempo procurado.
Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade 
(200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 
s e x s).
Queremos determinar um desses valores, conhecidos os 
outros três.
Velocidade Tempo gasto para fazer o percurso
200 km/h 18 s
240 km/h x
Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto 
para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são 
inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são 
inversamente proporcionais aos números 18 e x.
Daí temos:
200 . 18 = 240 . x
 3 600 = 240x
 240x = 3 600
 x = 
240
3600
 x = 15
O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.
Regra de Três Composta
O processo usado para resolver problemas que envolvem mais 
de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é 
chamado regra de três composta.
Exemplo 1: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. 
Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 
dessas peças?
Solução: Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as 
grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de 
espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na 
coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha: 
Máquinas Peças Dias
 8 160 4	
  
 6 300 x
Comparemos cada grandeza com aquela em que está o x.
As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No 
nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” 
uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”:
 
 
Máquinas Peças Dias
 8 160 4
 6 300 x
 Mesmo sentido
As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais 
(duplicando o número de máquinas, o número de dias fica reduzido 
à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na 
coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da 
coluna “dias”:
Máquinas Peças Dias
 8 160 4
 6 300 x
 Sentidos contrários
 
 
Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que 
contém o x, que é x
4
, com o produto das outras razões, obtidas 
segundo a orientação das flechas 





300
160.
8
6 :
5
1
15
8
1
2
300
160.
8
64
=
x
5
24
=
x => 2x = 4 . 5 a x = 1
2
2
5.4
 => x = 10
Resposta: Em 10 dias.
Exercícios
1. Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 
75 min. Em quantos minutos 5 torneiras completamente abertas 
encheriam esse mesmo tanque?
2. Um trem percorre certa distância em 6 h 30 min, à velocidade 
média de 42 km/h. Que velocidade deverá ser desenvolvida para o 
trem fazer o mesmo percurso em 5 h 15 min?
3. Usando seu palmo, Samanta mediu o comprimento e 
a largura de uma mesa retangular. Encontrou 12 palmos de 
comprimento e 5 palmos na largura. 
Didatismo e Conhecimento 20
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Depois, usando palitos de fósforo, mediu novamente o 
comprimento do tampo da mesa e encontrou 48 palitos. Qual 
estratégia Samanta usou para obter largura do tampo da mesa em 
palitos de fósforo?
4. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, 
imprimindo a velocidade média de 180 km/h, faz o percurso em 20 
segundos. Se a sua velocidade fosse de 200 km/h, que tempo teria 
gasto no percurso?
5. Com 3 pacotes de pães de fôrma, Helena faz 63 sanduíches. 
Quantos pacotes de pães de fôrma ela vai usar para fazer 105 
sanduíches?
6. Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar 
uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 meses de serviço, apenas 
75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem 
ser contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto?
a) 315
b) 2 2520
c) 840
d) 105
e) 1 260
7. Numa gráfica, 7 máquinas de mesmo rendimento imprimem 
50 000 cartazes iguais em 2 horas de funcionamento. Se duas 
dessas máquinas não estiverem funcionando, as 5 máquinas 
restantes farão o mesmo serviço em:
a) 3 horas e 10 minutos
b) 3 horas
c) 2 horas e 55 minutos
d) 2 horas e 50 minutos
e) 2 horas e 48 minutos
8. Funcionando 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças 
de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria são 
produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se funcionarem 9 
dias?
9. Um motociclista rodando 4 horas por dia, percorre em 
média 200 km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista vai 
percorrer 500 km, se rodar 5 horas por dia?
10. Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 
2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos 
de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias. 
Respostas
1) Resposta “30min”. 
Solução:
Como aumentar as torneiras diminui o tempo, então a regra 
de três é inversa:
5 tor. ------ 75min
2 tor. ------ x
5x = 2 . 75 = 
5x = 150 =
x = 
2) Resposta “52 km/h”.
Solução:
Como diminuir o tempo aumentaria a velocidade, então a 
regra de três é inversa:
6h30min = 390min
5h15min = 315min
315min ------ 42km/h
390min ------ x
315x = 390 . 42 = 
315x = 16380 = 
X = km/h.
3) Resposta “20 palitos de fósforo”.
Solução: Levando os dados dado no enunciado temos:
Palmos: 12 palmos de comprimento e 5 palmos de largura.
Palitos de Fósforo: 48 palitos de comprimento e x palitos de 
largura.
Portanto temos:
Comprimento Largura
12 palmos 5 palmos
48 palitos X palitos
Observe que o comprimento da mesa aumentou 4 vezes 
quando passamos de “palmo” para “palito”. O que ocorre da 
mesma forma na largura.
As grandezas são diretamente proporcionais. Daí podemos 
fazer:
Logo, concluímos que o tampo da mesa tem 20 palitos de 
fósforo de largura.
4) Resposta “18 segundos”.
Solução: Levando em consideração os dados:
Velocidade média: 180 km/h → tempo do percurso: 20s
Velocidade média: 200 km/h → tempo do percurso: ?
Vamos representar o tempo procurado pela letra x. Estamos 
relacionando dois valores de grandeza “velocidade” (180 km/h e 
200 km/h) com dois valores de grandeza “tempo” ( 20s e xs).
Conhecido os 3 valores, queremos agora determinar um 
quarto valor. Para isso, organizamos os dados na tabela:
Velocidade km/h Tempo (s)
180 20
200 x
Observe que, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo 
gasto para percorrer o percurso vai cair para a metade. Logo, as 
grandezas são “inversamente proporcionais”. Então temos:
180 . 20 = 200 . x → 200x = 3600 → 
Didatismo e Conhecimento 21
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 
200 km/h, teria gasto 18 segundos para realizar o percurso.
5) Resposta “5 pacotes”.
Solução: Analisando os dados dado no enunciado temos:
Pacotes de Pães: 3 pacotes → Sanduíches: 63.
Pacotes de Pães: x pacotes → Sanduíches: 105.
Pacotes de Pães Sanduíches
3 63
x 105
Basta fazermos apenas isso:
63 . x = 3 . 105 → 63x = 315 → 
Concluímos que ela precisará de 5 pacotes de pães de forma.
6) Resposta “D”.
Solução: Em de ano foi pavimentada de estrada
Pessoas estrada tempo
 210 75 4
 X 225 8
 = 
 = 
= 
x = 
x = 315 pessoas para o término
315 210 que já trabalham = 105 pessoas.
7) Resposta “E”.
Solução: Primeiro descobrimos quanto cada máquina produz 
por minuto. Para isso temos que dividir:Agora multiplicamos por 5 e descobrimos quanto as 5 
máquinas juntas produzem (min)
5 . 59,524 = 297, 62.
Portanto temos:
1 min --------------------- 297,62
x min --------------------- 50000
Fazendo a regra de 3 teremos:
297,62 . x = 50000 . 1 → 297,62x = 50000 → 
168 min. o que equivale a 2 horas e 48 minutos.
8) Resposta “840 peças”.
Solução: Dados:
5 máquinas em 6 dias produzem 400 peças
7 máquinas em 9 dias produzem x peças.
Organizando os dados no quadro temos:
N˚ de Máquinas 
(A)
N˚ de Máquinas 
(B)
Número de Peças 
(C)
5 6 400
7 9 x
Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e 
C. Se dobrarmos o número de dias, o número de peças também 
dobrará, Logo, as grandezas B e C são “diretamente proporcionais”.
Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A 
e C. Se dobrarmos o número de máquinas, o número de peças 
também dobrará, Logo, as grandezas A e C são “diretamente 
proporcionais”.
Quando uma grandeza é “diretamente proporcional” a duas 
outras, a variação da primeira é diferentemente proporcional ao 
produto da variação das outras duas.
De acordo com o quadro, temos:
Resolvendo a proporção:
30 . x = 63 . 400 → 30x = 25200 → 
Logo, se as máquinas funcionarem 9 dias, serão produzidas 
840 peças.
9) Resposta “4 dias”.
Solução: Dados:
4 horas por dia, 200 km em 2 dias
5 horas por dia, 500 km em x dias
Organizando um quadro temos:
N˚ km (A) N˚ horas/dias (B) Número de dias (C)
200 4 2
500 5 x
Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e 
C. Se dobrarmos o número de horas que o motociclista roda por 
dia, o número de dias que ele leva para percorrer a mesma distância 
cairá para a metade. Logo, as grandezas B e C são “inversamente 
proporcionais”.
Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas 
A e C. Se dobrarmos o número de quilômetros percorridos, o 
número de dias dobrará, considerando que o motociclista rode o 
mesmo número de horas por dia. Logo, as grandezas A e C são 
“diretamente proporcionais”.
Didatismo e Conhecimento 22
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Assim a grandeza C é diretamente proporcional à grandeza A 
e inversamente proporcional à grandeza B. Para que a variação da 
grandeza C seja diretamente proporcional ao produto da variação 
das duas outras, escrevemos a razão inversa dos valores que 
expressam a grandeza B.
A razão inversa de 
Daí, temos:
1000 . x = 2000 . 2 → 1000x = 4000 → .
10) Resposta “7260 kgs”.
Solução:
Ração Dias Bois
2420 8 2
x 12 4
Juros Simples
Toda vez que falamos em juros estamos nos referindo a uma 
quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor, pela 
utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta).
- Os juros são representados pela letra j.
- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de 
capital e é representado pela letra C.
- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela 
letra t.
- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um 
capital durante certo tempo. É representado pela letra i e utilizada 
para calcular juros.
Chamamos de simples os juros que são somados ao capital 
inicial no final da aplicação.
Devemos sempre relacionar taxa e tempo numa mesma 
unidade:
Taxa anual --------------------- tempo em anos
Taxa mensal-------------------- tempo em meses
Taxa diária---------------------- tempo em dias
Consideremos, como exemplo, o seguinte problema:
Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de 
R$ 3. 000,00, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2% ao mês. Quanto 
deverá ser pago de juros?
Resolução:
- Capital aplicado (C): R$ 3.000,00
- Tempo de aplicação (t): 4 meses
- Taxa (i): 2% ou 0,02 a.m. (= ao mês)
Fazendo o cálculo, mês a mês:
- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,02 x R$ 
3.000,00 = R$ 60,00
- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 60,00 + 
R$ 60,00 = R$ 120,00
- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 120,00 
+ R$ 60,00 = R$ 180,00
- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 180,00 
+ R$ 60,00 = R$ 240,00
Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 
240,00 de juros.
Fazendo o cálculo, período a período:
- No final do 1º período, os juros serão: i.C
- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C
- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C
-----------------------------------------------------------------------
- No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.C
Portanto, temos: 
J = C . i . t
Observações:
1) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 
2) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal.
3) Chamamos de montante (M) a soma do capital com os 
juros, ou seja: Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se 
três delas forem valores conhecidos, podemos calcular o 4º valor.
M=C+ j
Exemplo
A que taxa esteve empregado o capital de R$ 20.000,00 para 
render, em 3 anos, R$ 28.800,00 de juros? (Observação: Como o 
tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.)
C = R$ 20.000,00
t = 3 anos
j = R$ 28.800,00
i = ? (ao ano)
j = 
100
.. tiC
28 800 = 
100
3...20000 i
28 800 = 600 . i
 i = 
600
800.28
 i = 48
Resposta: 48% ao ano.
Juros Compostos
O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, 
devido aos juros, segundo duas modalidades, a saber: 
Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende 
juros. 
Didatismo e Conhecimento 23
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados 
ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também 
conhecido como “juros sobre juros”.
Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um 
capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo: 
Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. (ao 
ano) Teremos:
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples 
é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos 
é EXPONENCIAL, e, portanto tem um crescimento muito mais 
“rápido”. Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma: 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores 
particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas 
aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de 
juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples 
não se justifica em estudos econômicos. 
Fórmula para o cálculo de Juros compostos
Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a 
uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). 
Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês: 
Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)
Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)
2
Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)
3 
................................................................................................. 
Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos 
evidentemente: S = 1000(1 + 0,1)n 
De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado 
a uma taxa de juros compostos i durante o período n : S = P (1 + i)n 
onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = 
número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado. 
Nota: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à 
taxa de juros (i) e do período (n), tem de ser necessariamente iguais. 
Este é um detalhe importantíssimo, que não pode ser esquecido! 
Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, 
deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses. 
Exemplos
1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em 
função do montante S e da taxa de aplicação i por período. 
Solução: 
Temos S = P(1+i)n
Logo, S/P = (1+i)n
Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:
n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 
10), vem:
 
Temos também da expressão acima que: n.log(1 + i) = logS 
– logP 
Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros 
compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.
2– Um capital é aplicado em regime de juros compostos a 
uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este 
capital estará duplicado? 
Solução: Sabemos que S = P (1 + i)n. Quando o capital inicial 
estiver duplicado, teremos S = 2P. 
Substituindo, vem: 2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]
Simplificando, fica: 
2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.
Teremos então: n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 / 
0,00860 = 35 
Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem 
ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. 
Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de 
informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir 
o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil. 
Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe 
que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivale a 2 anos 
e 11 meses.
Resposta: 2 anos e 11 meses. 
Exercícios
1. Uma Loja de eletrodomésticos apresenta a seguinte 
oferta para a venda de um DVD player:
À vista R$ 539,00 ou
12x 63,60 = R$ 763,20.
De quanto será o acréscimo sobre o preço à vista se o 
produto for comprado em 12 vezes?
2. Calcule o juros simples gerado por um capital de 
R$ 2 500,00, quando aplicado durante 8 meses a uma taxa de 
3,5% a.m.
3. Uma aplicação financeira, feita durante 2 meses a uma 
taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1 920,00 de juro. Qual foi a 
quantia aplicada?
4. Um capital de $ 4.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à 
juros simples, à taxa de 18% a.a. Pede-se: 
a) Juros
b) Montante.
Didatismo e Conhecimento 24
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
5. Calcular o juro simples referente a um capital de 
$ 2.400,00 nas seguintes condições:
Taxa de Juros Prazo
a) 21% a.a. 1 ano
b) 21% a.a. 3 anos
6. Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00, a 
juros compostos, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2,5% a.m.?
7. Calcule o montante e os juros da aplicação abaixo, 
considerando o regime de juros compostos:
Capital Taxa de Juros Prazo de Antecipação
R$ 20.000,00 3,0% a.m. 7 meses
8. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa 
de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?
9. Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis 
meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna 
igual a R$ 477,62?
10. Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, 
quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização 
mensal, durante 1 ano.
Respostas
1) Resposta “R$ 224,20”.
Solução: Basta apenas tirar o valor à prazo sobre o à vista:
R$ 763,20 – R$ 539,00 = R$ 224,20.
2) Resposta “R$ 700,00”.
Solução: Dados:
Capital (quantia aplicada): R$ 2 500,00
Taxa de juros: 3,5 a.m.
Tempo de aplicação: 8 meses
Juro: ?
Representando o juro por x, podemos ter:
x = (3,5% de 2 500) . 8
x = (0,035 . 2 500) . 8
x = 700
Conclui-se que o juro é de R$ 700,00.
3) Resposta “R$ 32 000,00”.
Solução: Dados:
Capital (quantia plicada) ?
Taxa de juro: 3% a.m.
Tempo de aplicação: 2 meses
Juro: R$ 1 920,00
Calculando a quantia que a aplicação rendeu juro ao mês:
1 920 2 = 960
Representando o capital aplicado por x, temos:
3% de x dá 960
0,03 . x = 960
0,03x = 960
x = 
Logo, o capital aplicado foi de R$ 32 000,00.
4) Resposta “Juros: R$ 180,00; Montante R$ 4 180,00”.
Solução: 
a → J = Cin
J = 4000 {[(18/100)/12]x3}
J = 4000 {[0,18/12]x3}
J = 4000 {0,015 x 3}
J = 4000 x 0,045
J = 180,00
B → M = C + J
M = 4000 + 180
M = 4.180,00
5) Resposta “ R$ 504,00; R$ 1 512,00 ”
Solução: 
a → J = Cin
J = 2400 [(21/100)x1]
J = 2400 [0,21 x 1]
J = 2400 x 0,21
J = 504,00
b → J = Cin 
J = 2400 [(21/100)x3]
J = 2400 [0,21x3]
J = 2400 0,63
J = 1.512,00
6) Resposta “17 661,01”.
Solução: Dados:
C: 16000
i: 2,5% a.m.
n: 4 meses.
( )
[ ] [ ] 17.661,01 =→=→=→+=→






+= 



+=
 M 1 1,10381289 x 16000 M
4
 1,025 16000 M
4
 0,0251 16000 M
4
100
2,5
 1 16000 M
ni1CM
( )
[ ] [ ] 17.661,01 =→=→=→+=→






+= 



+=
 M 1 1,10381289 x 16000 M
4
 1,025 16000 M
4
 0,0251 16000 M
4
100
2,5
 1 16000 M
ni1CM
7) Resposta “24 597,48”.
Solução: Dados:
C: 20000
i: 3,0% a.m.
Didatismo e Conhecimento 25
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
n: 7 meses.
( )
[ ] [ ] 24.597,48 =→=→=→+=→






+= 



+=
 M 5 1,22987368 x 20000 M
7
 1,03 20000 M
7
 0,031 20000 M
7
100
3
 1 20000 M
ni1CM
( )
[ ] [ ] 24.597,48 =→=→=→+=→






+= 



+=
 M 5 1,22987368 x 20000 M
7
 1,03 20000 M
7
 0,031 20000 M
7
100
3
 1 20000 M
ni1CM
8) Resposta “R$ 238,73”.
Solução: Dados:
C = R$ 500
i = 5% = 0,05
n = 8 (as capitalizações são mensais)
M = C . (1 + i)n => M = 500 × (1,05)8 => M = R$ 738,73
O valor dos juros será:
J = 738,73 – 500
J = R$ 238,73
9) Resposta “ R$ 400,00”.
Solução: 
M = R$ 477,62
i = 3% = 0,03
n = 6 (as capitalizações são trimestrais)
M = C × (1 + i)n 
477,62 = C × (1,03)6 
C = 19405,1
62,477
C = R$ 400,00.
10) Resposta “R$ 2.693,78”.
Solução:
Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitali-
zação é mensal. 
A taxa efetiva é, portanto, 60% 12 = 5% ao mês.
C = R$ 1.500
i = 5% = 0,05
n = 12
M = C . (1 + i)n 
M = 1.500 × (1,05)12 
M = 1.500 × 1,79586
M = R$ 2.693,78
5.5. CÁLCULO ALGÉBRICO
5.5.1. OPERAÇÕES COM EXPRESSÕES 
ALGÉBRICAS. 5.5.2. IDENTIDADES 
ALGÉBRICAS NOTÁVEIS. 5.5.3. POLINÔ-
MIOS. OPERAÇÕES. DIVISÃO POR X-A. 
RAÍZES. FATORAÇÃO. RELAÇÃO ENTRE 
COEFICIENTES E RAÍZES.
Expressões Algébricas são aquelas que contêm números e 
letras.
Ex: 2ax²+bx
Variáveis são as letras das expressões algébricas que repre-
sentam um número real e que de princípio não possuem um valor 
definido. 
Valor numérico de uma expressão algébrica é o número que 
obtemos substituindo as variáveis por números e efetuamos suas 
operações. 
Ex: Sendo x =1 e y = 2, calcule o valor numérico (VN) da 
expressão: 
x² + y » 1² + 2 =3 Portando o valor numérico da expressão 
é 3.
Monômio: os números e letras estão ligados apenas por pro-
dutos. 
Ex : 4x 
Polinômio: é a soma ou subtração de monômios. 
Ex: 4x+2y 
Termos semelhantes: são aqueles que possuem partes literais 
iguais ( variáveis ) 
Ex: 2 x³ y² z e 3 x³ y² z » são termos semelhantes pois pos-
suem a mesma parte literal. 
Adição e Subtração de expressões algébricas 
Para determinarmos a soma ou subtração de expressões algé-
bricas, basta somar ou subtrair os termos semelhantes. 
Assim: 2 x³ y² z + 3x³ y² z = 5x³ y² z ou 2 x³ y² z - 3x³ y² z 
= -x³ y² z 
Convém lembrar dos jogos de sinais. 
Na expressão ( x³ + 2 y² + 1 ) – ( y ² - 2 ) = x³ +2 y² + 1 – y² 
+ 2 = x³ + y² +3 
Multiplicação e Divisão de expressões algébricas
Na multiplicação e divisão de expressões algébricas, devemos 
usar a propriedade distributiva.
Exemplos:
1) a ( x+y ) = ax + ay 
2) (a+b)(x+y) = ax + ay + bx + by 
3) x ( x ² + y ) = x³ + xy 
Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a 
base e somamos os expoentes. 
Didatismo e Conhecimento 26
PROGRAMA DE MATEMÁTICA
Na divisão de potências devemos conservar a base e subtrair 
os expoentes
Exemplos:
1) 4x² : 2 x = 2 x
2) ( 6 x³ - 8 x ) : 2 x = 3 x² - 4
3) (x4 - 5x3 + 9x2 - 7x+2) :(x2 - 2x + 1) = x2 - 3x +2
Resolução:
x4 - 5x3 + 9x2 - 7x+2 x2 - 2x + 1
-x4 + 2x3 - x2 x2 - 3x + 2
 -3x3 + 8x2 -7x
 3x3 - 6x2 -3x
 2x2 - 4x + 2
 -2x2 + 4x - 2
 0
Para iniciarmos as operações devemos saber o que são termos 
semelhantes. 
Dizemos que um termo é semelhante do outro quando suas 
partes literais são idênticas.
Veja: 
5x2 e 42x são dois termos, as suas partes literais são x2 e x, as 
letras são iguais, mas o expoente não, então esses termos não são 
semelhantes. 
7ab2 e 20ab2 são dois termos, suas partes literais são ab2 e ab2, 
observamos que elas são idênticas, então podemos dizer que são 
semelhantes. 
Adição e subtração