Construções Geométricas aula 02

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Construções Geométricas 
 
Aula 02 
 
 
 
 
 
Prof. Atacílio Alves - Maio de 2021 
20 Periodo 
Triângulos 
Condição de existência de um triângulo 
Só irá existir um triângulo se, somente se, os seus lados 
obedeceram à seguinte regra: um de seus lados deve ser maior 
que o valor absoluto (módulo) da diferença dos outros dois 
lados e menor que a soma dos outros dois lados. Veja o 
resumo da regra abaixo: 
 
| b - c | < a < b + c 
| a - c | < b < a + c 
| a - b | < c < a + b 
Exemplo: 
Com os três segmentos de reta medindo 5cm, 10cm e 9cm, podemos 
formar um triângulo? 
Vamos aplicar a regra da condição de existência de um triângulo para 
todos os lados. 
|10 – 9| < 5 < 10 + 9 
1 < 5 <19 (VERDADEIRO) 
 
|9 – 5| < 10 < 9 + 5 9 cm 5 cm 
4 < 10 < 14 (VERDADEIRO) 
 
|5 – 10| < 9 < 10 + 5 
5 < 9 < 15 (VERDADEIRO) 10 cm 
 
Quando um lado não obedece à regra não é possível existir um triângulo. 
Atenção: os ângulos suplementares são aqueles cuja soma é 
igual a 180° 
 
 
 = 30° 
 
 
Então 
 β = 150° 
Ângulos complementares são aqueles cuja soma resulta em 90° 
 
 
 
 
 = 30° 
 
Então 
 β = 60° 
 
Exemplo: 
01) Determine o valor de x: 
 
 
 
 
 
• Sabendo que a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 
180°, precisamos somar os ângulos cedidos pelo exemplo e igualar 
a esse valor. 
• 60 + 60 + X = 180 
120 + X = 180 
X = 60° 
 
2) Sabendo que o valor de α é igual à soma dos seus dois ângulos 
internos, obtemos que: 
 
 
 
 
 
α = 60 + 40 
 α = 100° 
 
03) Encontre o valor do ângulo X, Y e Z 
 
 
 
 
 
Em um primeiro momento, percebemos que o ângulo X e o de 75° 
formam, juntos, um ângulo raso que equivale a 180°. Desse modo: 
 X + 75 = 180 
X = 180 – 75 
X = 105° 
 
 
 
 
 
 
O ângulo Y e o de 120°, assim como os outros dois acima 
somados formam um ângulo de 180°. 
 Y + 120 = 180 
Y = 180 – 120 
Y = 60° 
 
 
 
 
 
 
 
Agora que conhecemos X e Y podemos realizar a soma dos ângulos internos, 
que equivale a 180°, a fim de descobrir o valor da incógnita Z. 
 Y = 60° e X = 105° 
 X + Y + Z = 180 
105 + 60 + Z = 180 
Z = 180 – 165 
Z = 15° 
 
Observe B 
 α 
 raio 
 
 α o 
 A raio 114° / 2 = 57° 
 
 
2 α = 57° 
Como α = β temos 2 α = α + β = 57° 
Ângulos 
Retas paralelas cortadas por uma transversal 
Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam 
ângulos alternos internos, colaterais internos, alternos 
externos e colaterais externos. Retas paralelas são aquelas que 
não se interceptam em nenhum ponto. 
Uma reta é transversal à outra se ambas apresentam apenas 
um ponto em comum 
 
Dois ângulos que são alternos internos ou alternos externos são 
congruentes 
 
 
 
 
 
 
 alternos externos alternos internos 
Dois ângulos que são colaterais internos ou colaterais externos 
são suplementares, ou seja, a soma dos dois é igual à 1800 
A figura a seguir mostra exemplos de ângulos colaterais externos 
(em azul) e colaterais internos (em amarelo). 
 
 
 
 
Exmeplos: 
1) Calcule a medida dos ângulos em destaque na figura a seguir. 
 
 
 
 
 
Sabendo que ângulos alternos internos são iguais, podemos escrever 
a seguinte equação: 
8x – 60 = 4x + 20 => 8x – 4x = 20 + 60 =>4x = 80 =>x = 80 => x = 20 
 4 
 
Exemplos: 
1) Calcule a medida dos ângulos em destaque na figura a seguir. 
 
 
 = 100° 
 
 100° = 
 
 
Como x = 20° 
8x – 60 = 8*20 - 60 = 100° 
4x + 20 = 4*20+20 = 100° 
 
2) Dadas as retas paralelas cortadas por uma transversal a seguir, 
calcule os valores dos ângulos a e b 
 
 
 r 
 
 s 
Observe que os ângulos em azul são alternos externos. A 
propriedade para eles é de que ângulos alternos externos são 
congruentes, por isso, podemos escrever: 
 20x – 40 = 10x + 40 => 20x – 10x = 40 + 40 => 10x = 80 => x = 80 => x=8 
 10 
 
 
2) Dadas as retas paralelas cortadas por uma transversal a seguir, calcule os valores dos ângulos 
a e b 
 
 
 =120° 
 
 
 
 120° = 
 
 
 
Já que x=8, então a medida de cada um desses ângulos é: 
10x + 40 = 10·8 + 40 = 80 + 40 = 120° 
 
 
 
 
 
 
2) Dadas as retas paralelas cortadas por uma transversal a seguir, calcule os valores dos ângulos 
a e b 
 
 
 120° = =120° 
 
 = 60° 
 
 120° = 
 
 
 
 
O ângulo b é oposto pelo vértice, por isso, mede 120°. 
 
O ângulo a é adjacente, por isso, é suplementar a 120°. Logo, a = 60° 
 
 
 
3) Dadas as retas paralelas cortadas por uma transversal a seguir, 
calcule a + b. r 
 
 
 s 
 
Observe que a é oposto pelo vértice a 5x – 10 e é correspondente a 
3x + 18. Dessa forma, podemos concluir que 5x – 10 é alterno externo 
a 3x + 18. Assim, podemos escrever: 
5x – 10 = 3x + 18 => 5x – 3x = 18 + 10 => 2x = 28 => x = 28 => x=14 
 2 
 
 
3) Dadas as retas paralelas cortadas por uma transversal a seguir, 
calcule a + b. r 
 = 60° 
 
 60°= 
 s 
 
Como x = 14, cada ângulo azul mede: 
 5x – 10 = 5·14 – 10 = 70 – 10 = 60° 
 
 
 
3) Dadas as retas paralelas cortadas por uma transversal a seguir, 
calcule a + b. 
 = 60° 
 120°= 
 60°= 
 
 = 60° 
Como a é oposto pelo vértice a 60°, a = 60°. Como b é adjacente 
a 60°, b é suplementar a 60°, logo, b = 120°. 
Logo a + b = 60° + 120° = 180°