Alglie - Luiz A B San Martin

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Álgebras de Lie
Luiz A. B. San Martin
29 de março de 2020
2
Sumário
Prefácio 11
Prefácio da segunda edição 15
1 Conceitos básicos 17
1.1 Definição e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.2 Generalidades algébricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.1 Morfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.2.2 Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.3 Quocientes e teoremas de isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.2.4 Soma direta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.2.5 Extensão do corpo de escalares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3 Representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.3.1 Representação adjunta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.3.2 Construções com representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.3.3 Decomposições de representações . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.3.4 Lema de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.4 Derivações e produtos semidiretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.1 Derivações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.4.2 Produtos semidiretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1.5 Séries de composição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.1 Série derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
1.5.2 Série central descendente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
1.6 Álgebras solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
1.7 Álgebras nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1.8 Radicais solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.9 Álgebras simples e álgebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.10 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 Álgebras nilpotentes e solúveis 59
2.1 Álgebras nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1.1 Representações nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.1.2 Decomposições de Jordan de representações . . . . . . . . . . . 64
2.2 Álgebras solúveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4
2.3 Radicais nilpotentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3 Critérios de Cartan 79
3.1 Derivações e suas decomposições de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.2 Critérios de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.3 Aplicações às álgebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
3.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4 Subálgebras de Cartan 103
4.1 Subálgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.2 A abordagem algébrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
4.3 Apêndice: Teorema da aplicação aberta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118
4.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
5 Cohomologia 125
5.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.2 Interpretações de H1 e H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.1 Existência de complementares e H1 . . . . . . . . . . . . . . . . 130
5.2.2 Extensões abelianas e H2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
5.2.3 Representações afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
5.3 Lemas de Whitehead . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.4 Teoremas de Weyl e Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.1 Teorema de decomposição de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.4.2 Teorema de decomposição de Levi . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
5.5 Álgebras redut́ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
5.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6 Álgebras semi-simples 149
6.1 Representações de sl(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
6.2 Subálgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.3 A fórmula de Killing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
6.4 Sistemas simples de ráızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.5 Matrizes de Cartan e diagramas de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.5.1 Matrizes de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
6.5.2 Diagramas de Dynkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7 Diagramas de Dynkin 181
7.1 Classificação dos diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
7.2 Realizações dos diagramas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
7.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
5
8 Álgebras semi-simples. Complementos 195
8.1 Álgebras isomorfas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
8.2 Álgebras clássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
8.3 Subálgebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
8.4 Álgebras excepcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.4.1 Construção de G2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
8.4.2 E6, E7 e E8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
8.4.3 F4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
8.5 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
9 Grupos de Weyl 237
9.1 Sistemas de ráızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.2 Grupos de Weyl e sistemas simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
9.3 Decomposições minimais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
9.4 Câmaras de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
9.5 Automorfismos de Π . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
9.6 Elementos de ordem 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
9.7 Os grupos de Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
9.7.1 Diagramas excepcionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275
9.8 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
10 Álgebras envelopantes 281
10.1 Álgebras universais envelopantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
10.2 Teorema de Ado e complementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
10.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
11 Representações de álgebras semi-simples 299
11.1 Representações irredut́ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
11.2 Representações fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
11.3 Álgebras de Clifford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
11.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
12 Álgebras semissimples reais 335
12.1 Formas reais e álgebras simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335
12.2 Formas reais compactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
12.3 Decomposições de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353
12.4 Abelianos maximais e formas reais normais . . . . . . . . . . . . . . . . 357
12.5 Álgebras clássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361
12.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366
13 Álgebrassemissimples reais não compactas 369
13.1 Subálgebras de Cartan distinguidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
13.2 Diagramas de Satake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
13.3 Subálgebras de Cartan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381
13.4 Álgebras clássicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
13.4.1 Formas reais de Al = sl (n,C), n = l + 1 . . . . . . . . . . . . . 391
13.4.2 Formas reais de Bl = so (2l + 1,C) . . . . . . . . . . . . . . . . 398
13.4.3 Formas reais de Cl = sp (l,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
13.4.4 Formas reais de Dl = so (2l,C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
13.5 Apêndice: prinćıpio do máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
13.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
14 Sistemas de ráızes com involuções 401
14.1 Sistemas restritos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
14.2 Diagramas de Satake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
14.2.1 Diagramas Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
14.3 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
15 Álgebras simples reais. Classificação 431
15.1 Automorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
15.2 Sistemas de ráızes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
15.3 Diagramas de Satake . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
15.4 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
16 Representações de álgebras reais 457
16.1 Tipos de representações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457
16.2 Representações conjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461
16.3 Índice de representações autoconjugadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
16.4 Álgebras semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
16.5 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475
16.6 Exerćıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477
A Álgebra Linear 479
A.1 Quocientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
A.2 Decomposição primária e formas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . 480
A.3 Formas bilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
A.4 Espaços reais e complexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
A.4.1 Formas de Jordan reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484
A.4.2 Realificações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
A.5 Álgebra tensorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487
Referências bibliográficas 493
Índice 497
Para
Nita,
Chica e
Zénesto
com carinho
Prefácio
O objetivo deste livro é oferecer um texto introdutório às álgebras de Lie. O mate-
rial apresentado fornece ao leitor os prinćıpios fundamentais das álgebras de Lie de
dimensão finita, desde as primeiras noções até resultados profundos que envolvem a
classificação e as representações das álgebras semi-simples.
As álgebras de Lie formam o aparato básico do que é conhecido genericamente
por teoria de Lie. Essa teoria teve suas origens por volta de 1870 a partir da idéia,
aparentemente singela, de abordar as equações diferenciais sob o mesmo ponto de vista
que o adotado por Galois para equações algébricas. O programa, lançado por Sophus
Lie e Felix Klein, consistia em estudar as equações diferenciais via seus grupos de
simetrias. Esse programa colocou em evidência os grupos cont́ınuos de transformações
para os quais foi criada, ao longo dos anos, uma extensa teoria com ramificações nas
mais diversas áreas da matemática e de suas aplicações.
A alavanca básica na criação desse vasto corpo do conhecimento matemático foi a
descoberta, feita por S. Lie, dos grupos infinitesimais ou – como se diz hoje em dia –
das álgebras de Lie. Os resultados pioneiros da teoria, que foram posteriormente deno-
minados de teoremas de Lie, estabelecem a relação entre os grupos de transformações
– denominados atualmente grupos de Lie – e as álgebras de Lie, através da aplicação
exponencial. Esses teoremas mostraram desde cedo uma das caracteŕısticas da teoria
de Lie que é a de contrapor os conceitos complementares de grupos e álgebras de Lie.
Os grupos de Lie têm uma natureza geométrica enquanto que as álgebras de Lie são
objetos algébricos por excelência.
Este livro considera apenas as álgebras de Lie. Virtualmente o único pré-requisito
necessário para sua leitura é a álgebra linear, tanto no que diz respeito à linguagem
quanto aos resultados preliminares. Boa parte dos argumentos se reduzem, em última
instância, a uma aplicação do teorema das formas canônicas de Jordan. Aliás, os
conceitos e resultados da teoria das álgebras de Lie de dimensão finita estendem os
da álgebra linear, formando uma continuação natural da mesma. Com o objetivo de
situar o leitor foi inclúıdo, ao final do livro, um apêndice sobre álgebra linear, onde são
comentados os principais resultados e a terminologia utilizada ao longo do texto.
Os diferentes caṕıtulos contêm uma introdução que descreve o seu conteúdo. É
conveniente, no entanto, fazer aqui um comentário sobre os mesmos. No caṕıtulo 1 são
introduzidos os conceitos, a terminologia a ser usada ao longo de todo o texto. Sua
leitura é imprescind́ıvel àqueles que se deparam com as álgebras de Lie pela primeira
vez. Este caṕıtulo é recheado de exemplos: quase nenhum conceito é apresentado sem
ser acompanhado dos exemplos que melhor o representem. O caṕıtulo 2 apresenta dois
11
12 Prefácio
resultados que remontam os primórdios da teoria das álgebras de Lie. Eles descrevem,
por alto, as álgebras nilpotentes e as álgebras solúveis como sendo – em essência –
álgebras de matrizes triangulares superiores. Esses são os teoremas de Engel e de Lie,
que aparecem de forma recorrente nos desenvolvimentos posteriores. Já o caṕıtulo 3 é
dedicado aos critérios de Cartan. Esses critérios servem para decidir se uma álgebra de
Lie é solúvel ou semi-simples, em termos de uma forma bilinear na álgebra – a forma
de Cartan-Killing. Eles desempenharam um papel fundamental tanto nos trabalhos de
Elie Cartan de classificação das álgebras simples quanto nos trabalhos posteriores de
formalização da teoria. O conceito de subálgebra de Cartan é onipresente na teoria
das álgebras semi-simples. Esse conceito é introduzido no caṕıtulo 4, cujo resultado
principal é o teorema que garante que duas subálgebras de Cartan arbitrárias são
conjugadas entre si por um automorfismo da álgebra. Esse resultado é demonstrado de
duas formas diferentes: uma delas, de natureza mais concreta, restrita a álgebras sobre
o corpo dos reais (ou complexos) e outra para corpos arbitrários. Nessas demonstrações
aparecem um dos poucos casos, ao longo de todo o texto, em que é necessário lançar
mão de recursos que extrapolam o contexto da álgebra linear. A demonstração, no
caso das álgebras reais, se utiliza do teorema das funções impĺıcitas; já o caso geral
requer resultados de geometria algébrica que generalizam, para funções polinomiais, o
teorema da função impĺıcita. O caṕıtulo 5 contém uma introdução à cohomologia das
álgebras de Lie. O termo introdução aqui deve ser tomado ao pé da letra, já que logo
após as definições o objetivo é dirigido à demonstração de dois teoremas que fazem
parte do folclore da teoria. São eles o teorema de Weyl sobre as representações das
álgebras semi-simples e o teorema de Levi que decompõe uma álgebra de Lie arbitrária
como soma direta de uma álgebra semi-simples e uma álgebra solúvel. Esses teoremas
são demonstrados a partir dos lemas de Whiteheadsobre cohomologias de álgebras
semi-simples.
Com os cinco primeiros caṕıtulos se conclui o trabalho árduo de fundamentação da
teoria das álgebras de Lie. A partir dáı, com o domı́nio da linguagem, o leitor pode
apreciar os seus valores estéticos. Os caṕıtulos 6 e 7 apresentam o cerne de uma das
mais belas teorias em voga nos dias de hoje: a teoria de Killing e Cartan de classificação
das álgebras simples. Essa teoria tira o leitor, entre surpreso e atônito, de uma postura
abstrata e geral e o transporta a um mundo habitado por seres especiais como os
ângulos de 120◦, 135◦ e 150◦ ou os números inteiros ±1, ±2 e ±3. Esses caṕıtulos
são complementados pelo caṕıtulo 8, onde, por um lado, se concluem alguns aspectos
formais da classificação e, por outro, são apresentadas as álgebras simples de forma
concreta. Essas se constituem das álgebras clássicas, que são realizadas como álgebras
de matrizes, e das álgebras excepcionais. O caṕıtulo 9 é, em prinćıpio, independente
das álgebras de Lie. São estudados áı certos grupos de transformações lineares gerados
por reflexões, os grupos de Weyl. No entanto, esses grupos proporcionam uma visão
panorâmica dos sistemas de ráızes, em cima dos quais é feita a classificação das álgebras
simples. Além do mais, os grupos de Weyl aparecem como uma ferramenta importante
nos desenvolvimentos posteriores.
Os nove primeiros caṕıtulos formam o corpo central da teoria das álgebras de Lie
de dimensão finita. A partir dáı existem bifurcações e o leitor pode escolher o cami-
Prefácio 13
nho de acordo com seus interesses. Uma possibilidade é a teoria de representação das
álgebras semi-simples. Uma introdução a essa teoria é feita no caṕıtulo 11 onde são
apresentados os teoremas sobre as representações com pesos máximos e são caracteri-
zadas as representações irredut́ıveis de dimensão finita das álgebras semi-simples sobre
corpos algebricamente fechados. Essas representações são dadas por conjuntos finitos
de inteiros não-negativos e dentre elas são selecionadas algumas – ditas fundamentais
– a partir das quais se obtêm as demais representações via o produto tensorial. As re-
presentações fundamentais das álgebras clássicas são apresentadas com detalhes. Isso
exigiu que se fizesse uma discussão sobre as álgebras de Clifford, uma vez que algumas
das representações das álgebras das matrizes anti-simétricas são spinoriais. A teoria
de representação de álgebras semi-simples é imensa, sendo ainda hoje em dia um ob-
jeto de pesquisa. Nesse sentido, o conteúdo do caṕıtulo 11 é apenas introdutório e
não discute assuntos relevantes como, por exemplo, os caráteres das representações de
dimensão finita. A leitura do caṕıtulo 11 requer o teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt
sobre álgebras universais envelopantes, que é o objetivo principal do caṕıtulo 10. Nesse
caṕıtulo foi inclúıdo ainda o teorema de Ado sobre representações de dimensão finita
de álgebras de Lie.
Numa outra vertente, os caṕıtulos 12 a 16 são dedicados às álgebras semi-simples
reais. O caṕıtulo 12 contém as construções básicas tais como a das formas reais com-
pactas e a decomposição de Cartan de uma álgebra real não-compacta. O material
deste caṕıtulo é suficiente para a leitura de boa parte dos textos que envolvem álgebras
semi-simples reais como, por exemplo, a literatura sobre espaços simétricos ou a es-
trutura dos grupos de Lie semi-simples não-compactos. Independente disso, o caṕıtulo
12 abre caminho para a classificação das álgebras simples reais que é feita nos dois
caṕıtulos subseqüentes. A abordagem adotada aqui para essa classificação, que não é
a mais comum na literatura do gênero, consiste em determinar os diagramas de Sa-
take, o que é feito no caṕıtulo 14, com a classificação propriamente dita sendo feita
no caṕıtulo 15. Por fim, o caṕıtulo 16 é dedicado à representação das álgebras semi-
simples reais não-compactas. O que se faz áı não é uma classificação detalhada dessas
representações, mas apenas uma indicação de como essas representações são extráıdas
das representações das álgebras complexas correspondentes.
Os caṕıtulos todos são acompanhados de listas de exerćıcios. A maioria deles são
resolvidos por uma aplicação direta dos resultados do texto e têm o propósito, como
em qualquer lista de exerćıcios, de auxiliar o leitor a desenvolver uma intuição sobre
o assunto. Alguns dos exerćıcios, porém, contêm resultados relevantes e interessantes,
que por uma razão ou outra não encontraram espaço no texto, mas foram inclúıdos
como exerćıcios para efeito de informação ao leitor. Muitos desses exerćıcios têm uma
demonstração envolvente e por isso eles aparecem com sugestões detalhadas ou com
uma referência à literatura.
Ao final de muitos caṕıtulos foi inclúıda uma seção intitulada “Notas”, que contém
comentários adicionais sobre a teoria, principalmente de caráter histórico e bibliográ-
fico. Essas notas não têm pretensão à erudição e servem apenas para dar algumas
indicações dos caminhos (e descaminhos) percorridos no desenvolvimento da teoria.
O fato é que a história da teoria de Lie é amplamente documentada, com diversos
14 Prefácio
textos acesśıveis (veja, por exemplo, Borel [5], Cartan [6], Fritzsche [17], Hawkins [19]
e Wussing [52]); torna-se irresist́ıvel reproduzir algumas de suas passagens.
As referências bibliográficas procuram fornecer um amplo espectro de textos e ar-
tigos de pesquisa sobre a teoria de Lie, não se restringindo às álgebras de Lie especifi-
camente. Ao percorrê-la o leitor encontrará referências aos grupos de Lie, aos grupos
algébricos, à teoria de representação (de dimensão finita ou infinita), à teoria de semi-
grupos de Lie e a aplicações da teoria de Lie.
Este livro foi escrito ao longo dos últimos quatro ou cinco anos. Durante esse
peŕıodo tive a oportunidade de utilizar parte do material em cursos de pós-graduação
no Instituto de Matemática (Imecc) da Unicamp, para estudantes de mestrado e dou-
torado. Nesses cursos (semestrais) adotava como conteúdo mı́nimo os caṕıtulos de 1
a 7 e parte dos caṕıtulos 8 (incluindo as álgebras clássicas) e 9; dependendo das cir-
cunstâncias, apresentava uma exposição mais detalhada do caṕıtulo 9 ou o caṕıtulo 11
(incluindo os pré-requisitos da seção 10.1) ou ainda o caṕıtulo 12 sobre álgebras semi-
simples reais. Espero que esta experiência sirva como sugestão àqueles que pretendam
utilizar este texto em algum projeto didático envolvendo a teoria de Lie.
Por fim, gostaria de expressar meus agradecimentos às diversas pessoas que, de al-
guma forma, participaram da confecção deste livro, apresentando sugestões, apontando
diversas falhas nas versões preliminares e manifestando o seu apoio. Em particular,
sou grato a todos estudantes que participaram dos cursos de álgebras de Lie no Imecc.
Agradeço em especial à colaboração de meus amigos e colegas Carlos Braga Barros,
José Adonai Seixas, Marco Antonio Fernandes, Marcelo Firer, Osvaldo do Rocio, Paulo
Ruffino e Pedro Catuogno.
Barão Geraldo, fevereiro, 1999
Luiz A. B. San Martin
Prefácio da 2a edição
Para esta edição o texto original foi revisado e algumas (poucas) modificações foram
feitas. As mais significativas estão nos caṕıtulos 4 (subálgebras de Cartan) e 5 (coho-
mologia). A abordagem algébrica da seção 4.2 se iniciava com a demonstração do
teorema da aplicação aberta da geometria algébrica (e fatos relacionados). Essa de-
monstração foi colocada na nova seção 4.3, como um apêndice ao caṕıtulo 4. Agora a
seção 4.2 inclui apenas a demonstração geral da conjugação das sugálgebras de Cartan,
usando livremente o teorema da aplicação aberta. Já no caṕıtulo 5 a subseção 5.2.3,
sobre representações afins, foi reescrita e ampliada. O texto original estava impreciso
e incompleto.Afora isso foram feitas modificações localizadas, tais como a inclusão de uma ou
outra proposição ou corolário para melhor explicitar afirmações que poderiam passar
desapercebidas. Isso sem contar, é claro, os inevitáveis erros de impressão ou digitação.
Foram inclúıdos também novos exerćıcios ao final dos caṕıtulos.
Agradeço a todos da comunidade de professores e estudantes que manifestaram o
apreço pela primeira edição, alguns de forma calorosa. Agradeço também aos alunos
e professores que usaram o livro ao longo desses dez anos e apontaram defeitos e
apresentaram sugestões.
Barão Geraldo, setembro de 2009
Luiz A. B. San Martin
15
Caṕıtulo 1
Conceitos básicos
Este é um caṕıtulo introdutório, formado em sua maior parte pelas definições dos
conceitos que formam a linguagem básica da teoria das álgebras de Lie. Esses con-
ceitos são fartamente ilustrados por exemplos que devem servir de guia na leitura dos
caṕıtulos subseqüentes. Os resultados (proposições, teoremas etc.) inclúıdos aqui não
têm um caráter profundo e servem, em sua maioria, para dar continuidade à exposição
e articular entre si os diferentes conceitos.
1.1 Definição e exemplos
Uma maneira natural de iniciar um texto sobre álgebras de Lie é, sem dúvida, com a
definição do que vem a ser uma álgebra de Lie. Por isso,
Definição 1.1 Uma Álgebra de Lie consiste de um espaço vetorial g munido de um
produto ( colchete ou comutador)
[ , ] : g× g −→ g
com as seguintes propriedades:
1. é bilinear,
2. anti-simétrico, isto é, [X,X] = 0 para todo X ∈ g (o que implica [X, Y ] =
−[Y,X] para todo X, Y ∈ g e é equivalente se o corpo de escalares não é de
caracteŕıstica dois) e
3. satisfaz a identidade de Jacobi , isto é, para todo X, Y, Z ∈ g,
[X, [Y, Z]] + [Z, [X, Y ]] + [Y, [Z,X]] = 0.
Esta igualdade pode ser reescrita alternativamente de uma das duas formas
(a) [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X,Z]]
17
18 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
(b) [[X, Y ], Z] = [[X,Z], Y ] + [X, [Y, Z]].
Existem razões especiais para escrever a identidade de Jacobi nestas formas; veja
a seguir representações adjuntas e derivações de álgebras de Lie.
Em geral, uma álgebra é um espaço vetorial g munido de um produto, isto é, uma
aplicação de g×g a valores em g. Qualquer aplicação deste tipo que mereça o nome de
produto deve ser bilinear. A anti-simetria e a identidade de Jacobi são caracteŕısticas
das álgebras de Lie. Outros tipos de álgebras têm outros tipos de propriedades que a
definem. Existem por exemplo as álgebras associativas , para as quais a propriedade
adicional é x(yz) = (xy)z. Aqui convém observar que o colchete de Lie não é, em geral,
associativo, pois em qualquer circunstância [[X,X], Y ] = 0 e no entanto [X, [X, Y ]] nem
sempre se anula.
Existe uma grande variedade de exemplos de álgebras de Lie, todos eles interessan-
tes, desde o ponto de vista da teoria em si como das aplica ções desta teoria aos grupos
de Lie. Antes de ver alguns destes exemplos, no entanto, é conveniente introduzir a
noção, óbvia, de subálgebra de Lie.
Definição 1.2 Seja g uma álgebra de Lie. Uma subálgebra de g é um subespaço veto-
rial h de g que é fechado pelo colchete, isto é, [X, Y ] ∈ h se X, Y ∈ h.
Evidentemente, uma subálgebra de Lie é uma álgebra de Lie com a estrutura her-
dada pela estrutura de g.
Exemplos: A maioria dos exemplos que serão apresentados aqui são de subálgebras
da álgebra de Lie das transformações lineares. Por isso, o primeiro exemplo deve ser:
1. gl(n,K) : o espaço de todas as transformações lineares de um espaço vetorial de
dimensão n sobre o corpo K que é o mesmo que o espaço das matrizes n×n com
coeficientes em K. O colchete é dado por
[X, Y ] = XY − Y X
com X e Y matrizes. Estas álgebras aparecerão adiante com bastante freqüência.
Muitas vezes elas serão indicadas por gl(n) apenas, sem especificar o corpo quando
este não for relevante. Da mesma forma, a álgebra das transformações lineares
de um espaço vetorial V será denotada por gl(V ).
Este exemplo se estende para espaços de transformações lineares de espaços ve-
toriais que não são de dimensão finita, com o colchete dado da mesma forma pelo
comutador. Um exemplo mais geral ainda é formado pela seguinte famı́lia de
álgebras de Lie.
2. Álgebras de Lie provenientes de álgebras associativas : Seja A uma álgebra asso-
ciativa e em A defina o colchete pelo comutador
[x, y] = xy − yx x, y ∈ A.
Este colchete define em A uma estrutura de álgebra de Lie.
1.1. Definição e exemplos 19
3. Álgebras abelianas : [ , ] = 0. Neste caso, a estrutura de álgebra de Lie não
acrescenta nada à estrutura de espaço vetorial.
Exemplos de álgebras abelianas
(a) Se dim g = 1, g é abeliana.
(b) Todo subespaço de dimensão 1 de uma álgebra de Lie qualquer é uma sub-
álgebra abeliana.
(c) O espaço das matrizes diagonais é uma subálgebra abeliana de gl(n,K).
(d) O espaço das matrizes da forma
a1 −b1
b1 a1
. . .
ak −bk
bk ak
 ,
como subálgebra de gl(2k,K), é uma álgebra abeliana.
Todo subespaço de uma álgebra abeliana é uma subálgebra.
4. Subálgebras de gl(n,K):
(a) so (n,K) = {X ∈ gl (n,K) : X + X t = 0} onde X t indica a transposta da
matriz X.
O espaço das matrizes simétricas
{X ∈ gl(n,K : X = X t}
não é subálgebra se n ≥ 2, pois se X e Y são simé tricas, então [X, Y ] é
anti-simétrica.
(b) sl(n,K) = {X ∈ gl(n,K) : trX = 0}. Como no caso de gl(n), muitas vezes
se denotará estas álgebras apenas por sl(n).
(c) O subespaço das matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal
{X ∈ gl (n,K) : X =
 0 ∗. . .
0 0
}
é uma subálgebra.
(d) O subespaço das matrizes triangulares superiores
{X ∈ gl(n,K) : X =
 a1 ∗. . .
0 an
}
é uma subálgebra.
20 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
(e) sp (n,K) = {X ∈ gl(2n,K) : XJ + JX t = 0} onde J é escrito em blocos
n× n como
J =
(
0 −1
1 0
)
com 0 representando a matriz nula e 1 a matriz identidade n × n. Para
ver que este subespaço é de fato uma subálgebra, observe em primeiro lugar
que J2 = −1 e, portanto, X ∈ sp (n,K) se e só se X t = JXJ . Se X, Y ∈
sp (n,K), então
[X, Y ]t = (XY − Y X)t
= −X tY t + Y tX t
= −JXJ2Y J + JY J2XJ
= J(XY − Y X)J
= J [X, Y ]J,
isto é, [X, Y ] ∈ sp (n,K).
(f) so (p, q,K) = {X ∈ gl (n,K) : XJ + JX t = 0} onde
J =
(
−1p×p 0
0 1q×q
)
.
Para ver que este subespaço é uma subálgebra, procede-se como no exemplo
anterior, utilizando o fato de que J2 = 1 e, portanto, que X ∈ so (p, q,K)
se e só se X t = −JXJ . Os casos p = 0 ou q = 0 se reduzem a so (n).
(g) u (n) = {X ∈ gl(n,C) : X + X t = 0} onde X é a matriz obtida de X por
conjugação de suas entradas.
Este conjunto não é um subespaço vetorial complexo de gl (n,C) (por exem-
plo, iX + (iX)
t
= iX − iX t, que em geral é não-nulo). Mas é subespaço
vetorial real de gl(n,C) quando este é considerado como espaço vetorial so-
bre R. u(n) é álgebra de Lie sobre o corpo dos reais (não é dif́ıcil verificar
que é fechado pelo colchete). Ela é denominada de á lgebra unitária por ser
a álgebra de Lie do grupo das matrizes unitárias.
(h) su(n) = {X ∈ u(n) : trX = 0}.
5. Álgebras de dimensão ≤ 2 :
(a) dim g = 1. Então, g é abeliana.
(b) dim g = 2. Existem duas possibilidades
i. g é abeliana
ii. Existe uma base {X, Y } de g tal que
[X, Y ] = Y
1.2. Generalidades algébricas 21
e a partir dáı, o colchete de dois elementos quaisquer de g é dado por
[aX + bY, cX + dY ] = (ad− bc)[X, Y ] = (ad− bc)Y.
De fato, suponha que g não seja abeliana e tome uma base {X ′, Y ′}
de g. Então, [X ′, Y ′] 6= 0, pois caso contrário g seria abeliana. Seja
Y ′′ = [X ′, Y ′] e escolha X ′′ tal que {X ′′, Y ′′} seja base de g. Então,
X ′′ = aX ′ + bY ′, Y ′′ = cX ′ + dY ′ e
[X ′′, Y ′′] = αY ′′
com α 6= 0 (pois {X ′′, Y ′′} é base e dáı que se α = 0 a álgebra seria
abeliana). Os elementos X = 1
α
X ′′ eY = Y ′′ formam a base requerida.
As álgebras de Lie
g = {
(
a b
0 −a
)
: a, b ∈ K} e g = {
(
a b
0 0
)
: a, b ∈ K}
são exemplos concretos de álgebras bidimensionais não-abelianas. 2
1.2 Generalidades algébricas
As generalidades algébricas, a que se refere o t́ıtulo desta seção, são as noções de
morfismo, quociente, produto etc. Essas noções fazem sentido e funcionam da mesma
forma para uma grande variedade de estruturas algébricas e serão catalogadas, a seguir,
para as álgebras de Lie.
1.2.1 Morfismos
Definição 1.3 Uma transformação linear ψ : g→ h (com g e h álgebras de Lie) é um
• homomorfismo se ψ[X, Y ] = [ψX,ψY ];
• isomorfismo se for um homomorfismo inverśıvel;
• automorfismo se é um isomorfismo e g = h.
As álgebras g e h são isomorfas se existe um isomorfismo ψ : g→ h.
Exemplos:
1. Os homomorfismos entre as álgebras abelianas são as transformações lineares.
Duas álgebras abelianas são isomorfas se e só se elas têm a mesma dimensão.
2. Se ψ : g → h é homomorfismo e h é abeliana então kerψ contém todos os
elementos da forma [X, Y ], X, Y ∈ g, pois ψ[X, Y ] = [ψX,ψY ] = 0.
22 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
3. A aplicação traço
tr : gl(n,K) −→ K
é um homomorfismo, pois tr(XY − Y X) = 0 para quaisquer transformações
lineares X, Y e, portanto, tr[X, Y ] = 0 = [trX, trY ], já que K, por ser de
dimensão um, é uma álgebra abeliana.
4. Seja P uma transformação linear inverśıvel do espaço vetorial V . Então, a con-
jugação por P
A ∈ gl(V ) 7−→ PAP−1 ∈ gl(V )
é um automorfismo de gl(V ). 2
Uma forma de verificar que álgebras de Lie de dimensão finita são isomorfas é
através do colchete entre elementos de suas bases. Seja g uma álgebra de Lie e
{X1, . . . , Xn} uma base de g. Tomando dois elementos Xi, Xj desta base, o colchete
entre eles [Xi, Xj] pode ser escrito como combinação linear
[Xi, Xj] =
∑
k
ckijXk .
Os coeficientes ckij são denominados de constantes de estrutura da álgebra em relação
à base. Estas constantes determinam a álgebra, a menos de isomorfismo. De fato, seja h
uma álgebra de Lie com uma base {Y1, . . . , Yn} com as mesmas constantes de estrutura
ckij que g. Seja também a transformação linear ψ: g→ h tal que ψ(Xi) = Yi. Então,
ψ[X, Y ] =
∑
ijk
aibjckijψ (Xk) =
∑
ij
aibj[Yi, Yj] = [ψX,ψY ]
onde ai e bj; i, j = 1, . . . , n são as coordenadas de X e Y respectivamente em relação
à base de g. Isto mostra que ψ é um isomorfismo e, portanto, que g e h são isomorfas.
As constantes de estrutura satisfazem as igualdades para todo i, j, k,m:
ckij = −ckji∑
l
(
clijc
m
lk + c
l
jkc
m
li + c
l
kic
m
lj
)
= 0
com a primeira delas devido à anti-simetria do colchete e a segunda à identidade de
Jacobi. Reciprocamente, pode-se verificar que dadas as constantes ckij satisfazendo
essas duas igualdades, elas são as constantes de estrutura de uma álgebra de Lie, isto
é, partindo de uma base {X1, . . . , Xn} de um espaço vetorial, definindo [Xi, Xj] = ckijXk
e estendendo por bilinearidade, obtém-se uma álgebra de Lie no espaço vetorial cujas
constantes de estrutura são ckij.
Estes fatos não são nada surpreendentes e dizem apenas que para conhecer uma
álgebra de Lie, a menos de isomorfismo, é suficiente conhecer os colchetes dos elementos
de uma base. A partir dáı, pode-se incluir mais um exemplo na lista anterior.
Exemplo: A menos de isomorfismo, existem apenas duas álgebras de Lie de di-
mensão dois. Uma delas é a abeliana e a outra é a que admite uma base {X, Y } tal
que [X, Y ] = Y . 2
1.2. Generalidades algébricas 23
1.2.2 Ideais
Definição 1.4 Um subespaço h ⊂ g é um ideal se
∀Y ∈ h, X ∈ g, [X, Y ] ∈ h,
isto é,
[g, h] = ger{[X, Y ] : X ∈ g, Y ∈ h} ⊂ h.
É claro que todo ideal é subálgebra. Nem toda subálgebra, no entanto, é ideal.
Por exemplo, o subespaço de sl(2,R) gerado por
(
1 0
0 −1
)
é uma subálgebra por ser
unidimensional. Não é, porém, um ideal pois
[
(
1 0
0 −1
)
,
(
0 1
0 0
)
] =
(
0 2
0 0
)
.
Todo subespaço de uma álgebra abeliana é um ideal.
As propriedades da soma e da intersecção de ideais e subálgebras estão catalogadas
na seguinte tabela onde h1 e h2 denotam subespaços de uma álgebra de Lie g:
h1 h2 h1 + h2 h1 ∩ h2
ideal ideal ideal ideal
subálgebra ideal subálgebra subálgebra
subálgebra subálgebra ? subálgebra
Para verificar essa tabela, basta recorrer às definições. O sinal ? significa que a soma
de duas subálgebras não é, em geral, uma subálgebra. Uma situação t́ıpica é a soma
de dois subespaços unidimensionais. Cada um deles é uma subálgebra e, no entanto,
o colchete entre eles pode sair do subespaço de dimensão dois que os contém. Por
exemplo, sejam h1 e h2 os subespaços de sl(2,R) gerados por
(
1 0
0 −1
)
e
(
0 1
1 0
)
respectivamente. Como
[
(
1 0
0 −1
)
,
(
0 1
1 0
)
] =
(
0 2
−2 0
)
,
h1 + h2 não é subálgebra.
Seja ψ : g → h um homomorfismo. As seguintes afirmações são de verificação
imediata
• kerψ é um ideal.
• imψ é uma subálgebra.
24 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
1.2.3 Quocientes e teoremas de isomorfismo
Definição 1.5 Seja g uma álgebra de Lie e h ⊂ g um ideal. No espaço vetorial
quociente g/h, defina
[X,Y ] = [X, Y ],
onde X̄ denota a classe X + h.
Como é usual, na construção de quocientes, deve-se mostrar que a definição do
colchete é independente dos representantes X e Y e define em g/h uma estrutura
de álgebra de Lie. A verificação desses fatos pode ser feita diretamente sem maiores
problemas. Além do mais, a projeção canônica
π : g −→ g/h
X 7−→ X
é um homomorfismo sobrejetor de álgebras de Lie.
Nessa construção, é imprescind́ıvel que h seja um ideal. Se for apenas uma sub-
álgebra, o colchete no quociente não fica bem definido; diferentes representantes dão
diferentes colchetes.
Relacionado com os homomorfismos e as álgebras quocientes, existem os
Teoremas de isomorfismo:
1. Seja ψ : g→ h um homomorfismo. Então,
g/ kerψ ≈ imψ.
O isomorfismo é dado por X̄ ∈ g/ kerψ 7→ ψ(X) ∈ imψ. A demonstração deste
teorema é a usual.
2. Sejam g álgebra de Lie e h1, h2 ⊂ g ideais de g . Então,
(h1 + h2)/h1 ≈ h2/h1 ∩ h2.
O isomorfismo é obtido passando ao quociente o homomorfismo
x1 + x2 ∈ h1 + h2 7→ x̄2 ∈ h2/h1 ∩ h2.
Exemplos:
1. Suponha que g se escreve como soma direta
g = h1 + h2
com h1 ideal e h2 subálgebra. Então, g/h1 ≈ h2. O isomorfismo é dado por
X ∈ h2 7→ X̄ ∈ g/h1.
1.2. Generalidades algébricas 25
2. O subconjunto
z = {a1 ∈ gl(n,K) : a ∈ K}
é um ideal de gl(n,K) pois a identidade comuta com todas as transformações
lineares. Além do mais, gl(n,K) = z⊕ sl(n,K) e dáı que, pelo exemplo anterior,
gl(n,K)/z ≈ sl(n,K)
3. Sejam
g = {X ∈ gl(3,K) : X =
 0 ∗ ∗0 0 ∗
0 0 0
}
e
h = {X ∈ gl(3,K) : X =
 0 0 ∗0 0
0
}.
h é ideal de g pois para todo X ∈ h, Y ∈ g, [X, Y ] = 0. O quociente g/h é uma
álgebra abeliana bidimensional pois dados X, Y ∈ g, [X, Y ] ∈ h. A álgebra g é
conhecida como álgebra de Heisenberg. 2
1.2.4 Soma direta
Definição 1.6 Sejam g1, . . . , gn álgebras de Lie e
g = g1 ⊕ · · · ⊕ gn
sua soma direta como espaços vetoriais. Isto é, g = g1 × · · · × gn com a estrutura
vetorial produto. Para X = (X1, . . . , Xn) e Y = (Y1, . . . , Yn), a expressão
[X, Y ] = ([X1, Y1], . . . , [Xn, Yn])
define em g uma estrutura de álgebra de Lie em que a i-ésima componente é um ideal
isomorfo a gi.
De forma semelhante, pode-se definir o produto direto e a soma direta de infinitos
termos.
1.2.5 Extensão do corpo de escalares
Sejam g uma álgebra de Lie sobre um corpo K e K uma extensão de K. Seja também gK
o espaço vetorial sobre K extensão de g. Os elementos de gK são da forma X =
∑
aiXi
com ai ∈ K, Xi ∈ g. Para X =
∑
aiXi, Y =
∑
bjYj ∈ gK, defina
[X, Y ] =
∑
aibj[Xi, Yj] ∈ gK.
Esse colchete define em gK uma álgebra de Lie, como pode ser verificado facilmente.
Formalmente, o espaço vetorial gK é definido como o produto tensorialsobre K, gK =
26 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
g⊗K K que contém g por X ∈ g 7→ X ⊗ 1 ∈ g⊗K e é um espaço vetorial sobre K por
a(X ⊗ b) = X ⊗ ab se X ∈ g e a, b ∈ K.
Exemplos:
1. gl (n,C) é (isomorfo a) gl (n,R)C pois X ∈ gl(n,C) é da forma X =
∑
ajXj, Xj ∈
gl(n,R), aj ∈ C. O mesmo ocorre com os demais exemplos 1.1 (exceto u (n) e
su (n)); o complexificado das álgebras obtidas com K = R é, em cada um dos
casos, a mesma álgebra, mas com K = C.
2. Seja u(n) a álgebra unitária, que é uma álgebra de Lie sobre R. Então, u (n)C é
isomorfa a gl(n,C). De fato, X ∈ gl (n,C) pode ser escrito como X = A+B com
A e B matrizes complexas e A anti-simétrica (At = −A) e B simétrica (Bt = B)
(tome A = (X −X t)/2 e B = (X +X t)/2). Tem-se A = A1 + iA2 com A1 e A2
anti-simétricas reais (i =
√
−1). Da mesma forma, B = B1 + iB2 com B1 e B2
simétricas reais. Como matrizes do tipo A+iB com A e B reais, A anti-simétrica
e B simétrica pertencem a u(n), qualquer elemento de gl(n,C) pode ser escrito
como Z + iW com Z,W ∈ u(n), e dáı a afirmação. 2
1.3 Representações
Seja V um espaço vetorial e gl(V ) a álgebra de Lie das transformações lineares de V .
Seja também g uma álgebra de Lie (sobre o mesmo corpo de escalares que V ). Uma
representação de g em V é um homomorfismo
ρ : g −→ gl(V ).
Na terminologia usual, V se denomina o espaço da representação enquanto que
sua dimensão é a dimensão da representação. Uma representação ρ é dita fiel se
ker ρ = {0}.
A noção de representação vem da idéia de descrever (representar) as álgebras de Lie
como álgebras de transformações lineares. No caso das representações fiéis, g ≈ im g
e, portanto, a álgebra pode ser vista como uma subálgebra de transformações lineares
(ou matrizes se a dimensão é finita). Essa idéia de considerar álgebras de Lie como
subálgebras de transformações lineares é realizada, pelo menos ao ńıvel teórico, para
as álgebras de Lie de dimensão finita. Isso se deve a um resultado bastante conhecido
– o teorema de Ado, que será considerado no caṕıtulo 10 – que afirma que toda álgebra
de Lie de dimensão finita admite uma representação fiel também de dimensão finita.
Exemplos:
1. Se g ⊂ gl(V ) é subálgebra, a inclusão define, trivialmente, uma representação de
g em V denominada representação canônica.
1.3. Representações 27
2. Seja g a álgebra de Lie de dimensão dois não-abeliana e tome uma base {X, Y }
de g tal que [X, Y ] = Y . A única transformação linear ρ : g → gl(n,K) que
satisfaz
ρ(X) =
(
1/2 0
0 −1/2
)
ρ(Y ) =
(
0 1
0 0
)
define uma representação fiel de g . Sua imagem é
im ρ = {
(
a b
0 −a
)
: a, b ∈ K}.
Esta representação é a que fornece uma das realizações apresentadas anterior-
mente para estas álgebras bidimensionais não-abelianas.
3. A aplicação
(
a b
c −a
)
∈ sl(2,K) 7−→
 2a −2b 0−c 0 b
0 2c −2a
 ∈ gl(3,K)
é uma representação de sl (2). De fato, seja a base {X,H, Y } de sl(2,K) onde
X =
(
0 1
0 0
)
H =
(
1 0
0 −1
)
Y =
(
0 0
1 0
)
.
Suas constantes de estrutura são dadas por
[H,X] = 2X [H,Y ] = −2Y [X, Y ] = H.
As imagens dos elementos desta base formam uma base de im ρ que tem as
mesmas constantes de estrutura.
4. Seja C∞(Rn) o espaço das aplicações f : Rn → Rn de classe C∞. Para A ∈
gl(n,R), defina ρ(A) : C∞(Rn)→ C∞(Rn) por
(ρ(A)f)(x) = dfx(Ax) x ∈ Rn;
onde dfx denota a diferencial de f em x, isto é, ρ(A)f é a derivada de f na direção
de Ax. Não é dif́ıcil verificar que ρ define uma representação. 2
Um módulo sobre uma álgebra de Lie g é um espaço vetorial V juntamente com
uma operação de multiplicação g × V → V , denotada por (X, v) 7→ Xv, que satisfaz,
para X, Y ∈ g, u, v ∈ V e um escalar x, as seguintes propriedades:
1. (X + Y ) v = Xv + Y v,
2. X (u+ v) = Xu+Xv,
3. xXv = X (xv),
28 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
4. [X, Y ]v = XY v − Y Xv.
Em um módulo V cada X ∈ g define uma aplicação linear de V por multiplicação
à esquerda
v ∈ V 7−→ Xv ∈ V.
Em virtude das propriedades de módulo, essas aplicações lineares definem uma repre-
sentação de g em V . Vice-versa, dada uma representação ρ de g em V , o produto
g× V → V dado por
(X, v) 7−→ Xv = ρ (X) v
define um módulo sobre g. Em outras palavras, os conceitos de módulo e de repre-
sentação são equivalentes.
1.3.1 Representação adjunta
Para um elemento X na álgebra de Lie g, considere a transformação linear
ad(X) : g −→ g
definida por ad(X)(Y ) = [X, Y ]. A aplicação
ad : X ∈ g 7−→ ad(X) ∈ gl (g)
define uma representação de g em g, denominada representação adjunta. O fato de
ad ser linear provém da bilinearidade do colchete. Já a propriedade de homomor-
fismo de ad é equivalente à identidade de Jacobi. De fato, a igualdade ad([X, Y ]) =
ad(X) ad(Y )− ad(Y ) ad(X) é a mesma que
[[X, Y ], Z] = [[X,Z], Y ] + [X, [Y, Z]]
para todo Z ∈ g. Esta expressão é exatamente uma das formas da identidade de Jacobi
apresentada na definição de álgebras de Lie.
O núcleo da representação adjunta é denominado de centro de g e é denotado por
z (g):
z (g) = {X ∈ g : ad(X)(Y ) = [X, Y ] = 0 para todo Y ∈ g}.
Isto é, o centro de uma álgebra de Lie é o conjunto de seus elementos que comutam
com todos os seus elementos. A terminologia aqui segue a da teoria de grupos como
toda a terminologia da teoria de álgebras de Lie. Evidentemente, z (g) é um ideal de g.
De forma mais geral, o centralizador de um subconjunto A ⊂ g é definido como
sendo
z(A) = {Y ∈ g : ∀X ∈ A, [X, Y ] = 0}.
É claro, o centralizador de g é o próprio centro (e, portanto, a notação é consis-
tente). Por outro lado, o centralizador de um conjunto unitário {X} é precisamente
o núcleo ker ad(X). Além do mais, o centralizador do conjunto A é a intersecção dos
1.3. Representações 29
centralizadores de seus elementos, o que acarreta que o centralizador decresce com o
aumento do conjunto.
Para qualquer A ⊂ g, z(A) é uma subálgebra, pois se X, Y ∈ z(A) e Z ∈ A, então
[[X, Y ], Z] = [[X,Z], Y ] + [X, [Y, Z]] = 0,
pela identidade de Jacobi. No entanto, z(A) nem sempre é um ideal como ocorre com
o centro.
Antes de ver alguns exemplos, é conveniente que se faça o seguinte comentário sobre
notações: se h ⊂ g é uma subálgebra e X ∈ h, a notação ad(X) pode significar tanto
uma transformação linear de g quanto de h. Muitas vezes é necessário distinguir esses
dois casos. Quando isso ocorre, o usual é indicar a álgebra com um sub́ındice. Por
exemplo, adh(X) é uma transformação linear de h.
Exemplos:
1. A representação adjunta de uma álgebra abeliana g é trivial, isto é, para todo
X ∈ g, ad(X) = 0.
2. A representação do exemplo 3 da página 27 é a representação adjunta de sl(2,K);
as matrizes de ad(X), ad(H) e ad(Y ) na base {X,H, Y } são, respectivamente, 0 −2 00 0 1
0 0 0
  2 0 00 0 0
0 0 −2
  0 0 0−1 0 0
0 2 0
 .
3. Seja
g = {X ∈ gl(3,K) : X =
 0 ∗ ∗0 0 ∗
0 0 0
}
a álgebra de Heisenberg. Tome a base {X, Y, Z} com
X =
 0 1 00 0 0
0 0 0
 Y =
 0 0 00 0 1
0 0 0
 Z =
 0 0 10 0 0
0 0 0
 .
Suas constantes de estrutura são dadas por [X, Y ] = Z e os outros colchetes são
todos nulos. Dáı que ad(Z) = 0 e as matrizes de ad(X) e ad(Y ) na base dada
são
[ad(X)] =
 0 0 00 0 0
0 1 0
 [ad(Y )] =
 0 0 00 0 0
−1 0 0
 .
O centro z (g) é o subespaço gerado por Z e coincide com o ideal apresentado
no exemplo 3 da página 25. Como foi mencionado naquele exemplo, g/z (g) é
uma álgebra abeliana. Fato este que pode ser verificado diretamente a partir dos
colchetes descritos acima.
30 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
4. Sejam g a álgebra não-abeliana bidimensional e {X, Y } uma base de g tal que
[X, Y ] = Y . Nesta base, as matrizes de ad(X) e ad(Y ) são
[ad(X)] =
(
0 0
0 1
)
[ad(Y )] =
(
0 0
−1 0
)
.
A representação adjunta é dada, portanto, por
[ad(aX + bY )] =
(
0 0
−b a
)
que é, sem dúvida, uma representaçãofiel, isto é, o centro desta álgebra é trivial.
5. Em gl (n,K) seja Eij a matriz cuja i, j-ésima entrada é 1 e as demais são todas
nulas. Seja H a matriz diagonal
H = diag{λ1, . . . , λn}.
Então, ad(H)Eij = (λi−λj)Eij. Como {Eij}i,j=1,...,n forma uma base de gl(n,K),
ad(H) é diagonalizável e os seus autovalores são λi−λj, i, j = 1, . . . , n, associados
aos autovetores Eij respectivamente. O centralizador de H contém a subálgebra
das matrizes diagonais e coincide com essa subálgebra se e só se λi 6= λj para
todo i 6= j. 2
1.3.2 Construções com representações
Representações equivalentes
Sejam ρ1 e ρ2 duas representações de uma mesma álgebra de Lie g nos espaços V1
e V2 respectivamente. Elas são ditas equivalentes se existe um isomorfismo linear
P : V1 → V2 tal que
ρ2(X) ◦ P = P ◦ ρ1(X) (1.1)
para qualquer X ∈ g. Vice-versa, dados uma representação ρ1 e um isomorfismo linear
P , definindo ρ2 a partir da expressão acima, obtém-se uma representação isomorfa a
ρ1. O isomorfismo P que realiza a equivalência entre as representações é denominado
operador de intercâmbio entre ρ1 e ρ2.
De maneira mais geral, se ρ1 e ρ2 satisfazem (1.1) com P linear, diz-se que P é uma
aplicação entre as representações ρ1 e ρ2.
Soma direta de representações
Sejam g uma álgebra de Lie e ρ1, . . . , ρn representações de g em V1, . . . , Vn, respectiva-
mente. Defina
ρ : g −→ gl(V1 ⊕ · · · ⊕ Vn)
por ρ(X) = ρ1(X) ⊕ · · · ⊕ ρn(X). Então, como pode ser verificado sem maiores pro-
blemas, ρ define uma representação em V1 ⊕ · · · ⊕ Vn denominada de soma direta das
representações ρi. Em forma de matrizes, ρ se escreve em blocos como
1.3. Representações 31
ρ =
 ρ1 . . .
ρn
 .
Produto tensorial de representações
Sejam g uma álgebra de Lie e ρi, i = 1, . . . , n representações de g em Vi. Defina
ρ : g −→ gl(V1 ⊗ · · · ⊗ Vn)
por
ρ(X) = ρ1(X)⊗ 1⊗ · · · ⊗ 1 + · · · + 1⊗ · · · ⊗ ρn(X) (1.2)
onde 1 representa a identidade em cada um dos espaços. Então, como pode ser
verificado diretamente a partir das definições, ρ define uma representação de g em
V1 ⊗ · · · ⊗ Vn. Este é o produto tensorial das representações.
No caso particular em que n = 2 o produto tensorial é
ρ(X)(u⊗ v) = ρ(X)u⊗ v + u⊗ ρ(X)v.
Vale a pena observar que a aplicação ρ(X) = ρ1(X) ⊗ ρ2(X) não define uma re-
presentação já que não é linear. A motivação para definir o produto tensorial de
representações como acima vem do produto tensorial de representações de grupos de
Lie. A idéia é que se ρ1, . . . , ρn são representações de um grupo, então, o produto
tensorial ρ1(g) ⊗ · · · ⊗ ρn(g) ainda é uma representação do grupo. Por outro lado,
uma representação de um grupo de Lie induz uma representação de sua álgebra de Lie
por intermédio de derivadas da forma d/dt (ρ(exp tX))t=0. Como a derivada de um
produto é a soma das derivadas de cada parcela, a representação da álgebra fica sendo
uma soma como em (1.2).
A representação ρ definida aqui será denotada por ρ1 ⊗ · · · ⊗ ρn. Essa notação,
apesar de permitir uma interpretação equivocada, é mais compacta que a notação ao
pé da letra
ρ1 ⊗ · · · ⊗ 1 + · · ·+ 1⊗ · · · ⊗ ρn,
e não deve gerar confusão se fica claro que se trata de representações de álgebras de
Lie.
Representações duais
Dada uma representação ρ de g em V , pode-se tomar a representação ρ∗ de g no dual
V ∗ de V dada pela fórmula
ρ∗(X)(λ) = −λ ◦ ρ(X) λ ∈ V ∗.
A verificação de que ρ∗ definida desta forma é, de fato, uma representação, é ime-
diata. O sinal negativo que aparece nessa definição é necessário para que os colchetes
apareçam na ordem certa.
A representação ad∗ em g∗ dual da representação adjunta é denominada repre-
sentação co-adjunta .
32 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
Restrições de representações
Seja ρ uma representação de g em V e suponha que W seja um subespaço invariante
por ρ, isto é,
∀X ∈ g, ρ(X)W ⊂ W.
A aplicação
ρ|W : X ∈ g 7−→ ρ(X)|W ∈ gl(W )
define uma representação de g em W .
A soma e a intersecção de subespaços invariantes são também invariantes.
Quocientes de representações
Seja ρ uma representação de g em V e W ⊂ V um subespaço invariante pela repre-
sentação. A aplicação
ρ̄W : g −→ gl(V/W )
definida por X 7→ ρ(X) é uma representação. Aqui, ρ(X) : V/W → V/W é a única
transformação linear que comuta o diagrama
V/W - V/W
ρ(X)
V - V
ρ(X)
? ?
π π
onde π : V → V/W denota a projeção canônica. A existência de ρ(X) vem do fato de
W ser invariante.
Extensão do Corpo de escalares
Dada uma álgebra de Lie g sobre um corpo K, é posśıvel estender esse corpo de es-
calares para todas as representações de g pelo processo usual de extensão: sejam ρ
uma representação de g em V e K uma extensão de K. Denotando por gK e VK as
extensões de g e V , respectivamente, pode-se definir para cada X ∈ g a extensão de
ρ(X) a VK. Como os elementos de gK são combinações lineares, com coeficientes em
K, de elementos de g, esse processo define, como é fácil verificar, uma representação
de gK em VK. Essas extensões são bastante úteis em diversas situações, principalmente
quando deseja-se trabalhar com corpos algebricamente fechados.
1.3. Representações 33
Exemplos:
1. O produto tensorial de uma representação com a representação dual coincide com
(ou melhor, é equivalente a) a representação adjunta na álgebra das transforma-
ções lineares do espaço da representação. Para ver isso, tome uma representação
ρ de g em V . O espaço gl(V ) das transformações lineares de V é naturalmente
isomorfo ao produto tensorial V ⊗ V ∗. O isomorfismo é definido nos elementos
de V ⊗ V ∗ da forma v ⊗ λ, v ∈ V e λ ∈ V ∗ por v ⊗ λ 7→ A ∈ gl(V ), onde
A(w) = λ(w)v, w ∈ V e nos demais elementos por extensão linear. Tomando a
representação σ = ρ⊗ 1 + 1⊗ ρ∗ em V ⊗ V ∗,
σ(X)(v ⊗ λ) = ρ(X)v ⊗ λ− v ⊗ (λ ◦ ρ(X)) .
O segundo membro desta igualdade é levado pelo isomorfismo natural entre V ⊗
V ∗ e gl(V ) na transformação linear ρ(X)A − Aρ(X) onde A é a transformação
associada a v ⊗ λ, isto é, σ é equivalente à representação adjunta de g em gl(V )
induzida por ρ.
2. Seja
g = {(a, b, c) =
 0 a c0 0 b
0 0 0
 : a, b, c ∈ K}
a álgebra de Heisenberg e ρ a representação em K3 dada pela inclusão. Se
{e1, e2, e3} denota a base canônica de K3, os subespaços W1 e W2 gerados por
{e1} e {e1, e2}, respectivamente, são invariantes por ρ.
Restrições:
(a) ρ|W1 = 0
(b) ρ|W2 avaliado em (a, b, c) é a transformação linear que tem por matriz(
0 a
0 0
)
na base {e1, e2}.
Quocientes:
(a) ρ̄W1 avaliado em (a, b, c) tem por matriz
(
0 b
0 0
)
na base {ē2, ē3}.
(b) ρ̄W2 = 0.
3. Um subespaço h ⊂ g é invariante pela representação adjunta se e só se h é um
ideal de g. Nesse caso, a imagem da representação quociente é a representação
adjunta de g/h. 2
34 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
1.3.3 Decomposições de representações
Uma representação ρ de g em V é dita irredut́ıvel se os únicos subespaços invariantes
por ρ são os triviais {0} e V .
A representação é dita completamente redut́ıvel se V se decompõe como
V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vn
com cada Vi invariante e tal que a restrição de ρ a Vi é irredut́ıvel. Dito de outra
maneira, ρ é completamente redut́ıvel se ela é isomorfa à soma direta ⊕iρ|Vi de repre-
sentações irredut́ıveis. Em geral, a decomposição de V em componentes irredut́ıveis
não é única (serão vistos exemplos a seguir). Apesar dos nomes, uma representa-
ção irredut́ıvel é sempre completamente redut́ıvel. As representações completamente
redut́ıveis são denominadas também representações semi-simples .
A afirmação contida na proposição a seguir fornece um critério, bastante utilizado,
para verificar se uma representação é completamente redut́ıvel.
Proposição 1.7 Seja ρ uma representação de dimensão finita de g em V . Então, ρ é
completamente redut́ıvelse e só se todo subespaço invariante admite um complementar
invariante, isto é,
(?) para todo W ⊂ V invariante, existe W1 também invariante tal que
V = W ⊕W1.
Demonstração: Assumindo (?), suponha que V não é irredut́ıvel (caso contrário
não existe nada a demonstrar) e tome um subespaço invariante, não-trivial, W . Existe
então W1 invariante tal que
V = W ⊕W1.
Esta soma direta é a decomposição desejada se tanto W quanto W1 forem irredut́ıveis.
Suponha, portanto, que um deles, por exemplo W , é redut́ıvel. Então, é posśıvel
quebrar W através da seguinte afirmação crucial
(??) W também satisfaz (?).
De fato, seja W ′ ⊂ W invariante. Então,
W ′ ⊕W1 ⊂ V
é invariante pois uma soma de subespaços invariantes é invariante. Como V satisfaz
(?), existe W2 invariante tal que
V = (W ′ ⊕W1)⊕W2.
O subespaço (W1⊕W2)∩W é invariante pois a intersecção de subespaços invariantes
também é invariante. Por isso, para verificar (??) é suficiente mostrar que
W = ((W1 ⊕W2) ∩W )⊕W ′. (1.3)
1.3. Representações 35
Seja x ∈ W ′ e suponha que x ∈ W1 ⊕W2. Então, x = y + z com y ∈ W1 e z ∈ W2.
Como x − y ∈ W ′ ⊕ W1, da igualdade x − y = z se tira que x − y = z = 0 e dáı
que x ∈ W ′ ∩W1, de onde se conclui que x = 0. Isso mostra que a soma do segundo
membro de (1.3) é direta. Agora, dado x ∈ W , pode-se escrever
x = x1 + x2 + x3
com x1 ∈ W ′, x2 ∈ W1, x3 ∈ W2. Então, x2 + x3 = x − x1 ∈ W , mostrando que W é
realmente a soma dos subespaços em (1.3) e, portanto, (??).
A partir de agora, a decomposição de V em subespaços invariantes e irredut́ıveis
é obtida por indução, decompondo sucessivamente os subespaços que aparecem nas
decomposições. Como V é de dimensão finita esse procedimento é realizável.
Para a rećıproca, usa-se indução sobre a dimensão de V .
Se dimV = 1 não existe nada a se demonstrar. Para dimensões maiores, escreva
V = V1 ⊕ · · · ⊕ Vn
com cada Vi invariante e irredut́ıvel. Seja W ⊂ V invariante. Cada W ∩Vi é invariante
e como os subespaços Vi são irredut́ıveis, W ∩ Vi = {0} ou Vi para todo i. Existem
duas possibilidades:
Caso 1) Para algum i, por exemplo i = 1, W ∩ V1 = V1, isto é, V1 ⊂ W . Então,
W = V1 ⊕ (W ∩ (V2 ⊕ · · · ⊕ Vn)).
De fato, tome x ∈ W e escreva x = x1 + x2 com x1 ∈ V1 e x2 ∈ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn.
Como V1 ⊂ W , x1 ∈ W e, portanto, que x2 ∈ W . Dáı que
W = V1 +W ∩ (V2 ⊕ · · · ⊕ Vn).
Essa soma é direta, pois V1 ∩ (V2 ⊕ · · · ⊕ Vn) = 0. Usando agora o passo de
indução, existe W ′ tal que
V2 ⊕ · · · ⊕ Vn = (W ∩ (V2 ⊕ · · · ⊕ Vn))⊕W ′
e W ′ complementa W em V já que V1 ⊂ W .
Caso 2) Para todo i , W ∩ Vi = {0}. Então, W ⊕ V1 está nas condições do primeiro
caso e, portanto, existe W ′ invariante tal que
V = (W ⊕ V1)⊕W ′,
isto é, V = W ⊕ (V1 ⊕W ′).
Com estes dois casos conclui-se a demonstração da rećıproca. 2
36 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
Exemplos:
1. A representação canônica da álgebra de Heisenberg
g = {
 0 a c0 0 b
0 0 0
}
em K3 não é irredut́ıvel, pois os subespaços gerados por {e1} e por {e1, e2} são
invariantes. Não é também completamente redut́ıvel já que 〈e1〉, que é subespaço
invariante, não admite complementar invariante. Isto é conseqüência de que para
todo x ∈ K3 − 〈e1〉,  0 1 10 0 0
0 0 0
x ∈ 〈e1〉 − {0}.
2. Existe uma classe de álgebras de Lie (as semi-simples) para as quais todas as re-
presentações de dimensão finita são completamente redut́ıveis (essa é a afirmação
do teorema de Weyl, que será discutido com detalhes no caṕıtulo 5). Para essa
classe de álgebras, pode-se classificar, a menos de isomorfismo, suas represen-
tações de dimensão finita. O que, aliás, é feito classificando as representações
irredut́ıveis.
3. Seja g a álgebra de Lie abeliana de dimensão n sobre o corpo K e considere a
representação (fiel) cuja imagem é a subálgebra
g = {X ∈ gl(n,K) : X é diagonal}.
Ao escrever Kn = V1⊕ · · · ⊕ Vn como soma direta dos eixos coordenados, obtém-
se uma decomposição em subespaços invariantes irredut́ıveis. A representação é,
portanto, completamente redut́ıvel e só é irredut́ıvel se n = 1.
Um subespaço W ⊂ Kn invariante é sempre da forma
W = Vi1 ⊕ · · · ⊕ Vik k = dimW.
Para ver isso, tome x ∈ W e escreva
x = x1 + · · ·+ xn com xi ∈ Vi.
Seja Hi a matriz diagonal Hi = diag{0, . . . , 1, . . . , 0} com 1 na i-ésima coorde-
nada. Então, Hix = xi e dáı que xi ∈ W . Isto mostra que Vi ⊂ W se existe
x ∈ W tal que na decomposição acima xi 6= 0. Dáı que W é a soma direta de
alguns dos eixos coordenados.
Este exemplo e o próximo ajudam a entender a segunda parte da demonstração
da proposição anterior (de que a condição é suficiente): se todos os subespaços
invariantes são da forma Vi1⊕· · ·⊕Vik , como ocorre neste caso, então é claro que
1.3. Representações 37
todo subespaço invariante é complementável. O exemplo seguinte, no entanto,
mostra que nem todo subespaço invariante é desta forma, sendo necessário, por-
tanto, um processo um pouco diferente para escolher o complementar, como é
feito na demonstração da proposição.
4. Seja a subálgebra abeliana de gl(4,K)
g = {diag{a, a, b, b} : a, b ∈ K}.
Denotando por {e1, . . . , e4} a base canônica, a decomposição
K4 = 〈e1〉 ⊕ · · · ⊕ 〈e4〉 = V1 ⊕ · · · ⊕ V4 (1.4)
é uma decomposição em subespaços invariantes irredut́ıveis. O subespaço W =
〈e1 + e2〉 é invariante pois, restrito a 〈e1, e2〉, todo elemento de g é um múltiplo
da identidade. Como W ∩Vi = {0} para todo i, W não é uma soma de elementos
da decomposição (1.4).
A decomposição em invariantes irredut́ıveis, neste caso, não é única:
K4 = 〈e1 + e2〉 ⊕ 〈e2〉 ⊕ 〈e3〉 ⊕ 〈e4〉
também é uma decomposição em invariantes irredut́ıveis.
5. As representações canônicas de gl (n,K), sl (n,K), so (n,K), sp (n,K), so (p, q,K)
e su (n) são irredut́ıveis. 2
1.3.4 Lema de Schur
O lema de Schur é um resultado simples de álgebra linear, no entanto é muito útil
em diversas situações que envolvem representações irredut́ıveis. Ele diz respeito ao
centralizador de subconjuntos de transformações lineares e se aplica, em particular, a
representações de álgebras de Lie.
Sejam A e B transformações lineares em gl (V ) que comutam entre si. Se Av = 0,
então ABv = BAv = 0, o que significa que kerA é um subespaço invariante por B.
Da mesma forma, se w = Av, então Bw = B (Av) = A (Bv) e a imagem imA também
é B-invariante.
Agora tome um subconjunto Γ ⊂ gl (V ) e suponha que ele seja irredut́ıvel, no
sentido em que os únicos subespaços invariantes por todos os elementos de Γ são os
triviais {0} e V . Tome L ∈ gl (V ) que comuta com todos os elementos de Γ. Então
kerL e imL são subespaços invariantes por Γ. Como Γ é irredut́ıvel, segue que as
possibilidades para kerL e imL são {0} e V . Isso significa que L = 0 ou L é bijetora.
Suponha, além do mais, que L tem um auto-valor λ no corpo de escalares de V , isto
é, L tem um auto-vetor em V (o que acontece se o corpo de escalares é algebricamente
fechado e dimV <∞). Então, L− λid também comuta com todos os elementos de Γ.
O que implica, no caso irredut́ıvel, que L − λid é 0 ou bijetora. No entanto, L − λid
não pode ser bijetora, pois L tem auto-vetores. Dáı que L−λ · id = 0, isto é, L = λ · id
é uma transformação escalar. Esse é o resultado do lema de Schur:
38 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
Proposição 1.8 Seja V um espaço vetorial sobre K e Γ ⊂ gl (V ) um conjunto irre-
dut́ıvel de transformações lineares de V . Seja L ∈ gl (V ) que comuta com todos os
elementos de Γ. Suponha que L tem um auto-vetor em V associado ao auto-valor
λ ∈ K. Então, L = λ · id. Em particular, se K é algebricamente fechado e dimV <∞,
então o centralizador z (Γ) de Γ em gl (V ) é o subespaço das transformações escalares
(múltiplas da identidade).
1.4 Derivações e produtos semidiretos
1.4.1 Derivações
Definição 1.9 Uma aplicação linear D : g → g é uma derivação da álgebra de Lie g
sesatisfaz
D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ] para todo X, Y ∈ g.
De forma mais geral, uma derivação de uma álgebra é uma transformação linear
que satisfaz a regra de Leibniz de derivada de um produto D(xy) = D(x)y + xD(y).
Um tipo de derivação que aparece com freqüência na teoria são as adjuntas dos
elementos de g. Uma das formas da identidade de Jacobi apresentada no ińıcio mostra
que
ad(X)[Y, Z] = [X, [Y, Z]] = [[X, Y ], Z] + [Y, [X,Z]]
ou
ad(X)[Y, Z] = [ad(X)Y, Z] + [Y, ad(X)Z],
isto é, ad(X) é uma derivação. Derivações deste tipo são denominadas de deriva-
ções internas . O conjunto destas derivações coincide com a imagem da representação
adjunta. O espaço das derivações internas é, portanto, uma subálgebra de gl(g). Não é
dif́ıcil verificar que o espaço de todas as derivações também é uma subálgebra de gl (g).
Nem toda derivação é interna. Um exemplo trivial é o caso das álgebras abelianas
em que toda transformação linear é uma derivação e, no entanto, existe uma única
interna, que é a transformação identicamente nula. No outro extremo, nas álgebras
semi-simples, toda derivação é interna, como será visto adiante.
A proposição seguinte é útil, tanto para esclarecer a idéia subjacente ao conceito
de derivação, quanto em diversas situações da teoria.
Proposição 1.10 Seja g uma álgebra de Lie real de dimensão finita e D : g→ g uma
transformação linear. Então, D é uma derivação se e só se para todo t ∈ R, etD é
automorfismo de g.
Demonstração: Suponha que para todo real t, etD seja automorfismo, isto é,
etD[X, Y ] = [etDX, etDY ] para todo X, Y ∈ g.
A derivada desta igualdade, como função de t, se escreve
DetD[X, Y ] = [DetDX, etDY ] + [etDX,DetDY ]
1.4. Derivações e produtos semidiretos 39
que, avaliada em t = 0, mostra que
D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ],
isto é, D é derivação. Por outro lado, assumindo que D é derivação, sejam as curvas
em g dadas por
α(t) = etD[X, Y ]
β(t) = [etDX, etDY ].
Tem-se α(0) = [X, Y ] = β(0),
α′(t) = DetD[X, Y ] = Dα(t)
e
β′(t) = [DetDX, etDY ] + [etDX,DetDY ] = D[etDX, etDY ] = Dβ(t),
pois D é derivação. Portanto, α e β satisfazem a mesma equação diferencial linear e
têm as mesmas condições iniciais e dáı que α = β. 2
Exemplos:
1. Como já foi mencionado, toda transformação linear de uma álgebra abeliana é
uma derivação.
2. Seja g a álgebra não-abeliana bidimensional e {X, Y } uma base tal que [X, Y ] =
Y. Seja D : g→ g linear que nesta base se escreve como
D =
(
a c
b d
)
.
Para encontrar as relações entre a, b, c e d para que D seja derivação, é suficiente
olhar a relação D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ] com X e Y os elementos da base
dada (a relação em geral é obtida por bilinearidade). A igualdade
DY = D[X, Y ] = [DX, Y ] + [X,DY ]
é equivalente a
cX + dY = [aX + bY, Y ] + [X, cX + dY ] = a[X, Y ] + d[X, Y ] = (a+ d)Y
e dáı que D é derivação se e só se c = 0 e d = a+ d , isto é, a = 0. Portanto, as
matrizes das derivações D de g são da forma
D =
(
0 0
b d
)
.
Essas matrizes têm a mesma forma que as matrizes que aparecem na representa-
ção adjunta de g (veja o exemplo 4 da página 30). Portanto, toda derivação de
g é uma derivação interna. 2
40 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
1.4.2 Produtos semidiretos
Representando uma álgebra de Lie em outra por derivações, pode-se construir uma
álgebra de Lie no produto cartesiano das duas álgebras. Esse produto, chamado de
produto semidireto, é bastante semelhante ao produto semidireto de grupos e generaliza
o produto direto de álgebras visto anteriormente. Os detalhes desta construção são
dados pela proposição seguinte.
Proposição 1.11 Sejam g e h álgebras de Lie e ρ uma representação de g em h.
Suponha que para todo X ∈ g, ρ(X) é uma derivação de h e defina em g×h o colchete
[(X1, Y1), (X2, Y2)] = ([X1, X2], ρ(X1)Y2 − ρ(X2)Y1 + [Y1, Y2]). (1.5)
Com esse colchete, g× h é uma álgebra de Lie que se decompõe em soma direta
g× h = (g× 0)⊕ (0× h)
de uma subálgebra isomorfa a g por um ideal isomorfo a h.
Demonstração: O colchete em g × h é evidentemente anti-simétrico. Quanto à
identidade de Jacobi, ela vale na primeira coordenada por valer em g. Escrevendo
vi = (Xi, Yi), a segunda coordenada de [[v1, v2], v3] se decompõe nas quatro parcelas
ρ[X1, X2]Y3 − ρ(X3)(ρ(X1)Y2 − ρ(X2)Y1)
ρ(X3)[Y1, Y2]
[ρ(X1)Y2 − ρ(X2)Y1, Y3]
[[Y1, Y2], Y3].
Somando as permutações ćıclicas, os termos correspondentes à primeira parcela se
anulam pelo fato de ρ ser uma representação. Os correspondentes à última parcela
se anulam pela identidade de Jacobi em h e os termos correspondentes às segundas e
terceiras parcelas se cancelam entre si pelo fato de ρ(Xi) ser derivação. Isso mostra a
identidade de Jacobi do colchete. A partir dáı, as outras afirmações são imediatas. 2
A notação para o produto semidireto é g×sh ou g×ρh. Essa última notação é usada
quando se deseja ressaltar a representação que define o produto semidireto. Qualquer
uma das notações distingue g de h, já que o papel que essas álgebras desempenham no
produto semidireto são distintos.
O produto direto de duas álgebras pode ser visto como um caso particular de um
produto semidireto. Para isto, basta tomar a representação nula de g em h. Nesse
caso, g passa a ser um ideal do produto e não apenas uma subálgebra como ocorre com
o produto semidireto em geral. Aliás, um produto semidireto é um produto direto se
e só se g (ou mais precisamente g × 0) é um ideal de g ×s h e, é claro, nesse caso ρ é
a representação identicamente nula. Esse fato pode ser verificado diretamente a partir
de (1.5), que define o produto semidireto, ou usando o fato de que se dois ideais i1 e i2
de uma álgebra satisfazem i1 ∩ i2 = 0, então [X, Y ] = 0 para X ∈ i1 e Y ∈ i2, já que o
colchete está tanto em i1 quanto em i2.
1.5. Séries de composição 41
A última afirmação da proposição 1.11 garante que um produto semidireto se escreve
como a soma direta de um ideal por uma subálgebra. A rećıproca dessa afirmação
também vale. Se uma álgebra s é a soma direta de um ideal h por uma subálgebra g,
então ela é isomorfa ao produto semidireto g×s h. A representação de g em h é dada
pela restrição a g da representação adjunta de s, o que é posśıvel pelo fato de h ser um
ideal. O isomorfismo de s com g×s h é dado pela decomposição de s.
Exemplo: Seja V um espaço vetorial e denote por af(V ) o espaço das transformações
afins de V , isto é, das transformações de V da forma Tw = Aw + v com A linear e
v ∈ V . O espaço af(V ) é dado pelo produto gl(V )× V . O colchete
[(A, v) , (B, u)] = ([A,B], Au−Bv)
define em af(V ) uma estrutura de álgebra de Lie que é o produto semidireto de gl(V )
por V com a representação dada pela representação canônica. Um caso particular des-
sas álgebras é a álgebra af(1) das transformações afins de um espaço unidimensional.
Observe que af(1) tem dimensão dois e não é abeliana e, portanto, essa é outra rea-
lização da álgebra bidimensional não-abeliana. 2
1.5 Séries de composição
1.5.1 Série derivada
Tomando, como sempre, g como sendo uma álgebra de Lie, para dois subconjuntos A
e B de g será usada a notação [A,B] para indicar o subespaço gerado por
{[X, Y ] : X ∈ A, Y ∈ B}.
Define-se, por indução, os seguintes subespaços de g:
g(0) = g
g′ = [g, g]
...
g(k) = [g(k−1), g(k−1)].
Esses subespaços são ideais de g. Para ver isso basta notar que se i e j são ideais de g
então [i, j] também é ideal, como segue diretamente da identidade de Jacobi. Portanto,
g′ = [g, g] é um ideal, assim como g′′ = [g′, g′], etc.
Essa seqüência de ideais é conhecida por série derivada de g e suas componentes
são as álgebras derivadas de g.
Exemplos:
1. g é abeliana se e só se g′ = 0.
42 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
2. g = {
 0 ∗ ∗0 0 ∗
0 0 0
}; g′ = {
 0 0 ∗0 0 0
0 0 0}; g′′ = {0} e g(k) = {0} se k ≥ 2.
3. Seja g a álgebra das matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal
g = {
 0 · · · ∗... . . . ...
0 · · · 0

n×n
}.
Então, g(k) = 0 se k é suficientemente grande.
4. g = {
 ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗
0 0 ∗
}; g′ = {
 0 ∗ ∗0 0 ∗
0 0 0
}; g′′ = {
 0 0 ∗0 0 0
0 0 0
}; g(k) = 0 se
k ≥ 3.
5. Seja g a álgebra das matrizes triangulares superiores
g = {
 ∗ · · · ∗... . . . ...
0 · · · ∗

n×n
}.
Então, g′ é a álgebra das matrizes triangulares superiores com zeros na diagonal,
portanto, g(k) = {0} se k ≥ k0 para algum k0 suficientemente grande.
6. Seja g a álgebra bidimensional não-abeliana e {X, Y } base com [X, Y ] = Y .
Então, g′ é o espaço gerado por Y e g(k) = {0} se k ≥ 2.
7. Para a álgebra g = sl(2,R), g′ = g e, portanto, g(k) = g para todo k ≥ 0. De
fato, sejam
X =
(
0 1
0 0
)
H =
(
1 0
0 −1
)
Y =
(
0 0
1 0
)
.
Então,
[H,X] = 2X [H,Y ] = −2Y [X, Y ] = H
e, portanto, X,H, Y ∈ g′ e como {X,H, Y } é uma base de g, g′ = g. A mesma
afirmação vale para sl(2,K) desde que K seja um corpo de caracteŕıstica diferente
de dois. Se a caracteŕıstica é dois, g′ é o subespaço gerado por H e, portanto,
g′′ = {0}.
8. Seja g = gl(2,K). Como tr(XY −Y X) = 0, g′ ⊂ sl(2,K). Pelo exemplo anterior,
g′ = sl(2,K) e dáı que g(k) = sl(2,K) para k ≥ 2.
1.5. Séries de composição 43
9. Os dois exemplos anteriores se generalizam completamente: tanto se g é sl(n,K)
ou gl(n,K), g′ = sl(n,K). Para ver isso, use a base dada pelas matrizes Eij cuja
i, j-ésima entrada é 1 e as demais são nulas. O produto de duas dessas matrizes é
dado por EijErs = δjrEis. Usando esse produto, é posśıvel proceder como no caso
em que n = 2, substituindo X,H e Y por Eij, Eii − Ejj e Eji, respectivamente.
10. A álgebra g = so(3) também satisfaz g(k) = g para todo k ≥ 0. De fato, a base
{i, j, k} dada por
i =
 0 0 00 0 −1
0 1 0
 j =
 0 0 10 0 0
−1 0 0
 k =
 0 −1 01 0 0
0 0 0

satisfaz [i, j] = k, [j, k] = i, [k, i] = j e, portanto, está contida em g′. 2
As observações sobre a série derivada, contidas nas seguintes proposições, são uti-
lizadas freqüentemente.
Proposição 1.12 O quociente g(k−1)/g(k) é uma álgebra abeliana.
De fato, para todo X, Y ∈ g(k−1), [X, Y ] ∈ g(k).
Proposição 1.13 Seja g álgebra de Lie e h ideal. Seja também π : g→ g/h o homo-
morfismo canônico. Então,
π
(
g(k)
)
= (g/h)(k)
Demonstração: Por indução sobre k. É claro que π(g(0)) = (g/h)(0). Assumindo
que a igualdade vale para k − 1, tem-se
π
(
g(k)
)
= π[g(k−1), g(k−1)]
= [π(g(k−1)), π(g(k−1))]
= [(g/h)(k−1) , (g/h)(k−1)]
= (g/h)(k) ,
o que mostra a igualdade do enunciado. 2
De forma análoga uma indução sobre k mostra a seguinte
Proposição 1.14 Se g é álgebra de Lie e h ⊂ g é subálgebra então
h(k) ⊂ g(k).
44 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
1.5.2 Série central descendente
A série central descendente da álgebra de Lie g é definida, por indução, como
g1 = g
g2 = [g, g] = g′
...
gk = [g, gk−1].
Como o produto de ideais é ideal, segue dessa definição que gk é um ideal para
todo k ≥ 1. Dáı que gk+1 = [g, gk] =⊂ gk e a série central descendente é, de fato,
descendente:
g1 = g ⊃ g2 ⊃ · · · ⊃ gk ⊃ · · ·
Proposição 1.15 1. [gi, gj] ⊂ gi+j.
2. gk é o subespaço gerado por todos os posśıveis produtos (colchetes) envolvendo k
elementos de g : [X1, . . . , [Xk−1, Xk] . . .].
(por exemplo:
produto de dois elementos : [X, Y ]
produto de três elementos : [X, [Y, Z]]
produto de quatro elementos: [[X, Y ], [Z,W ]] ou [X, [Y, [Z,W ]]])
Demonstração:
1. Por indução sobre j. Para j = 1 a inclusão é a definição de gi+1. Assumindo o
resultado para j,
[gi, gj+1] = [gi, [gj, g]] ⊂ [[gi, gj], g] + [gj, [gi, g]]
⊂ [gi+j, g] + [gj, gi+1]
⊂ gi+j+1.
2. Para k = 1 ou 2, é imediato a partir da definição. Para k ≥ 2, usa-se indução
sobre k. Assuma o resultado para k − 1. Os elementos de gk−1 são então da
forma
∑
i Zi com Zi produto de k − 1 elementos de g. Dáı que gk é gerado por
elementos da forma ∑
i
[Xi, Zi],
isto é, por produtos de k elementos.
Vice-versa, todo elemento de g que pode ser escrito como produto de k elementos
está em gk como segue do item anterior. 2
1.6. Álgebras solúveis 45
Exemplos:
1. g = g1 = {
 0 ∗ ∗0 0 ∗
0 0 0
}; g2 = {
 0 0 ∗0 0 0
0 0 0
}; g3 = 0, assim como gk para
k ≥ 3.
2. g = {
 ∗ ∗ ∗0 ∗ ∗
0 0 ∗
}; g1 = {
 0 ∗ ∗0 0 ∗
0 0 0
}; gk = g2 se k ≥ 3.
3. Para a álgebra não-abeliana g de dimensão dois, com base {X, Y } com [X, Y ] =
Y , gk é o subespaço gerado por Y para todo k ≥ 2.
4. g = {
 a ∗ ∗0 a ∗
0 0 a
}; g2 = {
 0 ∗ ∗0 0 ∗
0 0 0
}; g3 = {
 0 0 ∗0 0 0
0 0 0
} e gk = 0 para
todo k ≥ 4. 2
Assim como para a série derivada, os quocientes sucessivos dos elementos da série
central descendente são abelianos e a série central descendente da imagem sobrejetora
de uma álgebra coincide com a imagem da série central descendente da álgebra. Estes
fatos estão contidos nas proposições seguintes. Suas demonstrações são semelhantes às
correspondentes para a série derivada.
Proposição 1.16 gk/gk+1 é uma álgebra abeliana.
Proposição 1.17 Seja π : g→ g/h o homomorfismo canônico. Então,
π(gk) = (g/h)k.
A afirmação seguinte fornece uma comparação entre a série derivada e a série central
descendente.
Proposição 1.18 A série derivada tem decrescimento mais rápido que a série central
descendente:
g(k) ⊂ gk+1
Demonstração: Por indução. Supondo g(k) ⊂ gk+1, então
g(k+1) = [g(k), g(k)] ⊂ [g, gk+1] = gk+2,
o que mostra o passo de indução. 2
1.6 Álgebras solúveis
Definição 1.19 Uma álgebra é solúvel se alguma de suas álgebras derivadas se anula,
isto é,
g(k0) = 0
para algum k0 ≥ 1 (e, portanto, g(k) = 0 para todo k ≥ k0).
46 Caṕıtulo 1. Conceitos básicos
Exemplos:
1. As álgebras abelianas são solúveis, pois para essa classe de álgebras g′ = 0.
2. Se dim g = 2, então g é solúvel independentemente de g ser abeliana ou não. Isto
porque existem apenas duas classes de álgebras bidimensionais. As abelianas são
solúveis e as não-abelianas têm álgebra derivada de dimensão um e, portanto, a
segunda derivada se anula.
3. As álgebras de matrizes triangulares superiores
g = {
 ∗ · · · ∗... . . . ...
0 · · · ∗

n×n
}
são solúveis. Aliás, este é o exemplo t́ıpico de álgebra solúvel. Como será visto
adiante (teorema de Lie), toda álgebra de Lie solúvel de transformações lineares,
de dimensão finita, sobre um corpo algebricamente fechado é uma subálgebra de
matrizes triangulares superiores.
4. As álgebras sl(n) não são solúveis pois suas álgebras derivadas coincidem com
elas mesmas. 2
Evidentemente, a álgebra derivada de uma álgebra solúvel está contida propria-
mente na álgebra.
Subálgebras e imagens homomórficas de álgebras solúveis são também solúveis.
Esta afirmação está garantida pela proposição seguinte.
Proposição 1.20 1. Se g é solúvel e h ⊂ g é subálgebra, então h também é solúvel.
2. Se g é solúvel e h ⊂ g é um ideal, então g/h também é solúvel.
Demonstração:
1. As álgebras derivadas sucessivas de h estão contidas nas correspondentes álgebras
derivadas de g. Portanto, h é solúvel se g o for.
2. Como (g/h)(k) = π(g(k)), se alguma álgebra derivada de g se anula, o mesmo
ocorre com a álgebra derivada correspondente de g/h. 2
Um caso particular da primeira afirmação desta proposição é que os ideais de
álgebras solúveis são também solúveis. Como a segunda afirmação diz que os quo-
cientes por ideais são também solúveis, a seguinte proposição complementa a anterior
ao dizer que a álgebra propriamente dita é solúvel se algum de seus quocientes junta-
mente com o seu núcleo é solúvel.
Proposição 1.21 Seja g uma álgebra de Lie e h ⊂ g um ideal. Suponha que tanto h
quanto g/h sejam solúveis. Então, g é solúvel.
1.7. Álgebras nilpotentes