Patrao - Introducao aos grupos de matrizes

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Introdução aos
Grupos de Matrizes
Mauro Patrão
UnB - 2010
2
Sumário
Prefácio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1 Séries de Funções 7
1.1 Norma de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Critério de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Critério de diferenciabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Exponencial 15
2.1 Norma de operadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2 Derivada do produto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3 Definição da exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Propriedades da exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.5 Comutador de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Limites de Produtos 23
3.1 Produto e comutador de exponenciais . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 Logaritmo do produto e do comutador . . . . . . . . . . . . . 24
3.3 Exponencial da soma e do comutador . . . . . . . . . . . . . . 27
4 Homomorfismos 29
4.1 Grupo de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2 Álgebra de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3 Grupos a um parâmetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.4 Homomorfismos derivados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
5 Grupos Euclideanos 37
5.1 Grupos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.2 Carta da identidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3
4 SUMÁRIO
A Exercícios 41
A.1 Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
A.2 Grupos de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
A.3 Álgebras de matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
A.4 Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.5 Grupos topológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
A.6 Grupos euclideanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
SUMÁRIO 5
Prefácio
Essas notas surgiram de uma experiência colaborativa na internet. Durante
o segundo semestre de 2009, juntamente com os estudantes Fernando Luca-
telli e Thiago Ribeiro, elaboramos um material de introdução aos grupos de
matrizes no Blog do Grupo de Teoria de Lie e Dinâmica da Universidade de
Brasília, localizado no seguinte endereço eletrônico:
www.liedinamica.wordpress.com
Este material foi estruturado diretamente dentro do Blog e foi utilizado
como referência bibliográfica o seguinte artigo de divulgação matemática:
Roger Howe. Very Basic Lie Theory. The American Mathematical Monthly,
Vol. 90, No. 9 (Nov., 1983), pp. 600-623.
O artigo acima tem como objetivo fornecer uma abordagem elementar
para os fundamentos dos grupos de matrizes, evitando a utilização da teoria
de variedades diferenciáveis, de modo a permitir que este assunto seja acessí-
vel a estudantes no final de uma graduação em matemática. Apesar de seu
objetivo explícito, o artigo de R. Howe possui duas falhas que prejudicam a
sua eficácia. Por um lado, apresenta algumas demonstrações com excessiva
densidade analítica e que se estendem por algumas páginas. Por outro lado,
não apresenta uma abordagem auto-contida, de modo que alguns conceitos
e resultados centrais ao assunto são apresentados sem suas respectivas jus-
tificativas. Isso ocorre por exemplo na definição da função exponencial de
matrizes e em algumas de suas propriedades básicas, como sua diferenciabi-
lidade, apresentada sem qualquer demonstração.
O presente texto procurou suprir estas duas dificuldades presentes no
texto de R. Howe. O material foi elaborado para ser utilizado num mini-
curso com cinco aulas, de modo que em cada aula fosse abordado um dos seus
cinco capítulos. Os pré-requisitos são um curso básico de álgebra linear, um
bom curso de análise no Rn e algumas noções de teoria dos grupos. No final
do texto, encontram-se uma lista com diversos exercícios para o estudante
treinar os conceitos apresentados. Pretendemos divulgar as respostas desses
exercícios no endereço acima do Blog do Grupo de Teoria de Lie e Dinâmica
da Universidade de Brasília.
Aproveito a oportunidade para agradecer ao meu orientando Fernando
Lucatelli pela ajuda na revisão desse material, alertando que as falhas rema-
nescentes são de minha inteira responsabilidade.
6 SUMÁRIO
Capítulo 1
Séries de Funções
Denotamos por C(B,Rd) o conjunto das funções contínuas de B em Rd, onde
B ⊂ Rp é uma bola fechada (portanto compacta, por estarmos num espaço
vetorial de dimensão finita). Temos que C(B,Rd) é um espaço vetorial.
1.1 Norma de funções
Seja |·| uma norma em Rd. Para podermos falar em convergência de se-
qüências e de séries, introduzimos uma norma em C(B,Rd). Note que nem
todas as normas nesse espaço vetorial são equivalentes, afinal não se trata de
um espaço vetorial de dimensão finita. Logo é de fundamental importância
deixar explícito qual norma estamos usando. Dado F ∈ C(B,Rd), definimos
‖F‖ = max
X∈B
|F (X)| ,
que está bem definido, pois B é compacto.
Lema 1.1 A função ‖·‖ é uma norma em C(B,Rd).
Prova: Para provar que ‖·‖ é uma função norma, devemos provar que ela
satisfaz às seguintes propriedades:
1. F 6= 0 =⇒ ‖F‖ > 0,
2. ‖λF‖ = |λ| ‖F‖,
3. ‖E + F‖ ≤ ‖E‖+ ‖F‖.
7
8 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FUNÇÕES
1. Com efeito, seja F ∈ C(B,Rd) uma função não nula. Segue que existe
Y ∈ B tal que F (Y ) 6= 0. Logo |F (Y )| > 0. E, então, segue que
‖F‖ = max
X∈B
|F (X)| ≥ |F (Y )| > 0.
2. Dados λ ∈ R e F ∈ C(B,Rd). Temos, pela compacidade de B, que existe
Y ∈ B tal que ‖F‖ = max
X∈B
|F (X)| = |F (Y )|. Segue então que
|λ| |F (Y )| ≥ |λ| |F (X)| ,
para todo X ∈ B. Ou seja, temos que
|λF (Y )| ≥ |λF (X)| ,
para todo X ∈ B. Isso provou que
‖λF‖ = max
X∈B
|λF (X)| = |λF (Y )| = |λ| |F (Y )| = |λ| ‖F‖ .
3. Para provar a desigualdade triangular, temos que existem Y,W,Z ∈ B
tais que
‖E‖ = max
X∈B
|E(X)| = |E(Y )|, ‖F‖ = max
X∈B
|F (X)| = |F (W )|
e
‖E + F‖ = max
X∈B
|(E + F )(X)| = |(E + F )(Z)|
Segue então que
|E(Y )|+ |F (W )| ≥ |E(X)|+ |F (X)| ≥ |E(X) + F (X)|
para todo X ∈ B. E, assim, como Z ∈ B, temos que
|E(Y )|+ |F (W )| ≥ |(E + F )(Z)|,
o que equivale a ‖E‖+ ‖F‖ ≥ ‖E + F‖.
�
1.2. CRITÉRIO DE CONVERGÊNCIA 9
1.2 Critério de convergência
Uma seqüência de vetores no espaço vetorial C(B,Rd) é denotada por (Fk).
Dizemos que (Fk) converge se existe F ∈ C(B,Rq) tal que
‖Fk − F‖ → 0.
Dada uma seqüência (Fk) em C(B,Rd), sua série C(B,Rd) é denotada por
∑
Fk é o limite da seqüência das somas parciais
l
∑
k=0
Fk, quando este limite
existe em C(B,Rd). Nesse caso, temos que
∥
∥
∥
∥
∥
∑
Fk −
l
∑
k=0
Fk
∥
∥
∥
∥
∥
→ 0.
Proposição 1.2 Seja (Fk) uma sequência de funções em C(B,R
d). Se existe
uma sequência numérica (Mk) tal que a série
∑
Mk é convergente e tal que
‖Fk‖ ≤ Mk, para todo k ∈ N, então a série
∑
Fk é convergente.
Prova: Dado X ∈ B, temos que |Fk(X)| ≤ ‖F‖ ≤ Mk e, então, pelo teste da
comparação, temos que
∑
|Fk(X)| converge. Definimos S(X) =
∑
Fk(X).
Como temos que
∣
∣
∣
∣
∣
m
∑
k=0
Fk(X)−
l
∑
k=0
Fk(X)
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
m
∑
k=l+1
Fk(X)
∣
∣
∣
∣
∣
≤
m
∑
k=l+1
|Fk(X)|
≤
m
∑
k=l+1
Mk ≤
∑
k>l
Mk,
tomando o limite m → ∞, segue que
∣
∣
∣
∣
∣
S(X)−
l
∑
k=0
Fk(X)
∣
∣
∣
∣
∣
≤
∑
k>l
Mk,
para todo X ∈ B e para todo l ∈ N.
10 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FUNÇÕES
Agora, provamos que S ∈ C(B,Rd). Como
∑
Mk é convergente, dado
ε > 0, existe l ∈ N tal que
∑
k>l
Mk <
ε
4
. Por outro lado, temos que
l
∑
k=0
Fk ∈ C(B,R
d) e, pela compacidade de B, segue que
l
∑
k=0
Fk é unifor-
memente contínua. Logo existe δ > 0 tal que
∣
∣
∣
∣
∣
l
∑
k=0
Fk(X)−
l
∑
k=0
Fk(Y )
∣
∣
∣
∣
∣
<
ε
2
,
sempre que |X − Y | < δ. Portanto
|S(X)− S(Y )| ≤
∣
∣
∣
∣
∣
S(X)−
l
∑
k=0
Fk(X)
∣
∣
∣
∣
∣
+
∣
∣
∣
∣
∣
l
∑
k=0
Fk(X)−
l
∑
k=0
Fk(Y )
∣
∣
∣
∣
∣
+
+
∣
∣
∣
∣
∣
l
∑
k=0
Fk(Y )− S(Y )
∣
∣
∣
∣
∣
≤ 2
∑
k>l
Mk +
ε
2
< 2
ε
4
+
ε
2
= ε,
sempre que |X − Y | < δ, o que prova que Sé contínua.
Como temos que
∣
∣
∣
S(X)−
∑l
k=0 Fk(X)
∣
∣
∣
≤
∑
k>l Mk, para todo X ∈ B
e para todo l ∈ N, segue que
∥
∥
∥
S −
∑l
k=0 Fk
∥
∥
∥
≤
∑
k>l Mk, completando a
demonstração, uma vez que
∑
Mk é convergente. �
1.3 Critério de diferenciabilidade
Agora supomos que p = 1. Neste caso, B é um intervalo fechado e, portanto,
será denotado por J . Uma função F ∈ C(J,Rd) é inteiramente determinada
pelas funções coordenadas, ou seja, as funções F1, . . . , Fd ∈ C(J,R) tais que
F (x) = (F1(x), . . . , Fd(x)). Por exemplo, a função F é contínua se e só
se todas suas funções coordenadas são contínuas. Temos também que F é
derivável se e só se todas as funções coordenadas são deriváveis e, além disso,
quando isso acontece, temos que
F ′(x) = (F ′1(x), . . . , F
′
d(x)).
1.3. CRITÉRIO DE DIFERENCIABILIDADE 11
O mesmo acontece no caso da integração. Uma função F : J → Rd é
integrável se e só se as funções coordenadas são integráveis. A primitiva de
F (se houver) é a d-upla das primitivas das funções coordenadas, e a integral
definida de F é a d-upla das integrais definidas de suas funções coordenadas,
ou seja,
∫ b
a
F (τ)dτ =
(
∫ b
a
F1(τ)dτ, . . . ,
∫ b
a
Fd(τ)dτ
)
.
Note que toda função em C(J,Rd) é integrável, uma vez que as funções
coordenadas dessa função são contínuas e, portanto, integráveis.
O próximo passo é provar um resultado sobre a derivada de séries de
funções contínuas e deriváveis. Para isso, necessitamos do seguinte lema.
Lema 1.3 Se F ∈ C(J,Rd), então existe c ∈ R tal que
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
F (τ)dτ
∣
∣
∣
∣
≤ c
∫ t
0
|F (τ)|dτ.
Prova: Pela equivalência entre as normas em Rd, existem constantes po-
sitivas b, c ∈ R tais que |X| ≤ bmax{|X1|, . . . , |Xd|} ≤ c|X|, onde X =
(X1, . . . , Xd) ∈ R
d. Temos, então, que
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
F (τ)dτ
∣
∣
∣
∣
≤ bmax
{
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
F1(τ)dτ
∣
∣
∣
∣
, . . . ,
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
Fd(τ)dτ
∣
∣
∣
∣
}
,
onde Fi é a i-ésima função coordenada de F . Pela monotonicidade da integral
e como
−|Fi(τ)| ≤ Fi(τ) ≤ |Fi(τ)|,
temos que
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
Fi(τ)dτ
∣
∣
∣
∣
≤
∫ t
0
|Fi(τ)|dτ.
Isto implica que
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
F (τ)dτ
∣
∣
∣
∣
≤ bmax
{
∫ t
0
|F1(τ)|dτ, . . . ,
∫ t
0
|Fd(τ)|dτ
}
= max
{
∫ t
0
b|F1(τ)|dτ, . . . ,
∫ t
0
b|Fd(τ)|dτ
}
≤
∫ t
0
c|F (τ)|dτ.
12 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FUNÇÕES
�
Proposição 1.4 Seja (Fk) uma seqüência de funções deriváveis em C(J,R
d)
tal que (F ′k) também está em C(J,R
d). Se existe uma seqüência de números
reais (Mk) tal que a série
∑
Mk é convergente e tal que ‖Fk‖ , ‖F
′
k‖ ≤ Mk,
para todo k ∈ N, então
(
∑
Fk
)′
=
∑
F ′k.
Prova: Pela Proposição 1.2 , temos que as séries S =
∑
Fk e T =
∑
F ′k
são ambas convergentes. Devemos provar que S ′ = T . Pela definição de
convergencia de séries, temos que
∥
∥
∥
∥
∥
T −
l
∑
k=0
F ′k
∥
∥
∥
∥
∥
→ 0 , quando l → ∞.
Para t ∈ J , pelo teorema fundamental do cálculo, temos que
∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
T (τ)dτ −
l
∑
k=0
(Fk(t)− Fk(0))
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
T (τ)dτ −
l
∑
k=0
(
∫ t
0
F ′k(τ)dτ
)
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
T (τ)dτ −
∫ t
0
(
l
∑
k=0
F ′k(τ)
)
dτ
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
(
T (τ)−
l
∑
k=0
F ′k(τ)
)
dτ
∣
∣
∣
∣
∣
.
Portanto segue do lema precedente que existe uma constante c ∈ R tal que
∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
T (τ)dτ −
l
∑
k=0
(Fk(t)− Fk(0))
∣
∣
∣
∣
∣
=
∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
(
T (τ)−
l
∑
k=0
F ′k(τ)
)
dτ
∣
∣
∣
∣
∣
≤ c
∫ t
0
∣
∣
∣
∣
∣
T (τ)−
l
∑
k=0
F ′k(τ)
∣
∣
∣
∣
∣
dτ
≤ c |t− 0|
∥
∥
∥
∥
∥
T −
l
∑
k=0
F ′k
∥
∥
∥
∥
∥
→ 0,
quando l → ∞. Portanto, pelo teorema do sanduíche, quando l → ∞, temos
que
∣
∣
∣
∣
∣
∫ t
0
T (τ)dτ −
l
∑
k=0
(Fk(t)− Fk(0))
∣
∣
∣
∣
∣
→ 0.
1.3. CRITÉRIO DE DIFERENCIABILIDADE 13
Segue então que
∑
(Fk(t)− Fk(0)) =
∫ t
0
T (τ)dτ,
mostrando que
S(t)− S(0) =
∫ t
0
T (τ)dτ.
Pelo teorema fundamental do cálculo, isso implica S ′ = T . �
14 CAPÍTULO 1. SÉRIES DE FUNÇÕES
Capítulo 2
Exponencial
O trabalho neste capítulo estará estreitamente ligado ao espaço das matrizes
quadradas Rn
2
. Esse espaço pode ser identificado por um isomorfismo (da
base canônica) com o espaço das transformações lineares L(Rn,Rn) .
2.1 Norma de operadores
Lembramos que todas as normas no espaço vetorial Rn
2
são equivalentes, por
se tratar de um espaço vetorial de dimensão finita. Vamos definir, aqui, uma
norma que nos é conveniente. Dada uma matriz X ∈ Rn
2
, a transformação
linear identificada pelo isomorfismo é tal que associa cada vetor v ∈ Rn ao
vetor Xv ∈ Rn, onde Xv é o produto usual da matriz quadrada X pela matriz
coluna v. A aplicação v 7→ |Xv| é contínua e portanto assume o máximo no
domínio compacto {v ∈ Rn : |v| = 1}. Dada uma matriz X ∈ Rn
2
, podemos
então definir
|X| = max
|v|=1
|Xv|.
Lema 2.1 Temos que |·| é uma norma em Rn
2
satisfazendo
|XY | ≤ |X| |Y | ,
para quaisquer X, Y ∈ Rn
2
. Em particular,
∣
∣Xk
∣
∣ ≤ |X|k ,
para todo X ∈ Rn
2
.
15
16 CAPÍTULO 2. EXPONENCIAL
Prova: A demonstração de que se trata de uma norma é idêntica àquela apre-
sentada no Lema 1.1, bastando trocar o domínio B por {v ∈ Rn : |v| = 1}.
Sejam X, Y ∈ Rn
2
. Dado v ∈ Rn com |v| = 1, temos que
|XY v| =
∣
∣
∣
∣
X
(
Y v
|Y v|
)
∣
∣
∣
∣
|Y v| ≤ |Y | |X| ,
uma vez que |v| = 1 e
∣
∣
∣
Y v
|Y v|
∣
∣
∣
= 1. Portanto, em particular, temos que
|XY | ≤ |Y | |X|.
Para provar que
∣
∣Xk
∣
∣ ≤ |X|k, basta fazer indução sobre k. �
2.2 Derivada do produto
Para funções em C(J,Rn
2
), vale uma regra de derivação, enunciada e provada
abaixo, que é análoga à regra do produto para funções em R.
Lema 2.2 Se F,G ∈ C(J,Rn
2
) são diferenciáveis, então, para todo t ∈ J ,
(F (t)G(t))′ = F ′(t)G(t) + F (t)G′(t).
Em particular, temos que, para todo t ∈ J ,
(F (t)k)′ =
k
∑
l=1
F (t)l−1F ′(t)F (t)k−l.
Prova: A entrada (i, j) da matriz F (t)G(t) é dada por
k
∑
l=1
Fil(t)Glj(t). A
derivada dessa expressão nos fornece a entrada (i, j) da matriz (F (t)G(t)))′.
Utilizando as regras da soma e do produto, obtemos que
(
k
∑
l=1
Fil(t)Glj(t)
)′
=
k
∑
l=1
F ′il(t)Glj(t) +
k
∑
l=1
Fil(t)G
′
lj(t),
que é igual a entrada (i, j) da matriz F ′(t)G(t) + F (t)G′(t).
A segunda afirmação é demonstrada por indução. Temos que
(F (t))′ = F ′(t) =
1
∑
l=1
F (t)l−1F ′(t)F (t)1−l.
2.3. DEFINIÇÃO DA EXPONENCIAL 17
Se a fórmula é verdadeira para k − 1, então
(F (t)k)′ = (F (t)F (t)k−1)′
= F ′(t)F (t)k−1 + F (t)(F (t)k−1)′
= F ′(t)F (t)k−1 + F (t)
k−1
∑
l=1
F (t)l−1F ′(t)F (t)k−1−l
= F ′(t)F (t)k−1 +
k−1
∑
l=1
F (t)lF ′(t)F (t)k−1−l
= F ′(t)F (t)k−1 +
k
∑
l=2
F (t)l−1F ′(t)F (t)k−l
=
k
∑
l=1
F (t)l−1F ′(t)F (t)k−l,
completando, portanto, a demonstração por indução. �
2.3 Definição da exponencial
Sejam B ⊂ Rn
2
uma bola fechada de centro 0 e raio R qualquer e J um
intervalo fechado e limitado de centro 0 na reta. Nos próximos resultados,
estamos interessados nos espaços C(B,Rn
2
) e C(J,Rn
2
) munidos da norma
‖·‖ definida na Seção 1. Dado um inteiro k ≥ 0, denotamos por Pk a função
potência de grau k, de modo que
Pk(X) = X
k.
Proposição 2.3 Temos que Pk ∈ C(B,R
n2) e que a série
E =
∑ Pk
k!
converge em C(B,Rn
2
).
Prova: A continuidade de Pk segue do fato de que as entradas de Xk são
polinômios das entradas de X. Pelo Lema 2.1, temos que
‖Pk‖ = max
X∈B
|Pk(X)| = max
X∈B
∣
∣Xk
∣
∣ ≤ max
X∈B
|X|k ≤ Rk.
18 CAPÍTULO 2. EXPONENCIAL
Logo, para todo inteiro k ≥ 0, temos que
∥
∥
∥
∥
Pk
k!
∥
∥
∥
∥
=
‖Pk‖
k!
≤
Rk
k!
.
Como
∑ Rk
k!
= eR, pela proposição 1.2 do capítulo 1, segue que
∑ Pk
k!
converge em C(B,Rn
2
). �
A aplicação E ∈ C(B,Rn
2
) , definida acima, é denominada exponencial
de matrizes. Dado X ∈ Rn
2
, denotamos
eX = E(X) =
∑ Xk
k!
.
2.4 Propriedades da exponencial
Vamos mostrar que de fato ela satisfaz as principais propriedades da função
exponencial de números reais. Uma função é de classe C1 se e só se todas as
suas derivadasdirecionais são contínuas.
Teorema 2.4 A função E é de classe C1 e sua derivada na origem E ′(0) é
a aplicação identidade. Além disso, a função t 7→ etX satisfaz
(etX)′ = XetX ,
para todo t ∈ J .
Prova: Se F ∈ C(J,Rn
2
) é dada por F (t) = Y + tX, então F (0) = Y e
F ′(t) = X, para todo t ∈ J . Para cada k ≥ 0, definimos Fk ∈ C(J,Rn
2
) por
Fk(t) =
F (t)k
k!
. Pelo Lema 1.2, segue que
F ′k(t) =
1
k!
k
∑
l=1
F (t)l−1XF (t)k−l.
Temos então que, para todo t ∈ J ,
|Fk(t)| ≤
|F (t)|k
k!
≤
‖F‖k
k!
2.4. PROPRIEDADES DA EXPONENCIAL 19
e que
|F ′k(t)| ≤
1
k!
k
∑
l=1
|F (t)|l−1 |X| |F (t)|k−l = |X|
‖F‖k−1
(k − 1)!
.
Portanto seguem as desigualdades
‖Fk‖ ≤
‖F‖k
k!
e ‖F ′k‖ ≤ |X|
‖F‖k−1
(k − 1)!
.
Como
∑ ‖F‖k
k!
= e‖F‖
e também
∑
k≥1
|X|
‖F‖k−1
(k − 1)!
= |X| e‖F‖,
segue, pela Proposição 1.4, que
(E(F (t)))′ =
(
∑
Fk(t)
)′
=
∑
k≥1
F ′k(t).
Temos que a derivada direcional de E no ponto Y ∈ B e na direção X é
dada por
∂XE(Y ) = (E(F (t)))
′
t=0 =
∑
k≥1
Gk(Y ),
onde
Gk(Y ) = F
′
k(0) =
1
k!
k
∑
l=1
Y l−1XY k−l.
Como |Y | ≤ R, temos então que
|Gk(Y )| ≤
1
k!
k
∑
l=1
|Y |l−1|X||Y |k−l
≤ |X|
Rk−1
(k − 1)!
,
mostrando que
‖Gk‖ ≤ |X|
Rk−1
(k − 1)!
.
20 CAPÍTULO 2. EXPONENCIAL
Como
∑
k≥1
|X|
Rk−1
(k − 1)!
= |X|eR,
segue, pela Proposição 1.2, que ∂XE =
∑
k≥1Gk ∈ C(B,R
n2), mostrando
que E é de classe C1.
Por outro lado, temos que a derivada de E na origem é dada por
E ′(0)X = ∂XE(0) =
∑
k≥1
Gk(0) = X,
mostrando que E ′(0) é a aplicação identidade.
Quando Y = 0, temos que
Fk(t) =
(tX)k
k!
=
tk
k!
Xk
e então
F ′k(t) =
tk−1
(k − 1)!
Xk = X
(tX)k−1
(k − 1)!
.
Nesse caso, temos que, para todo t ∈ J ,
(etX)′ = (E(F (t)))′ =
∑
k≥1
X
(tX)k−1
(k − 1)!
= XetX .
�
2.5 Comutador de matrizes
O comutador entre as matrizes X e Y é a matriz dada por
[X, Y ] = XY − Y X.
É fácil de notar que duas matrizes X, Y comutam se e só se [X, Y ] = 0.
Proposição 2.5 Temos que eX+Y = eXeY , sempre que [X, Y ] = 0.
2.5. COMUTADOR DE MATRIZES 21
Prova: Pelo teorema da existência e unicidade de equações diferenciais,
basta mostrarmos que O(t) = et(X+Y ) e P (t) = etXetY satisfazem o mesmo
problema de valor inicial. Pela Teorema 2.4, temos que O′(t) = (X+Y )O(t)
e que O(0) = I. Por outro lado, temos que que P (0) = I e, pela regra do
produto, segue que
P ′(t) = XetXetY + etXY etY
= (X + Y )etXetY
= (X + Y )P (t)
onde utilizamos que o fato que Y comuta com etX , já que comuta com X. �
Corolário 2.5.1 Sejam X, Y ∈ Rn
2
. Temos que [X, Y ] = 0 se e só se
etXesY = esY etX para todo t ∈ R e todo s ∈ R.
Prova: Dados t, s ∈ R, se [X, Y ] = 0, segue, evidentemente, que [tX, sY ] =
0. Logo, pelo teorema precedente, etXesY = etX+sY = esY+tX = esY etX . Re-
ciprocamente, supõe-se que etXesY = esY etX para todo t ∈ R e todo s ∈ R.
Derivando em relação a s em s = 0, tem-se que etXY = Y etX . E, derivando
em relação a t em t = 0, tem-se XY = Y X. Isso completa a prova da recí-
proca. �
22 CAPÍTULO 2. EXPONENCIAL
Capítulo 3
Limites de Produtos
Fazendo uso dos resultados dos capítulos anteriores, demonstramos alguns
resultados fundamentais para os próximos capítulos.
3.1 Produto e comutador de exponenciais
Definimos
P (t) = etXetY , e C(t) = e−tXe−tY etXetY
para t num intervalo real de centro 0.
Proposição 3.1 Temos que P (0) = C(0) = I, que
P ′(0) = X + Y, C ′(0) = 0
e que
P ′′(0) = X2 + 2XY + Y 2, C ′′(0) = 2[X, Y ].
Prova: A igualdade P (0) = C(0) = I é imediata de e0 = I. Usando a regra
do produto, temos que
P ′(t) = XetXetY + etXY etY ,
mostrando que P ′(0) = X + Y. Temos que C(t) = T (t)P (t), onde
T (t) = P (−t), T ′(t) = −P ′(−t) e T ′′(t) = P ′′(−t).
23
24 CAPÍTULO 3. LIMITES DE PRODUTOS
Pela regra do produto, segue que
C ′(0) = T (0)P ′(0) + T ′(0)P (0) = P ′(0) + T ′(0) = 0.
Temos que
P ′′(t) = X2etXetY + 2XetXY etY + etXY 2etY ,
de onde segue que
P ′′(0) = X2 + 2XY + Y 2 = T ′′(0).
Novamente pela regra do produto, segue que
C ′′(0) = T (0)P ′′(0) + T ′(0)P ′(0) + T ′(0)P ′(0) + T ′′(0)P (0)
= 2(P ′′(0)− P ′(0)2)
= 2(X2 + 2XY + Y 2 − (X + Y )2)
= 2[X, Y ].
�
3.2 Logaritmo do produto e do comutador
Como a derivada da exponencial E na origem é a identidade (ver Teorema
2.4), pelo teorema da função inversa, segue que E é um difeomorfismo de
uma vizinhança V da origem com uma vizinhança U de E(0) = I. Assim
está definido em U a função logaritmo E−1, de modo que podemos definir
Q(t) = E−1(P (t)) e B(t) = E−1(C(t))
numa intervalo J centrado em 0 tal que P (t), C(t) ∈ U para todo t ∈ J . A
existência desse intervalo J é garantida pela continuidade de P e C. Note,
então, que
E(Q(t)) = P (t) e E(B(t)) = C(t).
Proposição 3.2 Temos que Q(0) = B(0) = 0, que
B′(0) = 0 e Q′(0) = X + Y.
Além disso,
lim
t→0
Q(t)
t
= X + Y e lim
t→0
B(t)
t2
= [X, Y ].
3.2. LOGARITMO DO PRODUTO E DO COMUTADOR 25
Figura 3.1: Logaritmo do produto e do comutador.
Prova: Temos que E(Q(0)) = P (0) = I, e que E(B(0)) = C(0) = I. Pela
injetividade da exponencial, segue que Q(0) = B(0) = 0. Pela regra da
cadeia, temos que
C ′(0) = E ′(B(0))B′(0) = E ′(0)B′(0) = B′(0).
Portanto, pela proposição precedente, segue que B′(0) = C ′(0) = 0.
Pela fórmula de Taylor,
C(t) = I + tC ′(0) +
t2
2
C ′′(0) +R(t)
= I +
t2
2
(2[X, Y ]) +R(t)
= I + t2[X, Y ] +R(t),
onde lim
t→0
R(t)
t2
= 0. Logo
1
t2
(C(t)− I) = [X, Y ] +
R(t)
t2
e então
lim
t→0
(
1
t2
(C(t)− I)
)
= lim
t→0
(
[X, Y ] +
R(t)
t2
)
= [X, Y ].
26 CAPÍTULO 3. LIMITES DE PRODUTOS
Temos também que
B(t) = B(0) +B′(0)t+ r(t),
onde lim
t→0
r(t)
t
= 0. Como B(0) = B′(0) = 0, temos que
lim
t→0
B(t)
t
= lim
t→0
r(t)
t
= 0.
Por outro lado,
1
t2
(C(t)− I) =
1
t2
(E(B(t))− I)
=
1
t2
(
B(t) +
∑
k≥2
B(t)k
k!
)
=
B(t)
t2
+
(
B(t)2
t2
)
∑
k≥2
B(t)k−2
k!
.
Evidente que
∑
k≥2
B(t)k−2
k!
é contínua e que, portanto,
lim
t→0
∑
k≥2
B(t)k−2
k!
=
I
2
.
Como
lim
t→0
B(t)2
t2
=
(
lim
t→0
B(t)
t
)2
= 0,
segue que
lim
t→0
(
1
t2
(C(t)− I)
)
= lim
t→0
(
1
t2
(E(B(t))− I)
)
= lim
t→0
B(t)
t2
+ lim
t→0
(
B(t)2
t2
∑
k≥2
B(t)k−2
k!
)
= lim
t→0
B(t)
t2
3.3. EXPONENCIAL DA SOMA E DO COMUTADOR 27
Isso provou que
lim
t→0
B(t)
t2
= lim
t→0
(
1
t2
(C(t)− I)
)
= [X, Y ].
Por outro lado, pela regra da cadeia, temos que
P ′(0) = E ′(Q(0))Q′(0) = E ′(0)Q′(0) = Q′(0)
mostrando que Q′(0) = P ′(0) = X + Y . Pela definição de derivada, temos
que
Q(t) = Q(0) +Q′(0)t+ r(t) = t(X + Y ) + r(t)
onde lim
t→0
r(t)
t
= 0. Logo lim
t→0
Q(t)
t
= X + Y . �
3.3 Exponencial da soma e do comutador
A próxima proposição será de extrema importância nas próximas etapas do
trabalho.
Proposição 3.3 Temos que
eX+Y = lim
k→∞
(
e
X
k e
Y
k
)k
e também que
e[X,Y ] = lim
k→∞
(
e−
X
k e−
Y
k e
X
k e
Y
k
)k2
.
Prova: Temos que X + Y = lim
t→0
Q(t)
t
, pelo resultado anterior. Logo
eX+Y = elimt→0
Q(t)
t
= elimk→∞ kQ(
1
k
)
= lim
k→∞
(ekQ(1/k))
= lim
k→∞
(
eQ(1/k)
)k
= lim
k→∞
(P (1/k))k
= lim
k→∞
(
e
X
k e
Y
k
)k
.
28 CAPÍTULO 3. LIMITES DE PRODUTOS
De maneira análoga, como [X, Y ] = lim
t→0
B(t)
t2
, segue que
e[X,Y ] = elimt→0
B(t)
t2
= elimk→∞ B(
1
k
)k2
= lim
k→∞
eB(
1
k
)k2
= lim
k→∞
(
eB(
1
k
)
)k2
= lim
k→∞
(C(1/k))k
2
= lim
k→∞
(
e−
X
k e−
Y
k e
X
k e
Y
k
)k2
.
�
Capítulo 4
Homomorfismos
4.1 Grupo de matrizes
Denotamos por Gl(n) ⊂ Rn
2
o grupo das matrizes inversíveis de ordem n,
denominado grupo linear geral. Um grupos (de Lie) de matrizes G é subgrupo
de Gl(n) fechado em Gl(n).
Proposição 4.1 Sejam G ≤ Gl(n) e H ≤ Gl(m) grupos de matrizes. Dado
um homomorfismo φ : G → H, definimos
F =
{(
g
φ(g)
)
: g ∈ G
}
.
Se φ é contínuo, então F é um grupo de matrizes de Gl(n+m).
Prova: Com efeito, dada uma seqüência de termos
(
gn
φ(gk)
)
∈ F
convergente em Gl(n+m), supomos que
(
g
h
)
é o limite dessa seqüência
em Gl(n +m). Segue então que gk → g (em G) e φ(gk) → h (em H). Mas,
pela continuidade de φ, temos que φ(gk) → φ(g), logo, pela unicidadedos
limites, h = φ(g). Portanto
(
gk
φ(gk)
)
→
(
g
φ(g)
)
∈ F,
mostrando que F é fechado em Gl(n +m).
29
30 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS
Resta, então, provar que F é um subgrupo de Gl(m + n). Como efeito,
dados
(
g
φ(g)
)
,
(
h
φ(h)
)
∈ F , segue que
(
g
φ(g)
)−1
·
(
h
φ(h)
)
=
(
g−1
φ(g)−1
)
·
(
h
φ(h)
)
=
(
g−1h
φ(g)−1φ(h)
)
=
(
g−1h
φ(g−1h)
)
∈ F
uma vez que g−1h ∈ G. Isso completa a prova de que F é subgrupo de
Gl(n +m). �
4.2 Álgebra de matrizes
Uma álgebra (de Lie) de matrizes g é um subespaço vetorial de Rn
2
que é
fechado para o comutador de matrizes. Ou seja, uma álgebra de Lie é um
subespaço de Rn
2
tal que
[X, Y ] = XY − Y X ∈ g,
para todos X, Y ∈ g. Denotamos por gl(n) a álgebra Rn
2
de todas as matrizes
de ordem n, denominada álgebra linear geral.
Figura 4.1: Álgebra g do grupo G.
4.3. GRUPOS A UM PARÂMETRO 31
A cada grupo de matrizes G ≤ Gl(n) associamos o conjunto
g =
{
X ∈ gl(n) : etX ∈ G, ∀t ∈ R
}
,
denominado a álgebra de G. Mostraremos que g é, de fato, uma álgebra de
matrizes.
Proposição 4.2 A álgebra g de um grupo de matrizes G ≤ Gl(n) é uma
álgebra de matrizes.
Prova: Pela definição de g, para todo X ∈ g e todo α ∈ R, temos que
et(αX) ∈ G para todo t ∈ R, mostrando que αX ∈ g. Além disso, dado t ∈ R
e dados X, Y ∈ g, para todo k ∈ N, temos que e
tX
k , e
tY
k ∈ G. Como G é um
subgrupo de Gl(n), temos então que
(
e
tX
k e
tY
k
)k
∈ G, para todo k ∈ N. Pela
Proposição 3.3, temos que
lim
k→∞
(
e
tX
k e
tY
k
)k
= etX+tY = et(X+Y ) ∈ Gl(n)
Como G é fechado em Gl(n), segue que et(X+Y ) ∈ G para todo t ∈ R,
mostrando que X + Y ∈ g. Isso mostra que g é subespaço vetorial de Rn
2
.
Resta mostrar que g é fechado para o comutador. Analogamente ao
parágrafo anterior, é fácil verificar que, para todo k ∈ N e todo t ∈ R,
(
e−
tX
k e−
tY
k e
tX
k e
tY
k
)k2
∈ G. Pela Proposição 3.3, temos que
lim
k→∞
(
e−tX/ke−tY/ketX/ketY/k
)k2
= e[tX,tY ] = et[X,Y ] ∈ Gl(n)
Como G é fechado em Gl(n), segue que et[X,Y ] ∈ G para todo t ∈ R, mos-
trando que [X, Y ] ∈ g. �
4.3 Grupos a um parâmetro
Nessa seção, vamos caracterizar os homomorfismos contínuos da reta no
grupo linear geral, denominados de grupos a um parâmetro. Para isso é
necessário o seguinte resultado.
Proposição 4.3 Se g, h ∈ B(I, 1) ⊂ Rn
2
e g2 = h2, então g = h.
32 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS
Prova: Temos que g = I + A e h = I + B , onde |A| < 1 e |B| < 1. Logo
g2 = (I +A)2 = (I +B)2 = h2, donde segue que I +2A+A2 = I +2B+B2.
Ou seja, 2(A− B) = (B2 −A2).
E, fatorando, temos que 2(A − B) = B(B − A) + (B − A)A. Portanto,
tomando a norma,
2 |A− B| = |B(B − A) + (B − A)A|
≤ |B| |B − A|+ |B −A| |A|
= |B − A| (|A|+ |B|) .
Se, por absurdo, B 6= A, segue que 2 |A− B| < 2 |B − A|. Absurdo.
Portanto temos A = B, ou seja, g = h. �
Proposição 4.4 Temos que t 7→ g(t) é um grupo a um parâmetro se e só se
existe um único X ∈ gl(n) tal que g(t) = etX .
Prova: Com efeito, se g(t) = etX para algum X ∈ Rn
2
, então, pelo teorema
2.4, segue imediatamente que t 7→ g(t) é um grupo a um parâmetro.
Reciprocamente, pelo teorema da função inversa, existe r > 0 tal que a
função exponencial E : Rn
2
→ Gl(n) é um difeomorfismo da bola B(0, r)
numa vizinhança aberta U de I em Gl(n) contida na bola B(I, 1), como
ilustrado pela Figura 4.2.
Figura 4.2: Exponencial é difeomorfismo de B(0, r) em U .
Pela continuidade de g, segue que existe δ > 0 tal que |x| ≤ δ implica
g(t) ∈ U . Em particular, g(δ) ∈ U . Logo g(δ) = eY para algum Y ∈
B(0, r) ⊂ Rn
2
. Definindo X = 1
δ
Y , note que g(δ) = eδX .
4.4. HOMOMORFISMOS DERIVADOS 33
Provemos, por indução, que g
(
δ
2k
)
= e
δ
2k
X para todo k ∈ N. A afirma-
ção é verdadeira para k = 0. Utilizando o fato de g ser um homomorfismo,
temos que
(
g
(
δ
2k+1
))2
= g
(
2
δ
2k+1
)
= g
(
δ
2k
)
.
Por outro lado, pela hipótese de indução, temos que
(
e
δ
2k+1
X
)2
=
(
e
δ
2k
X
)
= g
(
δ
2k
)
.
Como
∣
∣
∣
∣
δ
2k+1
X
∣
∣
∣
∣
≤ |δX| < r, segue que e
δ
2k+1
X ∈ U . Como U é vizinhança
aberta de I com diâmetro menor que 1, pela proposição anterior, temos que
e
δ
2k+1
X = g
(
δ
2k+1
)
. Isso completa, então, a prova por indução da afirmação.
Para qualquer m ∈ Z e para todo k ≥ 0, temos que
g
(
m
δ
2k
)
=
(
g
(
δ
2k
))m
= em
δ
2k
X .
Ficou provado que g(t) = etX para todo t ∈
{
m
δ
2k
: k ∈ N, m ∈ Z
}
, que é
um subconjunto denso na reta. Como as funções g(t) e etX são contínuas,
segue que g(t) = etX para todo t ∈ R.
Resta provar a unicidade de X. Com efeito, supomos que
etX = etY .
Derivando os dois lados da igualdade em t = 0, segue que X = Y . �
4.4 Homomorfismos derivados
Um homomorfismo entre álgebras de matrizes é uma transformação linear
que preserva o comutador de matrizes.
34 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS
Proposição 4.5 Sejam G ≤ Gl(n) e H ≤ Gl(m) grupos de matrizes. Se
φ : G → H é contínuo, existe um único homomorfismo φ′ : g → h de álgebras
de Lie tal que o seguinte diagrama comuta
g
φ′
→ h
↓E ↓E
G
φ
→ H
ou seja
φ(eX) = eφ
′X ,
para todo X ∈ g.
Prova: Considere
F =
{(
g
φ(g)
)
: g ∈ G
}
.
Pela Proposição 4.1, temos que F é um grupo de matrizes de Gl(n + m).
Então podemos considerar a álgebra de matrizes f associada a F .
Para cada X ∈ g, temos que t 7→ φ(etX) é um homomorfismo contínuo.
Logo, pela Proposição 4.4, existe um único Xφ ∈ h tal que φ(e
tX) = etXφ ,
para todo t ∈ R. Temos então que, para todo X ∈ g,
Z =
(
X
Xφ
)
∈ f,
uma vez que, para todo t ∈ R,
etZ =
(
etX
etXφ
)
=
(
etX
φ(etX)
)
∈ F.
Como f é uma algebra de matrizes, para quaisquer
Z =
(
X
Xφ
)
e W =
(
Y
Yφ
)
∈ f
e para todo λ ∈ R, temos que
(
λX
λXφ
)
= λZ
(
X + Y
Xφ + Yφ
)
= Z +W
(
[X, Y ]
[Xφ, Yφ]
)
= [Z,W ]
4.4. HOMOMORFISMOS DERIVADOS 35
pertencem a f. Pela definição da álgebra f, para todo t ∈ R, temos que
etλZ =
(
etλX
etλXφ
)
∈ F,
mostrando que
et(λXφ) = φ
(
et(λX)
)
= et(λX)φ.
De forma análoga, concluímos que
et(Xφ+Yφ) = φ
(
et(X+Y )
)
= et(X+Y )φ
e que
et[Xφ,Yφ] = φ
(
et[X,Y ]
)
= et[X,Y ]φ .
Definindo φ′ : g → h por φ′(X) = Xφ e utilizando as equações acima e a
unicidade dada pela Proposição 4.4, segue que φ′ é homomorfismo de álgebras
de matrizes.
Resta então provar a unicidade de φ′. Supomos que existe homomorfismos
de álgebras de Lie φ′, ϕ′ : g → h tais que os diagramas
g
φ′
→ h
↓E ↓E
G
φ
→ H
e
g
ϕ′
→ h
↓E ↓E
G
φ
→ H
comutam. Segue que, dado X ∈ g, eφ
′X = φ(eX) = eϕ
′X . Pela injetividade
da exponencial numa vizinhança da origem, temos que φ′X = ϕ′X, para todo
X numa vizinhança da origem. Como φ′ e ϕ′ são transformações lineares,
segue que elas são iguais. �
O homomorfismo de álgebras φ′ associado ao homomorfismo topológico
φ é denominado homomorfismo derivado de φ. O próximo resultado mostra
homomorfismos derivados de isomorfismos topológicos são isomorfismos de
álgebras.
Corolário 4.5.1 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes. Se G e H são
isomorfos, então suas álgebras também são isomorfas.
36 CAPÍTULO 4. HOMOMORFISMOS
Prova: Com efeito, seja φ : G → H um isomorfismo de grupos (topológicos).
Pelo teorema precedente, temos que existe um homomorfismo φ′ : g → h
φ′ : g → h tal que
g
φ′
→ h
↓E ↓E
G
φ
→ H
comuta. Da mesma forma, existe um homomorfismo (φ−1)′ : h → g tal que
h
(φ−1)
′
→ g
↓E ↓E
H
φ−1
→ G
comuta. Logo segue que
h
φ′◦(φ−1)
′
−→ h
↓E ↓E
H
φ◦φ−1
−→ H
comuta. Pela unicidade do homomorfismo de álgebras de Lie associado a
(φ ◦ φ−1) = idH : H → H , segue que
(
φ′ ◦ (φ−1)
′)
= idh : h → h. De forma
análoga, concluímos que
(
(φ−1)
′
◦ φ′
)
= idg : g → g.
Isso completou a prova de que (φ−1)′ = (φ′)−1, ou seja, completou a prova
de que φ′ é um isomorfismo e, portanto, g e h são isomorfos. �
Capítulo 5
Grupos Euclideanos
O principal objetivo deste capítulo é mostrar que os grupos de matrizes são
localmente homeomorfos às suas álgebras.
5.1 Grupos topológicos
Um grupo topológico é um grupo munido de uma topologia tal que as opera-
ções deproduto e inversão são contínuas. Um grupo euclideano é um grupo
topológico tal que, para todo elemento g ∈ G, existe uma vizinhança U de
g ∈ G tal que U é homeomorfo a um aberto de Rd, para algum d ∈ N.
Lema 5.1 Seja G um grupo topológico. Segue que G é um grupo euclideano
se e só se existe uma vizinhança da identidade que é homeomorfa a um aberto
de Rd, para algum d ∈ N.
Prova: Sejam G um grupo topológico e U uma vizinhança do elemento neu-
tro homeomorfa a um aberto V ⊂ Rd. Dado g ∈ G, tem-se que Dg : G → G,
dado por Dg(h) = hg é evidentemente um homeomorfismo, pois sua inversa
Dg−1 é contínua. Temos, então, que Dg(V ) = Ug é uma vizinhança de g
homeomorfa a U e, portanto, homeomorfa a V . Isso completa a prova de
que, para todo g ∈ G, existe uma vizinhança gU homeomorfo a um aberto
V de um espaço euclideano. �
37
38 CAPÍTULO 5. GRUPOS EUCLIDEANOS
5.2 Carta da identidade
Vamos mostrar que a restrição da exponencial a uma vizinhança aberta da
origem da álgebra de um grupo de matrizes é um homeomorfismo com uma
vizinhança aberta da identidade do respectivo grupo de matrizes.
Lema 5.2 Seja G ⊂ Gl(n) um grupo de matrizes. Se (Yk) é uma seqüência
em E−1(G) tal que Yk → 0 e se (sk) é uma seqüência de números reais tal
que skYk → X, então X ∈ g.
Prova: Dado t ∈ R, existe lk ∈ Z tal que |lk − tsk| ≤ 1. Temos, então, que
|lkYk − tX| = |(lk − tsk)Yk + t(skYk −X)|
≤ |lk − tsk| |Yk|+ |t| |skYk −X|
≤ |Yk|+ |t| |skYk −X| .
Por hipótese, temos que Yk → 0 e |skYk −X| → 0. Assim, usando o teorema
do confronto, segue que |lkYk − tX| → 0, de modo que lkYk → tX. Mas
E(lkYk) = E(Yk)
lk ∈ G e portanto lkYk ∈ E
−1(G). Como E−1(G) é fechado,
isso implica que tX ∈ E−1(G) . Temos então que tX ∈ E−1(G) para todo
t ∈ R. Portanto X ∈ g. �
Teorema 5.3 Sejam G ≤ Gl(n) um grupo de matrizes e g a sua álgebra. A
exponencial E : g → G é um homeomorfismo de uma vizinhança aberta de 0
em g numa vizinhança aberta de I em G.
Prova: Seja c ⊂ gl(n) tal que gl(n) = g ⊕ c. Para cada X ∈ gl(n), temos
que X = Xg +X c, onde Xg ∈ g e X c ∈ c estão unicamente determinados.
Definimos F : gl(n) → Gl(n), onde
F (X) = E(Xg)E(X c) = eX
g
eX
c
.
Para qualquer X ∈ gl(n), temos que
F ′(0)X =
F (tX)
dt
|t=0 =
(
etX
g
etX
c)′
|t=0
=
(
(
etX
g)′
etX
c
+ etX
g (
etX
c)′
)
|t=0
= Xg +X c
= X.
5.2. CARTA DA IDENTIDADE 39
Isso mostra que F ′(0) é a identidade em gl(n). Pelo teorema da função
inversa, segue que existe uma vizinhanças aberta V de 0 tais que E e F
restritas a V são difeomorfismos sobre suas imagens (que são abertas).
Figura 5.1: Sequência Yk e suas componentes.
Caso I não estivesse no interior de E(g) em G, existiria gk → I tal que
gk ∈ G e gk 6∈ E(g). Definindo-se Yk = F−1(gk), segue que
gk = F (Yk) = E(Y
g
k )E(Y
c
k ).
Segue também que Y ck 6= 0, pois o contrário implicaria gk = E(Y
g
k ) ∈ E(g),
o que contraria as hipóteses acima. Como gk e E(Y
g
k ) pertencem a G, segue
que
E(Y ck ) = E(Y
g
k )
−1gk ∈ G,
mostrando que
Y ck ∈ E
−1(G).
Como gk → I, tem-se que
Yk = F
−1(gk) → F
−1(I) = 0.
Temos então que Y ck → 0, que Y
c
k 6= 0 e que Y
c
k ∈ E
−1(G). Pela compacidade
da esfera unitária em c, podemos supor sem perda de generalidade que
1
|Y ck |
Y ck → X,
para algum X ∈ c com |X| = 1. Pelo lema anterior, é fácil verificar que isso
implica que X ∈ g, o que é um absurdo, pois g ∩ c = {0}. �
40 CAPÍTULO 5. GRUPOS EUCLIDEANOS
Corolário 5.3.1 Se G é um grupo de matrizes, então G é euclideano.
Prova: Com efeito, seja G um grupo de matrizes. Sua álgebra associada é,
em particular, um espaço euclideano. Pelo provado, existe uma vizinhança
da identidade homeomorfa a uma aberto da álgebra associada. Logo, pelo
lema 5.1, tem-se que G é um grupo euclideano. �
Apêndice A
Exercícios
A.1 Exponencial
Exercício 1 Mostre que se
X =
(
λ
−λ
)
,
então
etX =
(
etλ
e−tλ
)
.
Exercício 2 Demonstre que se
X =
(
−1
1
)
,
então
etX =
(
cos(t) −sen(t)
sen(t) cos(t)
)
.
Exercício 3 Prove que se
X = gY g−1,
então
etX = getY g−1.
41
42 APÊNDICE A. EXERCÍCIOS
A.2 Grupos de matrizes
Exercício 4 Sejam G ≤ Gl(n) e H ≤ Gl(m) grupos de matrizes. Prove
que
G×H =
{(
g
h
)
: g ∈ G, h ∈ H
}
≤ Gl(n +m)
é um grupo de matrizes, denominado grupo produto de G por H . Mostre que
G×H é compacto se e só se G e H são compactos.
Exercício 5 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes. Mostre que
Z(H,G) = {g ∈ G : gh = hg, ∀h ∈ H}
é um grupo de matrizes, denominado centralizador de H em G.
Exercício 6 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, demonstre que
N(H,G) = {g ∈ G : gH = Hg}
é um grupo de matrizes, denominado normalizador de H em G.
Exercício 7 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, prove que G ∩ H é
um grupo de matrizes.
Exercício 8 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, se H é compacto e
G ≤ H , então G é compacto.
Exercício 9 Prove que
Sl(n) = {g ∈ Gl(n) : det(g) = 1}
é um grupo de matrizes não compacto, denominado grupo linear especial.
A.2. GRUPOS DE MATRIZES 43
Exercício 10 Prove que
O(n) =
{
g ∈ Gl(n) : gTg = I
}
é um grupo de matrizes compacto, denominado grupo ortogonal. Mostre
também que O(n) ≤ Sl(n).
Exercício 11 Como conseqüência dos quatro exercícios anteriores, verifique
que SO(n) = O(n) ∩ Sl(n) é um grupo de matrizes compacto, denominado
grupo ortogonal especial.
Exercício 12 Denotando
J =
(
−I
I
)
∈ Gl(2n),
prove que
Sp(n) =
{
g ∈ Gl(2n) : gTJg = J
}
é um grupo de matrizes, denominado grupo simplético.
Exercício 13 Mostre que
S1 = {z ∈ C : |z| = 1}
é topologicamente isomorfo a SO(2).
Exercício 14 Como conseqüência do exercícios anterior, demonstre que o
toro
T n = S1 × · · · × S1
é topologicamente isomorfo a um grupo de matrizes em Gl(2n).
44 APÊNDICE A. EXERCÍCIOS
A.3 Álgebras de matrizes
Exercício 15 Sejam G ≤ Gl(n), H ≤ Gl(m) grupos de matrizes, g a
álgebra de G e h a álgebra de H . Prove que
g× h =
{(
X
Y
)
: X ∈ g, Y ∈ h
}
≤ gl(n+m)
é a álgebra do grupo G×H , denominada álgebra produto de g por h.
Exercício 16 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, g a álgebra de G e
h a álgebra de H . Mostre que g ∩ h é a álgebra de G ∩H .
Exercício 17 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, demonstre que
z(h, g) = {X ∈ g : [X, h] = 0}
é a álgebra do centralizador Z(H,G), denominada centralizador de h em g.
Exercício 18 Sejam G,H ≤ Gl(n) grupos de matrizes, prove que
n(h, g) = {X ∈ g : [X, h] ⊂ h}
é a álgebra do normalizador N(H,G), denominada normalizador de h em g.
Exercício 19 Mostre que
sl(n) = {X ∈ gl(n) : tr(X) = 0}
é a álgebra do grupo SL(n).
A.4. HOMOMORFISMOS 45
Exercício 20 Demonstre que
o(n) =
{
X ∈ gl(n) : XT +X = 0
}
é a álgebra de O(n) e também de SO(n).
Exercício 21 Prove que
sp(n) =
{
X ∈ gl(2n) : XTJ + JX = 0
}
é a álgebra de Sp(n).
A.4 Homomorfismos
Exercício 22 Sejam det : GL(n) → R∗ a função determinante e tr :
gl(n) → R a função traço. Mostre que
det(eX) = etr(X).
Exercício 23 Sejam G,H ≤ H grupos de matrizes. Demonstre que se
φ : G → H é um homomorfismo e φ′ : g → h seu homomorfismo derivado,
então a álgebra do núcleo Ker(φ) de φ é o núcleo Ker(φ′) de φ′.
A.5 Grupos topológicos
Exercício 24 Sejam G um grupo topológico. Se H ≤ G é aberto em G.
Prove que H também é fechado em G.
46 APÊNDICE A. EXERCÍCIOS
Exercício 25 Sejam G um grupo topológico conexo e U uma vizinhança
do elemento neutro. Mostre que
G =
⋃
k≥1
Uk,
onde
Uk = {g1 · · · gk : g1, . . . , gk ∈ U}.
Exercício 26 Seja G um grupo topológico conexo. Demonstre que se H ≤
G é tal que int(H) 6= ∅, então H = G. Conclua que o único subgrupo aberto
de um grupo topológico G conexo é o próprio G. Em particular, não há
subgrupos próprios do grupo aditivo R que contenha intervalos.
Exercício 27 Sejam G1, G2 grupos topológicos, H1 ⊳ G1 e H2 ⊳ G2. Prove
que
G1 ×G2
H1 ×H2
≃
G1
H1
×
G2
H2
.
Exercício 28 Mostre que S1 é topologicamente isomorfo R/Z.
Exercício 29 Demonstre que T k é topologicamente isomorfo Rk/Zk.
Exercício 30 Prove que se G ≤ Rn é discreto, então G ≃ Zk (k ≤ n).
Exercício 31 Sejam G,H grupos topológicos. Mostreque se φ : G → H é
um homomorfismo topológico sobrejetivo e aberto, então
H ≃ G/Ker(φ).
A.6. GRUPOS EUCLIDEANOS 47
A.6 Grupos euclideanos
Exercício 32 Demonstre que se G é um grupo de matrizes abeliano, então
g é abeliano.
Exercício 33 Prove que a recíproca do exercício anterior é verdadeira
quando G é um grupo de matrizes abeliano conexo.
Exercício 34 Seja G um grupo de matrizes. Mostre que se H é subgrupo
normal de G, então h é ideal de g (subálgebra tal que n(h, g) = g).
Exercício 35 Demonstre que quando G é conexo, a recíproca do exercício
anterior é verdadeira.
Exercício 36 Sejam G um grupo de matrizes e g a álgebra de G. Prove que
se G é abeliano conexo, então a exponencial E : g → G é um homomorfismo
topológico sobrejetivo e aberto. Mostre que Ker(E) é subgrupo normal do
grupo aditivo g.
Exercício 37 Mostre que se G é abeliano conexo, então
G ≃ g/Ker(E) ≃ T k × Rm.
Exercício 38 Mostre que se G é abeliano, conexo e compacto, então G é
algum toro, ou seja, G ≃ T k.