ELE-Fourier7

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TRANSFORMADA DE FOURIER (Caṕıtulo 7 - Transformadas em S ′(R))
Professor Oswaldo Rio Branco de Oliveira
http://www.ime.usp.br/~oliveira (ano 2015) oliveira@ime.usp.br
Objetivos.
Caṕıtulo 1 - Algumas Motivações e Interpretações.
1.1 Sinal e Séries de Fourier................................................................................2
1.2 Peŕıodo T ≠ 1..............................................................................................9
1.3 Energia de um Sinal e Energia Espectral........................................................10
1.4 Planetas, Hiparcus-Ptolomeu e a Transformada de Fourier............................. 17
1.5 Transformada de Fourier..............................................................................17
Caṕıtulo 2 - Ferramentas.
2.1 Integral de Riemann (Caracterização)............................................................20
2.2 Integral de Riemann X Integral de Lebesgue...................................................20
2.3 Números Complexos.................................................................................... 20
2.4 Séries e Somas Não Ordenadas......................................................................9
2.5 Exponencial Complexa.................................................................................10
2.6 Segundo TVM para Integrais. Função Teste. O δ de Dirac..............................30
2.7 Teorema de Fubini (em retângulos)...............................................................10
2.8 Continuidade Uniforme. Sequências e Séries de Funções (e de Potências)........10
2.9 Integral Imprópria na Reta............................................................................30
2.10 Integral Imprópria no Plano e Respectivos Tonelli e Fubini...............................30
2.11 A integral ∫ ∞−∞ e−t2dt =
√
π............................................................................30
2.12 Continuidade e Derivação sob o Signo de Integral................................ ...........30
2.13 Integral sobre Curvas em C.......................................... .................................30
2.14 Índice de uma Curva........................................................... ..........................30
2.15 Método das Frações Parciais em C, para Quociente de Anaĺıticas.....................30
2.16 A Integral ∫ ∞−∞ ∣ sin tt ∣dt = ∞ e a Integral ∫ ∞−∞ sin tt dt = π.....................................30
1
http://www.ime.usp.br/~oliveira
Caṕıtulo 3 - Transformada de Fourier.
3.1 Introdução...................................................................................................20
3.2 Definições e Propriedades Básicas.................................................................10
3.3 Exemplos de Transformadas de Fourier..........................................................10
3.4 O Lema de Riemann-Lebesgue......................................................................10
3.5 Decaimento x Suavidade..............................................................................10
3.6 Gaussianas e Aproximação............................................................................10
3.7 A Transformada de Fourier Inversa................................................................10
3.8 Fórmulas de Parseval e Plancherel.................................................................10
3.9 Fórmula para a Soma de Poisson...................................................................10
3.10 Teorema de Paley-Wiener.............................................................................10
Caṕıtulo 4 - A Transformada de Fourier Estendida como Valor Principal.
4.1 Introdução.................................................................................................. 10
4.2 A Transformada de Fourier F [ sinπt
πt
] (ξ) = Π(ξ) ............................................20
4.3 A Fórmula de Inversão de Fourier Revisitada..................................................10
4.4 A Identidade 1̂ = δ........................................................................................10
4.5 A Função de HeavisideH(t).........................................................................10
Caṕıtulo 5 - Produto de Convolução e Aproximação da Identidade.
5.1 Convolução..................................................................................................20
5.2 Aproximação da Identidade.................................................. .........................10
2
Caṕıtulo 6 - Funções Testes e o Espaço das Distribuições.
6.1 Funções Testes............................................................. ...............................20
6.2 Distribuições................................................................ ...............................10
6.3 Derivação, Translação, Dilatação e Multiplicação por Funções ........................10
6.4 A DerivadaH ′ = δ e Derivada de Função X Derivada de Distribuição................10
6.5 Convergência............ ...................................................................................10
6.6 Convolução e Aproximação............................................................................10
6.7 Propriedades da Convolução..........................................................................10
6.8 Caracterização da Continuidade de uma Distribuição.......................................10
Caṕıtulo 7 - Transformadas de Fourier de Distribuições Temperadas.
7.1 Convergência em S(R).................................................................................20
7.2 Distribuições Temperadas: S ′(R) . ...............................................................10
7.3 Transformadas de Fourier em S ′(R).. ............................................................10
7.4 A Identidade T̂f = Tf̂ .................................................... .............................. 10
7.5 A Transformada de Fourier Ĥ = δ
2
+ 1
2πi
PV (1
ξ
)............................................... 10
7.6 A Transformada de Fourier do Seno Cardinal (revisitada).................................10
7.7 As fórmulas ê2πiat = δ(t−a), 1̂ = δ (revisitada) e δ̂ = 1.................................10
3
.
4
Oswaldo Rio Branco de Oliveira
Caṕıtulo 7 - Convergência em S(R) e Distribuições Temperadas.
7.1 Convergência em S(R)
Também indicamos S(R), brevemente, por S.
Definição. Seja (ϕn) uma sequência de funções em S(R). Seja ϕ ∈ S(R).
Dizemos que ϕn converge a ϕ, se j →∞, se
xjϕ
(k)
n (x) uniformementeÐÐÐÐÐÐÐ→ xjϕ(k)(x) se n→∞, para quaisquer j e k.
Notação:
ϕn
SÐ→ ϕ se n→∞ ou, brevemente, ϕn SÐ→ ϕ.
Dada ϕ em S e dados j e k, ambos naturais, seja
pj,k(ϕ) = ∥xjϕ(k)∥∞ = sup{∣xjϕ(k)(x)∣ ∶ x ∈ R} .
Cada função
pj,k ∶ S → [0,∞)
é uma semi-norma (cheque).
Sejam (ϕn) em S e ϕ em S. Seja j e k dois números naturais arbitrários e
fixados. São então equivalentes as afirmações abaixo.
(1) ϕn
SÐ→ ϕ se n→∞.
(2) xjϕ
(k)
n (x) uniformementeÐÐÐÐÐÐÐ→ xjϕ(k)(x) se n→∞.
(3) pj,k(ϕn −ϕ) n→∞ÐÐ→ 0.
A afirmação (3) revela que a convergência em S é determinada pela famı́lia
(enumerável ou contável) de semi-normas {pj,k ∶ j e k são naturais}.
Teorema 7.1. Suponha que ϕn
SÐ→ 0. Seja x a variável espacial na reta. Então
(a) Dϕn
SÐ→ 0, onde D é o operador derivação na variável x.
(b) Mϕn
SÐ→ 0, com M o operador multiplicação por x [i.e., M(ϕ)(x) = xϕ(x)].
(c) ϕ̂n
SÐ→ 0.
5
Prova.
(a) Segue de
pj,k(ϕ′) = pj,k+1(ϕ), para toda ϕ ∈ S.
(b) Segue da identidade Dk[xϕ(x)] = kDk−1ϕ + xDkϕ e então de
pj,k(xϕ) ≤ kpj,k−1(ϕ) + pj+1,k(ϕ), para toda ϕ ∈ S.
(c) Sejam j e k dois números naturais e ϕ em S. Então temos
ξj ( d
dξ
)
k
ϕ̂(ξ) = (−2πi)k(2πi)j F {
dj
dxj
[xkϕ(x)]} .
Donde segue
pj,k(ϕ̂) ≤ ∥D
j [xkϕ(x)]∥
1(2π)j−k
≤ ∥
1
1+x2
∥
1
∥(1 + x2)Dj [xkϕ(x)]∥∞
(2π)j−k
≤ πp0,j(Mkϕ) + p2,j(Mkϕ)(2π)j−k .
Por (b) temos queMkϕn
SÐ→ 0 se n→∞. Portanto, p0,j[(−2πi)kMkϕn)]→ 0
etambém p2,j[(−2πi)kMkϕn)]→ 0. Logo, pelos cômputos acima segue
pj,k(ϕ̂n)→ 0♣
Dizemos que a derivação D, a multiplicação M e a transformada de Fourier
F são operadores lineares cont́ınuos em S.
Corolári 7.2. A transformada de Fourier
F ∶ S(R)→ S(R)
é bijetora e bicont́ınua.
Prova.
6
Oswaldo Rio Branco de Oliveira
7.2 Distribuições Temperadas: S ′(R)
7
7.3 Transformada de Fourier em S ′(R)
8
Oswaldo Rio Branco de Oliveira
7.4 A Identidade T̂f = Tf̂ .
Não há ambiguidade entre a definição de transformada de Fourier para funções
absolutamente integráveis e a definição de transformada de Fourier para distri-
buições temperadas.
Sejam
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩
R1 = R1(R) = {f ∶ R→ C, com f absolutamente integrável (impropriamente)}
e
C0 = C0(R) = {f ∶ R→ C, com f cont́ınua e tendendo a 0 no infinito}.
Proposição. Sejam f ∶ R→ C absolutamente integrável e
f̂(ξ) = ∫ e−2πiξtf(t)dt.
Então, temos
T̂f = Tf̂ .
Isto é, o diagrama abaixo é comutativo.
R1 T //
""❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
❊
F
��
S ′
F
��
C0
T
// S ′.
Prova.
Seja ϕ ∈ S. Por definição da transformada de Fourier em S ′ e de Tf , segue
⟨ T̂f , ϕ⟩ = ⟨Tf , ϕ̂⟩ = ∫ f(τ)ϕ̂(τ)dτ.
Pelo teorema de similaridade (ou multiplicação) [3.21] e as hipóteses segue
∫ f(τ)ϕ̂(τ)dτ = ∫ f̂(τ)ϕ(τ)dτ = ⟨Tf̂ , ϕ⟩ ♣
9
7.5 A Transformada de Fourier Ĥ = δ
2
+ 1
2πi
PV ( 1
τ
)
Lema 7.21. A função ln ∣x∣ é absolutamente integrável no sentido impróprio no
intervalo [−1,1]. Ainda mais, vale a desigualdade
∣ ln(x2 + ǫ2)∣ ≤ 1 + x2 + 2∣ ln ∣x∣∣, para quaisquer ǫ em [0,1] e x ≠ 0.
Prova.
◇ Com a troca de variável x = e−y temos
∫
1
−1
∣ ln ∣x∣∣dx = −2∫
1
0
lnxdx = −2∫
0
+∞
(−y)(−e−y)dy = 2∫
+∞
0
ye−ydy < ∞.
◇ Suponhamos 0 < x2 + ǫ2 < 1. A função ln(⋅) é estritamente crescente e então
∣ ln(x2 + ǫ2)∣ = − ln(x2 + ǫ2) = ln( 1
x2 + ǫ2) < ln
1
x2
= 2∣ ln ∣x∣∣.
Suponhamos x2 + ǫ2 ≥ 1. É claro que ln t < t para todo t > 0. Então,
∣ ln(x2 + ǫ2)∣ = ln(x2 + ǫ2) ≤ ln(x2 + 1) ≤ 1 + x2 ♣
Proposição 7.22 Seja H(t) a função de Heaviside,
H(t) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
1, se t ≥ 0,
0, caso contrário.
Mostremos que
Ĥ = δ
2
+ 1
2πi
PV (1
τ
) .
Solução.
◇ É trivial ver que H define uma distribuição temperada (cheque).
◇ Seja ǫ > 0. Observemos que
e−ǫt
ǫ→0ÐÐ→ 1 e 0 ≤ e−ǫt ≤ 1, para todo t ≥ 0.
10
Oswaldo Rio Branco de Oliveira
◇ Dada ϕ ∈ S, temos
⟨Ĥ,ϕ⟩ = ⟨H, ϕ̂⟩ = ∫ H(t)ϕ̂(t)dt = ∫
∞
0
ϕ̂(t)dt.
Pelo teorema de continuidade sob o sinal de integração segue (cheque)
(7.22.1) ⟨Ĥ,ϕ⟩ = ∫
∞
0
ϕ̂(t)dt = lim
ǫ→0
∫
∞
0
e−ǫtϕ̂(t)dt.
Pelo teorema de multiplicação (3.21) temos
∫
∞
0
e−ǫtϕ̂(t)dt = ∫ H(t)e−ǫtϕ̂(t)dt = ∫ F[H(t)e−ǫt](τ)ϕ(τ)dt.
Pela tabela de transformadas (Caṕıtulo 3, seção 3.3) encontramos
F[H(t)e−ǫt](τ) = 1
2πiτ + ǫ .
Donde segue
(7.22.2) ∫
∞
0
e−ǫtϕ̂(t)dt = ∫ 12πiτ + ǫϕ(τ)dt = ∫
−2πiτ + ǫ
4π2τ 2 + ǫ2ϕ(τ)dτ
= − i
4π ∫
8π2τ
4π2τ 2 + ǫ2ϕ(τ)dτ +∫
ǫ
4π2τ 2 + ǫ2ϕ(τ)dτ.
Analisemos as duas últimas integrais separadamente.
◇ A penúltima integral em (7.22.2). Temos
∫ 8π
2τ
4π2τ 2 + ǫ2ϕ(τ)dτ = ∫
d
dτ
[ ln(4π2τ 2 + ǫ2)]ϕ(τ)dτ
= ln(4π2τ 2 + ǫ2)ϕ(τ)∣+∞
−∞
−∫ ln(4π2τ 2 + ǫ2)ϕ′(τ)dτ
= −∫ ln(4π2τ 2 + ǫ2)ϕ′(τ)dτ.
Claramente (ǫ, τ)↦ [ln(4π2τ 2+ǫ2)]ϕ′(τ) é cont́ınua em [0,+∞)×{τ ∶ τ ≠ 0}.
Pelo lema 7.21 segue a desigualdade
∣ ln(4π2τ 2 + ǫ2)]ϕ′(τ)∣ ≤ [1 + 4π2τ 2 + 2∣ ln 2π∣τ ∣∣]∣ϕ′(τ)∣,
em que a função à direita é integrável em toda a reta. Então, pelo teorema
da continuidade sob o sinal de integração segue
lim
ǫ→0
∫ ln(4π2τ 2+ǫ2)ϕ′(τ)dτ = ∫ ln(4π2τ 2)ϕ′(τ)dτ = 2∫ ln(2π∣τ ∣)ϕ′(τ)dτ,
com todas estas integrais em destaque finitas.
11
◇ A penúltima integral em (7.22.2). Temos
∫ ǫ4π2τ 2 + ǫ2ϕ(τ)dτ =
1
2 ∫ ψǫ(τ)ϕ(τ)dτ,
onde
ψ(τ) = 2
4π2τ 2 + 1 , ψǫ(τ) =
1
ǫ
ψ (τ
ǫ
) = 2ǫ
4π2τ 2 + ǫ2
e ∫ ψ(τ)dτ =
arctan(2πτ)∣+∞
−∞
π
= 1.
Então, pelo Teorema de convergência pontual 5.6, ı́tens (i) ou (iii), segue
lim
ǫ→0
∫ ǫ4π2τ 2 + ǫ2ϕ(τ)dτ =
ϕ(0)
2
.
[Para outra argumentação, vide comentário a esta proposição.]
◇ Resumo parcial. Com as integrais até aqui analisadas e (7.22.2), obtemos
(7.22.3) ∫
∞
0
e−ǫtϕ̂(t)dt ǫ→0ÐÐÐ→ i
2π ∫ ln(2π∣τ ∣)ϕ′(τ)dτ +
ϕ(0)
2
.
◇ O δ de Dirac já surgiu. A seguir, computamos a integral convergente
∫ ln(2π∣τ ∣)ϕ′(τ)dτ = lim
a→0+
∫
−a
−∞
ln(−2πτ)ϕ′(τ)dτ+ lim
b→0+
∫
+∞
b
ln(2πτ)ϕ′(τ)dτ
= lim
a→0+
[ln(−2πτ)ϕ(τ)∣−a
−∞
−∫
−a
−∞
−2π
−2πτ ϕ(τ)dτ]
+ lim
b→0+
[ln(2πτ)ϕ(τ)∣+∞
b
−∫
+∞
b
2π
2πτ
ϕ(τ)dτ]
= lim
a→0+
[ln(2πa)ϕ(−a) −∫
−a
−∞
ϕ(τ)
τ
dτ]
+ lim
b→0+
[− ln(2πb)ϕ(b) −∫
+∞
b
ϕ(τ)
τ
dτ] .
Não é posśıvel continuar os cômputos com a e b independentes um do outro.
Consideremos a = b. Então segue
∫ ln(2π∣τ ∣)ϕ′(τ)dτ = lim
a→0+
[ln(2πa)ϕ(−a) − ln(2πa)ϕ(a) −∫
∣τ ∣≥a
ϕ(τ)
τ
dτ]
= lim
a→0+
[−2a ln(2πa)ϕ(a) −ϕ(−a)
2a
−∫
∣τ ∣≥a
ϕ(τ)
τ
dτ] .
É trivial ver que [com a troca 2πa = e−y no segundo limite abaixo]
lim
a→0+
ϕ(a) −ϕ(−a)
2a
= ϕ′(0) e lim
a→0+
2a ln(2πa) = lim
y→+∞
e−y(−y)
π
= 0.
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Oswaldo Rio Branco de Oliveira
Donde segue
∫ ln(2π∣τ ∣)ϕ′(τ)dτ = − lim
a→0+
∫
∣τ ∣≥a
ϕ(τ)
τ
dτ.
Isto é,
∫ ln(2π∣τ ∣)ϕ′(τ)dτ = −V P ∫ ϕ(τ)
τ
dτ.
Como valor principal de Cauchy para distribuição, escrevemos
∫ ln(2π∣τ ∣)ϕ′(τ)dτ = −V P (1
τ
)(ϕ).
Substituindo tal fórmula em (7.22.3) encontramos
∫
∞
0
e−ǫtϕ̂(t)dt ǫ→0ÐÐÐ→ − i
2π
V P (1
τ
) (ϕ) + δ
2
(ϕ).
Portanto, pela equação (7.22.1) conclúımos que
⟨Ĥ,ϕ⟩ = − i
2π
V P (1
τ
)(ϕ) + δ
2
(ϕ).
Isto é,
Ĥ = δ
2
+ 1
2πi
V P (1
τ
) ♣
Comentário. O limite
lim
ǫ→0+
∫ ǫ4π2τ 2 + ǫ2ϕ(τ)dτ
também pode ser analisada integrando por partes. Notemos que
∫ ǫ4π2τ 2 + ǫ2ϕ(τ)dτ =
1
2π ∫
d [arctan (2πτ
ǫ
)]
dτ
ϕ(τ)dτ
= 1
2π
[arctan(2πτ
ǫ
)ϕ(τ)∣+∞
−∞
−∫ arctan(2πτ
ǫ
)ϕ′(τ)dτ]
= − 1
2π ∫ arctan(
2πτ
ǫ
)ϕ′(τ)dτ.
Polo teorema da continuidade sob o sinal de integral segue (cheque)
1
2π ∫
+∞
0
arctan(2πτ
ǫ
)ϕ′(τ)dτ ǫ→0+ÐÐ→ 1
4 ∫
+∞
0
ϕ′(τ)dτ = −ϕ(0)
4
.
Analogamente,
1
2π ∫
0
−∞
arctan(2πτ
ǫ
)ϕ′(τ)dτ ǫ→0+ÐÐ→ −1
4 ∫
0
−∞
ϕ′(τ)dτ = −ϕ(0)
4
.
Por fim, encontramos
− 1
2π ∫ arctan(
2πτ
ǫ
)ϕ′(τ)dτ ǫ→0+ÐÐ→ 1
4 ∫ sgn(τ)ϕ′(τ)dτ =
ϕ(0)
2
.
13
7.6 A Transformada de Fourier do Seno Cardinal (revisitada).
Seja
f(t) = sinc(πt) = sinπt
πt
.
No Exemplo 3.4 vimos que a transformada de Fourier da função retangular é
Π̂ (ξ) = sinc(πξ) = f(ξ).
No caṕıtulo 4, seção 4.2 mostramos (como valor principal) a identidade
F [sinc(πt)] (ξ) =
⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩
Π(ξ), se ξ ≠ −1
2
,
1
2
, se ξ = ±1
2
.
Mostremos que tal transformada de Fourier coincide com a função retangular Π
no sentido de distribuições.
Seja ϕ no espaço de Schwartz. No sentido de distribuições temos
⟨f̂ , ϕ⟩ = ⟨f, ϕ̂⟩ = ⟨ Π̂ , ϕ̂⟩ = ⟨Π, ̂̂ϕ⟩ .
A mudança de variável t↦ −t mostra que (cheque, desenvolvendo as integrais)
⟨Π, ̂̂ϕ⟩ = ⟨Π−, ̂̂ϕ−⟩ .
A função Π é par e satisfaz Π− = Π. Logo,
⟨Π, ̂̂ϕ⟩ = ⟨Π, ̂̂ϕ−⟩ .
Substituindo tal identidade na definição de f̂ chegamos a
⟨f̂ , ϕ⟩ = ⟨Π, ̂̂ϕ−⟩ .
A fórmula de inversão (Corolário 3.26) garante ̂̂ϕ− = ϕ. Obtemos então
⟨f̂ , ϕ⟩ = ⟨Π, ϕ⟩ .
Isto é,
f̂ = Π♣
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Oswaldo Rio Branco de Oliveira
7.7 As fórmulas ê2πiat = δ(t − a), 1̂ = δ (revisitada) e δ̂ = 1.
Sejam a um ponto na reta, ϕ no espaço de Schwartz e t a variável na reta.
Então,
⟨F[e2πiat], ϕ ⟩ = ∫ e2πiaξϕ̂(ξ)dξ.
Pela propriedade translação-modulação segue
e2πiaξϕ̂(ξ) = F[ϕ(t + a)](ξ).
Logo,
⟨F[e2πiat], ϕ ⟩ = ∫ F[ϕ(t + a)](ξ)dξ.
Pela propriedade de integração (Corolário 3.23) segue
∫ F[ϕ(t + a)](ξ)dξ = ϕ(0 + a) = ϕ(a).
Logo,
⟨F[e2πiat], ϕ ⟩ = ϕ(a).
Por outro lado (convença-se com a notação integral para distribuições),
⟨δ(t − a), ϕ⟩ = ⟨δ,ϕ(t + a)⟩ = ϕ(0 + a) = ϕ(a).
Logo,
⟨F[e2πiat], ϕ ⟩ = ⟨δ(t − a), ϕ⟩ e então F[e2πiat] = δ(t − a) .
Em particular, no ponto a = 0 temos [reveja Caṕıtulo 4, seção 4.4]
1̂ = δ .
Por fim, temos
⟨δ̂, ϕ⟩ = ⟨δ, ϕ̂⟩ = ϕ̂(0) = ∫ e−2πi0tϕ(t)dt = ∫ ϕ(t)dt = ⟨1, ϕ⟩ .
Logo,
δ̂ = 1 .
15
BIBLIOGRAFIA
1. Apostol, T. M. Anaĺısis Matemático, Editorial Reverté, 1960.
2. Hairer, E. & Wanner, G. Analysis by Its History,Springer, 1996.
3. Lang, S. Undergraduate Analysis, 2nd ed., Springer, 1997 (China).
4. Lang, S. Complex Analysis, 4th ed., Springer, 1999
5. Lima, Elon L. Curso de Análise, Instituto de Matemática Pura e Aplicada,
1976.
6. Spivak, M. Calculus on Manifolds, Perseus Books, 1965.
7. Stein, E. M. & Shakarchi, R., Complex Analysis, Princeton University
Press, 2003.
∅
Departamento de Matemática
Universidade de São Paulo
oliveira@ime.usp.br
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