integral de cauchy

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Fórmula integral de Cauchy
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
  Definir a integral de Cauchy a partir da fórmula comumente utilizada 
no cálculo.
  Resolver integrais envolvendo variáveis complexas a partir da fórmula 
de Cauchy.
  Utilizar a fórmula integral de Cauchy em situações aplicadas.
Introdução
Neste capítulo, vamos abordar a fórmula da integral de Cauchy, que 
recebe esse nome em homenagem a Augustin Louis Cauchy. A fórmula 
de Cauchy é um importante teorema para a análise complexa. A fórmula 
nos diz que uma função holomorfa, definida em uma curva simples 
fechada C, é completamente determinada pelos seus valores na fronteira 
dessa curva. Dessa forma, será possível determinar a integral da curva 
desconsiderando a sua singularidade.
Integral de Cauchy
Seja uma função f, analítica em um conjunto aberto , em cada ponto de 
G dessa função, existe uma expansão em série de potências.
Da definição de conjunto conexo, temos que um conjunto Ω é conexo se 
não pode ser dividido em dois subconjuntos fechados simples em que não haja 
pontos em comum entre eles. Ou seja, um espaço é conexo se, para percorrer 
os intervalos entre dois pontos quaisquer, não for preciso sair do espaço 
delimitado pelo conjunto.
U N I D A D E 3 
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Teorema de Cauchy
Sejam Ω um conjunto simplesmente conexo, um contorno contido em Ω 
orientado no sentido anti-horário. Se f é uma função analítica, então:
para todo contido no interior de .
A integral acima também é comumente representada com o símbolo da 
integral de linha , já que a integral é em um percurso circular:
Porém, esse diferencial é apenas estético e gráfico, não prejudicando nosso 
desenvolvimento.
Uma generalização para a integral de Cauchy, sendo a função analítica, é:
onde n é a derivada n-ésima no ponto a.
Essa fórmula é denominada integral de Cauchy generalizada, que afirma 
que uma função é analítica em um ponto, então as suas derivadas de todas as 
ordens existem nesse ponto, além de serem analíticas nesse ponto.
Observe que a integral generalizada para n = 1 nos dá a fórmula da integral 
de Cauchy inicial. Decorre o teorema da integral de Cauchy:
Fórmula integral de Cauchy74
02996_Variaveis_Complexas.indb 74 21/03/2018 15:17:58
Vamos supor uma função f holomorfa (o mesmo que analítica), dentro de um caminho 
regular .
sendo um caminho simples que faz uma volta em torno do ponto a no sentido 
anti-horário.
Vamos calcular . Como f(z) está dividido por z − a, temos que a é 
uma singularidade de f; nesse caso, existe uma série de potência de a delimitada:
Se percorrido o caminho por e usarmos o conceito de “ponte” para o contorno de 
a, teremos que os caminhos e se anulam, já que estão em sentidos contrários. 
Na prática, essa “ponte” ocorre no mesmo ponto da curva.
O resultado pode ser mostrado pelo integral de fora, menos o integral de dentro:
quando não houver singularidade na área hachurada, sendo R o raio da circunferência 
que circunscreve a.
75Fórmula integral de Cauchy
02996_Variaveis_Complexas.indb 75 21/03/2018 15:17:58
Mas, se , então e .
Vamos fazer uma substituição de variável com :
Quando w tende a zero, tende à derivada da função. Mas, 
sendo a função holomorfa, conforme mencionado no início da demonstração, o seu 
módulo é menor ou igual ao produto do majorante M dividido pelo módulo de 2Π e 
pelo comprimento da curva de raio R.
Como R é o raio da circunferência que envolve a singularidade, ela está contida na 
função f, então a desigualdade é válida, em especial quando R tende a zero. Nesse caso, 
o módulo vai para zero. Sendo o módulo majorado por zero, temos que:
Nos restando apenas:
Faremos , então:
Portanto,
Fórmula integral de Cauchy76
02996_Variaveis_Complexas.indb 76 21/03/2018 15:17:59
Existem diversas demonstrações para a integral de Cauchy. Algumas simples, outras 
elegantes, e algumas que acabam precisando do uso de várias ferramentas de cálculo. 
É bom conhecer alguns destes caminhos.
Demonstração da integral de Cauchy de forma geométrica (IEEEACADEMIC, 2014a):
https://goo.gl/mDZauA
Uma demonstração simples da Fórmula Integral de Cauchy (PAULA, 2014):
https://goo.gl/NTQKXU
Integral de Cauchy e números complexos
Diferentemente de integrais no plano real, em que o comportamento é previsí-
vel, o plano complexo pode apresentar diferentes integrais para determinadas 
situações, como, por exemplo, percorrer o caminho entre dois pontos:
Figura 1. Caminho entre dois pontos.
Para forçarmos que o caminho percorrido entre i e 1 seja o caminho em 
cinza, faremos , com parte real x = t e parte 
imaginária y = 1 − t
77Fórmula integral de Cauchy
02996_Variaveis_Complexas.indb 77 21/03/2018 15:17:59
https://goo.gl/mDZauA
https://goo.gl/NTQKXU
Para a integral do caminho, dZ = dx + idy, então:
Como e , com 0 < t < 1, temos que:
Que tem como primitiva:
que é a integral procurada.
Outra forma de calcular a mesma integral é a seguinte.
Sendo Z = t + i – it, então e dZ = (1 – i) dt.
Portanto,
Fórmula integral de Cauchy78
02996_Variaveis_Complexas.indb 78 21/03/2018 15:17:59
Nos importa perceber, do exemplo acima, que, independentemente do 
caminho, sendo Z um número complexo, 
será dado por , não importando o caminho.
Determinar
para o mesmo segmento de i até 1.
Solução:
Temos, como primitiva:
Agora vejamos um exemplo com duas singularidades.
Determinar
ou seja, uma integral com singularidades em e 3.
79Fórmula integral de Cauchy
02996_Variaveis_Complexas.indb 79 21/03/2018 15:18:00
Vamos usar a soma dos integrais de Cauchy para as duas singularidades, de forma que:
Para ½
Por Cauchy, temos:
Para 3:
Por Cauchy, temos:
Como ,
Assim, temos que:
Fórmula integral de Cauchy80
02996_Variaveis_Complexas.indb 80 21/03/2018 15:18:00
Integral de Cauchy em situações aplicadas
As integrais de Cauchy têm diversas aplicações práticas. Entretanto, o processo 
de integração é passo necessário ao teorema do resíduo. Contudo, somente 
com a fórmula integral de Cauchy já é possível deduzir as suas diversas apli-
cações práticas e industriais para determinar, por exemplo, a área de contornos 
defi nidos por funções que contenham uma singularidade interna.
Ao longo deste capítulo, vimos vários exemplos que poderiam ser traduzidos 
para esse tipo de situação.
Acesse o link abaixo ou o código ao lado para ver uma 
demonstração da fórmula de Cauchy 
(IEEEACADEMIC, 2014b):
https://goo.gl/uAJ2Fd
1. Qual é o valor de , 
onde ?
a) .
b) .
c) 0.
d) 2.
e) .
2. Qual é o valor de , 
onde ?
a) .
b) .
c) 0.
d) 2.
e) .
81Fórmula integral de Cauchy
02996_Variaveis_Complexas.indb 81 21/03/2018 15:18:01
https://goo.gl/uAJ2Fd
IEEEACADEMIC PORTUGAL. A fórmula de Cauchy (demonstração). YouTube, 2014b. Dispo-
nível em: <https://www.youtube.com/watch?v=vemIyEyAFYg>. Acesso em: 20 fev. 2018.
IEEEACADEMIC PORTUGAL. O teorema de Cauchy. YouTube, 2014a. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=9pMv4eO9eK0>. Acesso em: 20 fev. 2018.
PAULA, H. L. Uma demonstração simples da Fórmula Integral de Cauchy. 2014. 29 f. Monografia 
(Especialização em Matemática) – Universidade Federal de Minas Gerais, Belo Horizonte, 
2014. Disponível em: <http://www.bibliotecadigital.ufmg.br/dspace/bitstream/han-
dle/1843/EABA-9MFJ8G/monografia_hellen.pdf?sequence=1>. Acesso em: 20 fev. 2018.
Leituras recomendadas
JESUS, D. V. Aplicações do Teorema do Resíduo. 2007. 79 f. Trabalho de Conclusão de Curso 
(Licenciatura em Matemática) — Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 
2007. Disponível em: <https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96550/
Daynitti.pdf?sequence=1>. Acesso em: 20 fev. 2018.
SASSE, F. D. Fórmula Integral de Cauchy: exemplo. YouTube, 2012. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=AmYVez8r8I4>. Acesso em: 20 fev. 2018.
WEISSTEIN, E. W. Cauchy Integral Formula. Wolfram MathWorld, 2018. Disponívelem: 
<http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralFormula.html>. Acesso em: 20 fev. 2018. 
ZANI, S. L. Funções de uma variável complexa. São Paulo: USP, 2018. Disponível em: 
<http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/szani/complexa.pdf>. Acesso em: 20 fev. 2018.
3. Dado um contorno fechado 
, qual é o 
valor de ?
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
4. Dada um contorno fechado 
, qual é o 
valor de ?
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
5. Seja um contorno que envolve 
a origem. A integral 
tendo e é:
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) .
e) .
Fórmula integral de Cauchy82
02996_Variaveis_Complexas.indb 82 21/03/2018 15:18:02
https://www.youtube.com/watch?v=vemIyEyAFYg
https://www.youtube.com/watch?v=9pMv4eO9eK0
http://www.bibliotecadigital.ufmg.br/dspace/bitstream/han-
https://repositorio.ufsc.br/bitstream/handle/123456789/96550/
https://www.youtube.com/watch?v=AmYVez8r8I4
http://mathworld.wolfram.com/CauchyIntegralFormula.html
http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/szani/complexa.pdf
Encerra aqui o trecho do livro disponibilizado para 
esta Unidade de Aprendizagem. Na Biblioteca Virtual 
da Instituição, você encontra a obra na íntegra.
Conteúdo: