Módulo 08 - Números Complexos

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CURSO ÁGAPE
	EEAR
2018/2019
	Álgebra III
	
	
	MÓDULO 08
 Prof. Carlos
NÚMEROS COMPLEXOS
DEFINIÇÃO
Número complexo é todo número que pode ser escrito na forma z = a + bi, sendo a e b IR e i = . Essa forma é chamada de forma algébrica do complexo z.
O número a é chamado parte real de z e o número b é chamado parte imaginária de z. Em símbolos, indicamos:
Re(z) = a
Im(z) = b
O número complexo i é chamado de unidade imaginária, e sua propriedade básica é:
i2 = –1
Observações:
· Se b = 0, o complexo z = a é chamado real.
· Se a = 0 e b 0, o complexo z = bi é chamado imaginário puro.
· O conjunto dos números reais (IR) é subconjunto do conjunto dos números complexos (C)
POTÊNCIAS DE i
Para calcularmos uma potência inteira de i, dividimos o expoente por 4 e tomamos o resto da divisão como novo expoente de i.
COMPLEXO CONJUGADO
Seja o número complexo z = a + bi. Definimos como complexo conjugado de z o complexo
OBS: Raízes Complexas
Se um número complexo z = a + bi com a, b e b 0 é raiz da equação algébrica P(x) = 0, de coeficientes reais, então o seu conjugado é também raiz da mesma equação
 = a – bi
ADIÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
A adição de números complexos é realizada através da adição dos termos semelhantes, ou seja, somamos as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias. 
Sejam  e  dois números complexos, tais que: =a+bi e =c+di.
Definiremos a adição de  e  da seguinte forma:
+=(a+bi)+(c+di)
+=(a+c)+(b+d)i
Exemplo:
Se =3+2i e =5−3i a soma será:
+=(3+5)+(2−3)i
+=8−i
SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
A subtração de números complexos é análoga à adição. Calculamos a diferença entre as partes reais de cada número e depois as partes imaginárias.
Sejam  e  dois números complexos, tais que: =a+bi e =c+di.
Definiremos a subtração de  e  da seguinte forma:
−=(a+bi)−(c+di)
−=(a−c)+(b−d)i
Exemplo:
Se =7+10i e =3+6i a diferença será:
−=(7−3)+(10−6)i
−=4−4i
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Para multiplicar números complexos utilizamos o mesmo método adotado na expansão de um produto notável, multiplicando cada termo do primeiro fator por todos os membros do segundo fator. Assim:
Sejam  e  dois números complexos, tais que: =a+bi e =c+di.
Definiremos a multiplicação de  e  da seguinte forma:
⋅=(a+bi)⋅(c+di)
⋅=(ac−bd)+(ad+bc)i
Exemplo:
Se =2+5i e =1+3i o produto será:
⋅=(2+5i)+(1+3i)
⋅=2⋅1+2⋅3i+5i⋅1+5i⋅3i
⋅=2+6i+5i+15i²
⋅=2+6i+5i+15⋅(−1)
⋅=2+6i+5i−15
⋅=(2−15)+(6+5)i
⋅=−13+11i
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Para dividir números complexos multiplicamos o dividendo e o divisor pelo conjugado do divisor. O conjugado de um número complexo =a+bi será =a−bi.
Sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, o denominador será um número real.
Sejam  e  dois números complexos, tais que: =a+bi e =c+di
Definiremos a divisão de  e  da seguinte forma:
Exemplo
Se =1+2i e =2+3i a divisão será:
 REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Um número complexo é constituído por duas componentes: a parte real e a parte imaginária. Isso sugere a utilização de dois eixos para representá-lo: um para a parte real e o outro para a parte imaginária. Esses dois eixos chamam-se eixo real e eixo imaginário, respectivamente. O plano determinado por esses dois eixos chama-se plano complexo.
Para desenharmos o gráfico do número complexo a + bi, marcamos o ponto (a; b) no plano.
Exemplo
MÓDULO
Chama-se módulo ou valor absoluto de um número complexo z = a + bi ao número real positivo , tal que:
 = z=
PLANO DE ARGAND-GAUSS
Chama-se argumento do complexo z = a + bi, não-nulo, ao ângulo . 
A cada número complexo z = a + bi podemos associar um ponto P(a, b) do plano cartesiano.
Assim, no eixo das abscissas, representa-se a parte real de z e, no eixo das ordenadas, a parte imaginária de z.
O ponto P é denominado afixo ou imagem de z.
A distância entre P e O é o módulo de z.
O ângulo formado por com o eixo real é o argumento de z.
Temos que e . Então, encontramos que z = a + bi = |z|(cos θ + isen θ). A expressão do número complexo z = a + bi escrito na forma :
z = |z|(cos θ + isen θ)
é dita a representação trigonométrica do numero.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
Suponha que z = |z|(cos θ +isen θ) e que w = |w|(cos ϕ+isen ϕ). 
Então:
 z .w = |z| |w|(cos θ + isen θ)(cos ϕ + isen ϕ) = 
= |z| |w| . [cos θ . cos ϕ − sen θ sen ϕ + i(cos θ sen ϕ + cos ϕ sen θ)] 
= |z| |w| [cos(θ + ϕ) + isen(θ + ϕ)] . 
Na última igualdade usamos a propriedade do cosseno e do seno da soma de dois arcos. 
Ora a igualdade acima, explica que o módulo de z.w é o produto dos módulos (fato já conhecido) e que o argumento de z .w é igual a soma dos argumentos de z e w.
Fórmula de Moivre
Dado um número inteiro n e um número complexo não nulo z = |z|(cos θ + isen θ), então vale:
 = (cos nθ + isen nθ).
A fórmula acima, conhecida como primeira fórmula de Moivre, é muito útil no cálculo de potências arbitrárias de números complexos. Antes de provarmos a fórmula, veja o exemplo a seguir.
POLINÔMIOS
Valor numérico de um polinômio
· Chama–se valor numérico de um polinômio p(x) ao número p(α) que obtemos substituindo–se, em p(x) , x por α, e efetuando–se as operações indicadas.
· Se para um número α temos p(α) = 0, dizemos que α é uma raiz ou zero do polinômio p(x).
Polinômio nulo
· Chamamos de polinômio nulo, ou identicamente nulo, a um polinômio p(x) quando seu valor numérico é igual a zero.
· O polinômio é nulo, se e somente se todos os seus coeficientes forem iguais a zero.
Identidade entre polinômios
Dois polinômios são idênticos quando todos os seus coeficientes são números iguais. Observe:
ax2 + (b+3)x +(c–7) ≡ –2x2 + 6x – 9
Para que esses polinômios sejam idênticos os coeficientes de mesmo grau precisam ser iguais, então:
a = – 2
b + 3 = 6
c – 7 = – 9
Grau de um polinômio
· Dado um polinômio p(x) com pelo menos um termo de coeficiente não nulo, o grau de p é o maior dos expoentes da variável x nos termos com coeficientes não nulos.
Teorema do resto
· O resto da divisão de um polinômio P(x) pelo binômio x - c é o valor numérico de P (x) em
 x = c, isto é, o resto é P (c).
Teorema de D’Alambert
· Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio x − c
 se e somente se P(c) = 0 , isto é, c é uma raiz de
 P(x).
Divisibilidade de um polinômio por (x − a)(x − b)
· Um polinômio é divisível pelo produto (x – a)(x – b), a ≠ b, se e somente se for divisível (separadamente) por x – a e x – b.
EQUAÇÕES POLINOMIAIS
Teorema Fundamental da Álgebra
· Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n, 
n 1, tem pelo menos uma raiz real ou complexa.
Teorema da Decomposição
· ax2 + bx + c a(x – x1)(x – x2), sendo x1 e x2 as raízes da equação.
· ax3 + bx2 + cx + d a(x – x1)(x – x2)(x – x3), sendo x1, x2 e x3 as raízes da equação.
· Toda equação polinomial P(x) = 0, de grau n,
n 1, tem exatamente n raízes reais ou complexas.
Multiplicidade de uma raiz
· Raiz de multiplicidade 2 ou raiz dupla quando a equação tem duas raízes iguais.
· Raiz de multiplicidade 3 ou raiz tripla quando a equação tem três raízes iguais. E assim sucessivamente.
Relações de Girard
· ax2 + bx + c = 0 
· 
soma das raízes 
· 
produto das raízes 
· ax3 + bx2 + cx + d = 0 
· 
soma das raízes 
· 
soma dos produtos das raízes dois a dois 
· 
produto das raízes 
· ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
· 
soma das raízes 
· 
soma dos produtos das raízes dois a dois 
· 
soma dos produtos das raízes três a três 
· 
produto das raízes 
Raízes iracionais e Complexas
· Toda vez que uma raiz for um número complexo ou um número irracional, o seu conjugado também será raiz do polinômio.
Briot-Ruffini
Serve para efetuar a divisão de um polinômio P(x) por um binômio da forma (ax+b).
1º) Colocamos a raiz do divisor e os coeficientes do dividendo ordenadamente na parte de cima da “cerquinha”.
2º) O primeiro coeficiente do dividendo é repetido abaixo.
3º) Multiplicamos a raiz do divisor por esse coeficiente repetido abaixo e somamos o produtocom o 2º coeficiente do 
dividendo, colocando o resultado abaixo deste.
4º) Multiplicamos a raiz do divisor pelo número colocado 
abaixo do 2º coeficiente e somamos o produto com
 o 3º coeficiente, colocando o resultado abaixo deste, e assim sucessivamente.
5º) Separamos o último número formado, que é igual ao
 resto da divisão, e os números que ficam à esquerda deste
 serão os coeficientes do quociente.
EXERCÍCIOS
01) (EEAR 1/2019) Seja a equação polinomial . Se –2 e 3 são suas raízes, sendo que a raiz 3 tem multiplicidade 2, o valor de “b” é
a) 8
b) 6
c) –3
d) –4
02) (EEAR 2/2018) Dado o número complexo Z = a + bi, se e , então a + b é
a) –6
b) –3
c) 2
d) 8
03) (EEAR 2/2018) Sejam os polinômios A(x) = x³ + 2x² – x – 4, B(x) = ax³ – bx² – 4x + 1 e P(x) = A(x) – B(x). Para que P(x) seja de grau 2, é necessário que
a) a ≠–1 e b = –2
b) a = 1 e b = –2
c) a = 1 e b ≠–2
d) a ≠1 e b ≠2
04) (EEAR 1/2018) Sejam os números complexos , e . O módulo de é igual a
a) 
b) 
c) 
d) 
05) (EEAR 2/2017) Considere e . Se é um número imaginário puro e é um número real, é correto afirmar que x + m pode ser igual a
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
06) (EEAR 2/2017) Ao dividir 3x³+ 8x² +3x+ 4 por x²+3x+2 obtém-se _____ como resto.
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
07) (EEAR 1/2017) Se i é a unidade imaginária, então 2i³ + 3i² + 3i + 2 é um número complexo que pode ser representado no plano de Argand-Gauss no ___________ quadrante.
a) primeiro
b) segundo
c) terceiro
d) quarto
08) (EEAR 1/2017) Considere P(x)=2x³+bx²+cx , tal que P(1) =- 2 e P(2) = 6. Assim, os valores de b e c são, respectivamente,
a) 1 e 2
b) 1 e -2
c) -1 e 3
d) -1 e -3
09) (EEAR 2/2016) Sabe-se que os números complexos e são
iguais. Então, os valores de m e n são, respectivamente
a) 3 e 1
b) 2 e 1
c) 2 e -1
d) 3 e -1
10) (EEAR 2/2016)Dado o polinômio: ax³ + (2a + b)x² + cx + d – 4 = 0, os valores de a e b para que ele seja um polinômio de 2º grau são
a) a = 0 e b = 0
b) a = 1 e b ≠ 0
c) a = 0 e b ≠ 0
d) a = -1 e b = 0
11) (EEAR 1/2016) Sejam Z1 e Z2 dois números complexos. Sabe-se que o produto de Z1 e Z2 é –10 + 10i. Se Z1= 1 + 2i, então o valor de Z2 é igual a
a) 5 + 6i
b) 2 + 6i
c) 2 + 15i
d) – 6 + 6i
12) (EEAR 1/2016) Dada a equação 3x³ + 2x² – x + 3 = 0 e sabendo que a, b e c são raízes dessa equação, o valor do produto a.b.c é
a) 1
b) -1
c) 
d) 
13) (EEAR 2015) Seja um número complexo na forma trigonométrica. Assim, z² é igual a:
a) 
b) 
c)
d) 
14) (EEAR 2015) Seja a equação x³-5x²+7x-3=0. Usando as relações de Girad, pode-se encontrar como soma das raízes o valor:
a) 12
b) 7
c) 5
d) 2
15) (EEAR 2014) Se i é a unidade imaginária, pode-se afirmar que é igual a
a) .
b) .
c) .
d) .
16) (EEAR 2014) A equação (x² + 3)(x – 2)(x + 1) = 0 tem ____ raízes reais.
a) 3
b) 2
c) 1
d) 0
17) (EEAR 2013) Se z = 3+2i é um número complexo, então z² é igual a:
a) 5 + 12i
b) 9 + 12i
c) 13 + 4i
d) 9 + 4i
18) (EEAR 2013) Sejam e , respectivamente, os módulos do número complexos e . Assim, é igual a:
a) 5
b) 
c) 
d) 
19) (EEAR BCT 2013) Seja z’ o conjugado de um número complexo z. Sabendo que z = a + bi e que 2z + z’ = 9 + 2i, o valor de a + b é:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
20) (EEAR BCT 2013) O resto da divisão de por x² – 3 é igual a:
a) 13x + 5
b) 11x – 3
c) 2x + 5
d) 6x – 3
21) (EEAR 2012) O módulo do número complexo z = –1 + 3i é
a) 1
b) 2
c) 
d) 
22) (EEAR 2012)Seja a equação polinomial 2x³ + 4x² – 2x + 4 = 0. Se S e P são, respectivamente, a soma e o produto de suas raízes, então
a) S = P.
b) S = 2P.
c) S = 2 e P = – 4.
d) S = – 2 e P = 4.
23) (EEAR 2/2011) Seja z’ o conjugado do número complexo z = 1 – 3i. O valor de 2z + z’ é
a) 3 – 3i.
b) 1 – 3i.
c) 3 + i.
d) 1 + i.
24) (EEAR 2/2011) Uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes os números –2, 0, 2 e 1 + i. O menor grau que essa equação pode ter é
a) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
25) (EEAR 1/2011) O número complexo z = (a – 4) + (b – 5)i será um número imaginário puro se
a) a = 4 e b = 5.
b) a = 4 e b ≠ 5.
c) a ≠ 4 e b = 5.
d) a ≠ 4 e b ≠ 5.
26) (EEAR 1/2011) Se o polinômio P(x) = ax³ – 3x² – bx – 3 é divisível por (x – 3)(x+1), então o valor de a + b é
a) 10.
b) 8.
c) 7.
d) 5.
27) (EEAR 2/2010) O inverso do número complexo z = –2i é z’ =
a) .
b) .
c) –2.
d) 2i.
28) (EEAR 2/2010) Seja o número complexo z = 1 + i. Se z' é o conjugado de z, então o produto é igual a
a) 1.
b) 2.
c) .
d) .
29) (EEAR 2/2010) Sabe-se que a equação equivale a (x – 1)² . (x² – 9) = 0. Assim, a raiz de multiplicidade 2 dessa equação é
a) –3.
b) –1.
c) 1.
d) 3.
30) (EEAR 1/2010) Multiplicando-se o número complexo 2 – 3i pelo seu conjugado, obtém-se:
a) 0.
b) –1.
c) 11.
d) 13.
31) (EEAR 1/2010) O valor de é:
a) 1 – 2i.
b) 2 – i.
c) –2.
d) 1.
32) (EEAR 1/2010) Se a maior das raízes da equação x³ – 6x² + 11x – 6 = 0 é igual à soma das outras duas, então seu valor é divisor de
a) 10.
b) 16.
c) 18.
d) 20.
33) (EEAR 2/2009) Se a forma algébrica de um número complexo é −1 + i, então sua forma trigonométrica tem argumento igual a:
a) 
b) 
c) 
d) 
34) (EEAR 2/2009) Sejam dois números complexos z1 e z2. Se z1 tem imagem P(4, –1) e z2 = –1 + 3i, então z1 – z2 é igual a
a) 3 + 4i.
b) 1 – 5i.
c) 5 – 4i.
d) 2 + 2i.
35) (EEAR 2/2009) O resto da divisão de kx² + x – 1 por x + 2k é
a) k – 1.
b) – 2k – 1.
c) k³ – k – 1.
d) 4k³ – 2k – 1.
36) (EEAR 1/2009) Ao dividir por x – 3, obtém-se um quociente cuja soma dos coeficientes é
a) 4.
b) 6.
c) 8.
d) 10.
37) (EEAR 1/2009) Na figura, o ponto P representa um número complexo, cujo conjugado é
a) – 3 + 4i.
b) – 4 + 3i.
c) 4 – 3i.
d) 3 – 4i.
38) (EEAR 1/2009) Se 3, 5 e – 2, são as raízes da equação 4(x – a)(x – b)(x – 5) = 0, o valor de a + b é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
39) (EEAR 2/2008) Se (x + b)2 – (x – a)(x + a) ≡ 2x + 17, sendo a e b números reais positivos, então o valor de a + b é
a) 2.
b) 3.
c) 5.
d) 6.
40) (EEAR 2/2008) Calculando , obtém-se
a) 1.
b) i.
c) – i.
d) – 1.
41) (EEAR 1/2008) Dado xℜ, para que o número z = ( 2 – xi )( x + 2i ) seja real, o valor de x pode ser
a) 4.
b) 0.
c) –1.
d) –2.
42) (EEAR 1/2008) O módulo do complexo z = – 3 + 4i é
a) 3.
b) 4.
c) 5.
d) 6.
43) (EEAR 1/2008) Seja um polinômio P(x) = ax³ + bx² + cx + d. Se os coeficientes de P(x) são diferentes de zero, então, para todo xℜ, “P(x) + P(–x)” tem grau
a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) 1.
44) (EEAR 2/2007) O polinômio (m – n – 3)x² + (m + n – 5)x = 0 será identicamente nulo, se o valor de m² – n² for
a) – 12.
b) – 5.
c) 10.
d) 15.
45) (EEAR 2/2007) O quadrante em que se representa, no plano de Argand- Gauss, o número complexo z = 1 + i³ é o
a) 1º.
b) 2º.
c) 3º.
d) 4º.
46) (EEAR 2/2007)Se 3 e –3 são duas das raízes da equação , as outras raízes são:
a) 3i e 2i.
b) 2i e –2i.
c) –i e –3i.
d) 3i e –3i.
47) (EEAR 1/2007)Uma equação polinomial de coeficientes reais admite como raízes os números 3 + i , 7 e 2-3i . Essa equação tem, no mínimo, grau
a) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
48) (EEAR 1/2007) A forma algébrica do número complexo é
a) 0,1 − 3i .
b) 0,1 − 1,1i .
c) 1,7 + 11i .
d) 1 − 1,7i .
49) (EEAR 1/2006) Sejam os polinômios A(x) = a(x² + x + 1) + (bx + c)(x + 1) e B(x) = x² – 2x + 1. Se A(x) ≡ B(x), então a + b – c =
a) 4.
b) 3.
c) 2.
d) 1.
50) (EEAR 2/2006) Para que o tenha como raiz dupla o número 1, os valores de e devem ser, respectivamente,
a) 1 e 2.
b) 2 e 1.
c) – 2 e 1.
d) 1 e – 2.
GABARITO 
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	D
	B
	C
	B
	A
	A
	B
	D
	B
	C
	11
	12
	13
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	B
	B
	B
	C
	C
	B
	A
	D
	A
	A
	21
	22
	23
	24
	25
	26
	27
	28
	29
	30
	D
	A
	A
	B
	B
	A
	A
	B
	C
	D
	31
	32
	33
	34
	35
	36
	37
	38
	39
	40
	A
	C
	B
	C
	D
	D
	B
	B
	C
	B
	41
	42
	43
	44
	45
	46
	47
	48
	49
	50
	D
	C
	C
	D
	D
	B
	B
	B
	A
	A
	
	- 7 -
	
	
i
i
1
i
i
 
 
i
1
 
 
i
i
i
1
i
i
 
 
i
1
 
 
i
i
i
1
i
i
 
 
i
1
 
 
i
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-
=
-
=
=
=
-
=
-
=
=
=
-
=
-
=
=
=
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
2
.
z
abicdi
zcdicdi
+-
=
+-
bi
a
z
-
=
1
2
().()
²()²
z
abicdi
zcdi
+-
=
-
1
2
()()²²²²²²
z
acbdadbciacbdadbc
i
zcdcdcd
-++-+
==+
+++
1
z
1
2
1223
.
2323
z
ii
zii
+-
=
+-
1
2
(12).(23)
2²(3)²
z
ii
zi
+-
=
-
1
2
8881
49131313
z
ii
i
z
--
===-
+
2
2
b
a
+
OP
z
cos
a
Z
q
=
b
sen
Z
q
=
n
Z
n
Z
a
b
-
a
c
a
d
-
a
e
1
z
0
18
²
³
=
+
+
+
cx
bx
ax
10
=
+
Z
Z
i
Z
Z
16
-
=
-
i
z
-
=
1
1
i
z
5
3
2
+
=
2
1
3
z
z
z
+
=
3
z
2
2
2
4
3
2
2
z
3
4
i
x
x
z
)
1
²
(
)
2
(
1
-
+
+
=
i
m
m
z
)
9
²
(
)
1
(
2
-
+
-
=
1
z
2
z
(
)
[
]
(
)
i
n
m
m
Z
5
3
3
2
1
+
+
+
=
(
)
(
)
[
]
i
n
m
Z
1
4
12
²
2
1
+
+
+
=
3
1
3
1
-
(
)
°
+
°
=
20
20
cos
3
isen
z
1
z
(
)
°
+
°
20
20
cos
3
isen
(
)
°
+
°
40
40
cos
3
isen
(
)
°
+
°
=
20
20
cos
3
2
isen
z
(
)
°
+
°
=
40
40
cos
3
2
isen
z
7
i
i
2
i
3
i
4
i
1
r
2
r
i
z
2
1
1
+
=
i
z
2
4
2
-
=
2
1
r
r
+
5
1
z
5
2
5
3
1
²
2
4
3
-
+
+
x
x
x
10
2
i
2
1
'
.
z
z
3
3
2
0
9
18
²
8
³
2
4
=
-
+
-
-
x
x
x
x
38
21
11
i
i
i
-
-
6
5
p
4
3
p
6
p
1
z
4
p
5
²
2
3
4
5
+
+
+
-
x
x
x
x
2053
i
Î
0
36
²
5
4
=
-
-
x
x
2
2
3
3
3
-
+
+
-
=
i
i
i
z
b
a
+
+
-
+
=
x
x
x
x
x
P
²
6
³
2
)
(
4
a
b
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
2
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
-
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z
1
z