Equação do 1º Grau

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Equação do 1 grau
É uma sentença aberta que exprime uma igualdade entre duas expressões numéricas.
Essas expressões, separadas pelo sinal de igualdade, chamam-se membros..
 1 + x = 3. A sentença verdadeira dessa equação é 2, também chamada de raiz e
conjunto solução, nesse último caso estando entre chaves {2}. 
Tendo a equação ax = b = 0, com 
a diferente de zero, basta isolar a 
incógnita para resolvê-la.
Exemplo: 5(x-3) = -2(x-1)
Aplica-se a distributiva: 5x - 15 = -2x +2
Isola-se as incógnitas: 5x + 2x = +2 +15
Soma-se: 7x = + 17
Isola-se o x: x = 17/7
Usados quando se tem mais de uma incógnita a ser calculada. Neste caso, devemos
ter, também, mais de uma equação. 
Método de substituição: consiste em obter, a partir de uma das equações, uma 
incógnita em função das demais. Em seguida, substitui-se esse resultado nas
outras equações. Veja o exemplo abaixo:
 x + 3y = 11 ( I )
 2x + y = 7 ( II) 
Método de adição: consiste em igualar os coeficientes de uma das incógnitas em
ambas as equações de modo que, ao somá-las, esses coeficientes de anulem, o 
que diminuirá a quantidade de incógnitas. 
 x + 3y = 11 ( I )
 2x + y = 7 ( II )
Se multiplicarmos a equação I por -2, obteremos: 
 -2x -6y = -22 ( I )
 2x +y = 7 (II)
Como -2x e 2x são opostos, eles serão anulados em
uma operação de soma. Assim, ficamos com: 
 0x - 5y = -15
 -5y = -15
 y = 15/5
 y =3
Agora, basta substituir a incógnita de y por 3 em qualquer uma das equações 
para achar o x. 
Quando há uma igualdade entre frações,
basta fazer um produto cruzado para 
resolver: a = c -> a * d = b *c
 b d
No exemplo, ficamos com: 2x = 20
Logo, x = 10. 
Exemplo 2: x = 5
 4 2
Exemplo 3: 12 - x = x
 3 2
+1
Quando se há soma ou subtração de frações, 
deve-se encontrar, primeiramente, o mmc para
igualar os denominadores e cancela-los. 
mmc (1,2,3) = 6
Temos: 24 -2x +6 = 3x
 6 6
E então: 24 -2x + 6 = 3x
 -3x -2x = -24 - 6
 -5x = -30 (*-1) 
 x = 30/5
 x = 6
Sistemas de equações
Primeiramente, escolhe-se uma das equações
e isola-se qualquer uma de suas incógnitas. Por
exemplo, vamos isolar o x na equação I. 
x = 11 - 3y.
Agora, substitui-se o valor encontrado na outra 
equação. 
2x + y = 7
2 (11-3y) + y - 7
22 -6y +y = 7
-6y + y = 7 -22
-5y = -15 (*-1)
y = 15/5
y = 3
Com esse resultado, substitui-se a incógnita encontrada
em qualquer uma das equações.
x + 3y = 11
x + 3 * 3 = 11
x + 9 = 11
x = 11 - 9
x = 2
Assim, a solução desses sistemas é x=2 e y=3
Problemas clássicos de equação do 1 grau
1-) Dado um número x, a soma do dobro desse número com 
6 equivale à diferença entre o triplo desse número e 4. Qual 
é esse número? 
Resolução: ‘’soma do dobro desse número com 6’’: 2x + 6
‘’diferença entre o trriplo desse número e 4’’: 3x - 4
Logo: 2x + 6 = 3x -4
 2x -3x = -4 -6
 -x = -10 (* -1)
 x = 10 
3-) Em um quintal, há galinhas e cabras, perfazendo o total de 14
cabelas e 38 pés. Calcule o número de galinhas.
Resolução: Sendo x o número de galinhas e y o número de cabras, 
e considerando que cada cabra e cada galinha possuem uma ca-
beça e que cada galinha possui dois pés e cada cabra, quatro.
Temos: x + y = 14 
 2x + 4y = 38
Como desejamos obter o número de galinhas (x), pelo método da
adição, podemos eliminar a outra incógnita (y). Assim, multiplicamos
a equação I por -4 e somamos ambas as equações:
 4x - 4y = -56
 + 2x + 4y = 38
 -2x 0y = -18
Assim: -2x = -18 (*-1)
 2x = 18
 x = 18/2
 x = 9
Portanto, nesse quintal há 9 galinhas.
4-) Em uma academia de ginástica, o salário mensal de um professor é
R$ 800,00. Além disso, ele ganha R$ 20,00 por mês por cada aluno ins-
crito em suas aulas. Para receber R$ 2400 por mês, quantos alunos 
devem estar matriculados em suas aulas?
Resolução: Considerando x a quantidade de alunos matriculados e multi-
plicando o valor recebido por cada aluno matriculado (R$ 20,00) pela 
quantidade de alunos matriculados, teremos o valor recebido pelo pro-
fessor por cada aluno inscrito em suas aulas.
Somando ao valor fixo de R$ 800,00, teremos o salário final do profes-
sor. Como ele deve receber mensalmente R$ 2400,00, temos:
 20 * x + 800 = 2400
 20x = 2400-800
 20x = 1600
 x = 1600/20
 x = 80 
Logo, ele precisa ter 80 alunos matriculados para receber R$ 2400,00
5-) Uma torneira enche um tanque em 16 horas e outra em 
12 horas. Estando o tanque vazio e abrindo simultaneamente 
as duas torneiras, em quanto tempo encherão o tanque?
Resolução: Nessa situação-problema, não devemos aplicar
a famigerada regra de 3, pois as capacidades de trabalho
das torneiras são diferentes. O certo aqui é identificar as
frações do trabalho que as respectivas torneiras realizam em
uma unidade de tempo. No caso, ver a parte do tanque que
cada torneira enche em 1 hora.
Se a primeira torneira enche o tanque todo em 16 horas, 
então em 1 hora, ela encherá 1/16 do tanque.
Se a segunda torneira enche o tanque todo em 12 horas, 
então em 1 hora, ela encherá 1/12 do tanque. 
Sendo x horas o tempo que as duas torneiras gastarão para
encher o tanque juntas, em uma hora elas encherão 
 1 = 1 + 1 
 x 16 12
2-) Um executivo distribui seus vencimentos mensais da seguinte maneira:
1/8 para o plano de saúde, 1/4 para a poupança, 1/6 para a alimentação e
a moradia e os R$ 6.600,00 para o lazer. Quandto o executivo poupa men-
salmente? 
Resolução: Quando o problema menciona ‘’1/8 para o plano de saúde’’, 
entende-se que, para o plano de saúde, ele destina 1/8 do valor total que
recebe. Como não sabe quanto ele recebe ao todo, esse valor é o nosso
querido x. Assim, pode-se escrever que, para o pagamento do plano de
saúde, ele destina 1/8 de x, ou seja., 1/8 * x = x/8. 
Logo, somando todos os valores que ele destina a cada atividade, teremos:
x + x + x + 6600 = x
8 4 6
Fazendo-se o mmc (4,6,8) = 24
3x + 6x + 4x + 158.400 = 24x
24 24
13x + 158.400 = 24x
13x - 24x = -158.400
-11x = -158.400 (*-1)
11x = 158.400
x = 158.400/11
x = 14.400
Se essa fosse uma questão ENEM,
certamente teríamos uma alternativa
com 14.400. Mas atenção: o x é
o salário dele, não o quanto ele 
poupa! Isso é 1/4 do total!
14.400 / 4 = R$ 3600 são poupados.
m.m.c. (16,12) = 48
48 = 3x + 4x
48x 48x
x = 48/7
x = 6,8 horas. Provavelmente a alternativa certa seria 7 horas. 
6-) Deborah foi ao shopping e entrou em 5 lojas. Em cada uma gastou
R$ 1,00 a mais do que a metade do que tinha ao entrar. Ao sair do 
shopping, pagou R$ 3,00 de estacionamento e ficou com R$ 2,00. Quanto
ela tinha, inicialmente, antes de entrar na primeira loja. 
Resolução: sendo x reais a quantia inicial de Deborah, têm-se:
Então, após ela pagar R$ 3,00 de estacionamento, temos:
x - 30 -1 -3 = 2 -> x-30 = 6 -> x = 222
Loja Entrou com
x
Gastou Saiu com
1
2
3
4
5
x +1
2 
x-6 
4
x-6 + 1 
8
x-6 - 1 
8
x-14 
8
x-14 + 1 
16
x-14 - 1 
16
x-30 
16
x-30 + 1 
32
x-30 - 1 
132
x-2 -1
4 
x-2 +1
4
x -2
2 
x -1
2 
32