Matemática Financeira - Flávia Machado - UCA EAD (1)-1 (2)

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MATEMÁTICA
FINANCEIRA
ME. FLÁVIA FERNANDA DA SILVA MACHADO
“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma ação integrada de suas atividades educacionais, visando à 
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sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria, 
salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a 
emissão de conceitos.
Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior
MATEMÁTICA FINANCEIRA
ME. FLÁVIA FERNANDA DA S. MACHADO
SUMÁRIO
AULA 01
AULA 02
AULA 03
AULA 04
AULA 05
AULA 06
AULA 07
AULA 08
AULA 09
AULA 10
AULA 11
AULA 12
AULA 13
AULA 14
AULA 15
AULA 16
 CONCEITOS BÁSICOS I 
MONTANTE, CAPITAL E JUROS 
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO 
JUROS SIMPLES 
JUROS COMPOSTOS 
JUROS COMPOSTOS 
OPERAÇÕES COMERCIAIS 
RENDAS 
RENDAS: PARTE 2 
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS 
VIABILIDADE FINANCEIRA 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: SAC 
CÁLCULO DO SAC 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: PRICE 
APLICAÇÕES DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO 
APLICAÇÕES DO SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO 
05
10
15
20
24
28
32
41
45
53
58
61
65
71
76
82
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INTRODUÇÃO
 
 Caro (a) aluno (a), o estudo apresentado neste livro irá introduzir o processo de 
entendimento acerca da matemática financeira e de como extrair inúmeras formas e 
informações que serão extremamente úteis para a tomada de decisão.
 A prática que envolve a atividade de matemática financeira é formada por meio 
de um conjunto de teorias e conceitos advindos das áreas, econômicas, contábeis 
e administrativas.
 As demonstrações apresentadas neste livro, lhe auxiliarão a visualizar a área 
financeira de forma mais detalhada, dando suporte na tomada de decisões, que 
envolvem uma parte muito importante em projetos tanto pessoais como profissionais 
e organizacionais.
 Pare e pense que para avaliar a rentabilidade de um investimento não basta apenas 
conhecer os números destacados nos relatórios financeiros. É importante também 
conhecer a forma de se calcular e identificar os melhores projetos de investimentos, 
o seu ramo de atividade e os fatores externos que influenciam na moeda.
 Destaca-se que a matemática financeira deve buscar gerar respostas como se 
fosse dirigida a pessoas que não tenham um amplo conhecimento na área, traduzindo 
as demonstrações financeiras em informação. Por exemplo, o fato de se calcular 
determinadas situações com juros simples ou compostos em uma tomada de decisão, 
influencia a decisão na escolha de um financiamento ou de compra à vista de um 
imóvel, ou até mesmo aplicar em um determinado investimento.
 Agora que já conhecemos o contexto da matemática financeira, quero convidá-lo 
(a) a continuar em nossa jornada de estudos por meio do nosso material didático.
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AULA 1
CONCEITOS BÁSICOS I
 Caro (a) aluno (a), nos próximos tópicos iremos tratar sobre os conceitos básicos que 
concernem à disciplina. Nesta primeira aula, abordaremos a temática da porcentagem 
para dar início aos nossos estudos da disciplina Matemática Financeira. 
1.1 Porcentagem 
Título: Conceitos Básicos: Percentual.
Fonte: https://pixabay.com/pt/illustrations/por-cento-caracteres-nulo-taxa-de-997401/
 O nome porcentagem vem do latim (per centum) e significa “por cento”, isto é, a 
base desse cálculo é o número 100. Esse tipo de equação é utilizada para solucionar 
problemas de descontos, transações comerciais, lucros, entre outros. 
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 A porcentagem é designada pelo símbolo % e também pode ser compreendida 
como centésimo. Dessa forma, ao dizermos que dentre os 100 milhões de habitantes 
de um país, 35% são crianças, isto significa, em forma de fração, que as crianças 
representam do total de habitantes. 
 Sendo assim, 
35% = = 0,35
35% de 100 = 0,35 · 100 = 35 
 Portanto, esse valor total de 100 milhões é o que chamamos de principal. Já os 35 
milhões de crianças, que representam 35% da população, é a forma percentual, ou seja, 
a porcentagem. O número decimal, isto é, 0,35, é denominada como forma unitária 
ou taxa unitária e a forma fracionária, 35/100, é considerada a razão centesimal. 
 Observe a tabela abaixo em que essas três maneiras do percentual estão demonstradas: 
Porcentagem Razão Centesimal Taxa Unitária
0,5% 0,005
1% 0,01
5% 0,05
8,3% 0,083
11% 0,11
14,22% 0,1422
20% 0,20
35% 0,35
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72% 0,72
100% 1
110% 1,1
350% 3,5
1500% 15
Tabela 1 – Formas de representação percentual 
Fonte: Elaborado pela autora (2020). 
 Para que você consiga apreender esse conteúdo, vamos aos nossos exemplos. 
 EXEMPLO 1: Qual é o valor que 25% representa de R$ 70,00? 
 Para resolvermos esse problema, o que devemos fazer é bastante simples. Basta 
transformarmos nosso percentual (25%) em forma fracionária, portanto: 
 O nosso próximo passo é descobrirmos o valor que 25% representa dentre R$ 70,00, 
e para isso precisaremos multiplicar nossa fração pelo principal, isto é: 
 Caso você queira, também poderá utilizar a taxa unitária para fazer seu cálculo, e 
essa seria a resolução:
 Sendo assim, o valor que representa 25% de R$ 70,00, é o valor 17,5. 
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 Há também a possibilidade de realizar os cálculos pela regra de três, no entanto, 
saliento que as formas acima são mais simples e diretas para resolução de problemas 
similares. Pela regra de três, temos: 
70 —— 100
 x —— 25
 Dessa forma, realizando a multiplicação cruzada, obteremos: 
 E, assim, foi possível chegarmos ao nosso resultado por 3 formas distintas. 
Vamos ao próximo exemplo! 
 EXEMPLO 2: 40% de qual valor resulta em 21? 
 Para solucionarmos essa questão, o seguinte precisa ser feito: 
 O nosso valor “escondido” é representado por x, neste exemplo precisamos descobrir 
o valor total, em que desse total 40% é 21. Sendo assim, podemos simplificar o nosso 
cálculo cortando um zero do numerador, 40, e outro zero do denominador, 100. 
 Agora basta isolarmos o x para solucionarmos o problema. 
 Assim: 
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 Portanto, o nosso valor obtido foi 52,5, sendo que 40% desse resultado é 21. Em 
nosso primeiro exemplo descobrimos que calcular o percentual de um valor é bem 
fácil. E para tirar a “prova” e verificarmos se realmente o cálculo está correto, basta 
repetirmos o cálculo do exemplo 1: 
 ou:
 E, aqui, finalizamos nossa primeira aula da disciplina de Matemática Financeira, 
em que aprendemos acerca de nosso primeiro conceito básico: a porcentagem. 
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AULA 2
MONTANTE, CAPITAL E JUROS
 Caro (a) aluno (a), neste tópico trataremos de mais alguns conceitos básicos dentro 
do contexto da nossa disciplina: o montante, capital e juros. 
Título: Capital.
Fonte: https://pixabay.com/pt/photos/moeda-finan%C3%A7as-o-d%C3%B3lar-cash-3125440/
2.1 Conceito de Capital dentro da Matemática Financeira
 Podemos definir capital como um ativo capaz de produzir e/ou gerar um fluxo de 
rendimento ao longo de um determinado tempo por meio de sua aplicação. Esse 
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conceitonão inclui apenas o dinheiro propriamente dito, como também bens, estoques 
e investimentos financeiros entre outros, que podem gerar riqueza.
 O termo capital é muito utilizado como sinônimo de dinheiro, porém, esses termos 
possuem significados distintos para cada situação. Como dinheiro, tem um propósito 
mais imediato, podendo ser aplicado nas trocas realizadas na economia, por exemplo. 
Desta forma a definição de capital envolve uma perspectiva de longo prazo, que 
pressupõe que seu uso tem como função a geração de receitas.
 Dentro da matemática financeira, o capital é o valor aplicado através de alguma 
operação. Sendo conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. 
 O capital é expresso em uma unidade monetária e indicado pela letra C ou em alguns 
casos também aparece com as letras PV (Valor Presente). Sendo assim, Capital é o 
valor do dinheiro no momento atual, podendo ser representado pelas letras C ou PV. 
 Exemplo: 
Capital Inicial = Valor Presente = C = PV = R$ 210,00.
2.2 Taxa de Juros e sua utilização 
Título: Juros.
Fonte: https://pixabay.com/pt/photos/empreendedor-id%C3%A9ia-compet%C3%AAncia-1340649/
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 Outro conceito importante inserido dentro da matemática financeira é o de juros. 
Podemos dizer que a taxa de juros é a remuneração obtida pelo uso do capital por 
um determinado intervalo de tempo. Pode ser considerado também como sendo o 
aluguel pelo uso do dinheiro aplicado. 
 O cálculo de juros pode ser correspondente a duas situações. Quando ele for juros 
simples é porque ocorrerá constância dos juros em um dado período de tempo. 
 Exemplo de utilização dos juros simples: Realização de empréstimos e financiamentos, 
onde os juros devem ser pagos apenas sobre o valor original que foi pego.
 Para calcularmos os juros simples utilizamos a seguinte fórmula:
J = C × i × n, 
 Onde:
C = Capital Inicial
i = Taxa de juros
n = Tempo
 Outra forma de calcular a taxa de juros, é a utilização de juros compostos, onde o 
cálculo é realizado como uma porcentagem do capital original, porém considera-se 
os juros acumulados nos períodos anteriores. Ou seja, é somado os juros ganhos nos 
anos anteriores ao do capital inicial mais os juros dos próximos períodos, que serão 
cobrados em cima desse novo valor. Ocorrendo o crescimento de forma exponencial 
dos juros.
 Para determinarmos o valor do montante, utilizamos a seguinte fórmula:
M = C (1+i)n
 Onde:
M = Montante
C = Capital Inicial
i = taxa de juros por período
n = número de períodos no qual o capital inicial foi aplicado.
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 Vamos utilizar um exemplo simples para demonstrar como funciona os juros compostos 
na matemática financeira. Supondo que precisamos calcular os juros sobre uma dívida 
do mês anterior, ao final do primeiro mês, vamos aplicar uma taxa de juros de 10% sobre 
a dívida um mês antes, ou seja, capital inicial no valor de R$1.000,00. Com 10% do 
capital inicial temos uma quantia de R$1.100,00 onde representam os juros incorridos 
nesse período. Quando vamos calcular o valor desta dívida no segundo mês podemos 
perceber a diferença devido a aplicação dos juros compostos, pois agora temos que 
calcular 10% sobre o total da dívida no mês anterior, ou seja, somamos os R$1.100,00 
e calculamos 10% sobre esse valor, obtendo um valor de $1.210,00. De uma forma mais 
simples chamamos os juros compostos de juros sobre juros (LIMA, 2019). 
2.3 Definição e conceito de montante
 Considerado um dos conceitos básicos da matemática financeira, o montante 
também é conhecido como Valor Acumulado, onde dedica-se em controlar a variação 
sofrida por uma quantia investida ao longo do tempo. Ou seja, utilizamos este cálculo 
para contabilizar os retornos de investimento de uma pessoa jurídica e até mesmo 
física, através da aplicação dos juros simples ou compostos.
 Em outras palavras podemos dizer que o montante é a quantia em dinheiro no final 
da aplicação, sendo a soma do capital aplicado e o juro produzido em um determinado 
período de tempo. Também chamado de valor futuro, valor final, saldo, entro outros 
(VIANA, 2019).
 Para determinarmos o valor do montante, utilizamos a seguinte fórmula:
M= C+J
 Onde: 
M representa o montante;
C o capital aplicado;
J são os juros aplicados, definido pela primeira fórmula apresentada acima.
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 Considerando que um capital que é aplicado a uma determinada taxa por período 
ou até mesmo por vários períodos. Quando queremos calcular qual é o valor de um 
montante, estamos querendo saber o resultado da capitalização do valor atual e até 
mesmo do valor final da aplicação, sempre considerando o período de tempo para 
obtermos o valor final. 
 Desta forma o cálculo do montante deve ser realizado de acordo com os seguintes 
critérios: Regime de Capitalização Simples; Regime de Capitalização Mista; Regime 
de Capitalização Composta.
2.4 Relação entre Capital, Juros e Montante dentro da 
Matemática Financeira
 Ao longo deste capítulo, observamos que a matemática financeira está intimamente 
ligada à dos regimes econômicos, o surgimento do crédito e do sistema financeiro. 
Todo o desenvolvimento está ligado a utilidade do dinheiro que gera dinheiro, que por 
si só não gera rendimento.
 Desta forma, utilizamos os métodos desenvolvidos na matemática financeira, como 
a aplicação de juros simples e compostos, que são base para o desenvolvimento do 
cálculo, conforme demonstrado.
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AULA 3
VALOR DO DINHEIRO NO TEMPO
 Caro(a) aluno(a), um conceito importante que devemos ter em mente refere-se ao 
valor do dinheiro no tempo, que é o que trataremos nesta aula.
Título: Valor do Dinheiro no tempo.
Fonte: https://pixabay.com/pt/illustrations/chase-dinheiro-empres%C3%A1rio-seguir-3673407/
3.1 Conceito do Valor do Dinheiro no Tempo
 Todos nós algum dia já fizemos a seguinte pergunta: será que o dinheiro hoje terá 
o mesmo valor no futuro? A resposta é, provavelmente não, pois a uma certa quantia 
de hoje pode valer menos do que a mesma quantia no futuro.
 Isso ocorre, devido a influência dos fatores externos e principalmente da inflação em 
relação ao poder aquisitivo da moeda, quanto maior o prazo, maior será a influência 
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desses fatores. Porém por outro lado, o não investimento do dinheiro, faz com que a 
quantia de hoje tenha um valor menor amanhã, ou seja, à medida que o tempo passa 
o dinheiro tende a diminuir se o mesmo estiver parado.
Isto está na rede
Você sabe qual a origem do dinheiro? O site da CASA DA MOEDA DO BRASIL 
nos traz a história da origem da moeda:
A história da civilização nos traz informações contando que o homem primitivo 
procurava defender-se do frio e da fome, se alimentando de frutos e abrigando 
em cavernas. Ao longo do tempo, com o desenvolvimento da inteligência, a 
espécie humana passou a sentir a necessidade de maior conforte e com isso 
a necessidade de realizar as trocas.
Esse sistema de troca, durou por vários séculos, e deu origem ao surgimento 
de alguns vocabulários como “salário”, que era na época o pagamento realizado 
através de uma certa quantidade de sal.
As moedas que conhecemos hoje, teve seu início na Lídia (atual Turquia), 
em meados do século VII A.C. Embora a evolução dos tempos tenha levado 
à substituição do ouro e da prata por metais menos raros ou suas ligas, a 
moeda foi preservada por séculos.
A necessidade de guardar as moedas em segurança originou-se nos bancos 
com os negociantes de ouro e prata, onde tinham a necessidade de guardar 
esses bens em cofres. Assim os bancos passaram a aceitar a responsabilidade 
de cuidar deste dinheiro, originandorecibos onde recorrentemente se deu a 
origem do papel moeda. 
Informações disponíveis em: <https://www.casadamoeda.gov.br/portal/
socioambiental/cultural/origem-do-dinheiro.html>.
https://www.casadamoeda.gov.br/portal/socioambiental/cultural/origem-do-dinheiro.html
https://www.casadamoeda.gov.br/portal/socioambiental/cultural/origem-do-dinheiro.html
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3.2 Inflação 
Título: Inflação.
Fonte: https://pixabay.com/pt/photos/conselho-quadro-negro-economia-1193333/
 Como mencionamos na primeira aula, a inflação é a principal uma das principais 
responsáveis pela desvalorização do dinheiro no decorrer do tempo. 
 A inflação é a desvalorização do poder de compra do dinheiro, e ao contrário a 
deflação tem como efeito a valorização do dinheiro. Supondo que guardamos em casa 
um montante equivalente a ($ 100,00) após um ano devido a inflação podemos dizer 
que essa quantia perdeu o seu poder aquisitivo e passou a valer ($ 92,00). Podemos 
dizer que devido a inflação não será possível comprar as mesmas coisas pois com o 
desconto de 8% devido a inflação ocorreu uma depreciação do valor do dinheiro.
 A Inflação pode ser medida de várias maneiras, no Brasil destaca-se o índice de 
Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), no qual o cálculo é realizado pelo Instituto 
Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), onde é considerado o índice de inflação 
oficial do país. Esse índice realiza a apuração a variação de preços de uma cesta de 
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consumo médio da população, onde é envolvido gastos com habitação, alimentação, 
saúde, educação, transporte, lazer entre outros.
 O IPCA atualmente é muito utilizado como base para definição da taxa básica de 
jutos (taxa Selic), que serve como referência para o custo de crédito do país, sendo 
o instrumento principal de política monetária utilizada pelo governo para regular o 
equilíbrio econômico e controlar a inflação.
Isto está na rede
Fique atento à movimentação da taxa básica de juros, pois é importante para que 
você possa tomar decisões assertivas. Caso haja queda da taxa Selic, você terá 
taxas de juros mais baixas em realizações de empréstimos e financiamentos. 
Se ocorrer ao contrário com a taxa Selic, você poderá rentabilizar melhor os 
seus investimentos, ressaltando que tudo isso é considerado na hora de investir. 
3.3 Investimentos e Poupança
Título: Conceitos Básicos: Percentual.
Fonte: https://pixabay.com/pt/illustrations/cofrinho-dinheiro-finan%C3%A7as-banc%C3%A1rio-2889042/
 Muitos investidores alegam que poupança não é investimento, porém essa modalidade 
é a mais utilizada pelos brasileiros, sendo a Renda Fixa mais tradicional do país.
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 É importante mencionar que a remuneração da poupança pode variar de acordo 
com a taxa Selic, onde geralmente é menor quando comparada a outros investimentos 
de renda fixa. A Taxa Referencial (TR), é a taxa calculada pela média ponderada das 
taxas de juros pagas diariamente realizada pelos Certificados de Depósito Bancário 
(CDBs), essa taxa também pode ser considerada em rendimentos de poupança
Isto acontece na prática
O que muitas pessoas desconhecem é que o cálculo da rentabilidade da 
poupança é calculado mensalmente, chamado de aniversário da poupança, e 
cada depósito possui um aniversário, ou seja, se realizar uma aplicação no dia 
10 de novembro e outra no dia 20 de novembro, a primeira terá rendimento 
no próximo dia 10 e a segunda aplicação no próximo dia 20. Porém se ocorrer 
o depósito ocorrer nos dias 29, 30 e 31, o aniversário será no dia 01 do mês 
seguinte. Caso o aniversário caia em um dia em um fim de semana ou feriado, 
o rendimento ocorrerá no próximo dia útil.
 Ao decorrer do capítulo vimos que a inflação pode tornar um fator primordial e 
decisivo na tomada de decisão do investimento, portanto podemos listar algumas 
dicas para você investir e cuidar de seu dinheiro.
• Realize uma avaliação sobre a rentabilidade de seu investimento em relação a 
inflação atual, pois para ser considerado um bom investimento o rendimento deve 
estar acima da inflação.
• Retire o valor a ser investido antes de pagar suas dívidas e já o aplique em 
seu investimento escolhido, pois assim, não se pode gastar um dinheiro que já 
não está disponível. 
• Crie o hábito de poupar e investir com mais tranquilidade, isso facilita você a 
atingir os seus objetivos de curto e longo prazo.
• Sempre saiba como comparar os investimentos, considerando sempre 
os riscos que está disposto a correr, considere também as vantagens e 
desvantagens levando sempre em consideração as taxas de juros.
 Assim, para uma boa rentabilidade futura, é importante entendermos como se dá o 
funcionamento das taxas e estar sempre de olho na inflação, pois investimento bom é 
aquele que rende acima da inflação, e faz seu dinheiro trabalhar para você, não o oposto. 
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AULA 4
JUROS SIMPLES
 Caro (a) aluno (a), nesta aula discutiremos acerca dos juros simples, seu conceito 
e como podemos realizar os cálculos de maneira simples. 
 Podemos afirmar que todos nós em algum momento da vida já compramos ou vimos 
alguém comprar alguma mercadoria a prazo. Nesses casos, o lojista oferece um produto 
que você poderá levar para casa, no entanto, você pagará por ele apenas em uma data 
futura. E, assim, o lojista poderá cobrar por essa extensão no tempo para pagamento, 
é aí que está a incorporação dos juros no valor que pagaremos pelo produto. 
Título: Juros simples.
Fonte: https://pixabay.com/pt/illustrations/dinheiro-ganhe-custo-despesas-3205560/
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4.1 Regime de Capitalização Simples
 Os juros simples apresentam um cálculo bem fácil de ser realizado, pois o percentual 
incidirá sobre o valor total, isto é, o valor principal, conforme vimos na aula 1. Sendo 
assim, os juros simples são uma remuneração do valor total, e somente desse valor 
inicial (Valor Presente), que é obtida pela utilização do capital por um dado intervalo 
de tempo. Podemos simplificar ilustrando que os juros são o aluguel recebido pelo 
uso desse valor monetário e, dessa forma, os juros serão sempre iguais, uma vez que 
se baseiam no valor presente. 
 Utilizaremos algumas simbologias que nos serão úteis dentro de nossa disciplina, 
pois facilitam e ajudam no desenvolvimento das situações apresentadas. Abaixo, 
vejamos algumas: 
i símbolo da taxa de juros;
n é o número de períodos apresentados na situação problema, podem ser dias, 
meses ou anos;
C é o símbolo do valor presente (PV), inclusive nas calculadoras financeiras, 
representa o valor inicial;
M é o montante.
 Além desses símbolos, temos ainda as abreviações que expressam o período que 
o capital deverá ser capitalizado, conforme a seguir: 
a.d. = ao dia;
a.m. = ao mês;
a.s. = ao semestre;
a.a. = ao ano;
 Já vimos que a fórmula para cálculo dos juros simples é:
 
J = C × i × n 
 Onde: 
J = Juros
C = Capital Inicial
i = Taxa de juros
n = Tempo
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 Dessa forma, agora que já aprendemos o que são juros simples e suas simbologias, 
vamos a alguns exemplos de situações envolvendo os juros simples.
 
 EXEMPLO 1: 
 Considere um empréstimo no valor de R$ 10.000,00, com uma taxa de 20% a.a., com 
um prazo de pagamento de 3 anos. Para facilitar a visualização e ilustrar a evolução 
do débito apresentaremos os dados conforme Quadro 1. 
 Resolução: 
ANO SALDO INICIAL JUROS SIMPLES SALDO FINAL
0 R$ 10.000,00 - R$ 10.000,00
1 R$ 10.000,00 10.000 · 0,2 = R$ 2.000,00 R$ 12.000,00
2 R$ 10.000,00 10.000 · 0,2 = R$ 2.000,00 R$ 14.000,00
3 R$ 10.000,00 10.000 · 0,2 = R$2.000,00 R$ 16.000,00
QUADRO 1: Evolução dos dados, exemplo 1
Fonte: Elaborado pela autora. 
 Na nossa fórmula, o cálculo seria:
J = C · i · n 
J = 10.000 · 0,2 · 3
J = 6.000
 Dessa forma, observamos que o juro é calculado a partir do valor presente 
(R$10.000,00) e distribuído anualmente, em um valor de R$6.000,00, e obtemos o 
valor total de nossa dívida, R$16.000,00. 
 Vamos ao próximo exemplo!
 EXEMPLO 2: 
 Considere um capital no valor de R$ 2.000.000,00, com uma taxa de 3% a.a., com 
um prazo de pagamento de 30 meses. 
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 Resolução: Nesse caso, o primeiro passo a ser feito é deixar a taxa de juros e o prazo 
na mesma medida temporal, pois cada um tem como referência o mês e o ano. Sendo 
assim, uma maneira simples é apenas dividir a medida em meses por 12 (1 ano). 
 Portanto, agora temos a taxa de juros e o prazo em medida anual e podemos 
proceder com nossos cálculos. 
ANO SALDO INICIAL JUROS SIMPLES SALDO FINAL
0 R$ 2.000.000,00 - R$ 2.000.000,00
1 R$ 2.000.000,00 2.000.000 · 0,03 = R$ 60.000,00 R$ 2.060.000,00
2 R$ 2.000.000,00 2.000.000 · 0,03= R$ 60.000,00 R$ 2.120.000,00
2,5 R$ 2.000.000,00 2.000.000 · 0,015* = R$ 30.000,00 R$ 2.150.000,00
QUADRO 2: Evolução dos dados, exemplo 2
Fonte: Elaborado pela autora. 
 Nota*: No ano 2,5, a taxa não pode ser 3% pois conforme vimos, é metade de um 
ano e, portanto, metade da taxa de juros que é 1,5%. 
 Na nossa fórmula, o cálculo seria:
J = C · i · n 
J = 2.000.000 · 0,03 · 2,5
J = 150.000
 E, assim, obtemos nosso valor total de juros no período de dois anos e meio, 
totalizando R$ 150.000,00 de juros simples. 
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AULA 5
JUROS COMPOSTOS
 Caro (a) aluno (a), nas aulas 5 e 6 discutiremos acerca dos juros compostos, seu 
conceito e como podemos realizar os cálculos de situações relacionadas a esse tipo 
de operação financeira. 
 Sendo assim, o que é o juro composto? 
 Você saberia definir ou explicar a forma de se obter esse cálculo financeiro? 
Título: Juros compostos.
Fonte: https://cdn.pixabay.com/photo/2016/08/06/11/09/arrows-1574172__340.jpg
5.1 Regime de Capitalização Composta
 Podemos iniciar afirmando que, conforme vimos na aula anterior, o juro simples 
considera somente o valor presente, ou principal/capital inicial, como base para cálculo 
dos juros. No entanto, o juro composto considera tanto o capital como o juro do 
período prévio, isto é, juros sobre juros. Podemos encontrar esse tipo de operação no 
mercado financeiro, investimento em Tesouro Selic e financiamentos, por exemplo. 
 No decorrer das aulas, será perceptível visualizar a diferença entre juros simples 
e compostos, uma vez que a evolução dos juros compostos ocorre de maneira 
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exponencial, ou seja, os valores aumentam muito mais rápido. Isso se dá, pois, o 
juro composto considera seu valor principal e também os juros do período e, assim, 
se dá o crescimento maior do que o do juro simples (DE CASTRO; DAL ZOT, 2015).
 Portanto:
Figura 1 – Comparação das capitalizações Simples e Composta
Fonte: Vianna (2018, p. 24).
 Conforme a Figura 1, podemos observar claramente a diferença entre os dois 
sistemas de capitalização e como o juro composto detém um crescimento exponencial. 
 Além disso, observamos que:
Com n=1: Capitalização Composta = Capitalização Simples.
Com n > 1: Capitalização Composta > Capitalização Simples.
Com 0<n<1: Capitalização Composta < Capitalização Simples.
5.1.1 Cálculo do Juro Composto
 Anteriormente, na aula 2, abordamos a temática do montante e sua aplicação tanto 
na capitalização simples como composta. Para calcular o juro composto precisaremos 
da seguinte fórmula: 
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M = C (1+i)n
 Onde:
M = Montante
C = Capital Inicial
i = taxa de juros por período
n = número de períodos no qual o capital inicial foi aplicado.
 Podemos exemplificar o conceito de juros compostos com a situação abaixo: 
 Você adquiriu um empréstimo no valor de R$ 1.000,00 a uma taxa de 10% a.m, e 
o pagamento deverá ser realizado em 4 parcelas mensais. 
 Nessa situação, não basta multiplicarmos o valor principal pela taxa e o tempo, 
pois aqui, estamos utilizando a capitalização composta. Sendo assim, o cálculo do 
juro é sempre referente ao que se devia no mês anterior. No primeiro mês, então, o 
valor inicial será a base de cálculo do valor dos juros a ser pago (R$ 1.000,00) e a 
uma taxa de 10% temos R$ 100. 
 Sendo assim, no mês 2 utilizaremos esses R$ 1.100,00 (R$ 1.000,00 + R$ 100,00) 
encontrados no mês 1. Calculando 10% de R$ 1.100,00, obtemos o valor de R$ 110, 
que deverá ser adicionado ao saldo devedor encontrado anteriormente (R$ 1.100,00 
+ R$ 110,00) totalizando R$ 1.210,00. 
 Repetimos esse processo no mês 3 e obtemos o valor de R$ 121,00 como 10% 
de R$ 1.210,00. Portanto, adicionamos o valor calculado ao saldo devedor, sendo R$ 
1.331,00 (R$ 1.210,00 + R$ 121,00). 
 E, finalmente, para o mês 4, concluímos que 10% de R$ 1331,00 é R$ 133,10 e 
podemos somar esse valor ao saldo do mês anterior, totalizando R$ 1.464,10 de saldo 
devedor do empréstimo realizado. 
 Abaixo podemos observar todo esse processo no Quadro 3. 
MÊS SALDO DEVEDOR
0 R$ 1.000,00
1 R$ 1.100,00
2 R$ 1.210,00
3 R$ 1.331,00
4 R$ 1.464,10 QUADRO 1: Evolução dos dados, exemplo 1
Fonte: Elaborado pela autora. 
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 Na próxima aula vamos realizar os cálculos dessa capitalização em diversos 
exemplos práticos. 
Isto acontece na prática
Podemos calcular os juros compostos também na calculadora HP-12C. O 
cálculo deverá ser realizado seguindo os seguintes passos: 
[CHS] [PV] (valor do capital inicial)
[ i ] (taxa de juros)
[ n ] (tempo)
[ f ] [ int ]
Dessa maneira, você obterá o resultado na calculadora HP-12C. 
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AULA 6
JUROS COMPOSTOS
 Nesta aula vamos apresentar alguns exemplos de situações que envolvem o cálculo 
do juro composto. 
Título: Juro composto.
Fonte: https://pixabay.com/pt/photos/neg%C3%B3cios-finan%C3%A7as-empres%C3%A1ria-3563101/
6.1 Situações problema 
 A seguir poderemos observar algumas situações que exemplificam o cálculo dos 
juros compostos. 
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 EXEMPLO 1: 
 Marcelo realizou uma aplicação financeira em uma instituição de sua confiança 
no valor de R$ 50.000,00 com um resgate após 30 meses e uma taxa de 4%. Qual o 
valor futuro (montante) da aplicação realizada? 
 Resolução: 
 Devemos utilizar a fórmula do montante, assim:
M = C (1+i)n
M = ? 
n = 30
C = 50.000
i = 4% a.m
M = 50.000 (1+0,04)30
M = 162.169,88
 EXEMPLO 2: 
 Pedro realizou um empréstimo no valor de R$ 27.000,00 e ao final de 18 meses, 
seu valor era de R$ 45.000,00. Qual foi o valor dos juros dessa operação? 
 Resolução: 
 Nesse tipo de situação, podemos utilizar a fórmula de montante, no entanto, 
precisaremos isolar o dado que o exercício está pedindo: o juros! 
 Dessa forma, a fórmula a ser utilizada será: 
 
 Vamos iniciar organizando os dados obtidos, então: 
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M = 45.000
n = 18 meses 
C = 27.000
i = ?
Anote isso 
Para cálculos que precisam transformar o valor futuro em valor presente (no 
cálculo do juro composto), utilizaremos a seguinte fórmula: 
 
Ou também
 
 EXEMPLO 3: 
 Encontre o capital inicial de uma aplicação que possui o valor futuro de R$ 150.000,00 
após 720 dias de capitalização composta, obtendo um juro anual de 36% a.a. 
 Resolução: Vamos, em primeirolugar, organizar os dados fornecidos pela situação 
problema: 
M = R$ 150.000,00
n = 720 dias 
C = ?
i = 36% a.a
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 Podemos observar que a unidade de medida do nosso prazo de pagamento difere 
da unidade de medida da taxa fornecida. Dessa maneira, para igualá-las precisamos 
dividir a quantidade de dias por 360 (que representa 1 ano em dias): 
 E, agora resolvendo nosso exemplo, temos: 
81.098,62
 Portanto, o capital inicial a ser investido nesse caso é de R$ 81.098,62.
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AULA 7
OPERAÇÕES COMERCIAIS 
 Caro (a) aluno (a), neste tópico vamos tratar as operações comerciais, que tem 
como objetivo mostrar quais as operações realizadas com mercadorias com a intenção 
de obter-se lucro. Podemos dizer então que, as operações comerciais são compras, 
vendas, permutas e outros.
 Sendo assim, vamos realizar as operações de acrescimento (simultâneos e 
sucessivos), descontos (simultâneos e sucessivos) e aprender a calcular a taxa de 
lucro sobre o preço de custos e venda.
 
7.1 Acréscimos
 
 Segundo Veras (2012), a atualização de preços de uma mercadoria é o resultado do 
cálculo gerado pelos acréscimos, isso faz com que o comerciante obtenha sua taxa 
de lucro dado os preços de vendas, a partir dos preços de custos das mercadorias.
 Podemos começar o cálculo para o valor dos acrescimentos dado o como preço 
inicial, e i como a taxa de acréscimo (ou porcentagem), representa a fração calculada 
sobre, assim, é dado a equação:
 
 Assim, o valor final será a soma do acréscimo com o preço inicial:
 Ou 
 Para encontrar o valor inicial, temos a seguinte equação:
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 A taxa pode ser calculada:
 Agora, vamos tratar os acréscimos simultâneos, esse tem como significância quando 
o preço inicial está subordinado a mais de um acréscimo , que 
acometem com taxas sobre o preço ao mesmo. De maneira que podemos 
calcular o valor P como:
 
 A equação pode ser descrita também como:
 Para encontrar o preço inicial, com os acréscimos, tem-se a seguinte equação:
 A taxa de acréscimo i pode ser auferida da seguinte maneira:
 Conforme Veras (2012), outra situação também é quando o preço inicial sofre 
diversos acréscimos constantes ( ) . De maneira que, cada acréscimo a partir 
do segundo engloba o valor acrescido dos acréscimos anteriores. A cada acréscimo 
os valores do preço podem ser calculados da seguinte maneira:
 Para encontrar o preço inicial tem-se a seguinte equação:
 Agora, vamos a alguns exemplos de exercícios com acréscimos.
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 EXEMPLO 1: O dono de uma papelaria deseja acrescentar 15% em cima do valor 
de custo de 10 cadernos de R$140,00. Qual foi o valor do acréscimo e qual o valor 
de 10 cadernos?
P0=140
i=0,15
∆P=140∙· 0,15=21
P=140+21=161
 Resposta: O valor do acréscimo foi de R$21,00 e o valor de 10 cadernos foi de R$161,00.
 EXEMPLO 2: Dona Maria sempre gostou de pizza, porém, o valor da pizza média 
que sempre comprou teve um acréscimo no seu valor, antes a mesma pagava o valor 
de R$35 e logo depois passou a pagar R$48. Qual é o valor da taxa de acréscimo?
P0=35
P=48
i=13/35=0,3714
 Resposta: O valor da taxa de acréscimo na pizza foi de 0,3714, ou seja, 37,14%.
 EXEMPLO 3: José Rodrigo, administrador, possui um salário R$2.700,00. A cada 
final de ano recebe um adicional de 30%, porém, no ano de 2019 além de receber o 
adicional anual, também recebeu um adicional de 7%. Os dois são calculados com 
base no salário. Qual será o salário com os adicionais de José Rodrigo? Qual a taxa 
de acréscimos total para o salário do administrador?
P=2700
i_1=30% i_2=7%
∆_1 P=2700∙· 0,30=810
∆_2 P=2700∙· 0,07=189
P=2700+810+189=3699
i=0,30+0,07=0,37
 Resposta: O salário com os adicionais de José Rodrigo é de R$3.699,00. A taxa de 
acréscimos total é de 37%.
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 EXEMPLO 4: Leandro é dono de uma revendedora, ao comprar uma mercadoria do 
preço de fábrica paga o valor de imposto de 6,5% do valor inicial. Quando o produto é 
vendido no varejo, Leandro acrescenta 12% no seu preço final. Considere que, o valor 
do preço de fábrica do produto é R$4.67. Qual o valor do preço no varejo? 
P=4,67
i_1=6,5%
i_2=12%
P=4,76(1+0,065)(1+0,12)=5,57
 Resposta: Leandro irá vender seu produto no varejo por R$5,57.
 
7.1 Descontos
 Agora que já aprendemos a calcular o acréscimo, vamos aprender a calcular o 
desconto. Segundo Veras (2012), ao vender uma mercadoria, o comerciante pode 
conceder descontos aos compradores, seja por n razões, seja a forma de pagamento 
a vista, grandes quantidades da mercadoria, defeitos ou liquidações.
 A princípio, vamos tratar o preço inicial como, a taxa de desconto como i, como 
o desconto concedido e P o preço final (valor descontado). De maneira, temos as 
seguintes equações: 
(12)
 e:
(13)
 Também podemos descrever a equação do preço final como:
(14)
 Para encontrar o preço inicial, tem-se:
(15)
 A fim de encontrar a taxa de desconto, é apresentada a equação:
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(16)
 De agora em diante, vamos tratar dos descontos simultâneos, esse, acontece 
quando o valor inicial sofre diversos descontos simultâneos de taxas de descontos 
( ), sofrendo diferenças no valor de e o valor final P. Assim, podemos 
apresentar a equação:
(17)
 Ou:
(18)
 Para encontrar o valor do preço inicial, tem-se:
(19)
 Com o intuito de achar o valor da taxa de desconto, podemos descrever:
(20)
 Além disso, temos os descontos sucessivos, tais acontecem quando o valor inicial (
) sofre vários descontos sucessivos, de diversas taxas de descontos ( ) 
, que, um novo desconto índice sobre o valor descontado anteriormente, levando cada 
vez que ocorre o desconto, um novo valor P (VERAS, 2012), como é apresentado:
(21)
 Para encontrar o valor do preço inicial:
(22)
 Já o valor da taxa de desconto podemos encontrar o valor pela seguinte equação:
(23)
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 Agora que nós já aprendemos sobre os descontos, vamos aos exercícios, como 
uma forma de compreender e fixar melhor o conteúdo.
 EXEMPLO 1: A loja Esmeralda S.A (fictício) entrou em liquidação de suas mercadorias, 
levando com que houvesse desconto no preço. Carolina deseja comprar um produto na 
loja, esse está com 20% de desconto e o preço inicial é de R$670,00. Quanto Carolina 
irá pagar no produto com desconto?
 Resposta: Carolina irá pagar no produto com desconto o valor de R$536,00
 EXEMPLO 2: Ágata é funcionária de uma empresa de artigos esportivos, seu salário 
bruto é de R$1500,00, e possui os descontos de 9% do INSS e 6% de vale transporte, 
ambos calculados sobre o salário bruto. Qual será o valor do salário líquido de Ágata?
 Resposta: O valor do salário líquido de Ágata será de R$1290,00.
 EXEMPLO 3: Uma empresa produtora de refrigerantes decidiu dar 20% de desconto 
nas latas de refrigerante amassadas. Os revendedores da marca de refrigerante possuem 
5% de desconto caso comprar mais de 500 unidades sobre o preço remarcado. O 
revendedor comprou 700 unidades de latas de refrigerante com defeito. Considerando 
que o revendedor pagou o valor de R$2900,00, qual é o valor do preço inicial?
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 Resposta: O preço inicial é de R$3815,79.
 Taxa de Lucro sobre o Preço de Custo e sobre o Preço de Venda
 Conforme Veras (2012) a taxa de lucro é o valor obtido sobre o preço de custo, 
cujo representa o capital empregado pelo vendedor na compra das mercadorias ao 
seremvendidas. Porém, o negociante pode calcular a taxa de lucro sobre o preço de 
venda, pelo fato de que o preço de venda está presenta nas etiquetas e em tabelas 
de uso comercial e de mais fácil acesso do que o preço de custo. 
 A taxa de lucro sobre o preço faz com que seja possível determinar a taxa de 
lucro sobre o preço de custo, visto que, há uma relação entre as duas taxas. Vamos 
apresentar o preço de custo como , o preço de venda e L como o lucro, assim 
determinar o lucro pela equação:
(24)
 As taxas de lucro de custo são dadas a partir das seguintes equações:
(25)
 Ou:
(26)
 Temos também as equações para achar a taxa de lucro de vendas:
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(27)
 Ou:
(28)
 Vale ressaltar que a taxa de lucro e também é conhecido como a margem 
de lucro.
 Agora que aprendemos as equações para calcular o lucro, vamos realizar alguns exercícios!
 EXEMPLO 1: Uma empresa vendedora de produtos cosméticos tem o costumo 
de obter lucro de 20% sobre o preço de custo. Qual será o lucro da empresa no mês 
que teve de preço pago R$6.000,00? Qual será o preço de venda das mercadorias 
da empresa?
 Resultado: O lucro que a empresa irá prover pelo preço pago será de R$1200,00. 
O preço de venda das mercadorias da empresa será de R$7200,00.
 EXEMPLO 2: Antônio, dono de uma temakeria obtém 12% de lucro sobre o preço 
de venda. Qual será o lucro que será pelo custo dos peixes comprados pelo valor de 
R$430,00? Qual será o preço de custo dos peixes comprados?
 Resultado: O lucro que a empresa irá provar pelo custo será de R$51,60. O preço 
de custo dos peixes comprados será de R$378,40.
 EXEMPLO 3: Uma empresa de sapatos possui a margem de lucro de compra no 
valor de R$3%. Qual será a taxa de lucro de venda da empresa?
Há duas formas de calcular a taxa de lucro de venda da empresa:
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 A taxa de lucro de venda da empresa de sapatos é de R$2,9%.
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AULA 8
RENDAS 
 
Título: Conceitos Básicos: Percentual.
Fonte: https://pixabay.com/pt/photos/empreendedor-id%C3%A9ia-compet%C3%AAncia-1340649/
 Caro(a) aluno(a), nessa aula vamos estudar as rendas, em que seu arcabouço está 
em um conjunto de capitais dispostos em diferentes datas ou várias aplicações. Sua 
finalidade é de constituir uma quantia no futuro, diversas parcelas que serão quitadas 
em forma de uma dívida assumida na contemporaneidade, ou de um bem ou serviço 
adquirido a prazo, ou também, variados pagamentos realizados para quitar um bem 
ou serviço, por exemplo: aluguéis ou salários.
 Nós chamamos de renda, uma série de valores disponíveis ou vencimento de 
pagamentos em diferentes datas. O pagamento da renda é quando ocorre há pagamento 
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da série. Os períodos da renda são chamados assim pois estão relacionados aos intervalos 
de tempo entre os vencimentos de um pagamento a outro (ASSAF-NETO, 2016).
 As rendas são estabelecidas de duas maneiras: certas e aleatórias.
• Rendas certas: Possuem como características os pagamentos em que 
possuem vencimentos, valores e taxa de juros fixadas.
• Rendas aleatórias: Têm como característica os pagamentos com 
vencimentos, valores e taxa de juros incertos, tais como prêmios de seguro.
 Devido ao fato de sabermos por determinação os valores, vamos tratar nessa aula 
as rendas certas. Primeiramente, vamos denominar o valor presente de uma renda 
como o montante dos valores presentes de cada pagamento, calculados em uma 
definida data à uma taxa fixada.
 Além de denominar o valor presente de uma renda, vamos denominar o valor futuro 
de uma renda, esse, é a soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos, 
calculado em uma data fixada, juntamente, com uma taxa também fixada.
 
8.1 Diagrama de Fluxo de Caixa
 Vamos apresentar as rendas 
através de um diagrama de fluxo 
de caixa, apresentado por uma 
série de pagamentos (PMT), 
com os valores presentes (PV) e 
os valores futuros (FV), como é 
apresentado na Figura ao lado:
 Na Figura 1 temos dois 
diagramas, em que apresentam 
os valores presentes, pagamentos 
e valores futuros. Dessa maneira, 
podemos expressar o diagrama 
em forma de equação:
Figura 2 – Valores presentes, pagamentos e valores futuros. 
Fonte: Veras (2012).
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PV=PV1 + PV2+ … + PVn
 e: 
FV=FV1 + FV2 + … + FVn
 Além disso, podemos classificar as rendas como temporárias ou perpétuas. A renda 
temporária ocorre quando há um número limitado de termos e uma série de prestações, 
por exemplo: ao comprar um apartamento ou casa própria.
 A renda perpétua ocorre quando há um número ilimitado de termos e uma série de 
prestações, por exemplo: uma família que não tem a intenção de comprar sua casa 
própria e opta por alugar uma casa.
 Outra informação importante é de que as rendas podem ser constantes ou uniformes, 
em ressalva quando os termos são iguais e variáveis quando os termos são diferentes. 
Um exemplo de renda constante é quando há uma série de prestações dadas por uma 
compra a prazo (em que as prestações são iguais). Já a renda variável, temos como 
exemplo os rendimentos mensais de aplicações na caderneta de poupança.
 Ao relacionarmos os períodos, podemos classificá-lo em duas formas: as periódicas 
e não periódicas. Um dos exemplos de rendas periódicas são os salários ganhos 
pelo trabalhador e um exemplo de renda não periódica são os ganhos recebidos por 
trabalhos eventuais (VERAS, 2012).
 De todos as classificações de rendas, vamos analisar as rendas constantes 
e periódicas, pois, essas podem fracionar-se nas datas de pagamento em rendas 
imediatas, antecipadas e diferidas.
 Vamos começar primeiramente pelas rendas imediatas, conforme a Figura 2:
 
Figura 3 – Pagamentos de rendas imediatas
Fonte: Veras (2012)
 Dentre os mais comuns usos de rendas imediatas estão o pagamento de uma 
dívida paga em parcelas periódicas, com a primeira parcela para o vencimento no fim 
do primeiro período. Ou até mesmo o aluguel que é pago a cada mês, visto a data em 
que alugou o imóvel, e o salário que recebido pelo trabalhador a cada mês.
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 Diferentemente as rendas antecipadas tem como característica o pagamento 
realizado no início do período, como mostra a Figura 3:
 
Figura 4 – Pagamentos de rendas antecipadas
Fonte: Veras (2012). 
 Um grande exemplo das rendas antecipadas são as compras realizadas em prestações 
e o primeiro pagamento é realizado em imediato, como também os aluguéis pagos 
antecipadamente, ou uma série de depósitos realizados na caderneta de poupança 
(com taxa fixa).
 Por último, mas não menos importante, temos as rendas diferidas. Essas, possuem 
em particularidade um período de carência, cujo a partir de certo período são realizados 
os pagamentos, como podemos ver na Figura abaixo:
 
Figura 5 – Pagamento das rendas diferidas
Fonte: Veras (2012).
 Em exemplo das rendas diferidas temos promoções de produtos, em que é dado a 
compra hoje e o pagamento se dá início em n meses, também se tem como exemplo 
financiamentos com prazos de carência.
 
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AULA 9
RENDAS: PARTE 2 
 Nesse tópico vamos aprender a calcular o valor presente da renda através de 
fórmulas. Contudo, as fórmulas e programas foram elaborados para trabalhar apenas 
com a renda imediata, pois, essa é a mais comum, assim, quando nos deparamos 
quando questões de rendas antecipadase diferidas, é necessário transformá-las em 
rendas imediatas.
9.1 Cálculo do Valor Presente de uma Renda
 Vamos começar o cálculo do valor presente primeiramente pela renda imediata. 
Devemos supor que temos n termos de pagamento (PMT) e queremos calcular o valor 
presente (PV) com dada taxa (i) no período da renda, então temos:
	 PV=〖PV〗_1+〖PV〗_2+⋯+〖PV〗_n																															(3)
 Dado que os valores de PV são os valores presentes de cada n termos de pagamento, 
podemos observar no diagrama a seguir:
Figura 6 – Valores presentes em função dos pagamentos
Fonte: Veras (2012).
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 Assim, temos a seguinte equação:
PV=PMT〖(1+i)〗^(-1)+PMT〖(1+i)〗^(-2)+⋯+PMT(1+i)^(-(n-1)	)+PMT〖(1+i)〗^n
 ou:
PV=PMT〖((1+i)〗^(-1)+〖(1+i)〗^(-2)+⋯+(1+i)^(-(n-1)	)+(1+i)^n)
 Assim, podemos abreviar as fórmulas para:
PV=PMT∙〖1-(1+i)〗^n/i
 Assim podemos calcular os pagamentos (PMT) da seguinte maneira:
PMT=(PV/(1-(1+i)	^(-n)	))/i
 Agora, vamos tratar da renda imediata de maneira que o número de PMT seja ilimitado, 
podemos calcular o mesmo através do valor presente e da taxa i dada no período da 
renda. Podemos encontrar o valor presente e o PMT, a partir das seguintes equações:
PV=PMT/i
e:
PMT=PV∙i
 Temos também a renda antecipada, em que temos n termos de pagamento, na 
qual queremos calcular o PV e a taxa i no período da renda. 
PV=PMT∙(1-(1+i)^n)/i∙(1+i)
e:
PMT=((PV〖(1+i)〗^(-1))/(1-〖(1+i)〗^(-n)	))/i
 Por último, porém, não menos importante temos a renda diferida, para calcular o 
valor presente e a taxa i dado período da renda, tem-se:
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PV=PMT∙(1-〖(1+i)〗^(-n))/i∙(〖1+i)〗^(-m)
 e:
PMT=(PV/(1-〖(1+i)〗^(-n)	))/i∙〖(1+i)〗^(-m)
 Agora que já aprendemos as equações do valor presente e pagamento, vamos a 
alguns exercícios sobre a renda imediata, perpétua, antecipada e diferida. 
 EXEMPLO 1: Vanessa decidiu comprar um apartamento, ela deu de entrada 
R$80.000,00 e mais 14 parcelas de R$2.600,00, visto que a taxa i é de 1,6% a.m.. 
Qual o valor do preço à vista do apartamento de Vanessa?
PMT=2.600,00
i=1,6% a.m.
n=14
PV=2600·(1-(〖1+0,016)〗^(-14))/0,016=2600·0,1992/0,016
PV=2600·12,45=32.370,00
 Resposta: O valor presente será de R$32.370,00. O preço do apartamento será de 
R$112.370,00 (preço da entrada + PV).
 EXEMPLO 2: Mariana pretende comprar uma casa para alugar, como uma forma de 
renda extra. Em uma pesquisa de alugueis no bairro que quer comprar a casa, decidiu 
que irá alugar por R$800,00. Quanto Mariana estará disposta a pagar pela casa, com 
uma taxa de mercado de 2,6% a.m?
PMT=800
i=2,4% a.m.
PV=800/0,026=30.769,23
 Resposta: Mariana estará disposta a pagar pela casa o valor de R$30.769,23.
 EXEMPLO 3: Juliana comprou uma geladeira nova para pagar em 7 parcelas de 
R$271,50, em que a primeira foi no ato da compra e as demais de 30 em 30 dias. 
Qual o preço à vista da geladeira que Juliana comprou pela taxa de 0,8% a.m.?
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PMT=271,50
n=7 
i=0,8% a.m.
PV=271,50·(1-(1-0,008)^(-7))/0,008·1,008=271,50·0,05425/0,008·1,008
PV=1.855,84
 Resposta: Juliana a geladeira pelo valor de R$1.855,84.
 EXEMPLO 4: A empresa Belatriz realizou um empréstimo de R$9.000,00 e dever 
ser pago à juros de 1,5% a.m., em 5 parcelas mensais, a primeira vencendo 120 dias 
após o empréstimo. Qual será o valor das parcelas?
PV=9.000,00
i=1,5% a.m.
n=5
m=3
PMT= (9000,00〖(1+0,015)〗^3)/((1-(1+0,015)^(-2))/0,015)=9.411,11/
(0,7173/0,015)= 9.411,11/4,7826=1.967,76 
 Resposta: O valor das parcelas que a empresa irá pagar será de R$1.967,76.
9.2 Cálculo do Valor Futuro de uma Renda
 Agora que já aprendemos a calcular o valor presente de uma renda, nesta aula vamos 
aprender a determinar o valor futuro de uma renda. Como foi definido anteriormente, 
o valor futuro, podemos aprender a calcular o valor futuro através da renda imediata, 
antecipada e diferida. 
 Vamos começar pela renda imediata de n termos de pagamento, para calcular o 
valor futuro (FV) temos a equação:
FV=〖FV〗_1+〖FV〗_2+	···	+〖FV〗_n
 Onde temos a somatória de todos os valores futuros por n período, assim, podemos 
compreender melhor na Figura 5.
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Figura 7 – Valor futuro em termos de pagamento pela renda imediata
Fonte: Veras (2012).
 Assim, podemos descrever FV como:
FV=PMT〖(1+i)〗^(n-1)+PMT〖(1+i)〗^(n-2)+ ··· +PMT(1+i)+PMT
 ou:
FV=PMT (〖(1+i)〗^(n-1)+ (1+i)^(n-2)+ ··· +(1+i)+1)
 Em outros termos, podemos descrever FV e PMT como:
FV=PMT·(〖(1+i)〗^n-1)/i
 e:
PMT=FV/(((1+i)^n-1)/i)
 E também podemos encontrar o valor futuro através do valor presente, pela equação:
FV=PV〖(1+i)〗^n
 Agora, vamos compreender o valor futuro por meio da renda antecipada, em que 
tem como escopo o pagamento posterior imediato, podemos observar isto na Figura 
(8) abaixo: 
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Figura 8 – Valor futuro em termos de pagamento pela renda antecipada
Fonte: Veras (2012).
 De maneira, podemos descrever as seguintes fórmulas:
FV=PMT ((1+i)^n-1)/i(1+i)
PMT=(FV(1+i)^(-1))/(((1+i)^n-1)/i)
 
 A última forma de renda a ser estudada pelo valor futuro é a diferida, tem-se que 
os m períodos não interferem na posição do valor futuro, ou seja, o FV localiza-se na 
data do último pagamento.
Figura 9 - Valor futuro em termos de pagamento pela renda diferida
Fonte: Veras (2012).
 Podemos descrever por meio das fórmulas:
FV=PMT∙(〖(1+i)〗^n-1)/i
 e:
PMT=FV/(((1+i)^n-1)/i)
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 As fórmulas apresentadas para encontrar o valor futuro para a renda diferida é 
a mesma fórmula utilizada para encontrar o valor futuro da renda imediata, como 
descrito anteriormente.
 Depois de compreendermos melhor os cálculos impostos para achar o valor futuro das 
rendas e o pagamento, vamos a alguns exercícios para ajudar a fixar melhor o conteúdo!
 EXEMPLO 1: Carolina decidiu guardar R$120,00 no final de cada mês em uma 
instituição financeira por dois anos (24 meses), sabe-se que os juros são de 1,8% a.m. 
Qual será o valor futuro no fim do período estabelecido por Carolina?
PMT=120,00
n=2 anos=24 meses
i=1,8%
FV=120∙(〖(1+0,018)〗^24-1)/0,018	120∙(〖1,018〗^24-1)/0,018
FV=120∙0,5344/0,018=120∙29,69
FV=3.562,80
 Resposta: Carolina terá um valor futuro de R$3.562,80.
 EXEMPLO 2: Iara pretende aplicar o valor de R$8.548,67 a uma taxa de 0,06% ao 
mês, qual será o valor futuro daqui a 6 meses? E daqui 12 meses?
PV=8.548,67
i=0,06
n_1=6 
n_2=12 
FV_1=8.548,67(1+0,0006)^6=8.548,67(1,0006)^6
FV_1=8.548,67∙1,003605=8579,491
FV_2=8.548,67(1+0,0006)^12=8.548,67(1,0006)^12
FV_2=8.548,67∙1,0072=8.610,42
 Resposta: Iara terá o valor futuro daqui a 6 meses de R$8.579,49 e daqui 1 ano, 
de R$8.610,42. 
 EXEMPLO 3: A empresa Carrinho do Sol S.A (fictício) pretende aplicar o valor 
de R$40.000,00 em uma instituição financeira, com a taxa de juros de 4,8%. Os 
administradores da empresa desejam saber qual será o montante daqui 2 anos.
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PV=40.000,00
i=4,8
n_1=24 
n_2=60 
FV=40.000,00(1+0,048)^24=8.548,67(1,048)^24
FV=40.000,00∙3,08=123.234,06
 Resposta: A empresa terá o valor de R$123.234,06.
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AULA 10
ANÁLISE DE INVESTIMENTOS
Título: introdução à análise de investimentos.
Fonte: https://cdn.pixabay.com/photo/2015/08/01/21/03/euro-870757_960_720.jpg
 Caro (a) aluno (a), nesta aula vamos aprender um pouco melhor sobre a análise 
de investimentos. Vamos lembrar que toda operação financeira é representada por 
fluxos de caixa, dados os valores dos pagamentos, taxa de juros, valorespresentes e 
entradas e saídas de caixa (ASSAF-NETO, 2016).
 Logo, nessa aula vamos desenvolver melhor as ideias da taxa interna de retorno e 
o valor presente líquido, esses que são muito utilizados para análise das operações 
financeiras e projetos de investimentos. 
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10.1 Taxa Interna de Retorno (IRR)
 Podemos citar a taxa interna de retorno como a taxa de juros que iguala, em algum 
momento o valor presente das entradas com os das saídas (recebimentos e pagamentos) 
previstos em caixa. Usualmente, essa metodologia acontece no início da operação, 
como uma data base para comparar os fluxos de caixa (ASSAF-NETO, 2016).
 O fluxo de caixa do período inicial é dado pelo valor do investimento, ou financiamento 
ou empréstimo, e os outros fluxos mostram os valores das prestações. Dessa forma, 
podemos descrever a identidade da taxa interna de retorno por: 
〖FC〗_0=∑_(j=1)^n	▒	〖FC〗_j/〖(1+i)〗^j	
 Em que:
〖FC〗_0 é o valor do fluxo de caixa do momento inicial (seja esse empréstimo 
ou investimento);
〖FC〗_j são os fluxos previstos de entrada ou de saídas de caixa, dado o período 
de tempo;
i é a taxa de desconto ou taxa interna de retorno, que identifica em determinado 
período, a entrada com a saída prevista de caixa. 
 Podemos dizer que o método IRR leva em consideração o valor do dinheiro no tempo 
e expressa a rentabilidade (se for uma aplicação, custo, empréstimo, financiamento). A 
rentabilidade ou custo é indicada em termos de uma taxa de juros periódica (ASSAF-
NETO, 2016).
 Vamos a um exemplo!
 Rodnei realizou um empréstimo de R44.000,00, a ser liquidado em 4 pagamentos 
mensais e sucessivos de R$11.500,00 cada. 
 
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 Adicionando a fórmula, tem-se:
44.000,00=11.500/〖(1+i)〗^1			11.500/〖(1+i)〗^2			11.500/〖(1+i)〗^3			11.500/
〖(1+i)〗^4	
 Podemos compreender então que a taxa interna de retorno será de 1,802% a.m.
 Então, já que aprendemos o IRR através do fluxo de caixa, vamos aprender a 
interpretar o IRR por meio da planilha financeira?!
 Vamos observar na Tabela 1, a taxa calculada de 1,802% a.m. recai sobre o saldo 
devedor líquido da operação. Podemos dizer que as prestações obtidas por esta taxa, 
além de remunerar o dinheiro emprestado, levam a liquidação completa da dívida ao 
final prazo estabelecido. 
Mês Saldo Devedor Prestação
0 R$44.000,00 
1 R$11.500,00
2 R$11.500,00
3 R$11.500,00
4 R$11.500,00
Tabela 2 – IRR em planilha financeira
Fonte: Elaborado pelo autor.
 Afirma-se que a taxa interna de retorno é somente verdadeira na suposição de todos 
os fluxos de caixa, que será reaplicado a taxa de juros calculada no período. Se isso 
não acontecer, o resultado efetivo do investimento será outro (ASSAF-NETO, 2016). 
 
 Vamos a outro exemplo:
 Nós temos o valor de um empréstimo de R$80.000,00 e os valores pagos mensais 
são de R$10.000,00, R$40.000,00, R$30.000,00 e R$20.000,00, a uma taxa de 12% a.m.
 Assim, podemos encontrar o valor futuro:
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 FV=10.000,00(1,12)^3+40.000,00(1,12)^2+30.000,00(1,12)^1+20.000,00
 FV=117.825,30
 Sendo que o valor do investimento é de PV=80.000,00.
 Podemos concluir que a rentabilidade periódica (IRR):
IRR=117.825,30/80.000,00-1=0,4728
 O IRR será de 47,28% para todo o período. 
10.2 Valor Presente Líquido (VPL)
 Ainda nessa aula vamos estudar o valor presente líquido para análise dos fluxos de 
caixa, que é apresentado pela diferença entre o valor presente previsto em caixa e o 
valor presente do fluxo de caixa inicial (seja pelo montante do investimento, empréstimo 
ou financiamento). 
 A equação para encontrar o valor presente líquido é:
VPL=∑_(j=1)^n▒〖FC〗_j/〖(1+i)〗^j	-〖FC〗_0
 Em que:
〖FC〗_0		é o valor do fluxo de caixa do momento inicial (seja esse empréstimo 
ou investimento);
〖FC〗_j	 	são os fluxos previstos de entrada ou de saídas de caixa, dado o 
período de tempo;
 Ao compararmos o VPL com a metodologia apresentada anteriormente (IRR), o 
valor presente líquido faz com que seja definido previamente a taxa de desconto a 
ser empregada na atualização dos fluxos de caixa. 
 Uma grande divergência do IRR é que o VPL não indica a taxa de rentabilidade da 
operação financeira. Quando é descontado todos os fluxos de entradas e saídas de 
caixa por uma taxa de desconto mínima aceitável, o VPL faz com que essa última 
análise demonstre o resultado econômico da alternativa financeira expressa em moeda 
(ASSAF-NETO, 2016).
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 Vamos a um exemplo de como calcular o VPL!
 Uma empresa pretende investir R$10.400,00, no qual espera-se benefícios anuais 
de caixa de R$5.000,00 no primeiro ano, R$8.800.00 no segundo ano. Levando em 
consideração que a empresa tenha 8% ao ano de taxa de desconto a ser aplicada nos 
fluxos de caixa de investimento. Calcule o VPL.
VPL=	[5000/((1,08))+8800/〖(1,08)〗^2	]-10400
VPL= [4629,63+7544,58]-10400
VPL=12174,21-10400
VPL= 1774,21
 Podemos perceber que mesmo descontando o valor de 8% ao ano, o VPL tem 
valor significativo, isto é, a alternativa do investimento possui uma rentabilidade 
anual superior a 8%, mostrando que o investimento é atraente, mostrando uma 
viabilidade econômica. 
 Assim, nos despedimos da aula 11, em que foram apresentados o IRR e o VPL para 
uma compreensão melhor dos investimentos financeiros.
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AULA 11
VIABILIDADE FINANCEIRA
Titulo: Moedas
Fonte: https://pixabay.com/photos/money-money-tower-coins-euro-2180330/
 
 Caro(a) aluno(a), nessa aula vamos aprender um pouco mais sobre o índice de 
lucratividade (IL) e taxa de rentabilidade (TR). Esses métodos de análise de investimento 
consideram o método fluxo de caixa descontado.
11.1 Índice de Lucratividade (IL)
 Esse índice, é conhecido por medir a associação que ocorre entre os valores presentes 
dos fluxos de entrada e as saídas de caixa. Podemos compreender melhor por meio 
de um exemplo, com uma taxa de atratividade de 10% a.a., como ilustrado abaixo:
 PV = R$432.851,50
 
https://pixabay.com/photos/money-money-tower-coins-euro-2180330/
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 Sendo que R$300.000,00 é o valor do desembolso previsto para o investimento, 
assim, podemos obter o índice de lucratividade:
IL=432.851,50/300.000,00=1,44
 O valor obtido de 1,44 mostra que para cada R$1,00 aplicado houve um retorno de 
0,44, salientando que esse resultado de caixa está com valores atualizados.
 Conforme Assaf-Neto (2016), o índice de lucratividade quando exibe um valor maior 
que 1, mostra que há atratividade financeira nesse investimento. O valor presente das 
entradas do caixa é maior quando comparado aos dos desembolsos, fazendo com que 
o VPL seja positivo. Quando o valor apresentado for menor que 1, o IL irá demonstrar 
o desinteresse econômico pela alternativa dos investimentos, ao qual demonstra um 
VPL negativo. 
11.2 A taxa de rentabilidade (TR)
 Além do índice IL, também é importante apresentar a taxa de rentabilidade (TR), 
essa tem por objetivo a relação do VPL, considerando o VP de desembolsos de capital 
e a taxa de atratividade. 
 De maneira, podemos descrever o TR através da seguinte equação:
TR = VPL/(Desembolso de Capital)
 Seguindo o exemplo do tópico anterior, em que temos a taxa de atratividade de 10% 
a.a., PV = R$432.851,50 o valor do desembolso de R$300.000,00. Podemos calcular:
TR=132.851,50/300.000,00=0,4428
 O valor do TR será de 44,38%, ou seja, tanto o método TR promove decisões em 
relação a atração do investimento. 
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11.3 Análise de Investimento - Uma comparação entre 
metodologias
 Neste tópico vamos comparar as metodologias empregadas nesta aula e na aula 
12. Podemos dizer que um investimento financeiro é economicamente viável e bem 
visto ao apresentar um VPL positivo e um IRR maior que a taxa de retorno requerida, 
ou até mesmo quando o ILL é maior ou igual a 1 ou quando a TR é positiv (ASSAF-
NETO, 2016).
 Assim, pode-se dizer que um projeto de investimento possui métodos de análise que 
levam em conta os fluxos de caixa descontados convergem sempre para a mesma 
decisão. A comparação entre métodos pode ser conflitante, pois muitas vezes os 
métodos de análise podem ser divergentes. 
 Essas divergências são explicadas pela discrepância do montante do investimento 
e as diferenças em relação aos fluxos de caixa conforme um período de tempo. 
 Em uma situação de conflito, o método VPL é dado como o que produz melhores 
recomendações. A utilização do IRR possui algumas limitações, como a relação à 
seleção das alternativas, não mostrando com exatidão a melhor alternativa. 
 Então, vamos ressaltar que temos os métodos VPL e IRR que convergem para 
a atratividade econômica por meio do VPL positivo e o IRR maior que a taxa de 
retorno determinada. 
 Não levando em consideração restrições de natureza técnica ou orçamentária, 
pode-se ter dois investimentos simultâneos e independentes como decorrência de 
resultados favoráveis computados pelos métodos de avaliação. 
 Porém, caso os investimentos forem mutuamente excludentes, pode-se dizer que a 
escolha de um investimento elimina a possibilidade de se implementar outro, mesmo 
que os dois mostraram viabilidade econômica. 
 Então, podemos afirmar que quando a uma divergência de tamanho de investimento, 
a melhor decisão a ser tomada é selecionar a alternativa com o maior VPL, pois este leva 
em consideração a escala do investimento, destacando os demais critérios de viabilidade 
financeira. Entretanto, quando o VPL possui o mesmo valor mesmo em investimentos 
diferentes, a indicação é que o VPL seja questionado (ASSAF-NETO, 2016).
 Caso o investimento seja de mesma escala, é indicado a determinar a escolha 
por meio do maior IRR, pois quanto mais elevado apresentar os fluxos de caixa nos 
momentos iniciais de investimento, maior será a IRR. 
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AULA 12
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: SAC
 Vamos conhecer nesta e nas próximas aulas os sistemas de amortizações para 
pagamentos, passando a entender a forma de pagamento do valor principal de um 
empréstimo e/ou financiamento, bem como seus juros e o quanto deverá ser pago 
em cada parcela.
 Amortização é o pagamento do montante devido de forma gradual, através de uma 
periodicidade acordada em contrato, pagamentos mensais, semestrais ou anuais.
 Na área financeira os contratos de qualquer instituição financeira e linha de crédito 
devem apresentar um modelo de como foi feito o cálculo das parcelas, sabendo que 
este pagamento se refere a uma pequena parte do valor principal mais o valor do juros 
agregado que geralmente é a partir ou sobre o valor principal do saldo devedor, tudo 
isto é um acordo entre devedor e credor a ser realizado no ato do financiamento ou 
do empréstimo.
 Vamos estudar as seguintes formas de amortização: Sistema de Amortização 
Constante (SAC) e o Sistema de Amortização Francês (SAF) mais conhecido como 
Sistema Price. 
 No SAC como o nome já diz a amortização acontece de maneira constante, assim se 
fazemos um financiamento de 100 mil reais em 100 meses o SAC acaba amortizando 
mil reais por mês de forma constante, dessa forma as parcelas tornam-se decrescentes 
pois o juro incidi sobre o valor do saldo devedor que diminui a cada mês.
 No modelo PRICE o que é constante é o valor da prestação, onde a amortização 
é a diferença entre a prestação e o valor do juro, deixando a amortização do valor 
principal da dívida crescente a cada mês.
 Esses sistemas são geralmente utilizados em financiamentos imobiliários, o SAC 
conhecido por amortizar a dívida igualmente a cada parcela paga, além do valor da 
parcela diminuir conforme o tempo passa, o PRICE mais conhecido por ter parcelas 
sempre iguais, esse tipo de amortização também é muito utilizado em empréstimos 
pessoais oferecidos pelas instituições bancárias e financiamento de automóveis.
 Outra característica que difere os dois modelos de amortização é a amortização 
inicial, a primeira prestação que o devedor paga no ato do empréstimo/financiamento, 
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na SAC essa prestação pode ser até 25% maior do que na PRICE, considerado a 
mesma taxa de juros, veremos mais sobre isso no decorrer das próximas aulas.
12.1 Sistema de Amortização Constante
Título: Calculando o SAC
Fonte: https://www.pexels.com/photo/numbers-money-calculating-calculation-3305/
 
 Antes de iniciar nossos estudos sobre os Sistemas de Amortização é importante saber: 
 
Anote isso 
Encargos financeiros são os juros sobre a operação, configuram em receita 
para o credor e despesa para o devedor. Saldo devedor é o valor da dívida 
total em determinado momento após a amortização de algumas parcelas. 
A Amortização é o pagamento do valor principal realizado de forma gradual 
através das prestações. A prestação é composta pelo valor amortizado e os 
encargos financeiros. (NETO, 2016)
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Começamos dizendo que na prática o Sistema de Amortização Constante (SAC) é o 
mais utilizado, neste sistema as parcelas de amortização são todas iguais (HAZZAN 
e POMPEO, 2014). Considerando o valor principal P a ser amortizado em n parcelas 
A�, A�, A�, ... , Aⁿ, e supondo pagamento dos juros em todos os períodos teremos:
 O valor da amortização permanece o mesmo em toda continuidade de prestações, 
independente de quantas são, sendo assim, o valor de cada prestação é dado por:
R� = A + J� = A + P¡
R� = A + J� = A + (P – A) i = A + Pi - Ai
R� = A + J� = A + (P – 2A) i = A + Pi - 2 Ai
{...}
Rⁿ = A + Jⁿ = A + [P – (n – 1)A] i = A + Pi –(n- 1)Ai
 
 A SAC constitui-se então “... de uma progressão aritmética decrescente, cujo termo 
é A+Pi, e cuja razão é – Ai.” (HAZZAN e POMPEO, 2014, p.215).
 Conforme apresentado o gráfico das parcelas em relação ao tempo teria o aspecto 
da Figura 10.
Figura 10: Parcelas SAC em relação ao tempo
Fonte: HAZZAN; POMPEO, 2014.
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 Podemos visualizar na Tabela 3 em um simples exemplo de um financiamento no 
valor de oitocentos reais, parcelados em quatro prestações com juros de 10%. 
Tabela 3: Sistema de Amortização Constante (SAC)
Fonte: De Castro; Dal Zot (2015, p.99).
 Portanto, conforme o exemplo, podemos observar o financiamento ao longo de 4 
prestações. No mês 1, podemos visualizar o saldo inicial de R$ 800 reais, com juros 
de R$ 80 reais sobre o saldo inicial, somando um total de R$ 880. O pagamento dessa 
primeira parcela será no valor de R$ 280, a amortização em todas as prestações será 
de R$ 200 e, assim, portanto o saldo final será se R$ 600. E com esse saldo no valor 
de R$ 600 inicia-se os cálculos dos juros para o pagamento da segunda parcela. 
 
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AULA 13
CÁLCULO DO SAC
Título: Sac.
Fonte: https://pixabay.com/pt/photos/empreendedor-iniciar-arranque-2275739/
 Os valores de amortização na SAC podem ser obtidos por:
 Sendo PV o valor principal do empréstimo ou financiamento e n o número de parcelas. 
Um exemplo simples um financiamento de cem mil parcelado em cem prestações, seria:
Amort = 100.000/100
Amort = 1.000
 Os juros decrescentes conforme a quitação do valor principal também pode ser 
calculado em:
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 Utilizando ainda o primeiro exemplo onde a taxa de juro seria de 10%:
J� = 100.000 x 10%
J� = 10.000
 Para calcular qualquer período:
J� = {100.000 – (6-1)x 100.000/100} x 10% 
J� = {100.000 – 5 x 100.000/100} x 10%
J� = { 100.000 – 500.000/100} x 10%
J� = {100.000 – 5.000} x 10%
J� = 95.000 x 10%
J� = 9.500
 O valor de prestações é a soma da amortização e dos juros:
PMT = 1.000 + 10.000 
PMT = 11.000
 Ou ainda em qualquer período:
PMT = 100.000/100 + [100.000/100 x (100 – 6 +1) x 10%]
PMT = 100.000/100 + [100.000/100 x 95 x 10%]
PMT = 100.000/100 + [1.000 x 95 x 10%]
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PMT = 100.000/100 + 9.500
PMT = 1.000 + 9.500
PMT = 10.500
13.1 SAC com carência
 Algumas operações de financiamento e empréstimos são acordadas de uma 
maneira diferente da convencional, que prevê o pagamento da primeira parcela no 
período seguinte, mas se o contrato do financiamento prever um período de carência 
a primeira parcela pode ter um prazo maior de vencimento, por exemplo se acordado 
em contrato o pagamento de um financiamento ser trimestral o convencional indicaria 
que a primeira parcela seria em três meses, mas dado o acordo de carência o primeiro 
pagamento pode ser iniciado por exemplo em nove meses, conforme acordado entre 
credor e devedor (NETO, 2016).
É importante acrescentar, ainda, que a carência significa a postergação 
só do principal, não sendo incluídos necessariamente os juros. Os 
encargos financeiros podem, dependendo das condições contratuais 
estabelecidas, serem pagos ou não durante a carência. É mais comum 
o pagamento dos juros durante o período de carência. Na hipótese 
de se decidir pela carência de juros, os mesmos são capitalizados e 
pagos junto com a primeira parcela de amortização do principal ou 
distribuídos para as várias datas pactuadas de pagamento. (NETO, 
2016, p. 208)
 Até aqui vimos apenas o cálculo SAC, mas ao se supor um período de carência o 
autor Neto (2016) prevê três situações diferentes: os juros podem ser pagos durante 
a carência, os juros podem ser capitalizados e pagos totalmente do vencimento da 
primeira amortização, ou também, os juros são capitalizados e acrescidos ao saldo 
devedor até o início da amortização.
 A Tabela 2 demonstra o primeiro caso apresentado, onde os juros são pagos durante 
a carência estipulada, a prestação é constituída unicamente de encargos financeiros, 
no nosso exemplo de 14,0175% sobre um financiamento de 100.000. Em prestações 
semestrais com carência de dois anos.
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Períodos 
(Semestres) Saldo Devedor($) Amortização($) Juros ($) Prestação ($)
0 100.000,00 - - -
1 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
2 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
3 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
4 100.000,00 - 14.017,50 14.017,50
5 90.000,00 10.000,00 14.017,50 24.017,50
6 80.000,00 10.000,00 12.615,80 22.615,80
7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00
8 60.000,00 10.000,00 9.812,30 19.812,30
9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50
10 40.000,00 10.000,00 7.008,80 17.008,80
11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00
12 20.000,00 10.000,00 4.205,30 14.205,30
13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50
14 - 10.000,00 1.401,80 11.401,80
Total - 100.000,00 133.166,50 233.166,50
Tabela 2: SAC com carência e pagamento de juros
Fonte: NETO, 2016
 Na Tabela 3 apresentamos o segundo fato, quando a capitalização de juros é 
acrescida ao valor principal e quitada na primeira prestação.
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Períodos 
(Semestres) Saldo Devedor($) Amortização($) Juros ($) Prestação ($)
0 100.000,00 - - -
1 114.017,50 - - -
2 129.999,90 - - -
3 148.222,60 - - -
4 168.999,70 - - -
5 90.000,00 10.000,00 92.689,30 102.689,30
6 80.000,00 10.000,00 12.615,80 22.615,80
7 70.000,00 10.000,00 11.214,00 21.214,00
8 60.000,00 10.000,00 9.812,30 19.812,30
9 50.000,00 10.000,00 8.410,50 18.410,50
10 40.000,00 10.000,00 7.008,80 17.008,80
11 30.000,00 10.000,00 5.607,00 15.607,00
12 20.000,00 10.000,00 4.205,30 14.205,30
13 10.000,00 10.000,00 2.803,50 12.803,50
14 - 10.000,00 1.401,80 11.401,80
Total - 100.000,00 155.768,30 255.768,30
Tabela 3: SAC com carência e capitalização de Juros
Fonte: NETO, 2016
 Entre as duas modalidades de carência percebemos a diferença no pagamento 
final do empréstimo, a mesma taxa de juros sendo colocada sobre o valor principal 
mais juros anteriores por diversos períodos, o conhecido juros composto.
 Por fim a tabela 4 nos dá o último caso quando durante o período de carência o 
juros é capitalizado e acrescido sobre o valor principal mas é dividido igualmente 
na amortização.
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Períodos 
(Semestres) Saldo Devedor($) Amortização($) Juros ($) Prestação ($)
0 100.000,00 - - -
1 114.017,50 - - -
2 129.999,90 - - -
3 148.222,60 - - -
4 169.000,00 - - -
5 152.100,00 16.900,00 23.689,60 40.589,60
6 135.200,00 16.900,00 21.320,60 38.220,60
7 118.300,00 16.900,00 18.951,70 35.851,70
8 101.400,00 16.900,00 16.582,70 33.482,70
9 84.500,00 16.900,00 14.213,70 31.113,70
10 67.600,00 16.900,00 11.844,80 28.744,80
11 50.700,00 16.900,00 9.475,80 26.375,80
12 33.800,00 16.900,00 7.106,90 24.006,90
13 16.900,00 16.900,00 4.737,90 21.637,90
14 - 16.900,00 2.369,00 19.269,00
Total - 169.000,00 130.292,70 299.292,70
Tabela 4: SAC com carência e capitalização de Juros acrescida ao saldo devedor
Fonte: NETO, 2016
 Existe um valor claro no final do pagamento de cada dívida, embora todas tenham o 
mesmo caso e a mesma taxa de juros, o que ocorre é o maior prazo para pagamento, 
o que determina maiores valores de juros.
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AULA 14
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO: 
PRICE
Título: Sistema de Amortização de prestação constante
Fonte: https://pixabay.com/photos/accounting-report-credit-card-761599//
 Como mencionado na aula anterior, nesta aula vamos conhecer o sistema de 
amortização Francês (SAF), ou mais conhecido por sistema Price, que tem como 
principal característica as prestações fixas.
 O sistema para cálculo de amortização sobre empréstimos e financiamentos 
criado por Richard Price começou a ser utilizado a partir da segunda revolução 
industrial na França.
 O cálculo das parcelas é obtido pela seguinte fórmula:
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 Sobre a composição das parcelas “no início da série de pagamentos a subparcela 
de juros é maior, decrescendo com o avanço e ocorrendo o inverso com a subparcela 
de amortização, que inicia menor e vai aumentando ao longo do tempo”. (DEL MAR, 
2001, p. 26).
 Esse sistema, geralmente é utilizado no mercado financeiro e comercial, as 
prestações uniformes também composta de amortização e juro tem diferentes valores 
de amortização e de juro com o passar do tempo, isso porque o valor da amortização é 
a diferença da prestação e do juro que incide sobre o valor principal (MASAKAZU,2012) 
como podemos ver na Tabela 1.
Tabela 1: Sistema Francês de Amortização (SAF) - PRICE
Fonte: Dal Zot e Castro (2015, p.96)
 Neste exemplo o cálculo das parcelas foi feito da seguinte forma, utilizando a 
fórmula já apresentada:
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PMT= 800x0,10x(1+0,10)⁴/ (1+0,10)⁴ -1
PMT= 252,38
 Destrinchando o exemplo proposto, depois do cálculo do valor das parcelas é 
calculado o juro sobre o valor principal, como visto na primeira parcela, sobre o valor 
principal de 800 tendo uma taxa 10%, primeiro se descobre o valor correspondente 
ao juro de 80 esse valor é subtraído do valor de parcela onde descobre-se o valor da 
amortização. Nas parcelas seguintes o cálculo de juro é sobre