Estruturas em Concreto Armado

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Brasília-DF. 
Estruturas Em ConCrEto armado
Elaboração
Tatiana Conceição Machado Barretto
Produção
Equipe Técnica de Avaliação, Revisão Linguística e Editoração
Sumário
APrESEntAção ................................................................................................................................. 4
orgAnizAção do CAdErno dE EStudoS E PESquiSA .................................................................... 5
introdução.................................................................................................................................... 7
unidAdE i
ConCeitos introdutórios de ConCreto armado ......................................................................... 9
CAPítulo 1
Breve históriCo das Construções .................................................................................... 9
CAPítulo 2
elementos de Composição do ConCreto ..................................................................... 14
CAPítulo 3
introdução ao CálCulo de estruturas .......................................................................... 21
unidAdE ii
detalhamento de vigas ................................................................................................................... 37
CAPítulo 1
aderênCia, anCoragem e emendas ................................................................................. 37
CAPítulo 2
dimensionamento da armadura ...................................................................................... 52
unidAdE iii
detalhamento de lajes .................................................................................................................... 56
CAPítulo 1
lajes maCiças de ConCreto armado ............................................................................. 56
CAPítulo 2
lajes nervuradas ............................................................................................................... 67
CAPítulo 3
dimensionamento da armadura ...................................................................................... 78
unidAdE iV
detalhamento de pilares ................................................................................................................. 82
CAPítulo 1
detalhamento de pilares ................................................................................................... 82
CAPítulo 2
dimensionamento da armadura .................................................................................... 102
rEfErênCiAS ................................................................................................................................ 117
4
Apresentação
Caro aluno
A proposta editorial deste Caderno de Estudos e Pesquisa reúne elementos que se 
entendem necessários para o desenvolvimento do estudo com segurança e qualidade. 
Caracteriza-se pela atualidade, dinâmica e pertinência de seu conteúdo, bem como pela 
interatividade e modernidade de sua estrutura formal, adequadas à metodologia da 
Educação a Distância – EaD.
Pretende-se, com este material, levá-lo à reflexão e à compreensão da pluralidade 
dos conhecimentos a serem oferecidos, possibilitando-lhe ampliar conceitos 
específicos da área e atuar de forma competente e conscienciosa, como convém 
ao profissional que busca a formação continuada para vencer os desafios que a 
evolução científico-tecnológica impõe ao mundo contemporâneo.
Elaborou-se a presente publicação com a intenção de torná-la subsídio valioso, de modo 
a facilitar sua caminhada na trajetória a ser percorrida tanto na vida pessoal quanto na 
profissional. Utilize-a como instrumento para seu sucesso na carreira.
Conselho Editorial
5
organização do Caderno 
de Estudos e Pesquisa
Para facilitar seu estudo, os conteúdos são organizados em unidades, subdivididas em 
capítulos, de forma didática, objetiva e coerente. Eles serão abordados por meio de textos 
básicos, com questões para reflexão, entre outros recursos editoriais que visam tornar 
sua leitura mais agradável. Ao final, serão indicadas, também, fontes de consulta para 
aprofundar seus estudos com leituras e pesquisas complementares.
A seguir, apresentamos uma breve descrição dos ícones utilizados na organização dos 
Cadernos de Estudos e Pesquisa.
Provocação
Textos que buscam instigar o aluno a refletir sobre determinado assunto antes 
mesmo de iniciar sua leitura ou após algum trecho pertinente para o autor 
conteudista.
Para refletir
Questões inseridas no decorrer do estudo a fim de que o aluno faça uma pausa e reflita 
sobre o conteúdo estudado ou temas que o ajudem em seu raciocínio. É importante 
que ele verifique seus conhecimentos, suas experiências e seus sentimentos. As 
reflexões são o ponto de partida para a construção de suas conclusões.
Sugestão de estudo complementar
Sugestões de leituras adicionais, filmes e sites para aprofundamento do estudo, 
discussões em fóruns ou encontros presenciais quando for o caso.
Atenção
Chamadas para alertar detalhes/tópicos importantes que contribuam para a 
síntese/conclusão do assunto abordado.
6
Saiba mais
Informações complementares para elucidar a construção das sínteses/conclusões 
sobre o assunto abordado.
Sintetizando
Trecho que busca resumir informações relevantes do conteúdo, facilitando o 
entendimento pelo aluno sobre trechos mais complexos.
Para (não) finalizar
Texto integrador, ao final do módulo, que motiva o aluno a continuar a aprendizagem 
ou estimula ponderações complementares sobre o módulo estudado.
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introdução
O concreto é um material de construção considerado como aglomerado artificial e obtido 
por meio do endurecimento de uma pasta de cimento e água acrescida de agregado 
graúdo (brita) e agregado miúdo (areia).
O concreto armado surge da necessidade de se atingir uma maior resistência a 
compressão e durabilidade em relação ao concreto normal.
Ele tem baixa resistência a tração e, por isso, foi necessário o acréscimo de outros 
materiais para suprir essa deficiência inicial. Dentre eles, o mais comumente usado e 
aceito é o aço. Portanto, a junção do concreto com o aço é responsável pela composição 
do concreto armado.
Nesta disciplina, iremos ampliar o nosso conhecimento sobre estruturas em concreto 
armado. Deseja-se aqui fornecer os conhecimentos básicos de mecânica das estruturas. 
Além disso, deseja-se também analisar o comportamento mecânico de alguns materiais, 
para que, em seguida, possamos dimensionar alguns dos elementos estruturais da 
construção mais utilizados: as vigas, os pilares e as lajes.
Este caderno de estudo foi baseado na NBR 6118/2014 e outros materiais de apoio de 
diversos autores.
objetivos
 » Conhecer conceitos básicos sobre a composição do concreto armado.
 » Introduzir os elementos do cálculo estrutural.
 » Dimensionar os elementos estruturais de concreto armado.
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9
unidAdE i
ConCEitoS 
introdutórioS dE 
ConCrEto ArmAdo
Nesta unidade, serão estudados os conceitos introdutórios de concreto armado. 
O primeiro capítulo faz um resumo teórico sobre os componentes do concreto e suas 
respectivas funções. O segundo capítulo faz uma revisão dos cálculos necessários para 
o estudo dos elementos estruturais. 
Esta unidade foi escrita com base na NBR 6.118/2014 e em diversas publicações sobre 
o tema, inclusive as notas de aula de Fernandes (2006) e Camacho (2005).
CAPítulo 1
Breve histórico das construções
A pré-história traz as primeiras construções, ainda que rudimentares, do homem. Os 
homens paleolíticos já sentiam as variações climáticas mais que os animais, necessitando 
de abrigo da chuva e do frio.
Eles viviam em cavernas e grutas (reentrâncias rochosas, como na figura 1), quando as 
encontravam, mas também aprenderam a cavar abrigos debaixo da terra quando não 
encontravamas grutas.
Figura 1. homem paleolítico vivendo em cavernas.
Fonte: disponível em: <http://cleofas.com.br/as-sepulturas-na-pre-historia-eb/>. acesso em: 3 mar. 2017.
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UNIDADE I │ CoNCEItos INtroDUtórIos DE CoNCrEto ArmADo
Alguns desses abrigos eram escavados quase verticalmente e alguns registros indicam 
que chegavam aos dois metros de profundidade. 
No período Neolítico, os homens começaram a manejar ferramentas e utilizar a pedra 
para cortar alimentos e materiais. 
A partir daí, começaram a morar em casas de madeira e folhas, em comunidades 
próximas aos cursos d’água, favorecendo a agricultura e a vida familiar, como mostra 
a figura 2.
Figura 2. homem neolítico vivendo em construções rudimentares.
Fonte: disponível em: <http://www.historiadetudo.com/neolitico>. acesso em: 3 mar. 2017.
Após o domínio do manejo dos metais, o homem se desenvolve exponencialmente e 
entra na Idade Antiga com técnicas construtivas responsáveis por construções de grande 
valor histórico, como as obras egípcias, mesopotâmicas, incas e das demais civilizações 
da época.
A Mesopotâmia introduz o conceito do tijolo de cerâmica, utilizando-o como material 
de construção principal para suas obras, por exemplo, a figura 3 a seguir.
Figura 3. Zigurate – templo mesopotâmico dedicado ao deus marduk.
Fonte: disponível em: <https://piquiri.blogspot.com.br/2014/09/zigurates-da-mesopotamia-e-piramides-do.html>. acesso em: 
3 mar. 2017.
11
ConCeitos introdutórios de ConCreto armado │ unidade i
Enquanto isso, os egípcios utilizavam os blocos de pedras para construir. Exemplo 
real e prova viva da durabilidade deste material é a existência das Pirâmides, ainda 
resistentes, após milhares de anos, conforme figura 4.
Figura 4. pirâmide de Quéops – templo egípcio dedicado ao deus aton.
Fonte: google mapas1, 2017.
O código de Hamurábi (proposto por Khammu-rabi, rei da Babilônia, no 18º século 
a.C.) foi a primeira compilação de leis conhecida no mundo. 
Ele previa penas de morte para o arquiteto e sua descendência, em caso de a construção 
entrar em colapso. 
Caso o dono da casa morresse, o construtor seria morto. 
Caso o filho do dono da casa morresse, o filho do construtor seria morto.
Os gregos foram responsáveis por grande avanço na cultura e nas ciências, refinando as 
teorias científicas, a alimentação, a música e, entre outros, a construção civil.
A Idade Clássica é marcada pela expansão ocidental grega e, em seguida, romana. Os 
gregos não inovaram muito no quesito materiais de construção, mas inovaram muito 
no quesito arquitetura, pois eram atenciosos aos detalhes de pilares, pórticos e vigas.
Conforme figura 5, a arquitetura grega primava pela quantidade de detalhes nas peças 
e pela quantidade de peças propriamente ditas. 
Portanto, a carga para as fundações de construções como o Parthenon era muito grande. 
As fundações eram feitas a partir da sobreposição de blocos de pedra.
1 Disponível em: <https://www.google.com.br/maps/place/29%C2%B058’36.2%22N+31%C2%B007’55.1%22E/@29.97677
5,31.1319661,3a,90y,48.12h,73.77t/data=!3m8!1e1!3m6!1sAlG6_uWuC2Dk291ugNGbLQ!2e0!3e2!6s%2F%2Fgeo0.ggpht.
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m5!3m4!1s0x0:0x0!8m2!3d29.9767218!4d31.1319637>.
12
UNIDADE I │ CoNCEItos INtroDUtórIos DE CoNCrEto ArmADo
Os gregos já utilizavam fundações superficiais para suas construções de pequeno porte. 
A causa dessa escolha vem do solo grego, propício à construção.
Figura 5. parthenon – templo grego dedicado à deusa athena.
Fonte: disponível em: <http://architizer.com/blog/kingdom-tower-10-facts/>. acesso em: 3 mar. 2017.
Os romanos desenvolveram os processos construtivos das obras civis, agregando 
maiores dimensões e, portanto, maior carga para as fundações.
Os romanos introduziram o uso do concreto, além dos tijolos cerâmicos cozidos e 
travados. A figura 6 mostra o Coliseu e sua fundação de laje com diâmetro de 170m.
Figura 6. Coliseu – anfiteatro italiano feito de concreto e areia.
Fonte: disponível em: <http://www.revistapelomundo.com.br/editoria-1/quase-28-mil-pessoas-visitam-coliseu-em-domingo-
gratuito/>. acesso em: 3 mar. 2017.
A Idade Média avançou pouco em relação aos processos construtivos, mas introduziu 
a utilização de fundações subaquáticas e o uso do bate-estaca, similar aos bate-estacas 
manuais atuais.
A Idade Moderna, por sua vez, trouxe muitas contribuições para a construção civil, 
tanto quanto para as demais áreas da cultura, das ciências e das tecnologias.
13
ConCeitos introdutórios de ConCreto armado │ unidade i
Em 1561, foi escrito, por Philibert l’Orme, o livro mais popular da época sobre fundações, 
contemplando as fundações superficiais, profundas, fluviais e marítimas.
O cientista e engenheiro francês Charles Augustin Coulomb deu início aos estudos de 
Mecânica dos Solos em 1776.
Ele foi secundado por Rankine, Collin e Darcy, difundindo e acrescentando experimentos 
e teorias sobre a Geotecnia. 
No século XX, a Mecânica dos Solos se consolida como ciência a partir dos estudos 
e esforços de Atterberg e, principalmente, Karl Terzaghi, conhecido como o pai da 
Mecânica dos Solos.
Hoje, as construções estão tocando nas nuvens. O prédio mais alto do mundo na 
atualidade está em fase final de construção e terá 1008m de altura, mais de 60 metros 
de profundidade das fundações e mais de 80.000 toneladas de aço em sua constituição.
A Jeddah Tower ou برج المملكة (Burj al-Mamlakah ou torre de Gidá) fica na Arábia 
Saudita e tem custo estimado de quase R$5.000.000.000,00 (cinco bilhões de reais).
Figura 7. jeddah tower – edifício mais alto do mundo, em construção.
Fonte: adaptado do site architizer2, 2016.
2 Disponível em: <http://architizer.com/blog/kingdom-tower-10-facts>. Acesso em: 6 mar. 2017. 
14
CAPítulo 2
Elementos de composição do concreto
definição e histórico
Nas construções da antiguidade, empregavam-se materiais de origem natural como 
pedra, madeira e ferro.
Existem duas características necessárias para que o material de construção seja 
considerado de boa qualidade: durabilidade e resistência. 
A pedra possui alta resistência à compressão e longa durabilidade, mas baixa resistência 
a tração. 
A madeira possui boa resistência a compressão, mas sua durabilidade é depende das 
condições do meio. 
O ferro possui alta resistência a tração mas pode sofrer com interferências do meio 
como a corrosão devido a ferrugem.
Com a necessidade de se melhorar as condições originais do concreto, no que se diz 
respeito às resistências as solicitações de carga de tração, surge então a utilização da 
chamada “armadura” (aço) e a esse sistema chama-se concreto-armado. 
O concreto é composto por cimento, água, ar, agregado miúdo (areia) e agregado graúdo 
(brita).
A depender das condições do meio ou da necessidade da obra, também pode conter 
aditivos como cinzas, pozolana e a sílica ou outros tipos de aditivos de origem química 
se forem necessárias outras propriedades.
Conceitualmente, a mistura água-cimento leva o nome de “pasta”. A pasta quando 
misturada com agregado miúdo (areia) recebe o nome de “argamassa”. 
Quando a argamassa é misturada a qualquer tipo de agregado graúdo (pedra e/ou 
brita) surge então o concreto também chamado de “concreto simples” por não possuir 
armadura.
15
ConCeitos introdutórios de ConCreto armado │ unidade i
A NBR 6118/14 define como sendo concreto simples qualquer elemento estrutural que 
não possui armadura ou possui muito pouco para ser considerado como sendo feito de 
concreto-armado. 
Cimento
O começo do século XIX trouxe à Inglaterra o início do hábito de se utilizar um material 
de construçãoque é conhecido hoje em dia como “cimento Portland”. 
A popularização do uso deste tipo de cimento se deu apenas após a metade daquele 
século, quando este material passou a ter produção em massa, para alcançar a demanda.
Este material se caracteriza como sendo um pó bem fino e possui a propriedade de ser 
um aglomerante hidráulico que atinge rigidez (endurecimento) em contato com a água. 
Dentre os elementos que compõem o concreto simples, o cimento tem a função maior, 
pois é responsável pela transformação da mistura em produtos finais.
Cimento é feito à base de clínquer e da adição de outros materiais. 
A matéria-prima para a obtenção do clínquer é uma base de argila e calcário. O clínquer 
é um aglutinante hidráulico que tem a propriedade de endurecer quando misturado 
com a argila.
Figura 8. Cimento.
Fonte: disponível em: <https://suaobra.com.br/dicas/inicio-da-obra/tipos-de-cimento>. acesso em: 14 fev. 2017.
Para a obtenção do clínquer, uma rocha de calcário passa por uma britadeira e depois 
é moída. 
Após ser misturado com argila, o material é submetido a um forno com temperaturas 
que chegam até 1500°C e após é resfriada e forma clínqueres que são moídos e 
transformados em pó.
16
UNIDADE I │ CoNCEItos INtroDUtórIos DE CoNCrEto ArmADo
Adições: matéria-prima que se mistura com o clínquer durante o processo de moagem 
e sua quantidade define os tipos de cimento Portland que existem no mercado.
No Brasil existem diferentes tipos de cimento que se diferenciam em função dos seus 
componentes. 
Exemplos: cimento comum, cimento de alta resistência, cimento de alto-forno, cimento 
com pozolana, cimento resistente a sulfatos, cimento branco.
No quadro 1, estão citados os cimentos comerciais e entre eles os mais comumente 
utilizados em obras, CPII E-32, CPII F-32, CPIII F-40.
Quadro 1. tipos de cimento.
Tipos de cimento Adição Resistência (Mpa)
CP I Cimento Portland Comum --- 25
CP I-S Cimento Portland Comum com Adição Argila (1-5%) 25 ou 40
CP II-E Cimento Portland Composto com Escória Escória (6-34%) 25, 32 ou 40
CP II-Z Cimento Portland Composto com Pozolana Argila (6-14%) 25, 32 ou 40
CP II-F Cimento Portland Composto com Fíler Calcário (6-10%) 25, 32 ou 40
CP III Cimento Portland de Alto-forno Escória (35-70%) 25, 32 ou 40
CP IV Cimento Portland Pozolânico Argila (15-50%) 25 ou 32
CP V-ARI Cimento Portland de Alta Resistência Inicial --- Variada
CPB Cimento Portland Branco Estrutural --- 25, 32 ou 40
Fonte: elaborado pela autora.
Os tipos de cimento são nomeados de forma a indicar claramente as resistências à 
compressão que eles suportam.
No preparo do concreto, é necessário ter cuidado com a qualidade e quantidade de água 
utilizada, pois é a água a responsável por ativar as reações químicas que transformam 
o cimento em aglomerante.
Em quantidade baixa, a reação química ocorre de forma incompleta e se for alta demais 
a resistência do concreto irá diminuir devido a quantidade de vazios no concreto que a 
água vai deixar ao evaporar.
A relação entre a quantidade de água e de cimentos utilizados na mistura é chamada de 
fator água/cimento. 
Para preencher os vazios do concreto, ele deve ter uma distribuição granulométrica feita 
de forma homogenia, para evitar a porosidade que causa a diminuição da resistência 
da estrutura. 
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ConCeitos introdutórios de ConCreto armado │ unidade i
A preparação dos materiais que compõem o concreto é chamada de dosagem ou traço. 
Por meio da variação dessa dosagem e o acréscimo de aditivos é que se chega a concretos 
com diferentes características e resistências. 
Quanto menor o valor do fator água/cimento, maior a resistência, pois quanto menos 
permeável maior é a durabilidade do concreto.
Outro fator importante é a cura do concreto. 
O que se chama de cura é a manutenção feita no pórtico durante as primeiras horas logo 
depois da concretagem. 
Para fazer a cura, é necessário molhar o concreto de tempos em tempos para que esse 
não perca água de forma muito rápida por causa da evaporação, o que causa fissuras e 
pontos fracos na estrutura.
tipos de agregados
Os agregados podem ser classificados, segundo a origem, entre naturais e artificiais. 
Agregados de origem natural são aqueles providos pela natureza, a exemplo de areias, 
pedregulhos, cascalhos, seixos-rolados. 
Os artificiais são os que passam por processos industriais com a finalidade de mudar 
suas características originais em tamanho ou composição química.
Os agregados são classificados em miúdos e graúdos.
Figura 9. agregado miúdo.
Fonte: disponível em: <http://equipedeobra.pini.com.br/construcao-reforma/60/areia-presenca-de-impurezas-e-ate-o-
formato-dos-289945-1.aspx>. acesso em: 14 fev. 2017.
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UNIDADE I │ CoNCEItos INtroDUtórIos DE CoNCrEto ArmADo
Como exemplo, são miúdos areias e graúdos pedregulhos, sendo que miúdos tem que 
ter dimensão máxima ou inferior a 4,8mm e graúdos devem ter dimensões maiores do 
que 4,8mm.
Figura 10. agregado graúdo.
Fonte: adaptado de Fernandes (2006).
Os agregados graúdos têm a seguinte numeração e dimensões máximas:
 » brita 0, de 4,8mm a 9,5mm;
 » brita 1, de 9,5mm a 19mm;
 » brita 2, de 19mm a 38mm;
 » brita 3, de 38mm a 76mm;
 » pedra de mão, acima de 76mm.
Os agregados também são classificados quanto a sua massa específica aparente em que 
são divididos como leves, normais ou pesados, que sejam: 
 » leves: argila, pedra pome, vermiculita; 
 » normais: pedra, brita, areia e seixos;
 » pesados: hematita, barita, magnetita.
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ConCeitos introdutórios de ConCreto armado │ unidade i
Concreto armado
O concreto possui altas resistências a compressão, mas resiste pouco às solicitações de 
tração, que é de 10% da resistência a compressão.
A fim de tornar o concreto mais equilibrado e eficaz conforme suas determinadas 
resistências às diversas tensões, é importante que se acrescentem materiais que 
aumentem a resistência à tração atuante no concreto. 
Com a adição de uma armadura de aço, o concreto simples passa a ser concreto armado. 
No concreto armado, as funções se dividem: o aço absorve as tensões de tração enquanto 
o concreto fica responsável por absorver as tensões geradas pela compressão.
Figura 11. relação aço e concreto numa peça de concreto armado.
Fonte: disponível em: <http://www.usimak.com.br/galeria/>. acesso em: 14 fev. 2017.
Na concepção do concreto armado surge o fenômeno da aderência. A aderência é a 
“união” do concreto com a armadura de forma que os dois elementos trabalhem como 
se fossem um único elemento.
A NBR 6118 (ABNT, 2014) define concreto armado como um elemento estrutural que 
funciona a partir da aderência entre o concreto e a armadura de aço. 
A partir da aderência dos materiais, a deformação £s em determinado ponto da estrutura 
de aço deve ser igual à deformação £c no ponto do concreto correspondente ao aço, ou 
seja: £s=£c.
A armadura do concreto se chama armadura passiva. É considerada armadura passiva 
aquela que não se utiliza para produção de forças protensoras. 
Além disso, as deformações aplicadas nesta armadura se devem aos carregamentos 
aplicados onde a peça esta inserida.
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UNIDADE I │ CoNCEItos INtroDUtórIos DE CoNCrEto ArmADo
A armadura do concreto não precisa ser exclusivamente de aço, podendo se utilizar 
outros materiais, tal como bambu e fibra de carbono. 
Embora outros materiais possam ser utilizados, eles também precisam ter altas 
resistências mecânicas, sendo sua necessidade principal a alta taxa de resistência à 
tração.
Existe aderência entre o aço e o concreto. Isso se dá por causa dos coeficientes de 
dilatação térmica dos dois elementos, que são praticamente iguais, além da proteção 
a corrosão promovida pelo concreto é garantida pelo “cobrimento”, que é uma 
determinadaespessura entre a face externa do concreto e o aço.
21
CAPítulo 3
introdução ao cálculo de estruturas
diagrama tensão-deformação do concreto 
Existem muitos fatores referentes a como as cargas no são distribuídas nas áreas 
expostas a flexão e A compressão, próximo a ruptura, a exemplo: 
 » ponto de linha neutra; 
 » velocidade da carga aplicada; 
 » tempo da carga; 
 » feixes de armadura; 
 » geometria da seção; 
 » resistência da peça; 
 » idade do concreto;
 » mistura do concreto; 
 » condições climáticas.
Devido aos diversos fatores, é muito difícil, quase impossível, construir modelo de 
distribuição de tensões que atinja todas as possibilidades de situação. 
Segundo Fernandes (2006), considere-se que no período dos anos iniciais da vida do 
concreto, ele envelhece e ocorre o amadurecimento junto com quantidade de água no 
cimento. 
Também, a resistência do concreto muda ao longo do tempo, o módulo de deformação 
junto com a fluidez da peça de concreto. 
Em paralelo, acontecem deformações que estão diretamente ligadas a cargas no concreto 
e tem influência em como as tensões são distribuídas.
22
UNIDADE I │ CoNCEItos INtroDUtórIos DE CoNCrEto ArmADo
Por isso, as tensões distribuídas na área sujeita a compressão que oscila de um triângulo 
arredondado e uma parábola, em que os valores máximos não se situam na borda da 
seção. 
Uma borda submetida a carga de compressão pode estar comprometida de 0,2% a 1%.
Se o diagrama de distribuição de cargas fosse aplicado em toda peça dimensionada, 
sempre correspondendo às condições reais, ainda assim não seria fiel a realidade. 
Não é possível definir o histórico de solicitações, nem a idade do concreto no momento 
de atuação da carga nem o grau de solicitação correspondente.
Segundo a NBR 6118 (ABNT, 2014), o diagrama tensão deformação do concreto a 
compressão se constitui de uma parábola que toca no ponto de origem e seu vértice é o 
ponto de abscissa 0,2%. 
O ponto paralelo a εc 0,35% é tangente à parábola e paralela ao eixo das abscissas, 
como se vê nas figuras 12 e 13 a seguir.
Figura 12. diagrama de tensão-deformação.
 e
Fonte: Fernandes (2006).
Figura 13. equação da parábola.
Fonte: Fernandes (2006).
23
ConCeitos introdutórios de ConCreto armado │ unidade i
Hipótese de cálculo 
Nos estados Limite Último de Ruptura, de Limite de Deformação e de Limite de 
Deformação Plástica Excessiva, em casos de flexão simples, casos de flexão composta, 
compressão, tração, deixando de fora alguns tipos de vigas, tem as seguintes hipóteses 
de cálculo:
 » Sob a influência das cargas normais, as seções transversais continuam 
planas (hipótese de Bernoulli). 
 » As deformações das fibras de uma seção transversal são proporcionais as 
suas distâncias da linha neutra, ou seja, o diagrama das seções transversais 
é retilíneo. 
 » A resistência à tração do concreto é descartada. 
Por causa do concreto ter baixa resistência a cargas de tração, considera-se a existência 
de fissuras no concreto. 
Dessa maneira, todas as solicitações de tração devem ser resistidas pela armadura, 
admitindo que exista perfeita aderência entre as barras de aço e o concreto não fissurado.
A aderência faz com que a deformação na armadura é a mesma do concreto que a 
envolve. É de 1% o valor máximo permitido para o alongamento específico εsu.
Adota-se esse limite de forma convencional, porque se considera que esse valor 
corresponde a fissuração excessiva do concreto e deformação excessiva da peça, levando 
ao esgotamento da capacidade de resistência.
Vários fatores influenciam no encurtamento de ruptura do concreto, como 
velocidade da deformação, geometria da seção transversal e a posição da linha 
neutra na seção. Para simplificar, admite-se o encurtamento de ruptura usando-se 
desse critério.
24
UNIDADE I │ CoNCEItos INtroDUtórIos DE CoNCrEto ArmADo
Figura 14. deformações.
Fonte: Fernandes (2006).
As tensões distribuídas na seção transversal do concreto faz-se utilizando um diagrama 
parábola-retângulo (figura 15) que se baseia no diagrama tensão-formação indicado 
para o concreto. 
Esse diagrama pode ser substituído por um retângulo de altura y = 0,80x, com a tensão 
de valor 0,85 fcd no caso em que a largura da seção paralela à linha neutra não diminui 
até a borda comprimida e 0,80 fcd no caso contrário.
Para se calcular, dimensionar e verificar é preciso admitir uma maneira em que a curva 
de tensões seja distribuída nas áreas e seções da peça. 
Diversos estudos que comparam os métodos para distribuição de cargas mostram que 
se for feita calculando uma parábola do 2° grau, partindo da linha neutra até a fibra com 
deformação de 0,20%, com uma reta até a borda com maior carga de compressão, em 
que a tensão é de 0,85fcd, apresentam resultados coerentes com os obtidos de forma 
experimental.
O diagrama parábola-retângulo é válido para qualquer forma de seção transversal e 
pode ser usado também na flexão oblíqua. 
25
ConCeitos introdutórios de ConCreto armado │ unidade i
Figura 15. Compressões nas seções.
Fonte: Fernandes (2006).
Também se garante maior precisão de calculo distribuindo as solicitações de forma 
retangular com a altura sendo 80% da profundidade da linha neutra real e com tensão 
igual a 0,85 fcd ou 0,80 fcd. 
Ao se utilizar o diagrama retangular de cargas ele indica uma resultante de cargas 
que coincide em intensidade e seção aplicada em comparação ao diagrama parábola-
retângulo. 
Entretanto, existe diferença se a linha neutra se encontrar próxima à borda comprimida 
porque as cargas correspondem à parte curva da distribuição real de tensões e, portanto, 
com valor inferior a 0,85 fcd. 
Figura 16.
Fonte: Fernandes (2006).
26
UNIDADE I │ CoNCEItos INtroDUtórIos DE CoNCrEto ArmADo
domínios de deformação
Para se encontrar o diagrama de deformação, para uma solicitação normal que tenha 
atingido o estado limite último, em uma determinada seção que recebe a cargas normais, 
é necessária a demarcação de regiões chamadas de domínios de deformações.
Figura 17. diagramas possíveis dos domínios de deformações.
Fonte: Fernandes (2006).
Estados limites
A NBR-6118 diz que o estado limite de uma estrutura é atingido quando a mesma não 
possui mais as características, resistência e condição inicialmente prevista em projeto 
e se torna inutilizável.
Qualquer edificação deve apresentar a mínima condição de segurança, ser funcional, 
durável e deve atender todos os requisitos previstos em projeto. Por isso, se deixarem 
de atender um desses requisitos, considera-se o Estado Limite.
Qualquer construção pode chegar ao estado limite, seja por estrutura ou por 
funcionalidade. Dessa maneira, estuda-se duas classes de estados limites: Estados 
Limites Últimos (ruina) e estados Limites de utilização (funcionalidade).
a. Último:
 Se dá quando a estrutura entra em estado de colapso ou ruina, o que leva 
a suspensão dos serviços da estrutura. Para que se garanta que a estrutura 
de concreto funciona de forma segura, ela deve ser testada quanto aos 
seguintes estados limite:
 › Estado Limite Último de perda de equilíbrio da estrutura, se 
considerada como rígida;
27
ConCeitos introdutórios de ConCreto armado │ unidade i
 › Estado Limite Último do enfraquecimento da capacidade de resistência 
da estrutura, completa ou em parte, por causa das solicitações normais 
e tangenciais;
 › Estado Limite Último de enfraquecimento da capacidade de resistência 
da estrutura completa;
 › Estado Limite Último em consequência de solicitações dinâmicas;
 › Casos especiais.
b. De utilização:
 Corresponde à incapacidade de se utilizar a estrutura de forma normal, 
seja pela durabilidade da estrutura, utilização do usuário, aspectoe a 
funcionalidade da estrutura, podendo ser em consequência a usuários, 
máquinas e equipamentos utilizados. 
 Entre as possibilidades de causa estão: 
 › estado limite de formação e aparecimento de fissuras; 
 › estado limite de abertura de fissuras; 
 › estado limite de deformações excessivas; 
 › estado limite de vibrações excessivas; 
 › outros casos especiais.
formação de fissuras
Nesse estado limite, se os valores de resistência a tração do concreto se igualarem ao 
valor da tração limite em uma sessão transversal, então existe chance real do surgimento 
de fissuras.
a. Abertura de fissuras:
 Também chamado de estado limite de fissuração inaceitável. Aqui as 
fissuras têm espessura com valor limite adotados por normas e prejudicam 
a utilização e a durabilidade da estrutura de concreto.
28
UNIDADE I │ CoNCEItos INtroDUtórIos DE CoNCrEto ArmADo
b. Deformação excessiva:
 Nesse estágio, o valor máximo tolerado pela norma é ultrapassado, 
afetando a utilização da estrutura.
c. Ações e solicitações de cálculo:
 Pela NBR-6118/80, normalmente, grande parte das solicitações para 
o estado limite de serviço é verificado pela Equação abaixo, sendo que 
geralmente não se considera a ação dos ventos.
gd k qk1 kε= + +S S XS S Eq. 1.3.1
 No caso de cargas acidentais de origens diversas, as chances mínimas de 
que ocorram ao mesmo tempo, a equação pode ser dada por:
( )d gk qk1 qk2 qk3 k0,8. ε= + + + + +S S XS XS S S Eq. 1.3.2
 Onde: 
 χ = 0,7 - estruturas de edifícios. 
 χ = 0,5 - outras estruturas.
d. Considerações da NBR-8681:
 A NBR-8681 dota o valor γf =1,0, para os coeficientes de ponderação das 
ações casos especiais, descritos em norma especial.
e. Considerações da NB1-99:
 Geralmente, o coeficiente de ponderação das ações para os estados limites 
de utilização é descrito por: 
γf = (1 . γf2),
 considerando-se para γf2:
 › Yf2 = 1,0 - combinações raras.
 › Yf2 = ψ1 - combinações frequentes. 
 › Yf2 = ψ2 - combinações quase permanentes.
29
ConCeitos introdutórios de ConCreto armado │ unidade i
Combinação das ações
A utilização de ações de forma combinada se faz preciso para que a estrutura seja 
analisada em diferentes estados e limite-se em diferentes condições. As combinações 
de serviço são:
a. Quase permanente: 
 Com a possibilidade de acontecer durante quase toda a vida útil da 
estrutura, aqui as combinações de serviços são calculadas levando em 
consideração suas variáveis como sendo quase permanentes ψ2.Fqk:
d,ser gk 2 qk, j
1 1
F F= +∑ ∑
m n
Fϕ Eq. 1.3.3
b. Combinação frequente de serviço:
 Elas acontecem com frequência na estrutura e suas variável Fq1 é calculada 
considerada frequente juntamente com as demais variáveis ψ2.Fqk:
d,ser 2 qk, j
1 1
= +∑ ∑
m n
gkF F Fϕ Eq. 1.3.4
 Comumente utilizadas para atestar os limites de compressão, espessura 
de fissuras e vibração excessivas. 
c. Combinações raras de serviço: 
 Esses tipos de combinações são possíveis de acontecer somente algumas 
vezes a longo de vida da estrutura. Utilizadas geralmente para calcular os 
estados limites para surgimento de fissuras e de descompressão:
d,ser gk qk,1 1 qk, j
1 2
= +∑ ∑
m n
F F F Fϕ Eq. 1.3.5
Combinações pela nBr-8681
a. Combinações quase permanentes de utilização: 
 Aqui todas as suas variáveis são consideradas como quase permanentes 
para valor de cálculo ψ2.Fqk
d gk,i 2 j qk,1
1 1
= +∑ ∑
m n
F F Fϕ Eq. 1.3.6
30
UNIDADE I │ CoNCEItos INtroDUtórIos DE CoNCrEto ArmADo
b. Combinações frequentes de utilização: 
 » Aqui a variável Fq1 é considerada é considerada para cálculo com seu valor 
ψ1.Fqk,1 e as outras variáveis são consideradas quase-permanentes ψ2.Fqk:
d gk,i 1 qk,1 2 j qk,1
1 2
= + +∑ ∑
m n
F F F Fϕ ϕ Eq. 1.3.7
c. Combinações raras de utilização: 
 Aqui a variável Fq1 é considerada para cálculo com seu valor Fqk,1 e as outras 
variáveis são consideras para cálculo como valores frequentes ψ1.Fqk:
d gk,i qk,1 1j qk,1
1 2
= + +∑ ∑
m n
F F F Fϕ Eq. 1.3.8
Estado de deformações excessivas 
a. Tipos de deformações: 
 No concreto, as deformações que podem ocorrer são divididas em: 
deformações que necessitam de carregamento e deformações que não 
necessitam diretamente de carregamento.
 As deformações que necessitam de carregamento surgem em função de 
um carregamento atuante e possuem uma direção definida. 
 Essas deformações se classificam em: deformação elástica imediata e 
deformação lenta. 
 A primeira surge por ocasional aplicação de um carregamento e é 
reversível. 
 A segunda surge com o aumento da deformação sob constante tensão e 
influência diretamente no valor da flecha total. 
 As deformações que não dependem do carregamento não possuem 
direção definida. 
 São funções da variação do volume ocasionadas pela retração e variações 
de temperatura.
 A retração é um fenômeno que pode ocorrer no concreto. Ele se 
caracteriza por diminuir o volume da massado concreto e é ocasionado 
pela evaporação da água presente nos vazios do concreto. 
31
ConCeitos introdutórios de ConCreto armado │ unidade i
 No concreto armado sob efeito de flexão, verifica-se o aparecimento de 
flechas pela contração diferencial das faces do elemento. 
 Essa contração ocorre porque nas regiões da peça em que existe armadura, 
a contração é parcialmente interrompida o que provoca abaulamento da 
peça. 
b. Deformações na flexão (NBR-6118): 
 Esse estado limite acontece quando as deformações são maiores que o 
valor limite para o uso comum da estrutura. 
 Ao se calcular os estados limites de deformação excessiva, deve-se 
considerar a geometria das seções afetadas, as consequências das fissuras 
e a influência no concreto.
 Exceto em casos de cálculos mais precisos, a determinação das 
deformações das peças fletidas deve ser realizada admitindo-se somente 
o Estádio II para barras, e o Estádio I para lajes.
c. Natureza das ações :
 Em peças fletidas, leva-se em conta dois tipos de ação em consideração 
ao tempo de ação na estrutura: curta e longa duração. 
 Ações de curta duração: ações que surgem por cargas variadas que não 
fazem parte das solicitações permanentes da peça.
0,9.6600 3,5= +cE fck (MPa) Eq.1.3.8
 Ações de longa duração: a respeito das cargas permanentes e parcelas 
frequentes de carga da peça. 
 Para se avaliar as consequências da deformação lenta, é preciso que se 
cheque o valor final da flecha em relação as curvas inicial e final da seção 
com maior valor absoluto é:
1 ε + ε
= c s
r d
 Eq.1.3.9
 Verificando a equação, considera-se £c igual a 3 vezes o valor de εc inicial, 
com εs igual o valor inicial. 
 Para ações de longa duração ocorridas a mais de 6 meses após a 
concretagem εc final poderá ser igual a 2 vezes o valor inicial.
32
UNIDADE I │ CoNCEItos INtroDUtórIos DE CoNCrEto ArmADo
d. Flechas em vigas: 
 Flecha imediata para ações de longa duração: a flecha imediata (ail) 
surge com a aplicação de carga e pode ser obtida com a equação da linha 
elástica do elemento.
2
2
1
.
= =
d y M
R dx E I
 Eq. 1.3.10
 r: raio de curvatura da linha elástica
 y: ordenadas da linha elástica
 A partir da integral da Eq. 1.3.10, consegue-se as flechas da viga fletida. 
Porém, o cálculo é bastante trabalhoso, por esse motivo, utiliza-se tabelas 
que ajudam na avaliação dessas flechas:
4
2
α = αil
c
pl
E I
 Eq. 1.3.11
 Sendo: 
 ail: flecha elástica imediata
 α: coeficiente
 l:vão teórico
 Ec: deformação do concreto
 I: inércia da seção 
 Flecha total para ações de longa duração: para encontrar o valor da flecha 
total para ações de longa duração, é necessária a soma da flecha imediata 
com uma parcela da fluência.A fluência é proporcional à deformação elástica se as tensões tiverem 
valor entre 40% e 60% da resistência a compressão do concreto:
α = α + α → α = βαtl il cl tl il Eq. 1.3.12
 O coeficiente β é utilizado para corrigir somente a flecha ocasionada pelo 
carregamento quase-permanente, devido ao fato do carregamento ser de 
curta duração não ocasionar fluência. 
 A verificação do valor da flecha final proveniente das ações de longa 
duração é feita para considerar o valor da deformação lenta. 
33
ConCeitos introdutórios de ConCreto armado │ unidade i
 Pelo fato do produto do valor da flecha imediata pela relação das curvaturas 
final (1/r)f e inicial (1/r)i da seção de maior momento em valor absoluto. 
Logo, o coeficiente β:
1
1
 
 
 
β =
 
 
 
f
i
r
r
 Eq. 1.3.13
 Outra forma de se expressar o raio de curvatura da elástica de uma peça 
fletida de concreto armado é por meio das deformações específicas, 
admitindo semelhança dos triângulos ABC e DEF da figura 18:
Figura 18.
Fonte: Camacho (2005).
( ) ( )1;ε + ε ε + εε + ε= = =c s c sc s dxdx dxdx 
r d d r d
 Eq. 1.3.14
 O primeiro desses casos é o mais frequente e considerando-se a 
deformação no aço constante, tem-se:
( ) ( )3. 3.ε = ε = εs c cf i e ( ) ( ) ( )ε = ε = εc s sf i Eq. 1.3.15
34
UNIDADE I │ CoNCEItos INtroDUtórIos DE CoNCrEto ArmADo
( ) ( )3. 31 ε + ε ε + ε  = = 
 
c s c sf ff
r d d
 e ( ) ( )3.1 ε + ε ε + ε  = = 
 
c s c si ii
r d d
 Eq. 1.3.16
1 3
3
1
  ε + ε 
ε + ε 
β = = →β =
ε + ε ε + ε 
 
 
c s
f c s
c s c s
i
r d 
dr
 Eq. 1.3.17
 A partir do diagrama de deformações, é obtida a relação de compatibilidade:
ε = ε
−c s
x
d x
 Eq. 1.3.18
 Que ocasiona a equação:
2 +
β =
x d
d
 Eq. 1.3.19
 Flecha imediata para ações de curta duração: surgem por causa da parcela 
restante das ações variáveis que não foram somadas na combinação 
quase-permanente de utilização. Logo, a ação suplementar (Fd,sup) mede:
( ), 2 , 21= − → = −d sup qk qk d sup qkF F F F Fϕ ϕ Eq. 1.3.20
 O cálculo da flecha imediata:
,
,
α = αd supis it
d qp
F
F
 Eq. 1.3.21
 ais: flecha imediata para ação suplementar.
 ail: flecha imediata para ações de longa duração.
e. Critérios de aceitação: 
 A NBR-6118 indica os seguintes valores limites para as flechas em vigas, 
quando se trata de estruturas de edifícios: 
 Atuando todas as ações:
1
300
1
150
 →α = α + α ≤ 
→
t tl is
Geral
Balanços
 Eq. 1.3.22
 Ações acidentais (de curta duração):
1
500
1
250
 →α ≤ 
→
ts
Geral
Balanças
 Eq. 1.3.23
35
ConCeitos introdutórios de ConCreto armado │ unidade i
 » Para conseguir se limitar as deformações em peças de concreto armado, 
alguns métodos podem ser utilizados:
 › aumentando a rigidez da peça, que na viga se traduz em diminuir a 
relação entre vão e altura (I/h);
 › aumentar a área da armadura, aumenta também a rigidez da peça;
 › evitar sistemas que causem rotação nos apoios;
 › não negligenciar a cura do concreto;
 › evitar retirar as escoras de forma prematura para permitir que 
o concreto adquira resistência necessária para que não ocorram 
deformações;
 › se nenhuma das medidas for suficiente, pode-se adotar o emprego de 
contraflechas(), que deve ser igual ou menor que a flecha imediata e 
menor que 
2
α
α + clil .
0 2
α
α ≤ α ≤ α + clil il Eq. 1.3.24
( )1α = α − α = βα − α = β − αcl tl il il il il Eq. 1.3.25
( )1 1
2 2 2
β − αα + β α + = α + = α  
 
ilcl
il il il
 Eq. 1.3.26
 Logo:
0
1
2
+ β α ≤ α ≤ α  
 
il il Eq. 1.3.27
 então:
0 0
1
500
1
150
 →α − α = α + α − α ≤ 
→
t tl is
Geral
Balanças
 Eq. 1.3.28
Avaliação de flechas em vigas (nb1-99) 
O cálculo de flechas em vigas obedece a três critérios.
O primeiro é que se pode admitir o concreto e o aço como materiais de comportamento 
elástico linear, se as seções ao longo da peça tiverem suas deformações específicas 
determinadas no estádio I, se seus esforços não ultrapassarem o valor que inicia à 
fissuração, e no estádio II quando o ultrapassarem esse valor. 
36
UNIDADE I │ CoNCEItos INtroDUtórIos DE CoNCrEto ArmADo
O segundo é o módulo de deformação secante para o concreto:
Ecs=0,85.5600fck (MPa) Eq. 1.3.29
E o terceiro é que se faz necessário considerar o efeito da fluência no cálculo das flechas.
Avaliação da flecha imediata 
Para uma avaliação correta da flecha imediata em vigas é permitido que se utilize a 
expressão de rigidez equivalente:
( )
3 3
0 2 01
       = − ≤    
       
r r
cs ceq
a a
M MEI E I I E I
M M Eq. 1.3.30
0= ctmr
t
f IM
y
 Eq. 1.3.31
Critérios de aceitação 
Os deslocamentos limites são valores práticos usados para se verificar o estado limite 
das deformações excessivas da construção, sendo que deslocamentos excessivos dos 
elementos estruturais não podem ser desejados por inúmeros motivos. 
São eles:
 » acomodação sensorial: deslocamentos excessivos são responsáveis por 
mal-estar nos usuários da estrutura.
 » estrutura em serviço: deslocamentos impedem a utilização normal da 
estrutura.
 » efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos ocasionam em 
falhas do elemento estrutural.
37
unidAdE iidEtAlHAmEnto dE 
VigAS
CAPítulo 1
Aderência, ancoragem e emendas
Esta unidade foi escrita com base na NBR 6118/2014, apresentando diversos tópicos 
dela. Os itens são relativos às vigas contínuas de edificações.
definição
Segundo a norma, uma viga é definida como, “elementos lineares em que a flexão é 
preponderante”. Sabe-se que um elemento linear é o que apresenta o comprimento 
longitudinal no mínimo três vezes superior a maior dimensão da seção transversal.
Análise estrutural 
A análise estrutural determina as consequências de solicitações em uma estrutura e tem 
o objetivo de analisar os estados-limite de serviço e último (NBR 6118, ABNT 2014). 
A análise estabelece como esforços, tensões, solicitações e deformações estão distribuídos 
internamente na estrutura.
Deve-se realizar a análise utilizando um modelo estrutural que combine com a peça a 
ser estudada. 
Existe a possibilidade de que seja necessário analisar o objeto utilizando vários modelos 
para que todo tipo de verificação seja atendido. 
O modelo ideal replica as condições da estrutura, como sua forma, os elementos 
estruturais, as solicitações de carga e a condição do material.
38
UNIDADE II │ DEtAlhAmENto DE vIgAs
introdução 
Observe as barras de aço no bloco de concreto (figura 19).
Figura 19. Barras de aço no concreto.
Fonte: upF (2016).
Se o comprimento lb da barra for curto, ela pode ser arrancada caso uma carga de 
tração seja aplicada. 
Aumentando-se o comprimento da barra lb¹, a barra aguenta uma aplicação maior da 
carga de tração até escoar. Desse modo, a barra de aço é considerada como estando 
ancorada.
modelo de cálculo para obtenção do 
comprimento de ancoragem lb 
Para a avaliação de lb1, geralmente se usa o modelo da figura 20. Logo,
2
. . .
4
π∅
= = = τ π ∅d s yd yd bu blZ A f f l Eq. 2.2.1
Resultando:
4
∅
=
τ
yd
bl
bu
f
l Eq. 2.2.2
Figura 20.
Fonte: upF (2016).
39
Detalhamento De vigas │ UniDaDe ii
A tensão última de aderência τbu é função da posição da armadura ao longo da altura 
de concretagem da peça; do ângulo de inclinação da armadura; da sua conformação 
superficial; e da resistência do concreto (fck). 
A consideração das duas primeiras variáveis é feita por meio do conceito de zonas de 
aderência: zona de boa aderência (zona I) e zona de aderência prejudicada (zona II). 
zonas deaderência 
Figura 21.
Fonte: upF (2016).
Para que o fenômeno da aderência ocorra de forma satisfatória, é necessária que o 
concreto envolva a armadura de forma homogênea. 
Quando o concreto é vibrado, faz com que o excesso de água presente na mistura suba 
para a superfície do concreto.
Quando essa água evapora, ela deixa vazios que enfraquecem a área de contato da 
armadura do concreto e isso geralmente causa perda de aderência das barras de aço na 
parte superior do pórtico (zona II, ou de aderência prejudicada). 
Em contrapartida, as barras inferiores possuem boa aderência (zona I).
40
UNIDADE II │ DEtAlhAmENto DE vIgAs
Quando a espessura da peça é pequena (h ≤ 30 cm, para finalidade prática), a quantidade 
de água de exsudação é menor e não chega a reduzir em demasia a aderência.
Figura 22.
Fonte: upF (2016).
Valores de τ bu 
a. Zona I (de boa aderência):
 barras lisas:
0,28 ( )τ =bu cdf MPa Eq. 2.2.3
 barras de alta aderência:
230, 42 ( )τ =bu cdf MPa Eq. 2.2.4
Quadro 2.
fck (MPa) CA25 (lisa) CA50 (a.ader)
13,5 63∅ 58∅
15 59∅ 54∅
18 55∅ 47∅
20 - 44∅
Fonte: upF (2016).
b. Zona II (zona de aderência prejudicada): 
 O comprimento de ancoragem para a zona II é cerca de 50% maior ao 
correspondente à zona I.
 Em geral, a armadura efetivamente utilizada (As,ef) é maior do que a 
calculada (As,calc ou As). 
41
Detalhamento De vigas │ UniDaDe ii
 Daí o comprimento de ancoragem pode ser reduzido como:
1
,
1
,
3
10
10


= ≥ ∅


b
s calc
b b
s ef
l
A
l l
A
 cm
 Eq. 2.2.5
 O comprimento mínimo de ancoragem lbc1 para barras sob a ação de cargas 
de compressão, é calculada utilizando a equação para barras tracionadas. 
 Neste caso, deve-se utilizar a tensão efetiva de compressão e o valor deve 
obedecer às condições abaixo:
1
1
0,6.
10
15

≥ ∅


b
b c
l
l
 cm
 Eq. 2.2.6
utilização de ganchos padronizados nas 
extremidades da barra tracionada 
Os ganchos são os componentes que reduzem o comprimento de ancoragem. É possível 
adotar as reduções abaixo para os valores de lb1 (sem ganchos): 
 » barras lisas: 15 φ
1, / 1 15= − ∅b c gancho bl l Eq. 2.2.7
 » barras de alta aderência:10 φ
1, / 1 10= − ∅b c gancho bl l Eq. 2.2.8
Figura 23.
Fonte: upF (2016).
Para barras lisas tracionadas de diâmetro φ > 6,3 mm, utiliza-se sempre com ganchos 
de extremidade. 
Para barras comprimidas, devem ser utilizadas sem ganchos de extremidade. 
42
UNIDADE II │ DEtAlhAmENto DE vIgAs
Comprimentos de ancoragem de feixes de 
barras 
É possível agrupar as armaduras de concreto em feixes de 2 e 2 barras. 
Consegue-se estimar o comprimento de ancoragem de um feixe de barras, com base 
nas equações para barras isoladas, modificando o diâmetro da barra pelo diâmetro 
equivalente do feixe (φe). 
O valor obtido deve ser elevado cerca de 20% no caso de feixe de duas barras e de 33% 
para mais de duas barras.
∅ = ∅e n Eq. 2.2.9
n = número de barras no feixe.
Armadura transversal nas ancoragens
Um terço do comprimento de ancoragem deve conter uma armadura transversal de 
costura, que consiga resistir a um esforço igual ou superior a 40% da solicitação que é 
transmitida através da barra ancorada.
Figura 24.
Fonte: upF (2016).
Nas ancoragens de barras comprimidas, deve existir, logo após sua extremidade, 
armadura transversal capaz de resistir a 1/5 da carga ancorada, com o intuito de 
proteger o concreto dos efeitos de cargas concentradas na ponta.
Armaduras mergulhadas no concreto 
No instante em que uma armadura for condicionada a uma carga com uma deformação 
superior ou igual a fyd, pela aderência, se dá o diagrama da figura a seguir. 
43
Detalhamento De vigas │ UniDaDe ii
Dessa maneira, a tensão a partir de 0 cresce na extremidade da barra Fyd distante lb1 
da extremidade.
Figura 25.
Fonte: upF (2016).
Emendas por traspasse
Em estruturas de vão grande, que ultrapassem o comprimento de fabricação das 
armaduras, existe a possibilidade de emendas serem necessárias. 
As emendas podem ser de solda, luva prensada ou trespasse, que é comumente utilizada 
por ser de fácil aplicação.
Figura 26.
Fonte: upF (2016).
A NBR-6118 define que o comprimento da emenda é em função do lb da ancoragem.
5= Ψv bl l Eq. 2.2.10
44
UNIDADE II │ DEtAlhAmENto DE vIgAs
As emendas são consideradas como na mesma seção se elas estão superpostas ou se 
suas extremidades estejam afastadas menos que 0,2lv.
Figura 27.
Fonte: upF (2016).
Os ramos horizontais dos estribos podem ser usados como armaduras de costura ao 
longo das emendas.
Figura 28.
Fonte: upF (2016).
Quadro 3.
Distância transversal 
entre emendas (a)
Ψ5
Proporção de barras emendadas na mesma seção 
transversal
≤1/5 >1/5 >1/4 >1/3 >1/2
≤1/4 ≤1/3 ≤1/2
a≤10∅ 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
a>10∅ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4
Fonte: upF (2016).
Figura 29.
Fonte: upF (2016)
45
Detalhamento De vigas │ UniDaDe ii
Quadro 4. proporção de barras emendadas na mesma seção.
Bitola ∅ Sgk>Sqk Sgk≤Sqk
ηb≥1,5 ηb<1,5 ηb≥1,5 nb<1,5
≤12,5 todas 1/2 1/2 1/4
>12,5 Todas* 1/4 1/2 1/4
½**
Fonte: upF (2016).
Ancoragem nos apoios 
Para que a segurança seja garantida é feita a verificação das duas condições: 
a. Deve-se ancorar a armadura para garantir, junto à face interna do apoio, 
a resultante de tração será dada por:
, , 2
 = ≥ 
 
l d
s apo d d
a VR V d Eq. 2.2.16
Figura 30.
Fonte: upF (2016).
b. Na ocasião de gancho de extremidade as barras devem estender-se, a 
partir da face interna do apoio, com:
 comprimento igual a : (r + 5,5 φ) ≥ 6 cm, 
 φ: diâmetro da barra
Alojamento das armaduras 
A área As da armadura que é preciso para resistir a um momento fletor M, para uma 
seção de viga, é obtida agrupando-se barras conforme as bitolas comerciais disponíveis. 
46
UNIDADE II │ DEtAlhAmENto DE vIgAs
Normalmente, adotam-se barras de mesmo diâmetro φ. Uma das hipóteses básicas do 
dimensionamento de peças submetidas a solicitações normais é a da aderência perfeita. 
Com a finalidade de garantir esta aderência é fundamental que as barras sejam 
totalmente cobertas pelo concreto; por outro lado, a armadura protegida contra a sua 
corrosão; para isso adota-se um cobrimento mínimo de concreto para estas armaduras. 
A figura 31 mostra a disposição usual com armaduras isoladas entre si. Às vezes, 
pode-se adotar armadura formada por feixes de 2 ou 3 barras.
Figura 31.
Fonte: upF (2016).
Quadro 5. apresenta as bitolas usuais de armaduras de concreto armado.
∅(mm) 3,2 4 5 6,3 8 10 12,5 16 20 25 32
As1 (cm2) 0,08 0,125 0,2 0,315 0,5 0,8 1,25 2,0 3,15 5,0 8,0
Fonte: upF (2016).
Φ: diâmetro nominal (mm). 
As1: área nominal da seção transversal de uma barra em cm
2.
Para o solo não rochoso, é recomendado um lastro de pelo menos 5 cm de espessura 
com consumo de 250 kg de cimento por m3. 
Peça de concreto em ambiente fortemente agressivo: c = 4 cm. 
Quando, por qualquer motivo, c > 6 cm, é recomendado se utilizar uma rede 
complementar dentro dos limites anteriormente indicados. 
Para alojamento das armaduras, sem emendas, deve-se procurar seguir as 
recomendações abaixo:
47
Detalhamento De vigas │ UniDaDe ii
2 ; 2
1,2 0,5
 ∅ ∅
 ≥ ≥ 
 ∅ ∅ 
h v
agr agr
e cm e cm Eq. 2.2.11
φ: diâmetro da barra. 
φagr: diâmetro máximo do agregado.
Figura 32.
Fonte: upF (2016).
Quando houverem emendas, deve-se tentar alojar as armaduras como mostrado na 
figura 33. 
Figura 33.
Fonte: upF (2016).
Caso ocorra uma distribuição em mais de três camadas, é necessário se prever a partir 
da quarta camada, espaço correto para a passagem do vibrador (figura 34).Figura 34.
Fonte: upF (2016).
48
UNIDADE II │ DEtAlhAmENto DE vIgAs
Para alojar barras em feixes de 2, 3 ou 4 barras, deve-se seguir a Eq. 2.2.12.
Figura 35.
Fonte: upF (2016).
= ∅eqn n Eq. 2.2.12
n: número de barras no feixe.
Detalhes complementares: 
a. armadura de flexão alojada junto à face superior da seção (figura 36).
Figura 36.
Fonte: upF (2016).
 É necessário lembrar que deve-se deixar um espaço para passagem do 
vibrador.
b. armadura junto à borda com abas tracionadas: 
 É recomendado que se distribua parte da armadura de tração nas abas 
tracionadas corretamente ligadas à alma da viga pelas armaduras de 
costura.
49
Detalhamento De vigas │ UniDaDe ii
Figura 37.
Fonte: upF (2016).
c. vigas altas (h > 60 cm). 
 Deve-se posicionar as armaduras de pele de acordo com a (figura 38).
Figura 38.
Fonte: upF (2016).
decalagem
A decalagem é uma translação para o lado desfavorável, que ocorre devido à fissuração 
diagonal. 
Particularmente, na seção sobre o apoio extremo, é possível observar a presença de 
força de tração na armadura, embora o momento fletor seja nulo. 
Daí que pode-se explicar a possibilidade de ocorrência de ruptura por escorregamento 
da armadura sobre os apoios extremos da viga. Um diagrama decalado pode ser visto 
na figura 39.
50
UNIDADE II │ DEtAlhAmENto DE vIgAs
Figura 39.
Fonte: upF (2016).
( )1,5 1,2 . 0,5.− η ≥la d d Eq. 2.2.13
η: a taxa de cobertura:
0
1 1
1,15
τ τ
η = − = −
τ τ
c c
d wd
 Eq. 2.2.14
Na prática, para vigas pode-se adotar: 
0,75=la d Eq. 2.2.15
diagrama de momentos 
O comprimento de ancoragem da barra de tração se inicia quando a tensão σs diminui, 
quando as solicitações da armadura são transferidas para o concreto. 
É prolongada pelo menos 10φ além do ponto σs0 e não pode ter comprimento inferior 
ao necessário.
Desse modo, a armadura longitudinal de tração, o trecho de ancoragem da barra tem 
início em A do diagrama de forças Rst=M/Z.
Se a barra não for dobrada, deve prolongar-se além de B no mínimo 10φ. Se a barra for 
dobrada, o início do dobramento pode coincidir com B.
51
Detalhamento De vigas │ UniDaDe ii
Figura 40.
Fonte: upF (2016).
52
CAPítulo 2
dimensionamento da armadura
flexão normal simples
Chama-se de flexão simples a que verifica com ausência de força normal. A flexão 
normal é a que o plano de flexão possui um dos eixos principais de inércia da seção. 
Já na flexão normal simples, a linha neutra encontra-se entre a borda comprimida da 
seção e a armadura tracionada (0 < x < d). Acontece nos domínios 2, 3 e 4 de deformações.
Figura 41.
Fonte: Fernandes (2006).
a. Equações de equilíbrio:
( )
0 = + −
 = + −
C S S
u C C S
R R' R
M R z R' d d' Eq. 2.3.1
b. Equações de Compatibilidade:
,ε ε ε= =
− −
c u s s'
x x d' d x
 Eq. 2.3.2
Posição da linha neutra
A posição da linha neutra pode ser relacionada com as deformações na borda comprimida 
da seção e sua armadura tracionada.
Da equação de compatibilidade:
,ε ε=
−
c u s
x d x
 Eq. 2.3.3
53
Detalhamento De vigas │ UniDaDe ii
,
,
ε
=
ε + ε
c u
c u s
x d Eq. 2.3.4
β =x
x
d
 Eq. 2.3.5
βx: coeficiente adimensional que fornece a posição relativa da LN na seção.
Sendo: 
,
,
ε
=
ε + ε
c u
c u s
x d Eq. 2.3.6
Logo,
,
,
ε
β =
ε + ε
c u
x
c u s
 Eq. 2.3.7
deformação e tensão na armadura As
O que ocorre para cada domínio é:
I. Domínio 2: 0 < x < 0,259d ∴ 0 < βx < 0,259
c c,u
s s,u yd s yd
0 0,35
1 ; f
< ε < ε =
ε = ε = > ε σ =
%
% Eq. 2.3.8
II. Domínio 3: 0,259d ≤ x ≤ xy ∴ 0,259 ≤ βx ≤ βxy
c c,u
yd s s yd 
0,35
1 , f
ε = ε =
ε ≤ ε ≤ σ =
%
% 
 seções sub-armadas Eq. 2.3.9
 Sendo:
 xy: valor de x quando εc= εc,u = 0,35% e εs = εyd;
 βxy : valor de βx quando εc= εc,u = 0,35% e εs = εyd
,
,
ε
=
ε + ε
c u
y
c u yd
x d Eq. 2.3.9
,
,
ε
β =
ε + ε
c u
xy
c u yd
 Eq. 2.3.10
0,0035
0,0035
β =
+ εxy yd Eq. 2.3.11
 Para que σs=fyd é necessário que βx ≤ βxy
 Sabe-se que βxy é também denominado de βxlim.
54
UNIDADE II │ DEtAlhAmENto DE vIgAs
III. Domínio 4: xy < x < d ∴ βxy < βx < 1
 
c c,u
s yd s yd
0,35
0 ; 0 f
ε = ε =
 < ε < ε < σ <
%
 seções super-armadas Eq. 2.3.12
 Relação σ x ε do aço
 Para 1 > βxy>βx tem-se 0<εs<εyd
 Logo: 
 0<σs<fd (reta de Hooke)
1. No dimensionamento, a melhor situação é βx < βx, sub armadas.
2. As vantagens são:
 Ruptura com aviso ( escoamento do aço e aparecimento de fissuras); 
 Menos gastos.
3. As peças super-armadas rompem de forma brusca e sem aviso e por isso 
essa situação é evitada na flexão simples.
4. Se deve evitar o dimensionamento com o valor βx muito baixo porque 
resulta numa quantidade muito menor de armadura, o que provoca 
ruptura frágil. Para isso, é necessário que a taxa de armadura ρ seja maior 
ou igual a taxa mínima de armadura.
deformação e tensão na armadura A’s
I. Domínio 2: 0 < x < 0,259d ∴ 0 < βx < 0,259, 
,
,
0 0,35
1
< ε < ε =
 ε = ε =
c c u
s s u
%
% Eq. 2.3.13
 A’s área da seção transversal da armadura comprimida.
 ε’s deformação na armadura comprimida (encurtamento).
 σ’s tensão na armadura comprimida.
 Definição: 
n = d'
d
 Eq. 2.3.14
ε ε
=
− −
s s'
x d' d x
 Eq. 2.3.15
55
Detalhamento De vigas │ UniDaDe ii
−
ε = ε
−s s
x d''
d x
 Eq. 2.3.16
0,010 −ε =
−s
x d''
d x
 Eq. 2.3.17
0,010
1
β −
ε =
−β
x
s
x
n' Eq. 2.3.18
 Domínio 3 e 4: 0,259d < X < D ∴ 0,259 < Βx < 1
, 0,35
0 1 ,
ε = ε =
 ≤ ε ≤
c c u
s
%
% 
 Eq. 2.3.19
Figura 42.
Fonte: Fernandes (2006).
,εε =
−
c us'
x d' x
 Eq. 2.3.20
,
−
ε = εs c u
x d''
x
 Eq. 2.3.21
0,0035 −ε =s
x d''
x
 Eq. 2.3.22
0,0035 β −ε =
β
x
s
x
n' Eq. 2.3.23
 β’xy valor de βx quando ε’s = ε’yd (nos domínios 2, 3 ou 4).
 β’xy é obtido, para cada aço, por uma das duas expressões de ε’s acima, 
sendo admitindo-se ε’s = ε’yd.
 Sendo que σ’s = fycd é necessário que ε’s ≥ ε’yd .
 Para βx ≥ β’xy tem-se ε’s ≥ ε’yd, logo σ’s = fycd. 
 Para βx < β’xy tem-se ε’s < ε’yd, logo σ’s = Es.ε’s. 
 1o) Se βx ≤ η desprezar a armadura A’s e considerar somente a armadura As. 
 2o) Quando βx ≤ η, recalcular βx considerando somente a armadura As.
56
unidAdE iiidEtAlHAmEnto dE 
lAjES
CAPítulo 1
lajes maciças de concreto armado
introdução
Lajes são estruturas bidimensionais planas com cargas, principalmente, normais ao 
seu plano médio. 
Formam os pisos das construções de concreto armado. 
Também podem ser nomeadas como peças laminares planas, e o comprimento e a 
largura são maiores que a espessura. 
As lajes transmitem as cargas do piso para as vigas, que transportam essas solicitações 
para aos pilares, que transmitem as cargas para as fundações, que propagam para o 
solo. 
As lajes são representadas pelo seu plano médio e se diferenciam na sua geometria com 
relação a largura, altura e comprimento e em geral são retangulares.
Figura 43. representação de uma laje.
Fonte: upF (2001).
57
Detalhamento De lajes │ UnIDaDe III
As lajes podem se comportar como uma placa. As lajes têm uma superfície média (S) e 
espessura (h), com cargas que se aplicam de maneira perpendicular a S.
Figura 44. Comportamento das placas.
Fonte: upF (2001).
Normalmente, as vigas servem de apoio para as lajes e, nesses casos, a laje pode 
ser calculada como uma peça isolada das vigas, em que seus apoios são livres para 
rotacionar, mas rígidos com relação a translação.
As vigas não são consideradas para cálculo porque suas flechassão muito menores que 
as da laje, além de sua rigidez, a flexão pode ser desprezível em comparação com a 
rigidez a flexão da laje. 
Entretanto, é necessário considerar as solicitações de tração propagadas nas vigas por 
lajes em balanço.
Os esforços das lajes são a soma do seu peso, as solicitações das alvenarias e por cargas 
acidentais.
Classificação das lajes quanto à relação entre 
os lados 
As lajes de forma retangular podem ser classificadas como: lajes armadas em uma só 
direção, em lajes armadas em duas direções ou armadas em cruz. 
Na figura 57, há o exemplo de cada uma delas, em que a é o vão menor e b é o vão maior.
58
UNIDADE III │ DEtAlhAmENto DE lAjEs
Figura 45.
Fonte: upF (2001).
As lajes armadas em uma única direção são aquelas em que a relação entre o maior e o 
menor vão é > 2 e podem ser calculadas como vigas de largura unitária. 
As que são armadas em duas direções são o contrário e podem ser analisadas fazendo 
uso do modelo elástico-linear, com elementos de placa, e o coeficiente de Poisson ν = 
0,2 para o material elástico linear. 
Para se calcular as lajes, considera-se como isoladas, observando as condições de apoio 
de bordo engastado ou de apoios, se existe continuidade entre as lajes. 
Em seguida, compatibiliza-se os momentos de bordo de lajes contínuas. Os momentos 
fletores máximos no vão e de engastamento mais comuns estão tabelados.
As lajes armadas são diferenciadas em relação ao seu número de direções comparando-
se a relação entre os vãos da laje. São elas:
 » lajes armadas em cruz:
2≤y
x
l
l
Figura 46. laje armada em Cruz (armada nas duas direções).
Fonte: upF (2001).
59
Detalhamento De lajes │ UnIDaDe III
 » lajes armadas numa só direção:
2>y
x
l
l
Figura 47. laje armada em Cruz (armada nas duas direções).
Fonte: upF (2001).
Nas lajes armadas em uma direção, geralmente existe uma armadura de distribuição 
que é perpendicular à principal.
Existem exceções para a classificação das lajes, no que diz respeito à vinculação de suas 
bordas. 
Caso a laje seja suportada, continuamente somente ao longo de duas bordas paralelas 
ou quando tiver três bordas livres (figura 48). 
Figura 48.
Fonte: upF (2001).
É aceito, em geral, que as cargas verticais que atuam sobre as lajes são uniformes, o que 
de fato funciona com algumas lajes, mas outras se tornam cargas uniformes. Para lajes 
de edifícios residenciais ou comerciais o cálculo deve ser mais preciso.
60
UNIDADE III │ DEtAlhAmENto DE lAjEs
As principais cargas a serem consideradas são: peso próprio da laje, revestimento, 
alvenarias e solicitações acidentais.
Vãos efetivos de lajes 
Para a NBR6118:2014, se os apoios forem considerados rígidos em relação à translação 
vertical, o vão efetivo é calculado por: 
ef = 0 + a1 + a2 Eq.3.1.1.
Sendo, 
 » a1: igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3h);
 » a2 igual ao menor valor entre (t2/2 e 0,3h).
Para lajes em balanço, o vão efetivo é o comprimento da borda até o centro do apoio, 
não é necessário se considerar valores maiores ao comprimento livre somado 30% da 
espessura da laje junto ao apoio.
determinação das condições de apoio das 
lajes
Considera-se três tipos de apoio para as lajes:
 » Bordo livre: quando não existe suporte.
Figura 49. Corte de uma laje em balanço (bordo livre).
Fonte: upF (2001).
 » Bordo apoiado: quando não existe restrição dos deslocamentos verticais, 
que não impeçam a rotação das lajes no apoio.
61
Detalhamento De lajes │ UnIDaDe III
Figura 50. Corte de uma laje apoiada em duas vigas (bordos apoiados).
Fonte: upF (2001).
 » Bordo engastado: quando existe empecilho ao deslocamento vertical e 
rotação da laje neste apoio.
Figura 51. Corte de uma laje apoiada em duas vigas de grande rigidez (bordos engastados).
Fonte: upF (2001).
lajes isoladas
É admitido para a utilização em lajes isoladas, os seguintes bordos:
 » Bordo engastado, quando houverem vigas de apoio com grande rigidez.
 » Bordo apoiado, quando houverem vigas de apoio com rigidez normal.
 » Bordo livre, quando não houverem vigas de apoio.
Quadro 6. Convenção utilizada para a representação dos apoios.
Representação Tipo do bordo
Engastado
Apoiado
Livre
Fonte: upF (2001).
62
UNIDADE III │ DEtAlhAmENto DE lAjEs
Painéis de lajes
Com relação a painéis de lajes de edifícios, se existirem lajes contíguas em igual nível, 
o bordo pode ser apontado como perfeitamente engastado para o cálculo da laje 
(figura 52).
Figura 52. lajes contíguas.
Fonte: upF (2001).
Casos particulares
Figura 53. lajes em níveis diferentes.
Fonte: upF (2001).
Figura 54. lajes com inércias muito diferentes.
Fonte: upF (2001).
63
Detalhamento De lajes │ UnIDaDe III
Figura 55. lajes com vãos muito diferentes.
Fonte: upF (2001).
lajes armadas em uma direção 
a. Lajes Isoladas.
Figura 56. determinação de esforços em lajes isoladas armadas em uma direção.
Fonte: upF (2001).
b. Lajes contínuas.
Figura 57. laje armada em uma direção contínua.
Fonte: upF (2001).
64
UNIDADE III │ DEtAlhAmENto DE lAjEs
lajes armadas em duas direções
As dimensões dos lados das lajes armadas em cruz possuem curvaturas comparáveis 
segundo os dois cortes, o que faz supor a existência de momentos fletores comparáveis, 
mx e my. 
Observando o corte, percebe-se a curvatura, em consequência, momento fletor mα. 
A constituição comum da laje é feita pela de armadura paralela ao lado lx, para resistir 
a mx, e armadura paralela a ly, para resistir a my. 
Os ensaios mostram que a resistência segundo o corte pode ser expresso por:
mα = mx cos
2 α + my sen
2 α Eq.3.1.2
Geralmente, estas armaduras (projetadas para resistir aos momentos máximos paralelos 
aos lados lx e ly) garantem a segurança da laje. 
O cálculo dos momentos fletores numa placa, utilizando a Teoria da Elasticidade, é 
muito dispendioso. 
Porém, existem tabelas em que o cálculo se faz eficiente. Dentre elas, a de Czerny, com 
coeficiente de Poisson ν = 0,20. 
Estas tabelas solucionam as lajes isoladas. Considerando um pavimento, após os cálculos 
dos esforços nas lajes isoladas, devemos fazer a compatibilização dos momentos de 
engastamento das lajes adjacentes, como veremos no item b.
Figura 58. lajes armadas em cruz.
Fonte: upF (2001).
65
Detalhamento De lajes │ UnIDaDe III
Figura 59. lajes armadas em cruz – parte 2.
Fonte: upF (2001).
a. Lajes Isoladas: 
M é o momento fletor por unidade de largura de laje. Calculado por:
2
=
α
x
x
x
plm Eq.3.1.3
2
=
α
x
y
y
plm Eq.3.1.4
2
=
β
x
bx
x
plm
 Eq.3.1.5
2
=
β
x
by
y
plm Eq.3.1.6
Torna-se, possível calcular todas as lajes retangulares como lajes em cruz.
Figura 60. distribuição de esforços (pela teoria da elasticidade).
Fonte: upF (2001).
66
UNIDADE III │ DEtAlhAmENto DE lAjEs
b. Lajes contíguas 
O momento em um bordo comum a duas lajes é dado pela da compatibilização dos 
momentos negativos mb1 e mb2 das lajes isoladas, como descrito na equação abaixo:
mb12≥
2 2
1
2
2
0,8.
0,8.
+






b b
b
b
m m
m
m Eq.3.1.7
O compatibilizar dos momentos negativos sobre os apoios deve ser feita a correção do 
momento positivo da laje que o momento fletor de bordo foi reduzido: 
mbi<mb12→mi,final=mi+0,5(mbi-mb12) Se Eq.3.1.8
O momento aplicado no bordo de uma laje em balanço não deve ser diminuído.
67
CAPítulo 2
lajes nervuradas
introdução
Uma laje nervurada é formada por um conjunto de vigas que se transpassam, apoiadas 
pela mesa.
Hoje, as estruturas estão evoluindo muito e, com isso, o que ocasiona a necessidade 
de se aumentar os vãos, para esse tipo de construção a utilizaçãode lajes maciças, em 
geral, não é muito favorável, devido ao alto custo das formas. 
Por esse motivo, as lajes nervuradas aparecem como alternativa (figura 61).
Figura 61. laje nervurada bidirecional.
Fonte: pinheiro (2003).
Esse tipo de laje resulta da eliminação do concreto abaixo da linha neutra, o que ocasiona 
a redução no peso da estrutura e um melhor aproveitamento do aço e do concreto.
Nas nervuras, são concentradas a resistência à tração e os materiais de enchimento 
substituem o concreto e não colaboram com a resistência. 
As reduções permitem que haja tanto economia de materiais quanto na mão de obra e 
de formas, o que eleva a possibilidade de se realizar o sistema construtivo. 
A utilização de lajes nervuradas também simplifica a execução e possibilita a 
industrialização, o que ocasiona a diminuição de perdas e elevação da produtividade.
68
UNIDADE III │ DEtAlhAmENto DE lAjEs
Características das lajes nervuradas 
Os tipos de lajes aqui consideradas serão as que possuem capitéis, vigas-faixa e os 
diversos materiais de enchimento.
As nervuras podem ser moldadas no local ou terem parte das vigas pré-moldadas, com 
moldagem no local da parte faltante da nervura e da mesa.
laje moldada no local 
São aquelas lajes que são construídas “in loco”, ou seja, todas as etapas de execução são 
realizadas na obra e na posição definitiva. 
Logo, é preciso utilizar fôrmas e escoras e material de enchimento. 
Essas formas podem ser utilizadas no lugar de materiais inertes. Constituídas 
de polipropileno ou em metal, com dimensões moduladas, logo é preciso utilizar 
desmoldantes iguais aos empregados nas lajes maciças.
a. Lajes nervurada com as células aparentes:
Neste caso, são necessárias formas, posicionadas sobre tablado de madeira, apoiado 
em cimbramento. Essas formas podem ser em madeira, metálica ou fibras de vidro ou 
plásticos reutilizáveis.
Figura 62. laje moldada no local com nervuras aparentes.
Fonte: pinheiro (2003).
69
Detalhamento De lajes │ UnIDaDe III
Figura 63. laje moldada no local com inclinação para facilitar a retirada da forma.
Fonte: pinheiro (2003).
b. Lajes nervuradas com as células não aparentes:
Nesse tipo de laje, geralmente se evita a utilização de formas entres as nervuras e a face 
inferior da mesa. 
Utiliza materiais inertes, sem finalidade estrutural, formados por blocos de cerâmica, 
concreto celular, isopor e outros materiais. 
Figura 64. lajes nervuradas com as células não aparentes.
Fonte: pinheiro (2003).
c. Laje nervurada tipo caixão perdido:
Para esse tipo de laje, o projeto arquitetônico indica um forro em concreto aparente. 
Figura 65. laje nervurada tipo caixão perdido.
Fonte: pinheiro (2003).
70
UNIDADE III │ DEtAlhAmENto DE lAjEs
d. Laje com fôrma perdida em forma de tubo:
Figura 66.
Fonte: pinheiro (2003).
laje com nervuras pré-moldadas
Figura 67.
Fonte: pinheiro (2003).
Neste caso, as vigotas pré-moldadas formam as nervuras, que não necessitam a 
utilização do tabuleiro da forma convencional. 
As vigotas geralmente suportam o próprio peso, precisando somente de cimbramentos 
intermediários. 
Somada as vigotas, esses tipos de lajes apresentam elementos de enchimento, que são 
postos em cima dos elementos pré-moldados, além de concreto misturado in loco. 
Existem três tipos de vigotas, conforme figura 68.
71
Detalhamento De lajes │ UnIDaDe III
Figura 68.
Fonte: pinheiro (2003).
lajes nervuradas com capitéis e com vigas-faixa 
Figura 69.
Fonte: pinheiro (2003).
Por causa da concentração de solicitações transversais na área dos apoios, pode 
acontecer ruina por cisalhamento ou por punção. É desejável, caso ocorra ruina, que 
essa seja por flexão.
Dependendo da forma da peça, é possível o surgimento de tensões elevadas, que peçam 
uma estrutura robusta. Caso isso ocorra existem possíveis soluções:
 » área maciça ao redor do pilar (capitel).
 » vigas-faixa.
materiais de enchimento
As lajes nervuradas foram criadas para serem econômicas diminuindo a quantidade de 
concreto na região de carga de tração. 
72
UNIDADE III │ DEtAlhAmENto DE lAjEs
Também existe redução do próprio peso da laje e os materiais de enchimento também 
tem que ser leves ao mesmo tempo que resistam as solicitações da estrutura e a execução 
da obra.
Diversos tipos de enchimentos são utilizados na laje, como bloco de concreto, bloco 
cerâmico e EPS (isopor).
Os blocos cerâmicos de concreto são mais usados em peças pré-moldadas por ser de 
fácil manuseio, além de serem excelentes isolantes térmicos.
Os blocos EPS são leves, podem ser utilizados no teto, em vazios de vigotas, são de 
fácil manuseio e também servem como isolantes térmicos e acústicos e resistem as 
solicitações e deformações da estrutura.
dimensões limite 
Geralmente se utilizam painéis em que os vãos sejam maiores que em laje convencionais.
dimensões mínimas 
As indicações com relação as dimensões dos painéis e das nervuras.
 » Espessura da mesa:
 » No caso de não existir tubulação horizontal que esteja embutida, adota-
se a espessura da mesa como sendo > ou = a 1/15 do l (distância) entre as 
nervuras e maior do que 3cm. 
 » A espessura da mesa deve ser > ou = a 4cm, no caso da existência de 
tubulações embutidas de bitola máxima de12,5mm. 
 » Largura das nervuras: 
 » A largura das nervuras não deve ser < 5cm. 
 » Se existirem armaduras resistentes a compressão, a largura das nervuras 
não deve ser < 8cm. 
Critérios de projeto
Os critérios são totalmente dependentes do comprimento entre os eixos das nervuras.
No caso de & maior que 65cm, são desprezados os valores de flexão na mesa, mas para 
se verificar o cisalhamento das vigotas, pode-se considerar os critérios para laje. 
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Detalhamento De lajes │ UnIDaDe III
Se & estiver contido de 65cm a 110cm, é necessário verificar se a flexão na mesa e as 
vigotas são testadas como vigas com relação ao cisalhamento.
Se o alargamento entre os eixos da vigota for de até 90cm e o comprimento médio das 
nervuras for maior que 12cm, é permitida a verificação como se fosse laje.
No caso da laje nervurada ter o alargamento entre os eixos maior do que110cm, a mesa 
deve ser projetada como sendo maciça.
Ações e esforços solicitantes
Regida pela NBR 6120-1980 – cargas para cálculo de estruturas de edificações, a laje 
nervurada deve ser calculada como sendo uma placa em regime elástico. 
Dessa forma, o dimensionamento é similar ao de estruturas maciças.
As tabelas de Pinheiro (1993) podem ser usadas para dimensionamento dos momentos 
fletores e as solicitações de apoios.
Para se calcular as cargas das nervuras, sabendo-se as solicitações por unidade de 
largura, multiplica-se esse valor pela distância entre os eixos das nervuras. 
Verificações
É recomendado verificar as seguintes cargas: flexão nas nervuras, cisalhamento nas 
nervuras, flexão na mesa, cisalhamento na mesa e flecha da laje. 
flexão nas nervuras
Sabendo-se os valores dos momentos fletores por nervura, deve-se calcular a armadura 
com relação ao escoamento mínimo do tipo de aço previsto em projeto.
No caso da mesa solicitada a cargas de compressão, caso comum, considera-se a seção 
em T.
Normalmente, a linha neutra está contida na mesa, e a peça se comporta como retangular 
com a seção resistente b.f.h.
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Se a mesa for submetida a cargas de tração, no caso de não existir laje dupla, a área 
resistente é retangular b.w.h. 
Existem outros detalhes a serem considerados como armaduras, fissuras, apoios 
ancorados etc.
Cisalhamento nas nervuras 
Para o cálculo do cisalhamento nas nervuras é necessário saber a distância entre elas a 
distância entre eixos das nervuras menor ou igual que 65cm.