Lista 3 - INTEGRAL DEFINIDA POR PARTES

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Cálculo B
Lista de Exercícios 3
1
o
semestre de 2020 – Prof. Claudio H. Asano
0.1 Integral Indefinida por Partes
0.1 Utilize integração por partes para calcular as integrais.
(a)
∫
xex dx
Resp: xex − ex + C
(b)
∫
xe2x dx
Resp: xe
2x
2 −
e2x
4 + C
(c)
∫
(2x+ 1)ex dx
Resp: (2x− 1)ex + C
(d)
∫
x2ex dx
Resp: x2ex − 2xex + 2ex + C
0.2 Determine as integrais a seguir usando integração por partes.
(a)
∫
x cos x dx
Resp: x senx+ cosx+ C
(b)
∫
x sen x dx
Resp: −x cosx+ senx+ C
(c)
∫
(2x+ 1) cos(2x) dx
Resp: 12
(
(2x+1) sen(2x)+cos(2x)
)
+
C
(d)
∫
(x− 3) sen(3x) dx
Resp: 13(3− x) cos(3x) +
sen(3x)
9
0.3 Utilize integração por partes repetidas vezes para calcular as integrais.
(a)
∫
x2e2x dx
Resp:
(
x2
2 −
x
2 +
1
4
)
e2x + C
(b)
∫
x2e3x dx
Resp:
(
x2
3 −
2x
9 +
2
27
)
e3x + C
(c)
∫
x2 cos x dx
Resp: (x2 − 2) senx+ 2x cosx+ C
(d)
∫
x3 sen x dx
Resp: (−x3 + 6x) cosx + (3x2 −
6) senx+ C
(e)
∫
x3 cos(2x) dx
Resp:
(
x3
2 −
3x
4
)
sen(2x) +
(
3x2
4 −
3
8
)
cos(2x) + C
(f)
∫
x2 sen(3x) dx
Resp:
(
− x
2
3 +
2
27
)
cos(3x) +
2x
9 sen(3x) + C
0.4 Utilize integração por partes duas vezes na integral I =
∫
ex cos x dx e constate que I
aparece novamente na expressão. Em seguida isole I para encontrar a integral.
Resp:
ex(senx+cosx)
2
0.5 Utilize a técnica da integração por partes para calcular a integral dada.
(a)
∫
ex sen x dx
Resp:
ex(senx−cosx)
2
(b)
∫
e2x cos(3x) dx
Resp: e
2x
13
(
3 sen(3x) + 2 cos(3x)
)
+ C
0.6 Calcule as integrais a seguir utilizando integração por partes duas vezes.
(a)
∫
sen(5x)e3x dx
Resp:
(
3 sen(5x)− 5 cos(5x)
)
e3x
34 + C
(b)
∫
cos(4x)e2x dx
Resp:
(
2 sen(2x) + 4 cos(2x)
)
e2x
20 + C
0.7 Dados a e b números reais quaisquer, calcule a integral
∫
sen(ax)ebx dx utilizando inte-
gração por partes.
Resp:
(
b sen(ax)− a cos(ax)
)
ebx
a2+b2
+ C
0.8 Dados a e b números reais quaisquer, calcule a integral
∫
cos(ax)ebx dx utilizando inte-
gração por partes.
Resp:
(
a sen(ax) + b cos(ax)
)
ebx
a2+b2
+ C
0.2 Integral Indefinida de Funções Trigonométricas
0.9 Utilize que cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b e sen(a ± b) = sen a cos b ± cos a sen b
para deduzir que cos a cos b = cos(a−b)+cos(a+b)
2
, sen a sen b = cos(a−b)−cos(a+b)
2
e sen a cos b =
sen(a−b)+sen(a+b)
2
. Em seguida, calcule as integrais a seguir.
(a)
∫
cos(2x) cos(5x) dx
Resp:
sen(3x)
6 +
sen(7x)
14 + C
(b)
∫
cos(3x) sen(2x) dx
Resp: cosx2 −
cos(5x)
10 + C
(c)
∫
sen(4x) sen(3x) dx
Resp: senx2 −
sen(7x)
14 + C
0.10 Sejam p e q números reais distintos. Calcule a integral
∫
cos(px) cos(qx) dx.
Resp:
sen[(p−q)x]
2(p−q) +
sen[(p+q)x]
2(p+q) + C
0.11 Sejam p e q números reais distintos. Calcule a integral
∫
cos(px) sen(qx) dx.
Resp:
cos[(p−q)x]
2(p−q) −
cos[(p+q)x]
2(p+q) + C
0.12 Sejam p e q números reais distintos. Calcule a integral
∫
sen(px) sen(qx) dx.
Resp:
sen[(p−q)x]
2(p−q) −
sen[(p+q)x]
2(p+q) + C
0.13 Calcule a integral indefinida
∫
cos2(x) sen(2x) dx
Resp: Utilize que sen(2x) = 2 sen(x) cos(x). A integral é − cos
4(2x)
4 + C.
0.14 Calcule a integral indefinida
∫
cos2(3x) sen(2x) dx
Resp: Utilize que cos2(x) = 1+cos(2x)2 . A integral é −
cos(2x)
4 +
cos(4x)
16 −
cos(8x)
32 + C.
0.15 Sejam a e b números reais, com 2a− b 6= 0. Calcule
∫
cos2(ax) sen(bx) dx.
Resp: Utilize que cos2(x) = 1+cos(2x)2 . A integral é −
cos(bx)
2b +
cos[(2a−b)x]
4(2a−b) −
cos[(2a+b)x]
4(2a+b) +C.
0.16 Sejam a e b números reais, com 2a− b 6= 0. Calcule
∫
cos2(ax) cos(bx) dx.
Resp: Utilize que cos2(x) = 1+cos(2x)2 . A integral é
sen(bx)
2b +
sen[(2a−b)x]
4(2a−b) +
sen[(2a+b)x]
4(2a+b) +C.
0.17 Calcule
∫
cos3(5x) dx.
Resp:
sen(5x)
5 −
sen3(5x)
15 + C
0.18 Calcule as integrais abaixo.
(a)
∫
sec2(2x) dx.
Resp:
tg(2x)
2 + C
(b)
∫
tg2(3x) dx.
Resp:
tg(3x)
3 − x+ C
0.19 Determine a primitiva
∫
sec3(x) tg(x) dx utilizando substituição.
Resp:
sec3(x)
3 + C
0.3 Integral Indefinida por Substituição Trigonométrica
0.1 Seja a 6= 0. Calcule a integral
∫
1
x2+a2
dx.
Resp: 1
a
tg−1(x
a
) + C
0.2 Calcule as integrais abaixo utilizando completamento de quadrado.
(a)
∫
1
9x2 + 18x+ 13
dx.
Resp:
∫
1
(3x+3)2+4
dx =
1
6 tg
−1 (3x+3
2
)
+ C
(b)
∫
1
25x2 + 20x+ 20
dx.
Resp:
∫
1
(5x+2)2+16
dx =
1
20 tg
−1 (5x+2
4
)
+ C
(c)
∫
1
9x2 + 18x+ 25
dx.
Resp:
∫
1
(3x+3)2+16
dx =
1
12 tg
−1 (3x+3
4
)
+ C
(d)
∫
1
9x2 + 18x+ 13
dx.
Resp:
∫
1
(3x+3)2+4
dx =
1
6 tg
−1 (3x+3
2
)
+ C
(e)
∫
1
25x2 − 30x+ 25
dx.
Resp:
∫
1
(5x−3)2+16 dx =
1
20 tg
−1 (5x−3
4
)
+ C
(f)
∫
1
4x2 − 16x+ 41
dx.
Resp:
∫
1
(2x−4)2+25 dx =
1
10 tg
−1 (2x−4
5
)
+ C
(g)
∫
1
25x2 + 10x+ 5
dx.
Resp:
∫
1
(5x+1)2+4
dx =
1
10 tg
−1 (5x+1
2
)
+ C
(h)
∫
1
9x2 − 6x+ 17
dx.
Resp:
∫
1
(3x−1)2+16 dx =
1
12 tg
−1 (3x−1
4
)
+ C
(i)
∫
1
4x2 + 20x+ 50
dx.
Resp:
∫
1
(2x+5)2+25
dx =
1
10 tg
−1 (2x+5
5
)
+ C
(j)
∫
1
16x2 + 40x+ 29
dx.
Resp:
∫
1
(4x+5)2+4
dx =
1
8 tg
−1 (4x+5
2
)
+ C
0.3 Seja a > 0. Utilize a mudança de variável x
a
= sen(u) para calcular a integral
∫
1
a2−x2 dx,
para −a < x < a. Utilize frações parciais para calcular a mesma integral.
Resp: Por substituição obtemos 1
a
ln | sec(u)+tg(u)|+C = 1
a
ln
∣
∣
∣
a+x√
a2−x2
∣
∣
∣
+C e por frações
parciais obtemos 12a
∫ (
1
x+a −
1
x−a
)
dx = 1
a
ln |x+a|
1/2
|x−a|1/2 +C que coincide com o outro cálculo.
0.4 Integral Indefinida por Frações Parciais
0.1 Utilize frações parciais para calcular as integrais a seguir.
(a)
∫
−3x− 29
x2 + x− 6
dx
Resp:
∫ ( −7
(x−2) +
4
(x+3)
)
dx = ln |x+3|
4
|x−2|7 + C
(b)
∫
2x+ 7
x2 + 4x+ 4
dx
Resp:
∫ (
2
x+2 +
3
(x+2)2
)
dx = 2 ln |x+ 2| − 3
x+2 + C
(c)
∫
5x2 − 14x+ 3
(x− 5)(x2 + 4)
dx
Resp:
∫ (
2
x−5 +
3x+1
x2+4
)
dx = 2 ln |x− 5|+ 32 ln |x
2 + 4|+ 12 tg
−1(x2 ) + C
Referências
[1] LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. 8. ed. v. 1, São Paulo:
McGraw-Hill, 2006.
[2] LARSON, R.; HOSTETLER, R. P.; EDWARDS, B. H. Cálculo. 8. ed. v. 2, São Paulo:
McGraw-Hill, 2006.
[3] STEWART, J. Cálculo. 5. ed. v. 1, São Paulo: Cengage Learning, 2005.
[4] STEWART, J. Cálculo. 5. ed. v. 2, São Paulo: Cengage Learning, 2005.
[5] THOMAS, G. B. Cálculo. 10. ed. v. 1, São Paulo: Pearson Education, 2003.
[6] THOMAS, G. B. Cálculo. 10. ed. v. 2, São Paulo: Pearson Education, 2003.
[7] FOULIS, D. J.; MUNEN, M. A. Cálculo. v. 1, São Paulo: LTC, 1982.
[8] FOULIS, D. J.; MUNEN, M. A. Cálculo. v. 2, São Paulo: LTC, 1982.
[9] SWOKOWSKY, E. Cálculo. v. 1, São Paulo: Makron Books, 1996.
[10] SWOKOWSKY, E. Cálculo. v. 2, São Paulo: Makron Books, 1996.