3. Calcule a integral definida utilizando integração por partes. a) ∫ 2 0 x23x dx b) ∫ 2 −1 ln(x+ 2) dx c) ∫ π2 2 0 cos( √ 2x) dx d) ∫ 2 0 xe2...

a) Para calcular a integral ∫ 2 0 x^2*3x dx utilizando integração por partes, vamos escolher u = x^2 e dv = 3x dx. Então, temos du/dx = 2x e v = (3/2)x^2. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ 2 0 x^2*3x dx = [x^2*(3/2)x^2]2_0 - ∫ 2 0 (3/2)x^2*2x dx ∫ 2 0 x^2*3x dx = 3[2^5 - 0] - 3/2[2^4 - 0] ∫ 2 0 x^2*3x dx = 96 - 24 ∫ 2 0 x^2*3x dx = 72 Portanto, a resposta é 72. b) Para calcular a integral ∫ 2 −1 ln(x+ 2) dx utilizando integração por partes, vamos escolher u = ln(x+2) e dv = dx. Então, temos du/dx = 1/(x+2) e v = x. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ 2 −1 ln(x+ 2) dx = [x*ln(x+2)]2_-1 - ∫ 2 −1 x/(x+2) dx ∫ 2 −1 ln(x+ 2) dx = [2*ln(4) - (-1)*ln(1)] - ∫ 2 −1 [1 - 2/(x+2)] dx ∫ 2 −1 ln(x+ 2) dx = 2*ln(4) + ln(2) - [x - 2ln(x+2)]2_-1 ∫ 2 −1 ln(x+ 2) dx = 2*ln(4) + ln(2) - [2 - 2ln(2) + 1 + 2ln(1/2)] ∫ 2 −1 ln(x+ 2) dx = 2*ln(4) + ln(2) - 3 Portanto, a resposta é 2*ln(4) + ln(2) - 3. c) Para calcular a integral ∫ π/2 2 cos(√(2x)) dx utilizando integração por partes, vamos escolher u = cos(√(2x)) e dv = dx. Então, temos du/dx = -√(2/π)*sen(√(2x)) e v = x. Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ π/2 2 cos(√(2x)) dx = [x*cos(√(2x))]π/2_2 - ∫ π/2 2 -√(2/π)*sen(√(2x)) dx ∫ π/2 2 cos(√(2x)) dx = [2*cos(π/2) - 2*cos(√4)] + √(2/π)*[cos(√(2x))]π/2_2 ∫ π/2 2 cos(√(2x)) dx = 2 + √(2/π)*[cos(π/2) - cos(√(4/π))] ∫ π/2 2 cos(√(2x)) dx = 2 + √(2/π)*[0 - cos(√(4/π))] Portanto, a resposta é 2 - √(2/π)*cos(√(4/π)). d) Para calcular a integral ∫ 2 0 xe^(2x) dx utilizando integração por partes, vamos escolher u = x e dv = e^(2x) dx. Então, temos du/dx = 1 e v = (1/2)e^(2x). Aplicando a fórmula de integração por partes, temos: ∫ 2 0 xe^(2x) dx = [x*(1/2)e^(2x)]2_0 - ∫ 2 0 (1/2)e^(2x) dx ∫ 2 0 xe^(2x) dx = [2*(1/2)e^4 - 0] - (1/4)[e^4 - 1] ∫ 2 0 xe^(2x) dx = e^4/2 - 1/4e^4 + 1/4 Portanto, a resposta é e^4/2 - 1/4e^4 + 1/4.