Calcule a seguinte integral definida: ∫(3-x^2)^7 dx. Observe que se G(x) = (3-x^2)^8/(-16x), então G'(x) = (3-x^2)^7. Logo, a integral pode ser re...

A integral definida ∫(3-x^2)^7 dx pode ser resolvida por substituição trigonométrica. Começamos fazendo a substituição x = √(3) * sen(t), o que implica em dx = √(3) * cos(t) dt. Substituindo na integral, temos: ∫(3-x^2)^7 dx = ∫(3 - 9sen^2(t))^7 * √(3)cos(t) dt Simplificando a expressão dentro da integral, temos: ∫(3 - 9sen^2(t))^7 * √(3)cos(t) dt = 729√(3) * ∫cos^8(t) dt Podemos resolver essa nova integral utilizando a fórmula de redução de potência para o cosseno: cos^2(t) = (1 + cos(2t))/2 Substituindo, temos: cos^8(t) = (cos^2(t))^4 = ((1 + cos(2t))/2)^4 Expandindo essa expressão, temos: cos^8(t) = (1/16) * (1 + 4cos(2t) + 6cos^2(2t) + 4cos^3(2t) + cos^4(2t)) Substituindo na integral, temos: 729√(3) * ∫cos^8(t) dt = 729√(3) * ∫(1/16) * (1 + 4cos(2t) + 6cos^2(2t) + 4cos^3(2t) + cos^4(2t)) dt Integrando termo a termo, temos: 729√(3) * ∫(1/16) * (1 + 4cos(2t) + 6cos^2(2t) + 4cos^3(2t) + cos^4(2t)) dt = 729√(3) * [(t/16) + (sin(2t)/32) + (3sin(4t)/64) + (sin(6t)/48) + (5t/256)] Substituindo os limites de integração (0 e π/2) na expressão acima, temos: 729√(3) * [(π/32) + (1/16) + (3/64) + (1/48) + (5π/512)] ≈ 0,000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000