Cálculo I - Licenciatura em Matemática

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cálculo i
licenciatura em
matemática
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 2
Ministério da Educação - MEC
Coordenação de Aperfeiçoamento 
de Pessoal de Nível Superior
Instituto Federal de Educação, 
Ciência e Tecnologia do Ceará
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Universidade Aberta do Brasil
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará
Diretoria de Educação a Distância
Fortaleza, CE
2011
Licenciatura em Matemática 
Cálculo I
Francisco Régis Vieira Alves
Presidente
Dilma Vana Rousseff
Ministro da Educação
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Secretário da SEED
Luís Fernando Massonetto
Diretor de Educação a Distância
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Reitor do IFCE
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Pró-Reitor de Ensino
Gilmar Lopes Ribeiro
Diretora de EAD/IFCE e 
Coordenadora UAB/IFCE
Cassandra Ribeiro Joye
Vice-Coordenadora UAB 
Régia Talina Silva Araújo
Coordenador do Curso de 
Tecnologia em Hotelaria
José Solon Sales e Silva
Coordenador do Curso de 
Licenciatura em Matemática
Priscila Rodrigues de Alcântara
Elaboração do conteúdo
Francisco Régis Vieira Alves
Colaboradoras
Luciana de Lima
Marília Maia Moreira
Equipe Pedagógica e Design Instrucional
Ana Claúdia Uchôa Araújo
Andréa Maria Rocha Rodrigues
Carla Anaíle Moreira de Oliveira
Cristiane Borges Braga
Eliana Moreira de Oliveira
Gina Maria Porto de Aguiar Vieira
Glória Monteiro Macedo
Iraci Moraes Schmidlin
Irene Moura Silva
Isabel Cristina Pereira da Costa
Jane Fontes Guedes
Karine Nascimento Portela
Lívia Maria de Lima Santiago
Lourdes Losane Rocha de Sousa
Luciana Andrade Rodrigues
Maria Irene Silva de Moura
Maria Vanda Silvino da Silva
Marília Maia Moreira
Maria Luiza Maia
Saskia Natália Brígido Batista
Equipe Arte, Criação e Produção Visual
Ábner Di Cavalcanti Medeiros
Benghson da Silveira Dantas
Germano José Barros Pinheiro
Gilvandenys Leite Sales Júnior
José Albério Beserra 
José Stelio Sampaio Bastos Neto
Lucas de Brito Arruda
Marco Augusto M. Oliveira Júnior 
Navar de Medeiros Mendonça e Nascimento
Samuel da Silva Bezerra
Equipe Web
Benghson da Silveira Dantas 
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Luiz Bezerra de Andrade FIlho
Lucas do Amaral Saboya
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Samantha Onofre Lóssio 
Tibério Bezerra Soares
Revisão Textual
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Nukácia Meyre Araújo de Almeida
Revisão Web
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Débora Liberato Arruda Hissa
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Logística
Francisco Roberto Dias de Aguiar
Virgínia Ferreira Moreira
Secretários
Breno Giovanni Silva Araújo
Francisca Venâncio da Silva
Auxiliar
Ana Paula Gomes Correia
Bernardo Matias de Carvalho
Charlene Oliveira da Silveira
Isabella de Castro Britto
Wagner Souto Fernandes
Créditos
IFCE / Diretoria de Educação a Distância/Universidade Federal do Ceará
 Cálculo I / Francisco Regis Vieira Alves; Coordenação Cassandra 
Ribeiro Joye. - Fortaleza: UAB/IFCE, 2011.
 225p. : il. ; 27cm.
ISBN: 978-85-63953-28-5
 1. MATEMÁTICA. 2. LIMITES. 3. CÁLCULO DIFERENCIAL. 
4. CÁLCULO INTEGRAL. I. Joye, Cassandra Ribeiro (Coord.). II. 
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Ceará – 
IFCE. III. Universidade Aberta do Brasil - UAB. IV. Título.
CDD – 515
A474c 
Catalogação na Fonte: Islânia Fernandes Araújo (CRB 3 nº 917)
SUMÁRIO
AULA 1
AULA 2
AULA 3
AULA 4
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 4
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 4
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Principais conceitos de funções 
Afim e Quadrática 10
Definição formal de Limite e Continuidade 
de Funções em uma Variável Real 37
Assintotas horizontais e verticais 62
Funções Injetoras, Sobrejetoras, 
Bijetoras, Inversa e Composta 19
Interpretação geométrica da derivada 
de uma função 84
Derivadas de funções elementares 95
Regras de derivação e regra da cadeia 98
Derivação implícita 104
Outras propriedades e teoremas 25
Outras propriedades e teoremas 48
Conceito de limite: extensões 67
Funções trigonométricas 30
Teorema do Confrontro ou do Sanduíche 56
Esboçando gráfico e o teorema de Bolzano 73
Limites de funções trigonométricas 58
Apresentação 8
Referências 223
Currículo 224
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 4
Funções 9
Estudo das derivadas 81
Limite e continuidade de funções 
em uma variável real 36
Um pouco mais sobre o conceito 
de limite 61
6 Cá lcu lo I
AULA 5
AULA 6
AULA 7
AULA 8
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 4
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 1
Tópico 2
Derivadas de funções trigonométricas 
inversas 109
Valores máximos e mínimos 124
Primitiva e Integral de uma função 163
A Integral de Riemann e o Teorema 
Fundamental do Cálculo (TFC) 168
Área de figura plana obtida entre curvas 176
Derivada de ordem superior 112
O teorema do valor médio e a regra de 
L’hospital 133
Informações obtidas a partir da primeira e 
segunda derivadas de uma função 143
Miscelânea de exercícios resolvidos 152
Taxas relacionadas 115
Funções Hiperbólicas 119
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Integração 162
Derivadas de funções 
trigonométricas inversas, derivada de 
ordem superior, taxas relacionadas e 
funções hiperbólicas 108
Valores extremos de função, teorema do 
valor médio e a regra de L´Hospital 123
Estudo do comportamento do gráfico 
de funções mediante o auxílio das 
derivadas 142
SUMÁRIO
AULA 9
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Mudança de variável e integração 
por partes 182
Outras técnicas de integração: 
frações parciais 187
Outras técnicas de integração: substituição 
trigonométrica e hiperbólica 192
Técnicas de integração 181
AULA 10
Tópico 1
Tópico 2
Tópico 3
Tópico 4
Comprimento de arco 200
Área de superfície de revolução 205
Volumes de superfície de revolução 210
Trabalho de uma força 218
Aplicações da integral definida 199
8 Cá lcu lo I
APRESENTAÇÃO
Querido(a) aluno(a), sem dúvida, iniciamos aqui um dos divisores de águas dos conteúdos 
estudados nos cursos de Licenciatura em Matemática. Os conteúdos que você conhecerá 
levaram séculos e séculos até chegar a esta forma “arrumadinha” que encontramos nas 
grandes obras desta matéria. Antes, porém, muitos homens, desde os gregos, debruçaram-
se sobre vários problemas que exigiam os conceitos do Cálculo Diferencial e Integral para 
serem resolvidos. Para que esses conceitos sejam bem compreendidos, em virtude de nossa 
experiência no ensino desta disciplina, será necessário destacar alguns aspectos para você, 
que está iniciando seus estudos nessa área.
Como mencionamos, esta teoria levou séculos, precisamente desde o século III a.C., para 
adquirir o formato em que é apresentado atualmente. Matemáticos, como James Jurin, 
Bernoulli, D´Alembert, Cauchy, L´Hopital, Weierstrass, Euler, Leibnitz, Newton, entre outros, 
necessitaram de muito tempo para resolver problemas, os mais diversos, desta teoria. 
Então, você pode se perguntar: de que forma esse conhecimento contribuirá para a minha formação? 
A resposta é simples, e nem sempre é lembrada pelo professor de Cálculo. O problema é 
que as dificuldades que surgiram no passado podem reaparecer e funcionar como entrave e 
barreira à sua aprendizagem. 
O segundo aspecto que merece atenção se relaciona ao sistema simbólico que será utilizado 
para representar os conceitos de Cálculo. O simbolismo peculiar das ciências matemáticas 
é conseqüência direta do processo de abstração mental. Os conceitos são concebidos, e a 
simbologia substitui, simplifica, operacionaliza determinadas operações e manipulações com 
os objetos da Matemática. 
Desejo a todos, então, uma boa e produtiva aprendizagem.
Prof. Francisco Régis Vieira Alves
9AULA 1
AULA 1 Funções
Olá aluno(a)!
O conceito de função é, sem dúvida, o mais importante conceito estudado durante 
toda a escolaridade. Aqui apresentamos apenas o essencial sobre o assunto, uma 
vez que seu uso será apenas instrumental para aplicação no Cálculo. Sugerimos 
ao atual e futuro professor mais aprofundamento em relação a todas as funções 
e propriedades mencionadas.
Objetivos
• Revisar algumaspropriedades essenciais das funções mais importantes 
presentes na Matemática do ensino fundamental e médio
• Aprofundar algumas das propriedades essenciais da função na aplicação 
do Cálculo
10 Cá lcu lo I
Nosso primeiro passo é recordar que um dos principais conceitos estudados, ao longo das séries de escolaridade, é justamente o conceito de função. Curiosamente, a maioria dos alunos de licenciatura não 
se lembra da definição formal de função, mas se recorda com facilidade de sua 
interpretação intuitiva, o que é completamente diferente da atividade exigida em 
Matemática no que diz respeito ao formalismo.
1.1 DEFINIÇÃO FORMAL DE FUNÇÃO
A definição formal de função caracteriza esse objeto matemático, 
distinguindo-o dos outros objetos, além de indicar as regras que podem ser 
atribuídas à utilização desse objeto. Passemos, então, à sua definição formal.
D E F I N I Ç ã o 1
Sejam os conjuntos não vazios ,A B ¹Æ . Uma função :f A B® (lê-se uma 
função de A em B) é definida por uma regra de associação, ou relação, entre 
os conjuntos de A e B, de modo que a cada elemento x AÎ é associado a 
um único elemento y BÎ , de modo que ocorre ( )y f x B= Î . O elemento 
( )y f x= é chamado de imagem do elemento x AÎ , por meio da função 
f, enquanto que o conjunto B é chamado de contradomínio da função, ou 
simplesmente o conjunto onde a função toma valores. 
Notamos que, quando mencionamos há pouco o termo ‘regra de associação’, 
tencionamos estabelecer a importância de para cada x AÎ , temos um único ( )f x BÎ .
Lima (2006, p. 13) aponta algumas características importantes deste objeto 
matemático ao mencionar que a natureza da regra que ensina como obter o valor ( )f x BÎ 
TÓPICO 1 Principais conceitos de funções - afim e quadrática 
ObjetivOs
• Estudar as definições formais e as propriedades 
das principais funções – afim e quadrática
• Definir funções crescentes e decrescentes
11AULA 1 Tópico 1
quando é dado x AÎ é inteiramente arbitrária, sendo sujeita apenas a duas condições: 
1ª) Não deve haver exceções: a fim de que f tenha o conjunto A como domínio, 
a regra deve fornecer ( )f x para todo x AÎ ; 
2ª) Não deve haver ambiguidades: a cada x AÎ , a regra deve fazer 
corresponder um único ( )f x em B.
Temos nos diagramas representados na figura 1 algumas possibilidades possíveis 
de significação geométrica para sua definição formal. É bom lembrar que os tipos de 
representação de uma função podem ser diversificados por meio de diagramas de Venn 
ou por meio do produto cartesiano dos eixos definindo o plano 2 . 
Figura 1– Representação de uma função em diagrama de Venn e no eixo cartesiano, 
respectivamente
No gráfico à direita (II) acima (figura 1), temos a seguinte descrição analítica: 
2 1 se x<3
( )
2x 7 se x 3 
x x
f x
ìï + +ï=íï - ³ïî
. Note que ocorre, no gráfico, uma bola aberta na parte 
positiva do eixo das ordenadas (1º quadrante) e uma bola fechada com respeito à 
parte negativa do mesmo eixo (4º quadrante), pois, se tivéssemos a bolinha fechada 
nos dois pontos indicados, o ponto 3x = estaria associado a dois elementos distintos 
no eixo do Oy. Ainda na mesma figura 1 (I), encontramos outros elementos que 
caracterizam uma função, o seu domínio A e a sua imagem Im( ( ))f x BÌ . Assim 
sendo, podemos apresentar a definição de domínio de uma função. 
1.1.1 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO 
D E F I N I Ç ã o 2
O domínio da função x AÎ é o conjunto no qual a função assume seus 
valores ou os elementos que permitem que a regra que caracteriza a função 
seja verificada. 
12 Cá lcu lo I
Por exemplo, se tomamos a função 
1
( )f x
x
= , sua regra consiste em inverter 
cada elemento de  (reta real). Contudo 0 ( ( ))Dom f xÏ , pois a regra não pode 
ser verificada para
1
(0)
0
f = . Esta operação não é realizável! Seu gráfico está 
apresentado na figura 2(I) para valores 0x> . 
Figura 2– Representação da função 
1
( )f x
x
= e da função 
1
( )g x sen
x
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
, 
respectivamente
Podemos observar a partir da figura 2, do lado direito, que os gráficos de 
funções nem sempre podem ser facilmente esboçados, apenas explorando o lápis e o 
papel. Neste caso, exploramos uma ferramenta computacional para plotar o gráfico 
da função seno descrita por 
1
( )f x sen
x
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
. No caso da função 
1
( )f x sen
x
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
, 
temos que seu domínio será descrito por {0}A= - . Mas reparamos que sua 
imagem permanece limitada em uma faixa de [ 1,1]- . Discutiremos um pouco mais 
de suas propriedades nas próximas aulas. 
1.1.2 IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Outro elemento essencial na constituição de uma função é o conjunto que 
chamamos de imagem da função. Sua definição formal é a seguinte.
D E F I N I Ç ã o 3
A imagem de uma função :f A B® é um sub-conjunto B, no qual a 
função assume seus valores ( )y f x= . Em termos de conjunto, escrevemos 
Im( ( )) { tal que y= ( )} Bf x y B f x= Î Ì .
13AULA 1 Tópico 1
Como exemplo, no gráfico acima (figura 2), a imagem da função 
1
( )f x
x
= é 
Im( ( )) { tal que y>0}f x y= Î . Observando ainda a figura 2, no caso destas funções, 
percebemos que, toda vez que tomamos um ponto sobre os mesmos, determinamos 
um par ordenado 2( , )x y Î , em que ( )y f x= . Os elementos com esta propriedade 
pertencem ao gráfico das funções. Assim, dizemos que o gráfico da função 
1
( )f x
x
= , 
pode ser descrito por *
1 1
( ( )) {( , ) onde y= ( )= e x }
x
Graf f x x f x
x
= Î . 
1.1.3 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO
No caso de uma função qualquer :f A B® , definimos seu gráfico 
( )( ( ))Graf f x como o subconjunto do produto cartesiano A B´ Ì ´  . Seu 
gráfico é formado pelos pares ordenados ( , ( ))x f x , em que x é arbitrário. Podemos 
descrever tal conjunto como ( ( )) {( , ) onde y= ( )}Graf f x x y A B f x= Î ´ . 
De um modo intuitivo, encontramos uma propriedade em todo gráfico de 
função ( )y f x= que é explicada por Lima (2006, p. 15) de modo que toda reta 
paralela ao eixo das ordenadas, traçada por um ponto a, deve cortar o gráfico da 
função ( ( ))Graf f x num e num só ponto. 
Figura 3– Identificação do gráfico de uma função
Por exemplo, vamos considerar as 
relações entre variáveis descritas por 2 1y x= - 
e 2 2 1x y+ = (circunferência). Exibimos o 
lugar geométrico das variáveis no plano 2 . 
No gráfico do lado esquerdo (figura 4), 
conseguimos divisar a propriedade geométrica 
indicada por Lima (2006), enquanto que no 
gráfico do lado direito, quando marcamos uma 
V o c ê s a b i a?
O lugar geométrico consiste no 
conjunto de pontos do espaço 
que gozam de uma determinada 
propriedade matemática qualquer. 
14 Cá lcu lo I
reta, ela cortará a circunferência em dois pontos, assim, caso tivéssemos uma função, 
ela possuiria duas imagens, o que contraria a definição (figura 4). 
Figura 4– Critério geométrico para identificação de uma função
Vamos agora recordar uma definição particular do conceito de função. 
1.2 FUNÇÃO LINEAR
D E F I N I Ç ã o 4
Chama-se de função afim ou função polinomial do primeiro grau à expressão 
y ax b= + ou ( )f x ax b= + , em que ,a bÎ , com 0a ¹ . Uma propriedade 
importante dessa função é que seu gráfico se associa a uma e única reta no plano 
´  . Notamos ainda que ( ( ))Dom f x = e Im( ( )) ( ( ))f x CDom f xÌ = . 
Recordamos dois casos particulares dados por ( ) 2 1f x x=- + ou 
2
( )
5
x
g x
-
= . 
Neles observamos que 2a =- e 1b = , no primeiro caso, enquanto que 
1
5
a = 
e 
2
5
b =- , no caso de ( )g x . Além disso, temos ( ( )) ( ( ))Dom f x Dom g x= = . 
Ademais, suas imagens cumprem a condição Im( ( )) Im( ( ))f x g x= = . 
1.3 FUNÇÃO QUADRÁTICA – PRINCIPAIS CONCEITOS
Outra função particular que deverá ser bastante explorada nesta parte 
inicial é chamada de função quadrática que definimos agora.
D E F I N I Ç ã o 5
Chama-se de função quadrática ou função polinomial do 2º grau a seguinte 
expressão 2( )f x ax bx c= + + , onde , ,a b c Î e 0a¹ . 
15AULA 1 Tópico 1
Salientamos a importância de empregarmos as definições formais com 
precisão e atenção para que possamos evitar confusões e inconsistência em nossa 
argumentação. Vejamos agora alguns exercícios interessantes. 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Construa os gráficos das seguintes funções:
a) 
1 se x 1
( )
2 se x>1
f x
ì £ïï=íïïî
 b) 
2x se x 1
( )
2 se x>1
f x
ìï £ï=íïïî
 c) 
1 se x 1
( )
x+3 se x>1
x
f x
ì + £ïï=íï-ïî
SOLUÇÃO:
Aconselhamos sempre tomar em cada função alguns pontos particulares, 
lembrando que é suficiente encontrar dois pontos para exibir o gráfico de uma 
reta. No item (a), temos os valores 1x £ (cf. figura 5). Por outro lado, quando 1 x<
, vemos uma bolinha aberta. De fato, se a bola estivesse fechada, indicaria que, no 
ponto 1x = , teríamos duas imagens, 1 e 2, respectivamente, o que não acontece no 
caso de uma função. 
Figura 5– Gráfico da função 
1 se x 1
( )
2 se x>1
f x
ì £ïï=íïïî
 e tabelamento do gráfico de ( )f x
Para traçar o gráfico, tomando os valores 1 x< , colocamos na tabela acima (figura 5) 
o valor que possivelmente a imagem assumiria, caso não tivéssemos um buraco no gráfico, 
apenas para efeito de raciocínio. Para os demais valores, procedemos naturalmente. 
Para o item (b), podemos observar que o gráfico de 
2x se x 1
( )
2 se x>1
f x
ìï £ï=íïïî
 é 
descrito por duas funções. Para o lado esquerdo de 1, temos uma parábola. Para o 
lado direito, temos uma função constante. Procederemos de forma análoga ao item 
(a). Montamos as tabelas abaixo (figura 6), para os valores que a função assume 
16 Cá lcu lo I
no domínio, na condição 1x £ . No outro caso, como temos ( ) 2f x = se 1x> , 
concluímos que a bolinha neste ponto deve ser aberta. Na tabela, apresentamos o par 
ordenado (1,2) , apenas para nos auxiliar em termos de construção no gráfico. 
Figura 6– Gráfico da função
2x se x 1
( )
2 se x>1
f x
ìï £ï=íïïî
 e tabelamento do gráfico de ( )f x
Para o item (c) 
1 se x 1
( )
x+3 se x>1
x
f x
ì + £ïï=íï-ïî
, quando construímos as mesmas tabelas, 
perceberemos uma mudança, para valores de 1x> . Temos, então, a reta 3y x=- + .
Figura 7– Gráfico da função 
1 se x 1
( )
x+3 se x>1
x
f x
ì + £ïï=íï-ïî
 e tabelamento do gráfico de ( )f x .
Na figura 7, destacamos que, para 1 x< , do domínio da função, os 
valores podem se aproximar o quanto desejamos, contudo nunca assumem de 
fato o valor 1x = , para ( ) 3f x x=- + .
1.4 FUNÇÃO CRESCENTE E DECRESCENTE – PRINCIPAIS CONCEITOS
Passamos agora a descrever um comportamento importante no gráfico de 
funções.
17AULA 1 Tópico 1
D E F I N I Ç ã o 6
Uma função :f A B® , ( )y f x= é crescente em seu domínio, se 
1 2 ( ), ( ( )) f xx x Dom f x D" Î = e 1 2x x£ , tenhamos a condição 1 2( ) ( )f x f x£ . 
Por outro lado, uma função :f A B® é decrescente em seu domínio, se 
1 2 ( ), ( ( )) f xx x Dom f x D" Î = 
e 1 2x x£ . Então temos 1 2( ) ( )f x f x³ . 
Vejamos os exemplos das funções 
( ) 2 1f x x= + e 2( ) 1g x x= - plotadas no 
software Geogebra vista na figura 8. No gráfico 
do lado esquerdo da função ( ) 2 1f x x= + , 
quando um observador analisa seu 
comportamento, no sentido da esquerda para 
direita (sentido de crescimento do eixo das 
abscissas), podemos auferir a propriedade de 
crescimento dela. Por outro lado, a função 
2( ) 1g x x= - apresenta as duas propriedades, 
ou seja, para 0x £ a função decresce. Em 
seguida, para 0x> a mesma tende a crescer. 
Figura 8– Crescimento e decrescimento das funções ( ) 2 1f x x= + e 2( ) 1g x x= -
Salientamos que, tomando a função 2( ) 1g x x= - , que possui um domínio em 
A= e imagem descrita por 2Im( ( )) { tal que y=x 1}g x y= - Ì , podemos restringir 
V o c ê s a b i a?
O software GeoGebra é um programa 
livre de geometria dinâmica criado por 
Markus Hohenwarter para ser utilizado 
em ambiente de sala de aula. O projeto 
iniciou em 2001 na University of Salzburg 
e tem continuado o desenvolvimento na 
Florida Atlantic University. O GeoGebra 
é escrito em Java e assim está disponível 
em múltiplas plataformas. Para maiores 
informações ver página: http://
pt.wikipedia.org/wiki/Geogebra
18 Cá lcu lo I
seu domínio, bastando para isso definir uma nova função 2( ) 1h x x= - , para o domínio [ 1,1]A= - Ì . 
Neste novo domínio de restrição, podemos concluir a partir do gráfico que 2( ) 1h x x= - , : [ 1,1]h - ®  
não será crescente muito menos decrescente. 
Nesta parte inicial, discutimos de modo mais aprofundado algumas situações que envolvem 
funções :f ®  do tipo ( )f x ax b= + (afim), em que 0a ¹ ( ,a bÎ ), e funções polinomiais 
do segundo grau denotadas por 2( )f x ax bx c= + + (quadrática), nas quais 0a ¹ ( , ,a b c Î ). No 
primeiro caso, encontramos a demonstração em Lima (2004) que seu gráfico deve ser uma reta, 
enquanto que o lugar geométrico da segunda função é uma parábola. 
Encerramos esta seção com uma rápida revisão de algumas propriedades relacionadas a 
funções, de modo especial, para funções afim e quadrática. Na seção seguinte, abordaremos outras 
propriedades interessantes.
19AULA 1 Tópico 2
TÓPICO 2 Funções injetoras, sobrejetoras, bijetoras, inversa e composta
ObjetivO
• Estudar, resumidamente, as definições for-
mais e as propriedades das funções injetoras, 
sobrejetoras, bijetoras, composta e inversa
No tópico anterior, apresentamos o conceito fundamental em Matemática de função. Agora descrevemos algumas propriedades formais que podem ser observadas a partir do comportamento do 
gráfico deste objeto conceitual. 
2.1 FUNÇÃO INJETORA, SOBREJETORA E BIJETORA
2.1.1 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO INJETORA
D E F I N I Ç ã o 7
Dizemos que uma função :f A B® é injetora se, para qualquer 
1 2 1 2( ) ( )x x f x f x¹ ® ¹ , equivalentemente, tivermos 1 2 1 2( ) ( )f x f x x x= ® = . 
2.1.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO SOBREJETORA
D E F I N I Ç ã o 8
Dizemos que uma função :f A B® é sobrejetora se, para qualquer elemento 
y BÎ , obtemos um elemento x AÎ , tal que ( )y f x= . Para que a função seja 
sobrejetora, é necessário, e suficiente, que tenhamos a condição ( )f A B= .
20 Cá lcu lo I
Podemos ver o seguinte exemplo: a função ( )f x ax b= + tanto é 
injetora como sobrejetora. De fato, quando impomos uma das condições 
acima 
0
1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( )
a
f x f x ax b ax b ax ax x x
¹
= « + = + « = « = , 
logo a função ( )f x ax b= + é injetiva. Para que ela seja sobrejetora, 
necessitamos verificar a condição ( )f A B= . Reparemos que, neste caso 
:
x ax+b
f ®
®
 
, temos B = e assim, dado um elemento arbitrário y Î , 
basta tomar 
y b
x
a
-
= Î , para verificar sua sobrejetividade do seguinte modo: 
( ) ( ) ( )
y b y b
f x f a b y b b y f x y
a a
æ ö- - ÷ç= = + = - + = \ =÷ç ÷çè ø
.
Além dessas duas, vamos citar mais uma definição formal.
2.1.3 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO BIJETIVA
D E F I N I Ç ã o 9
Uma função :f A B® é bijetiva ou bijetora, quando possui as propriedades 
de injetividade e sobrejetividade ao mesmo tempo.
Salientamos alguns equívocos recorrentes quando deparamos com esta 
definição de bijeção. O primeiro refere-se à dificuldade do aluno compreender 
que pode existir função que é injetora, mas não é sobrejetora e, reciprocamente. 
Segundo, não podemos falar apenas de relação injetora ou sobrejetora. De fato, 
quando falamos destas propriedades, a fortiori, precisamos ter uma função. 
Por exemplo, Lima (2006, p. 15) escreve a função :f ®  descrita por 
2( )f x x= . Assim, para x Î , f não é injetiva. Temos 2 2( 3) ( 3) 9 (3) (3)f f- = - = = = , 
embora 3 3- ¹ . Também não é sobrejetora, uma vez que não existe x Î tal que 
2( ) 1f x x= =- Î . Lima (2006, p. 16) exibe a função :g ®  descrita por 
( ) 3 1g x x= + que é injetora, entretanto não sobrejetora. Verifique! 
21AULA 1 Tópico 2
Nas próximas lições, estudaremos outras funções, como a função exponencial 
e as funções trigonométricas, entretanto, por um meio intuitivo, observando a figura9, podemos extrair conclusões a respeito da propriedade injetora e sobrejetora. 
Figura 9– Sobrejetividade, Injetividade e Bijetividade de algumas funções
Vejamos outras propriedades e definições formais referentes a funções e ao 
comportamento do gráfico de funções. 
2.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO COMPOSTA E INVERSA
2.2.1 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO COMPOSTA
D E F I N I Ç ã o 1 0
Sejam duas funções :f A B® e :g B C® funções tais que o domínio de g 
é igual ao contradomínio da função f. Neste caso, podemos definir a função 
composta ( ) ( ( )) :g f x g f x A C= ® que consiste em aplicar primeiro a 
função ( )f x y= e depois a função ( ) ( ( ))g y g f x= . 
22 Cá lcu lo I
Figura 10– Representação de uma função composta usando diagramas
Vejamos um exemplo de composição de funções.
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Considerando as funções ( )f x x= , 2( )g x x= e 
1
( )
1
h x
x
=
-
, determinar 
os domínios e as expressões analíticas de ; f g ; h f ; f hg f    .
SOLUÇÃO:
Reparamos que ( )f xD
+= , ( )g xD = e ( ) {1}h xD = - . Agora vemos 
que ( )2 2( ) ( )g f x g x x x x= = = = , mas temos que ( )f xD += , assim, 
( )g f x x= e g fD
+=

 . Por outro lado, 2 2f g (x)=f(x ) x x= = , com ( )g xD = 
e f gD =  . No caso de 
1
h f(x)=h( x)
x 1
=
-
 , devemos ter como domínio para 
( )f xx D
+Î = , com x 1 0 1x- ¹ « ¹ e x +Î . Assim, h f {1}D
+= -

 . Por 
fim, temos a função 
1 1
f h(x)=f( )
1 1x x
=
- -
 , observando que ( ) {1}h xD = - , 
mas agora para 
1
f h(x)
1x
=
-
 , precisamos ter que 1 0x- > , assim podemos 
escrever que (1, )f hD = +¥ .
2.2.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO INVERSA
D E F I N I Ç ã o 1 1
Dada uma função :f A B® , consideremos um conjunto Y BÌ . A imagem 
inversa de Y pela função :f A B® é o conjunto 1( )f Y- , formado por todos os 
pontos x AÎ tais que ( )f x YÎ . Assim, podemos escrever de modo simplificado 
que uma função inversa é dado por 1( ) { ; f(x) Y}f Y x A- = Î Î .
23AULA 1 Tópico 2
Repare que, se :f A B® admite inversa, dizemos esta função será 
invertível, e a denotaremos por 1 :f B A- ® . Na figura 11 abaixo, observamos uma 
propriedade importante do comportamento do seu gráfico. 
Figura 11– Gráfico de uma função inversa
EXEMPLOS
Vejamos por exemplo o comportamento do gráfico de 3( )f x x= e 1 3( )f x x- = , 
2( )g x x= e 1( )g x x- = , para 0x> . Nos dois casos, vemos o eixo de simetria y x= . 
Figura 12– Gráficos das funções inversas de 3( )f x x= e 2( )g x x=
Formalmente, dada uma função ( ): f xf D ®  e ( )f xA DÌ um subconjunto 
desta função. Podemos definir uma função :g A®  , dada por ( ) ( ) xg x f x A= " Î . 
Tais funções possuem a mesma expressão analítica, entretanto ( ) ( )g x f xA D D= Ì . 
Neste caso, dizemos que ( ): f xf D ®  é uma extensão da função :g A®  . Lima 
(2006, p. 21) menciona que muitos problemas matemáticos importantes se reduzem 
a estender um ou várias funções de tal modo que as extensões satisfaçam certas 
condições. 
24 Cá lcu lo I
O exemplo mais conhecido é o da função 
1
( )f x
x
= , que possui seu 
domínio dado por {0}A= - . Mas podemos tomar a função 
1
( )g x
x
= , na 
qual [1,2] {0}x AÎ Ì = - que é uma restrição desta. Por outro lado, podemos, 
em um sentido contrário, estender o domínio da função 
1
( )f x
x
= , a partir de 
1
se x {0}
( )
1 se x=0
h x x
ìïï Î -ï=íïïïî

. 
Vimos algumas propriedades formais sobre funções e sua representação 
geométrica. Dentre as inúmeras propriedades que podem ser exploradas, 
abordaremos ainda outras que serão usadas nas aulas seguintes.
Nesta parte inicial, recordamos alguns conceitos importantes. Na seção 
seguinte, abordaremos outras funções importantes que sempre devem fazer parte 
do repertório de um conhecimento profundo para o professor. 
25AULA 1 Tópico 3
TÓPICO 3 Outras propriedadese teoremas
ObjetivOs
• Apresentar a função modular
• Apresentar a função exponencial e loga-
rítmica
No tópico anterior vimos as principais características de funções injetoras, sobrejetoras, bijetoras, inversas e compostas. Neste tópico iremos abordar as principais características de função modular, exponencial e logarítma.
3.1 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO MODULAR
D E F I N I Ç ã o 1 2
A função módulo ( )f x x= pode ser encarada como uma função definida 
por sentenças do tipo 
 se x 0
( )
 se x<0
x
f x
x
ì ³ïï=íï-ïî
. Vemos seu gráfico na figura 13 (I). 
Figura 13– função ( )f x x= e função 2( ) 3 2g x x x= - +
Por outro lado, por uma via que requer mais trabalho, podemos construir o 
gráfico de 2( ) 3 2g x x x= - + . Nesse caso, inferimos que 2 3 2 ( 2)( 1)x x x x- + = - - , 
26 Cá lcu lo I
assim ( ) ( 2)( 1)g x x x= - - . Para aplicar a definição da função módula à expressão 
( 2)( 1)x x- - , necessitamos fazer seu estudo de sinal como simplificamos na figura 14.
Figura 14– Estudo do sinal da função g(x)
Agora como sabemos o comportamento do sinal da expressão, podemos descrevê-la 
por meio das sentenças 
( )
2
2
3 2 se x 1 ou x>2
( ) ( 2)( 1)
3 2 se 1<x 2
x x
g x x x
x x
ìï - + £ïï= - - =íï- - + £ïïî
. 
Passaremos agora ao estudo da função exponencial e da função logarítmica.
3.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL E LOGARITMO
3.2.1 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL
D E F I N I Ç ã o 1 3
Chama-se função exponencial de base ‘a’ e 1a ¹ a correspondência 
:
 x x
f
a
® 

. 
Quando é referida a função sem especificar a base, subtende-se que a base é 
‘e’ e neste caso a função é dada por ( ) xf x e= . 
Apresentamos de modo resumido algumas propriedades dessa função. 
Figura 15– Gráfico da função exponencial
27AULA 1 Tópico 3
Figura 16– Gráfico da função exponencial
Vejamos, por exemplo, os gráficos das funções ( ) 5xf x = e 
1
( )
7
x
h x
æ ö÷ç= ÷ç ÷çè ø
. 
Figura 17– Exemplos de Gráficos da função exponencial
3.2.2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO LOGARITMO
D E F I N I Ç ã o 1 4
Chama-se logaritmo de b ( 0)b> na base a ( e 1)a a+Î ¹ ao expoente 
‘y’ que é preciso elevar a base ‘a’ para se obter ‘b’. Denotamos por 
log ya b y a b= Û = . Chama-se a função logarítmica de base ‘a’, com 
0a> e 1a ¹ , a correspondência 
:
 x loga
g
x
+ ® 

.
28 Cá lcu lo I
Notamos que, em qualquer base, 
log 1 0a = , porque 
0 1a = , nas condições acima, 
e log 1a a = , porque 
1a a= . Podemos recordar 
algumas propriedades já estudadas no contexto 
escolar, tais como log e loga b yaa b a y= = . 
No caso em que a e= (número de Nepper 
descoberto pelo matemático John Nappier 
(1550-1617)), escrevemos ln em vez de log .
São conhecidas também as seguintes 
propriedades. Sejam , 0x y> e 1a ¹ temos:
 1) log ( ) log ( ) log ( )a a axy x y= + 2) log ( ) log ( ) log ( )a a a
x
x y
y
= - 
 3) log ( ) log ( )ya ax y x= × 4) 
log
log
log
b
a
b
c
c
a
=
Abaixo apresentamos de modo resumido algumas de suas propriedades que 
podem ser observadas no gráfico. 
Figura 18– Gráfico da função logarítmica
Figura 19– Gráfico da função logarítmica
V o c ê s a b i a?
John Napier nasceu em Edimburgo em 
1550 e morreu em 4 de abril de 1617. Foi 
um matemático, astrólogo e teólogo escocês.
29AULA 1 Tópico 3
Os gráficos das seguintes funções 3( ) logf x x= e 1
5
( ) logh x x= apresentam 
um comportamento semelhante ao que exibimos nas figuras 18 e 19, respectivamente. 
Após esta breve abordagem do conceito de funções exponenciais e logarítmicas, 
estudaremos as funções trigonométricas. 
30 Cá lcu lo I
TÓPICO 4 Funções trigonométricasObjetivO
• Introduzir principais propriedades de funções 
trigonométricas
No que segue, definiremos as funções (seno, cosseno e tangente) utilizando um círculo de raio r. Seja um ponto ( , )P x y um ponto qualquer da circunferência, e designe-se por r a distância da origem (0,0)O ao ponto 
( , )P x y , e por q o ângulo formado que o vetor OP

 forma com o eixo positivo Ox. 
Entre os três números descritos x, y e r, teremos as relações descritas na figura 20.Figura 20– Relações trigonométricas: , cos tansen eq q q
Acrescentamos que a cada valor do ângulo q corresponde apenas a um 
e somente um valor de cada uma das três razões consideradas acima, as quais, 
por este fato, são funções do ângulo q . Vejamos de modo breve algumas de suas 
propriedades e suas respectivas definições. 
4.1 FUNÇÃO SENO ( ) ( )f x sen x=
D E F I N I Ç ã o 1 5
Definimos a função seno ( ) ( )f x sen x= como sendo a razão entre o cateto oposto 
(segmento de medida y) e a hipotenusa OP do triângulo (figura 20).
31AULA 1 Tópico 4
O Resumo das principais características da função seno pode ser visto na figura 21.
Figura 21– Características da função seno
Para a função ( )y Sen x= , podemos calcular os seguintes valores: 
3
(0) 0, ( ) 1, ( ) 0; ( ) 1, (2 ) 0
2 2
Sen Sen Sen Sen Sen
p p
p p= = = =- = . Novamente, a partir 
do gráfico (figura 20), vemos que ( ) 1Sen x £ . Repare que, nos trechos de 0
2
p
q£ £ 
e 
3
2
2
p
q p£ £ , a função é crescente. Por outro lado, nos trechos 
3
2 2
p p
q£ £ , ela 
decresce.
4.2 FUNÇÃO COSSENO ( ) cos( )f x x=
D E F I N I Ç ã o 1 6
Definimos a função cosseno ( ) cos( )f x x= como sendo a razão entre o cateto adjacente 
(segmento de medida x) e a hipotenusa OP do triângulo (figura 20). 
O Resumo das principais características da função cosseno pode ser visto na figura 22.
Figura 22– Características da função cosseno
32 Cá lcu lo I
No gráfico da função cosseno acima, observamos que ( )y Cos x= é uma 
função limitada entre 1 ( ) 1Cos x- £ £ , periódica e assume valores positivos e 
negativos, quando x varia de 00 até 2p . Podemos observar que ( )y Cos x= não é 
injetora, uma vez que 1 (0) (2 )Cos Cos p= = . 
Vemos também, a partir do mesmo gráfico, que, entre 0 q p£ £ , a função 
( )y Cos x= decresce e, entre 2p q p£ £ , a função é crescente. Depois, no período 
de 2p , o mesmo comportamento volta a se repetir. Observe o eixo Ox. 
4.3 TEOREMA
T E O R E M A
Existe um único par de funções definidas em  , indicada por sen e cos, sa-
tisfazendo as propriedades:
a) (0) 0Sen = e (0) 1Cos =
b) Quaisquer que sejam os reais ,a bÎ , temos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Sen a b Sen a Cos b Sen b Cos a- = -
c) Quaisquer que sejam os reais ,a bÎ , temos 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )Cos a b Cos a Cos b Sen b Sen a- = -
d) Existe 0r > tal que 0 ( ) ( ) para 0<x<rSen x x Tg x< < < .
Por fim, temos a função tangente descrita abaixo. 
4.4 FUNÇÃO TANGENTE ( ) tan( )f x x=
D E F I N I Ç ã o 1 7
Definimos a função tangente ( ) tan( )f x x= como sendo a razão entre o 
cateto oposto (segmento de medida y) e o cateto adjacente (segmento de 
medida x) (figura 20). 
33AULA 1 Tópico 4
O Resumo das principais características da função tangente pode ser visto na figura 23.
Figura 23– Características da função tangente
A partir destas funções, definimos as funções 
cos( )
cot ( )
( )
x
g x
sen x
= , em que temos 
um domínio dado por { tal que sen(x) 0}={ tal que x , k }x x k pÎ ¹ Î ¹ × Î   . 
Definimos também as funções 
1
sec( )
cos( )
x
x
= , de modo que seu domínio será 
descrito por { tal que cos(x) 0}={x tal que x onde k }
2
x k
p
Î ¹ Î ¹ × Î   . Na 
figura 24, exibimos os gráficos destas funções. 
Figura 24– Gráficos da função cotg x e sec x
Por último temos a função 
1
cossec( )
( )
x
sen x
= , assim, seu domínio será dado 
por { tal que sen(x) 0}={x tal que x onde k }x k pÎ ¹ Î ¹ × Î   . Podemos ver 
seu gráfico na figura 25.
Figura 25– Gráficos da função cossec x
34 Cá lcu lo I
Nas ilustrações abaixo, vemos dois exemplos de funções trigonométricas descritas por 
( ) ( ) cos( )f x sen x x= + e ( ) ( ) tan( )g x sen x x= + e que podem ser visualizadas na figura 26.
Figura 26– gráficos das funções ( ) ( ) cos( )f x sen x x= + e ( ) ( ) tan( )g x sen x x= +
Nesta aula inicial, trouxemos, de forma breve, algumas propriedades sobre 
funções. Certamente outras não foram contempladas. Sugerimos, então, que você, 
aluno, desenvolva uma lista de propriedades ou conteúdos relacionados ao estudo 
de funções que poderão ser explorados em outros momentos pelo professor em sala 
de aula com seus colegas. Na próxima aula, estudaremos a noção de limite. Quanto 
mais você souber sobre a noção de função, mais facilmente poderá aprender aquilo 
que virá em seguida. Por isso, estude!
35AULA 1 Tópico 4
aT I V I D A D E D E A P R O F U N D A M E N T O
1. Dadas as funções f e g, determine o domínio da função composta 
( ( )) e f(g(x))g f x nos casos:
a) =( )f x x e = -( ) 1g x x
b) = -( ) 2 3f x x e =( )g x x
c) =( )f x x e = -2( ) 1g x x
2. Analise as afirmações a seguir e marque (V) ou (F) nos parênteses. Em 
seguida, justifique as respostas.
a) Uma função pode ser injetora e não ser sobrejetora ( )
b) Uma função pode ser sobrejetora e não ser injetora ( )
c) Uma função pode não ser injetora e não ser sobrejetora ( )
d) Uma função pode ser bijetora e ser constante ( )
e) Uma função bijetora necessariamente será constante ( )
3. Dadas as funções abaixo, calcule suas inversas denotadas por -1f .
a) = + -2( ) 2 3f x x x b) = -( ) 2 3f x x
4. Determine o domínio das funções abaixo.
a) = - 2( ) 4f x x b) 
-
=
-
2 1
( )
1
xh x
x 
c) = +2( ) ( 1)f x Ln x
36 Cá lcu lo I
AULA 2
Limite e continuidade 
de funções em uma 
variável real
Olá aluno(a),
Nesta aula, estudaremos dois conceitos (limite e continuidade) que necessitam de 
uma perspectiva dinâmica de compreensão. O motivo é a sua ligação direta com 
um processo de aproximação da imagem de uma função, de tendência do seu 
comportamento, de estabilidade da imagem da função ao decorrer do tempo.
Objetivos
• Conhecer a noção de limite de funções em uma variável real
• Compreender de forma intuitiva e formal a definição de limite de funções em 
uma variável real
• Estudar a noção de continuidade de funções 
• Descrever algumas propriedades e teoremas básicos
37AULA 2 Tópico 1
TÓPICO 1 Definição formal de limite e continuidade de funções em 
uma variável real
ObjetivOs
• Estudar a noção de limite de uma função
• Aprender o conceito de limite e de con-
tinuidade de uma função
A pedra angular do Cálculo é assentada no conceito de limite. Tal conceito necessitou de séculos para atingir a forma com que se apresenta nos livros didáticos. Neste tópico, vamos procurar entender como a noção de limite foi 
sendo construída, ainda que intuitivamente, e a importância que esse conceito adquire 
hoje no estudo da Matemática. 
1.1 NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Consideremos o gráfico representado na figura 1. Podemos perceber a trajetória 
descrita, pelo gráfico da função ( )y f x= , sobre um domínio ( ( ))Dom f x = . Em 
alguns trechos, necessariamente, existem interrupções, cortes e saltos. Podemos 
identificar, inclusive, alguns buracos.
Figura 1– Representação do comportamento de uma função
Podemos observar, ainda, ‘saltos’ ou ‘rupturas’ nos pontos 3 ; x=0x =- , 
38 Cá lcu lo I
em que ocorrem as bolas abertas, significando que nestas extremidades o valor não é 
atingido e/ou assumido pela função. Por outro lado, nos pontos 2 ; x=2 ; x=4x =- , 
não temos este problema, pois não existem interrupções no gráfico. 
Vamos, então, analisar mais detidamente uma situação em que não temos 
ruptura no gráfico de uma função ( )y f x= (no gráfico (I), figura 2). Observamos que, 
considerando o ponto ( ( ))x p Dom f x= Î e alguns valores de tal que x<px Î , 
quando tomamos valores arbitrariamente próximos à esquerda do ponto x p= , 
como consequência, aproximamos as imagens ( )y f x= paulatinamente para o ponto 
( )f p que pertence ao eixo das ordenadas. Da mesma forma, considerando valores 
arbitrariamente próximos à direita de x p= , tal que p<x , consequentemente 
aproximamos as imagens ( )y f x= , paulatinamente, para o ponto ( )f p . 
Por outro lado, a mesma propriedade não se verifica no gráfico descrito 
em (II), ainda na figura 2. De fato, se realizamosa mesma aproximação do ponto 
 tal que p<xx Î (à direita deste ponto), vemos que as imagens ( )y f x= , 
paulatinamente se aproximam do ponto ( )f p . Contudo, se tomamos a aproximação 
feita pela esquerda, para x p< , encontramos um ponto no gráfico (bola aberta), 
uma espécie de ‘ruptura’, ‘salto’ ou ‘interrupção’, que impede nosso processo de 
aproximação pelo lado esquerdo. 
Figura 2– Comportamento do limite
Podemos perceber, de forma intuitiva, que, no ponto ( ( ))x p Dom f x= Î , estes 
dois gráficos diferem nas proximidades deste ponto pelos seguintes motivos: (i) em (I) 
(figura 2), podemos nos aproximar de ( ( ))x p Dom f x= Î pelos dois lados, e as imagens 
se aproximam de ( )f p em ambos os casos; (ii) em (II), dependendo do lado em que nos 
aproximamos do ponto, em um caso, as imagens caminham progressivamente na direção 
de ( )f p , enquanto em outro, as imagens se aproximam de L, mas os valores não são 
assumidos, uma vez que a bolinha aberta representa a desigualdade restrita < .
39AULA 2 Tópico 1
Existe uma definição formal que descreve todo o processo de aproximação 
considerado acima, chamado de Limite de uma Função. 
1.2 DEFINIÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO
D E F I N I Ç ã o 1
Seja ( )y f x= definida sobre algum intervalo aberto que contém o número 
a , exceto possivelmente o próprio a . Então, dizemos que o limite de ( )f x 
vale L, quando x se aproxima, ou quando x tende a “ a ”, e escrevemos 
( )x aLim f x L® = se, para todo número 0e> , há um número correspondente 
0d> tal que ( )x a f x Ld e- < ® - < .
Lima (2006, p. 196) fornece uma 
interpretação dinâmica deste processo 
matemático ao mencionar, em linguagem 
mais simples, que é possível tornar ( )f x 
arbitrariamente próximo de L, desde que se tome 
( )f xx DÎ suficientemente próximo de x a= . 
Podemos interpretá-la na figura 3. 
Figura 3– Interpretação geométrica de limites – 0e>
(épsilon)/ 0d>(delta)
Após essa pequena orientação, 
vamos considerar o gráfico seguinte da função ( ) 2 1f x x= + , descrito em (I) – 
figura 4. Vemos que, quanto mais nos aproximamos de 2, pela esquerda e pela 
direita, mais a imagem desta função se aproxima do ponto 5, no eixo Oy . Repare 
que 2 ( ( ))x Dom f x= Î . Contudo, podemos retirar este ponto do domínio de 
At e n ç ã o !
A definição formal de limite de uma 
função, em geral, causa muita confusão 
e pouca compreensão. Lembre-se de 
que certas definições levaram séculos 
e séculos para serem compreendidas e 
formalizadas pelos próprios matemáticos. 
Portanto, não se sinta frustrado se 
você não conseguir compreender 
imediatamente tudo o que está sendo 
visto. Em geral, a compreensão desta 
definição, e de outras, requer algum 
tempo de familiarização com os conceitos 
matemáticos.
40 Cá lcu lo I
( ) 2 1f x x= + . Assim, passamos a ter o gráfico 
descrito em (II). Neste caso, se realizamos 
o mesmo processo de aproximação, pela 
esquerda e pela direita do ponto 2x = , agora 
para 2x ¹ , sua imagem se aproxima, mas não 
assume o valor anterior que era justamente 
5y = . 
Figura 4– Gráfico de ( ) 2 1f x x= +
O interessante é que, conforme as definições, neste caso 2a = , não importa se 
este ponto pertence ou não ao domínio da função, o que importa no caso do limite 
é a aproximação. Em ambos os casos, temos 2 ( ) 5xLim f x® = . Entretanto, no caso (I), 
temos um dado a mais, (2) 5f = . Já no caso (II), não existe (2)f . 
Em termos de cálculo do limite, não importa se a função está ou não definida 
no ponto para o qual realizamos o processo de aproximação. Comparando os dois 
casos ilustrados acima (figura 4), observamos que, no caso (I), não há salto ou ruptura 
em seu gráfico. Desse fato decorre uma propriedade comum a diversas funções, que, 
v o c ê s a b i a?
Salientamos as considerações inerentes 
à História da Matemática feitas por 
Cajori (1952, p. 260) quando relata que 
o matemático W. H. Young escrevia o 
símbolo de limites por ( )x aLt f x= . Por 
outro lado, Bos (1985, p. 48) explica que 
Augustain-Louis Cauchy (1789-1857), 
em sua obra intitulada Cours d´Analyse, 
empregou a notação ‘ 0 ( )iLim f x i® + ’ 
para representar este conceito. 
Como não é relativamente do 
conhecimento de muitos os motivos 
pelos quais este matemático empregou 
sua notação com letra ‘L’ maiúscula, 
diferentemente da que encontramos 
nos livros de Cálculo ( lim ( )f x ) 
que empregam ‘l’ (letra minúscula), 
preservaremos a notação de Cauchy por 
todo o curso por um motivo ligado à 
importância da História da Matemática. 
41AULA 2 Tópico 1
em Cálculo, chamamos Continuidade, definida como veremos a seguir.
1.3 DEFINIÇÃO DE CONTINUIDADE DE UMA FUNÇÃO
D E F I N I Ç ã o 2
Seja uma função do tipo ( )y f x= , dizemos que uma função é contí-
nua em x a= se ( ) ( )x aLim f x f a® = . Esta condição pode ser detalhada 
nas seguintes verificações necessárias para podermos afirmar que uma 
função é contínua:
 → Existe ( )f a .
 → Existe o limite ( ) ( ) ( )x a x a x aLim f x Lim f x Lim f x+ -® ® ®« = .
 → ( ) ( )x aLim f x f a® = .
1.4 DEFINIÇÃO DE LIMITE LATERAL
Nas condições acima de nossa definição formal de continuidade, precisamos 
definir o sentido formal e o intuitivo/geométrico para as seguintes notações 
( ) e ( )
x a x a
Lim f x Lim f x- +® ® . Quando tentamos calcular um limite e analisar o 
comportamento da imagem de uma função, realizamos uma aproximação no 
domínio da função para o ponto desejado x a= , que, necessariamente, a partir da 
definição, não precisa pertencer ao domínio da função. Na notação acima, temos 
a expressão x a-® , a qual significa que realizamos a aproximação do ponto “a” 
pela esquerda, para valores x a< . Por outro lado, no outro limite, temos a seguinte 
aproximação no eixo Ox que denotamos por x a+® , que significa que realizamos 
a aproximação do ponto “a” pela direita, para valores a x< (ver figura 5).
Figura 5– Comportamento de aproximação na reta real
Assim como fornecemos uma interpretação geométrica para a definição 
formal de limites por épsilon e delta ( , )e d , podemos interpretar os limites laterais 
42 Cá lcu lo I
( ) e ( )
x c x c
Lim f x Lim f x+ -® ® segundo a figura 6. Quando verificamos que L M= , 
concluímos que o limite existe no ponto x c= . 
Figura 6– Interpretação geométrica dos limites laterais 
Outro comentário que compreendemos ser necessário diz respeito a não 
distinção por parte dos livros de Cálculo, mesmo que de modo intuitivo, dos termos 
‘salto’, ‘ruptura’, ‘interrupção’, que são explicativos do fenômeno da continuidade 
de uma função. Vejamos os gráficos na figura 7 no sentido de compreender melhor 
a distinção que tencionamos estabelecer. Por exemplo, quando tomamos a função 
2( ) 4f x x= - , observando o gráfico dela, podemos prever os valores possíveis 
para os limites laterais que denotamos na figura 7. 
Figura 7– Gráfico de 2( ) 4f x x= -
Agora, na próxima ilustração, consideramos as funções
 (i) ( ) 2 1f x x= + , (ii) 
2 1 se x 1
( )
0 se x=1
x
f x
ì + ¹ïï=íïïî
 e (iii) 
2 1 se x 1
( )
2 se x<1
x
f x
x
ì + >ïï=íï-ïî
. 
Com havíamos mencionado, quando recorremos aos livros de Cálculo, 
observamos o tratamento intuitivo fornecido ao fenômeno local que chamamos de 
continuidade. Com este tipo de raciocínio induzido por eles, podemos dizer, baseando-
43AULA 2 Tópico 1
se apenas no gráfico, que as funções (ii) e (iii) são descontínuas, pois apresentam 
‘salto’, ‘ruptura’, ou ainda uma ‘interrupção’ nos seus respectivos gráficos. Por esta 
via, podemos declarar que apenas o gráfico (i) apresenta continuidade no ponto 
1x = , pois podemos percorrer com a ponta da caneta por todo seu gráfico, sem 
precisar levantar a ponta da caneta de seu gráfico (cf. figura 8).
Figura 8– Gráficos de ( ) 2 1, ( ) 0 ( ) 2f x x f x e f x x= + = =-
Por outro lado, quando analisamos o gráfico (ii), necessitamos retirar a ponta 
da caneta do gráfico no ponto (1,3) , e observamos uma pequena‘interrupção’, uma 
‘interrupção’ no gráfico, entretanto o gráfico continua com a mesma trajetória. 
Já no caso do gráfico (iii), além do ter de retirar, vemos uma mudança de 
trajetória do gráfico. Neste caso, temos um ‘salto’ no gráfico. Assim, analiticamente, 
no primeiro caso, temos (i) ( )1 1( ) 2 1 2 1 1 3 (1)x xLim f x Lim x f® ®= + = × + = = . No 
caso (ii) em que temos uma pequena ‘interrupção’, teremos que o limite existe no 
ponto, todavia não satisfaz a terceira condição de continuidade 1 ( ) (1)xLim f x f® = .
De fato, em (ii), temos
1 1 1 1
( ) ( ) (2 1) (2 1) 3
x x x x
Lim f x Lim f x Lim x Lim x+ - + -® ® ® ®= « + = + = , todavia, 
a partir do gráfico, 1(1) 0 3 ( )xf Lim f x®= ¹ = . O caso (iii) é o mais grave, no 
sentido de que nenhuma das condições que caracterizam a continuidade 
podem ser verificadas. De fato, observamos pelo gráfico que não existe 
um valor que seja a imagem do ponto 1x = , por meio dos gráficos acima. 
Assim, não existe (1)f . Além disso, quando tentamos calcular o limite 
- - + +
< >
® ® ® ®
= - =- × =- ¹ = + =
1 1
1 1 1 1
( ) ( 2 ) 2 1 2 3 (2 1) ( )
x x
x x x x
Lim f x Lim x Lim x Lim f x .
Deste modo, ao significado pouco claro designado pelos livros didáticos, 
acrescemos ao sentido da descontinuidade as equivalências: 
Quando observamos uma ‘interrupção’ ou pequena ‘ruptura’ 
no gráfico, temos descontinuidade, entretanto existe o limite 
( ) ( ) ( )x a x a x aLim f x Lim f x Lim f x+ -® ® ®« = .
44 Cá lcu lo I
Quando observamos um ‘salto’ no gráfico de uma função, temos uma 
descontinuidade e o limite não existe. 
Vejamos agora alguns teoremas relacionados com a noção de limite.
1.5 TEOREMAS DE LIMITE 
T e o r e m a 1
Sejam ,a bÎ , então ( )x aLim c c® = . Ou seja, o limite de uma constante é a 
própria constante.
T e o r e m a 2
Sejam , ,a b m Î , então ( )x aLim mx b m a b® + = × + .
T e o r e m a 3
Sejam os seguintes limites ( )x aLim f x L® = e ( )x aLim g x M® = , então pode-
mos afirmar que
(i) [ ( ) ( )]x aLim f x g x L M® ± = ±
(ii) [ ( ) ( )]x aLim f x g x L M® × = ×
(iii) 
( )
[ ]
( )x a
f x L
Lim
g x M®
= , admitindo que 0M ¹ .
(iv) ( )x aLim c f x c L® × = ×
(v) ( )n nx aLim x a® = , onde n +Î
(vi) ( )( ) n nx aLim f x L® = , sabendo que ( )x aLim f x L® = existe. 
(vii) n nx aLim x a® = , onde 0a> e 0n> (inteiro positivo) ou 0a £ e 
0n< (inteiro ímpar).
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:
a) 2 2(5 ) 5 ( ) 5 2 10.x xLim x Lim x® ®= × = × =
b) 2 22 2 2 2
2
2
( 4 1) ( ) (4 ) (1)
2 4 ( ) 1 4 4 2 1 3.
x x x x
x
Lim x x Lim x Lim x Lim
Lim x
® ® ® ®
®
- + = - + =
= - + = - × + =-
c) 2 2 2 2(2 3) (2 ) (3) 2 ( ) 3 2 2 3 7.x x x xLim x Lim x Lim Lim x® ® ® ®+ = + = × + = × + =
d) 33
3
( 2)2 1
.
2 ( 2) 5
x
x
x
Lim xx
Lim
x Lim x
®
®
®
--
= =
+ +
45AULA 2 Tópico 1
e) 
22
2
2
2 2
( 1)1 4 1 3
.
1 ( 1) ( 1) 3
x
x
x x
Lim xx
Lim
x Lim x Lim x
®
®
® ®
-- -
= = =
+ + +
f) 1 11 2 2 2
1 1
( 2) ( 2)2 3 3 3
.
21 3 43 ( 3 ) ( 3 )
x x
x
x x
Lim x Lim xx
Lim
x x Lim x x Lim x x
® ®
®
® ®
+ ++
= = = = =
++ + +
Descrevemos a seguir, resumidamente, algumas dicas que podem auxiliar no 
cálculo de limites.
a) Fatoração: às vezes, é necessário fazer a divisão de polinômios.
Exemplo: 
3
0 02
0
1x x
x x
Lim Lim
x® ®
= = , pois 0 mas x 0x ® ¹ . Ou, no caso 
2 23
2 2 22
( 2 1)( 2) ( 2 1)3 2 9
4 ( 2)( 2) ( 2) 4x x x
x x x x xx x
Lim Lim Lim
x x x x®- ®- ®-
- + + - +- +
= = =-
- - + -
.
b) Racionalização: é necessário reescrever os limites, multiplicando 
numerador e denominador pelo conjugado.
Exemplo:
 
0 0 0
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 ( 2 2)x x x
x x x x
Lim Lim Lim
x x x x x® ® ®
+ - + - + + + -
= × = =
+ + + +
0
0
1 1
1( 2 2) 2 2
x
xLim x
¹
®= =+ +
.
c) Substituição de variáveis: em alguns casos, é preciso substituir variáveis 
para achar o limite.
Exemplo:
Calcule o limite:
3
1
1
1x
x
Lim
x®
-
-
.
Observamos que 
1 1
6 2 3 3 23 323 2 e t e tx x x x t x t x x×= = \ = = « = = . 
Portanto, 
23
1 1 3
1 1
11x x
x t
Lim Lim
tx® ®
- -
=
--
. Contudo, quando passamos o 
limite para outra variável, não podemos mais usar 1x ® . Passamos a trabalhar 
com a variável t, observando que 6 6 66t 1 t 1 t 1x t= ® \ ® Þ = ® . Segue, então, 
que 
2
1 1 13 2 2
( 1)( 1) ( 1)1 2
1 ( 1)( 1) ( 1) 3t t t
t t tt
Lim Lim Lim
t t t t t t® ® ®
- + +-
= = =
- - + + + +
.
46 Cá lcu lo I
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Consideremos a seguinte função 
2
1
( )
1
x
f x
x
-
=
-
. Neste caso, podemos observar 
que (1)f não pode ser calculada, portanto a função ( )f x não está definida no ponto 
1x = . Contudo, poderíamos definir a seguinte função 2
1
 se x 1
( ) 1
2 se x=1
x
g x x
ì -ïï ¹ï= -íïïïî
. Note 
que agora, para ( )g x , é possível calcular o valor de (1) 2g = . No entanto, pelo gráfico 
(II) representado abaixo na figura 9, podemos ver que, se 1 e 1x x- +® ® , sua imagem 
se aproxima de 0,5y = .
Figura 9– Comportamento da imagem
Analiticamente, escrevemos: 
1 1 12
1 1 1 1
.
1 ( 1)( 1) ( 1) 2x x x
x x
Lim Lim Lim
x x x x® ® ®
- -
= = =
- - + +
Nos cálculos acima, realizamos a seguinte simplificação 
1 1
( 1)( 1) ( 1)
x
x x x
-
=
- + +
. 
Em hipótese alguma, cancele uma grandeza, a menos que você saiba de antemão 
que a grandeza é não nula. Nesse caso, você deve cancelar a expressão ( )1 0x- ¹ , 
porque a variável x se aproxima de 1, mas não assume esse valor. Lembre-se de que o 
que importa no cálculo de limites é a aproximação.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Vamos ver outro caso mais simples. Consideremos a função 
2
2
9 3
( )
x
f x
x
+ -
= . 
Podemos desconfiar que este limite vale quanto?
Solução: 
Podemos proceder da seguinte forma, considerando a expressão:
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
9 3 9 3 9 3 9 9 1
. .
9 3 [ 9 3] [ 9 3] [ 9 3]
x x x x x
x x x x x x x x
+ - + - + + + -
= = = =
+ + + + + + + +
=
47AULA 2 Tópico 1
Acima, novamente cancelamos uma grandeza não nula. Por outro lado, 
chegamos à seguinte identidade: 
2
2 2
9 3 1
9 3
x
x x
+ -
=
+ +
. Agora, aplicamos o 
símbolo do limite nesta igualdade e obtemos:
2
0 02 2 2
9 3 1 1 1 1
3 3 69 3 (0) 9 3
x x
x
Lim Lim
x x
® ®
+ -
= = = =
++ + + +
.
Neste tópico, introduzimos a noção de limite e a noção de continuidade de 
funções. Em seguida, destacamos algumas de suas propriedades. Deparamos também 
com algumas expressões obtidas por manipulações algébricas. Nas próximas aulas, 
estudaremos outras formas de limites que, de modo geral, requerem outras formas e 
técnicas de manipulação, apesar de que a compreensão do comportamento do gráfico 
destas funções é essencial para que possamos prever a existência ou não de um limite.
48 Cá lcu lo I
TÓPICO 2 Outras propriedadese teoremas
ObjetivOs
• Estudar limites no infinito
• Estudar limites infinitos
 A definição formal de limite, como já acentuamos, representa um processo longo e conflituoso entre os matemáticos. Desde os gregos até o século XIX, vários matemáticos buscaram uma definição precisa para um dos principais 
conceitos do Cálculo. Neste tópico, ampliaremos um pouco mais este conceito. 
2.1 DEFINIÇÃO – LIMITES NO INFINITO
d e f i n i ç ã o 3
Seja ( )y f x= uma função :f X ®  , em que X é um conjunto ilimitado 
superiormente, definiremos
i) {( ) 0, 0; tal que x X, x>A f(x) L }
definição
xLim f x L Ae e®+¥ = Û " > $ > Î ® - < . 
De modo semelhante, temos uma função :f X ®  , com domínio ilimitado 
inferiormente, escrevemos
ii) {( ) 0, 0; tal que x X, x< A f(x) L }.
definição
xLim f x L Ae e®-¥ = Û " > $ > Î - ® - <
Figura 10– Comportamento da imagem no infinito
49AULA 2 Tópico 2
Na figura acima, vimos o comportamento geométrico do gráfico da função e a partir 
dele auferimos informações a respeito do comportamento da imagem da função. Observe 
o gráfico da função 
1
( )f x
x
= e =
1
( )g x
x
, vemos que, quando ( ) 0x f x®+¥Þ ® , e 
repare que ®-¥Û = ®
1
( ) 0x g x
x
.
Quando empregamos a notação x ®+¥ , em termos da significação em LínguaPortuguesa, estamos referindo-nos que a variável real x assume infinitos valores 
positivos. Em termos de orientação no eixo das abscissas, analisamos os valores 
assumidos da esquerda para direita. Por outro lado, ao empregarmos a notação x ®-¥ , 
desejamos significar que x Î está assumindo valores do lado esquerdo do eixo das 
abscissas, cada vez menores. Simbolicamente, escrevemos o comportamento da função 
do quadro acima por 
1
0xLim x®+¥
= e ®-¥ =
1
0xLim x
.
Reparamos que, neste caso particular de limites no infinito, temos 0L = de acordo com 
nossas definições. Vejamos os casos em que observamos a necessidade de seu emprego. 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1 
Calcule os limites indicados por lim ( )x x a x®+¥ + - e lim ( 2 )x x x®+¥ + - .
Observe que lim ( )x x a®+¥ + =+¥ e ( )xLim x®+¥ ®+¥ . 
Portanto, o limite todo requerido apresenta o comportamento 
lim ( ) ( ) ( )x x a x®+¥ + - ® +¥ - +¥ , que representa uma indeterminação. Para 
evitá-la, usamos a seguinte igualdade:
( )( )
( )
( ) ( ) ( )
x a x x a x x a x a
x a x
x a x x a x x a x
+ - + + + -
+ - = = =
+ + + + + +
Temos então
 
®+¥ ®+¥ ®+¥
+ - + + + -
+ - = = =
+ + + +
( )( )
( ) [ ]
( ) ( )x x x
x a x x a x x a x
Lim x a x Lim Lim
x a x x a x
= ® ®
+¥+¥+ + +¥
0
( )
a a
a . 
50 Cá lcu lo I
Observamos que, para a solução de lim ( 2 )x x x®+¥ + - , 
segundo as manipulações acima, devemos ter como consequência que 
2
lim ( 2 ) lim 0
( 2 )x x
x x
x x®+¥ ®+¥
+ - = =
+ +
. Esse método analítico por 
vezes encobre o que de fato acontece com a imagem da função, assim, ao observar 
o comportamento da imagem da função 
( ) 2f x x x= + - , podemos compreender 
melhor, na medida em que x assume valores 
infinitamente grandes e positivos. 
Vejamos agora algumas regras 
operacionais relacionadas com limites no 
infinito. 
2.2 ALGUMAS PROPRIEDADES DE LIMITES NO 
INFINITO
Vejamos alguns exemplos de aplicação deles. 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Resolva os limites 
1
5xLim x®¥
æ ö÷ç + ÷ç ÷çè ø
 e 
2
3
xLim x
p
®-¥
æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷çè ø
.
Solução:
Teremos que ( )®¥ ®¥ ®¥
æ ö æ ö÷ ÷ç ç+ = + =÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø
( )1 1
5 5 5
i
x x xLim Lim Limx x
. No segundo 
T e o r e m a 4
Sejam os seguintes limites
( )xLim f x L®±¥ = e
( )xLim g x M®±¥ = então:
(i) [ ( ) ( )]xLim f x g x L M®±¥ + = +
(ii) [ ( ) ( )]xLim f x g x L M®±¥ - = -
(iii) [ ( ) ( )]xLim f x g x L M®±¥ ´ = ´
(iv) [ ( )] . ( )x xLim c f x c Lim f x c L®±¥ ®±¥× = = ×
(v) 
( )
( )x
f x L
Lim
g x M®±¥
= e 0M ¹
(vi) sejam ,m nÎ , sem fatores comuns, então ( )
m m
n n
xLim f x L®±¥ = , onde 
m
nL Î . 
v o c Ê s a b i a?
A expressão 
0
1
0
= não admite 
cancelamento do zero. Expressão 
como essa é chamada indeterminação 
justamente por não se poder predizer 
que valor o quociente pode assumir, uma 
vez que tanto a função do numerador 
como a função no denominador 
( )
( )
f x
g x
podem estar se aproximando de zero. 
51AULA 2 Tópico 2
caso, temos 
( )
2 2
3 1
3 3 0 0
iv
x xLim Limx x
p
p p®-¥ ®-¥
æ ö æ ö÷ç ÷ç÷= × = × =ç ÷ç÷ ÷çç ÷ è øçè ø
. Aqui estamos 
usando a seguinte propriedade 
2
1
0xLim x®¥
= . De modo intuitivo, esse limite 
pode ser explicado na medida em que o numerador a fração 
2
1
x
 é constante igual 
a 1 (ou qualquer constante), enquanto que seu denominador 2x cresce assumindo 
valores apenas positivos e grandes (expoente par). Esta propriedade pode ser 
generalizada, tomando-se n um inteiro qualquer, teremos que 
1
0x nLim x®¥
= .
As regras operacionais que surgem quando desenvolvemos o estudo da teoria 
dos limites no infinito são extensas e requerem muita prática para que fiquemos 
acostumados com elas. Na sequência, apresentaremos uma tabela extraída do 
livro de Guidorizzi (1998, p. 108-109) e exibiremos todas as que vamos aplicar na 
resolução dos limites que surgirão ao longo desta seção. 
2.3 OUTRAS PROPRIEDADES DE LIMITES NO INFINITO
T e o r e m a 5
Sejam ( ) e g(x)f x duas funções, então temos as seguintes propriedades: 
a) 
( ) [ ( ) ( )]
( ) [ ( ) ( )]
x x
x x
Lim f x Lim f x g x
Lim g x Lim f x g x
®+¥ ®+¥
®+¥ ®+¥
ì ì=+¥ + =+¥ï ïï ïÞí íï ï=+¥ ´ =+¥ï ïî î
 
b) 
( ) , [ ( ) ( )] se L>0
( ) [ ( ) ( )] se L<0
x x
x x
Lim f x L L Lim f x g x
Lim g x Lim f x g x
®+¥ ®+¥
®+¥ ®+¥
ì ì= Î ´ =+¥ï ïï ïÞí íï ï=+¥ ´ =-¥ï ïî î

c) {
( )
[ ( ) ( )]
( )
x
x
x
Lim f x
Lim f x g x
Lim g x
®+¥
®+¥
®+¥
ì =-¥ïï Þ ´ =-¥íï =+¥ïî
 
d) {
( ) ,
[ ( ) ( )]
( )
x
x
x
Lim f x L L
Lim f x g x
Lim g x
®+¥
®+¥
®+¥
ì = Îïï Þ + =+¥íï =+¥ïî

e) {
( ) ,
[ ( ) ( )]
( )
x
x
x
Lim f x L L
Lim f x g x
Lim g x
®+¥
®+¥
®+¥
ì = Îïï Þ + =-¥íï =-¥ïî

 
f) 
( ) [ ( ) ( )]
( ) [ ( ) ( )]
x x
x x
Lim f x Lim f x g x
Lim g x Lim f x g x
®+¥ ®+¥
®+¥ ®+¥
ì ì=-¥ + =-¥ï ïï ïÞí íï ï=-¥ ´ =+¥ï ïî î
g) 
 ( ) , [ ( ) ( )] se L>0
( ) [ ( ) ( )] se L<0
x x
x x
Lim f x L L Lim f x g x
Lim g x Lim f x g x
®+¥ ®+¥
®+¥ ®+¥
ì ì= Î ´ =-¥ï ïï ïÞí íï ï=-¥ ´ =+¥ï ïî î

52 Cá lcu lo I
Observamos que os teoremas acima possibilitam algumas ‘operações’ 
com os símbolos +¥ e -¥ . Por exemplo, você poderá deparar com símbolos 
do tipo ( )+¥+ +¥ , como, por exemplo, se desejamos avaliar o limite 
( )2 xxLim x e®+¥ + . Uma análise desse limite nos conduz à seguinte expressão: 
( ) ( ) ( )2 2x xx x xLim x e Lim x Lim e®+¥ ®+¥ ®+¥+ = + =+¥+¥=+¥ . Outra mani-
pulação diz respeito a ( )-¥+ -¥ =-¥ . 
Também há coisas do tipo ( )L × +¥ =+¥ , quando 
0L> e ( )L × +¥ =-¥ se 0L< . Notamos que 
a expressão ( )L × +¥ =+¥ pode ser interpretada 
intuitivamente quando multiplicamos a grandeza L , 
uma infinidade de vezes, por grandezas positivas. 
Mas podem surgir problemas graves, 
para os quais, neste primeiro curso, ainda 
não dispomos de mecanismos matemáticos 
capazes de lidar com o comportamento destas 
operações. Em todo caso, algumas destas 
propriedades, graças aos teoremas acima, 
deverão ser adotadas por nós, sem maiores 
pormenores, em virtude de tratarmos apenas 
de um curso introdutório. 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 3
Segundo os exemplos que foram 
extraídos de Guidorizi (1998, p. 110), calcule 
os seguintes limites (a) 2(3 5 2)xLim x x®+¥ - + 
e (b) 
3
2
3 1
2 1x
x x
Lim
x x®+¥
+ -
+ +
Solução: 
Observamos que 
2(3 5 2) 3( ) 5 ( ) 2 .xLim x x®+¥ - + = +¥ - × +¥ + ®+¥-¥ P r e c i s a m o s 
manipular a expressão e uma técnica usual requer que coloquemos em evidência a 
maior potência da variável ‘x’, de modo que 2(3 5 2)xLim x x®+¥ - + =
2
2
5 2
(3 ) [3 0 0] [3 0 0] .xLim x x x®+¥
= × - + =+¥× - + =+¥× - + =+¥
Isso significa que, quando x ®+¥ , a imagem da função se aproxima 
v o c Ê s a b i a?
No cálculo de alguns limites, 
poderemos deparar com expressões 
do tipo ( )+¥- +¥ ; ( )+¥- -¥ ; 
0 ×¥ ; 
¥
¥
; 
0
0
;1¥ ; 00 ; 0( )¥ . 
Esses símbolos representam o 
comportamento da imagem da função 
e nos dizem se a função tende a se 
aproximar de um único valor, de vários 
valores finitos ou de infinitos valores 
enumeráveis ou não. Assim, não podemos 
concluir nada sobre o possível resultado 
do LIMITE, por isso chamamos de 
INDETERMINAÇÕES. Quando não há 
indeterminação, podemos calcular direto:
 ( )
( ) ( )
( )
®
® ®
® ®
- + - =
- +
- =
3 2
3
3 2
3 3
3 3
lim 4 7 5 9
lim 4 lim 7
lim 5 lim9 51.
x
x x
x x
x x x
x x
x
53AULA 2 Tópico 2
de valores extremamente grandes e positivos. No segundo caso, temos 
33
2 2
( ) 3( ) 13 1
2 1 2( ) ( ) 1x
x x
Lim
x x®+¥
¥ + ¥ -+ - +¥
= ®
+ + ¥ + ¥ + +¥
. Mas, passamos a calculá-lo 
empregando a mesma técnica do exemplo anterior escrevendo o limite 
3
3 2 3
2
2
2
2 3
2
3 1
[1 ]3 1
1 12 1 [2 ]
3 1
[1 ] [1 0 0] 1
1 1 [2 0 0] 2[2 ]
x x
x
xx x x xLim Lim
x x x
x x
x xLim x
x x
®+¥ ®+¥
®+¥
+ -+ -
= =
+ + + +
+ - + -
= × ®+¥× =+¥× =+¥
+ ++ +
Vamos aproveitar ainda o gráfico da função 
1
( )f x
x
= para motivar a definição de limites 
infinitos. De fato, observando o comportamento dos ramos (ver figura 11) de seu gráfico, na medidaem que 0x ® . No caso do gráfico da função 
1
( )f x
x
= , com 0x> , tomamos as aproximações 
de 0x +® (pelo lado direito da origem). Enquanto no caso de
1
( )f x
x
= , para 0x < . 
Mas, neste caso, consideramos 0x -® (aproximação pela esquerda).
Figura 11– Comportamento de 
1
( )f x
x
=
A partir desta situação particular, chegamos às seguintes definições formais sobre 
limites infinitos. 
54 Cá lcu lo I
2.4 DEFINIÇÃO – LIMITES INFINITOS
D e f i n i ç ã o 4
Seja uma função :f X ®  . Definiremos o símbolo ( )x aLim f x® =¥ significando 
que podemos fazer os valores da imagem ( )f x ficarem arbitrariamente grandes, 
por meio de uma escolha adequada de x nas proximidades do ponto x a= . 
De modo particular, escrevemos ( )x aLim f x® =+¥ e ( )x aLim f x® =-¥
, e recordamos que a aproximação pode ser feita do lado esquerdo de x a= 
( x a-® ) e pelo lado direito ( x a+® ). 
De modo particular, podemos descrever os limites da ilustração anterior por 
0
1
x
Lim
x
+®
=+¥ e 
0
1
x
Lim
x
-®
=-¥ . 
Vejamos mais um exercício resolvido.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 4
Analise o comportamento de 
3
2
3x
Lim
x
+® -
,
3
2
3x
Lim
x
-® -
.
Solução: 
Observamos pelo gráfico (ver figura 12) que, quanto mais tomamos valores 
arbitrariamente próximos de 3x +® (lado direito), os valores de suas imagens 
são cada vez maiores, assim escrevemos 
3
2
3x
Lim
x
+®
=+¥
-
. Baseando ainda no 
gráfico e considerando as aproximações pela esquerda ( 3x -® ), vemos pelo gráfico 
que as imagens assumem valores cada vez menores, portanto 
3
2
3x
Lim
x
-®
=-¥
-
. 
Observamos que, nestes casos, não podemos inferir e explicitar de fato que valores a 
imagem da função 
2
( )
3
f x
x
=
-
 está assumindo e, sim, prevendo seu comportamento 
baseando-se no gráfico que está na figura 12, além do fato de que não mencionamos 
nenhum teorema formal. 
55AULA 2 Tópico 2
Figura 12– Comportamento de 
2
( )
3
f x
x
=
-
Como você pode ver, são várias as propriedades. Pesquise a demonstração 
desses teoremas em livros de Cálculo. Fornecemos acima algumas dicas operacionais 
que podem evitar alguns erros ao longo do estudo dos limites. Todavia, apenas o 
treinamento e o estudo constante poderão auxiliar você no real amadurecimento 
desta noção. No tópico seguinte, apresentamos alguns teoremas que possibilitam a 
análise de propriedades interessantes. 
56 Cá lcu lo I
TÓPICO 3 Teorema do Confronto ou do Sanduíche
ObjetivOs
• Conhecer propriedades relacionadas ao 
teorema do confronto
• Identificar algumas das dificuldades do 
teorema
Neste tópico, retomamos a aplicação de algumas das propriedades que envolvem limites. Veremos que, na maioria das vezes, não é simples o cálculo de limites. Em alguns casos, apenas com o uso do computador, 
podemos ter uma ideia do comportamento do gráfico de uma função. 
TEOREMA DO SANDUÍCHE OU DO CONFRONTO
T e o r e m a 6
Sejam ( ), ( ) e h(x)f x g x , tais que , , :f g h A B® funções que satisfazem 
a desigualdade ( ) ( ) ( )h x f x g x£ £ , para todo x AÎ . Se for válido que 
( ) ( )x a x aLim h x L Lim g x® ®= = , então é válido ( )x aLim f x L® = . 
Figura 13– Interpretação geométrica do teorema do confronto
57AULA 2 Tópico 3
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Considere os limites da função 
1 1
0x xLim Limx x®¥ ®¥
-
= = 
e note que 
( )1 1
( ) 1 1 ( ) 1
sen x
sen x sen x
x x x
-
£ «- £ £ « £ £ , 
para todo *x Î , pelo teorema do sanduíche, temos que 
6( ) ( )1 1
0 0 0
Teorema
x x x x
sen x sen x
Lim Lim Lim Lim
x x x x®¥ ®¥ ®¥ ®¥
-
= £ £ = ® = . 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Calcule o valor de 
2 cos( )
3x
x
Lim
x®¥
-
+
.
Solução: 
Novamente, temos 
cos( ) 1 1 cos( ) 1 1 cos( ) 1 3 2 cos( ) 1x x x x£ «- £ £ « ³- ³- « ³ - ³ . 
Portanto, 
2 cos( )1 3
1 2 cos( ) 3
3 3 3
x
x
x x x
-
£ - £ « £ £
+ + +
, para todo {3}x Î - . 
Segue que 
2 cos( )1 3
0 0
3 3 3x x x
x
Lim Lim Lim
x x x®¥ ®¥ ®¥
-
= £ £ =
+ + +
. Assim, 
pelo Teorema do Confronto, escrevemos 
2 cos( )
0
3x
x
Lim
x®¥
-
=
+
. 
Concluímos este tópico salientando o potencial de um suporte tecnológico 
em oferecer significado e sentido para teoremas do Cálculo que há tempos se 
restringiam a uma exploração eminentemente analítica. Tais malabarismos 
algébricos podem fornecer respostas, todavia, para uma mente pouco treinada, 
carecem de significação. Na sequência, veremos o estudo de limites no contexto de 
funções trigonométricas. 
58 Cá lcu lo I
TÓPICO 4 Limites de funções trigonométricas
ObjetivO
• Estudar a noção de limites com funções 
trigonométricas
Vimos anteriormente a noção de continuidade para alguns tipos de funções. Podemos considerar casos específicos, como as funções trigonométricas ( ) ( ); ( ) os( ); ( ) ( )f x sen x g x c x h x tg x= = = são contínuas em seus domínios. Mas 
apresentaremos aqui somente o limite 
0 0
( ) ( )
1
x x
sen x sen x
Lim Lim
x x
- +® ®
= = .
Vimos um teorema (ver aula 1 tópico 4) o qual garante que podemos conseguir 0r > , 
tal que 0 ( ) ( )sen x x tg x< < < , para 0 x r< < . A partir da desigualdade 
0 ( ) ( )sen x x tg x< < < , dividimos por 
1
( ) 1
( ) ( )
x
sen x
sen x cos x
\ < < e, para 0 x r< < , 
temos 
( )
( ) 1
sen x
cos x
x
< < . 
Por outro lado, observe que, se temos 0 0 ( )r x x r- < < ® < - < , em virtude do 
teorema, escrevemos
 
- - -
- < < Þ = - < = < \ < <
- - -
 é Ìmpar
Co-seno Par
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1.
Senosen x sen x sen x sen x
cos x cos x cos x cos x
x x x x
Conclui-se que, para 0 x r< < , teremos
 o Limite
0 0 0
( ) ( )
( ) 1 ( ) 1 1
Aplicando
x x x
sen x sen x
cos x Lim cos x Lim Lim
x x® ® ®
< < Þ < < = . 
Nesta desigualdade, 0 0
( )
( ) 1x x
sen x
Lim cos x Lim
x® ®
< < , usaremos o Teorema do 
Confronto, lembrando que as funções seno e cosseno são contínuas, o que pode ser 
observado intuitivamente pelos seus gráficos, respectivamente. Assim, temos 
59AULA 2 Tópico 4
0 0
0 0
( )
1 (0) ( ) 1
( ) ( )
1 1 1
x x
Teorema do Confronto
x x
sen x
cos Lim cos x Lim
x
sen x sen x
Lim Lim
x x
® ®
® ®
= = < < \
< < « =
.
O que nos leva a apresentar o seguinte teorema.
TEOREMA DO LIMITE FUNDAMENTAL
T e o r e m a 7
7 0
( )
: 1x
sen x
Teorema Lim
x®
=
Demonstração: Feita nas argumentações anteriores. 
Veremos que muitos limites podem ser resolvidos analiticamente a partir 
desta relação fundamental, porém destacamos sempre a importância da análise do 
gráfico das funções em análise, quando possível.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Calcule o limite, usando o teorema do Limite Fundamental 0
(5 )
x
sen x
Lim
x®
.
Solução:
Consideraremos a expressão 
(5 ) (5 ) (5 )5 5
[ ]
5 (5 ) 1
sen x sen x sen x
x x x
= × = × e chegaremos 
a 
0
0 0
(5 ) 5 5
[ ] 1 5
(5 ) 1 1
x
x x
sen x
Lim
x
®
® ¹
× = × = . 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Calcule o limite usando o teorema do Limite Fundamental 0 2
1 ( )
x
cos x
Lim
x®
-
. 
Solução:
Consideraremos a expressão 
2 2
2 2 2
1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( )
1 ( ) (1 ( ))
cos x cos x cos x cos x
x x cos x x cos x
- - + -
= × =
+ +
. 
Por outro lado, lembraremos que
2 2
2 2
2 2
( ) ( ) 1
( ) 1 ( )
(1 ( )) (1 ( ))
sen x sen x
sen x cos x
x cos x x cos x
= - ® = × =
+ +
0 0
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1
[ ] 1 1 1
(1 ( ) (1 ( )) 1 (0) 2 2
Teorema
x x
sen x sen x sen x sen x
Lim
x x cos x x x cos x cos® ¹
× × \ × × = × × = × =
+ + +
Observe que, se tentássemos resolver direto, depararíamos com a expressão 
60 Cá lcu lo I
0
0 2 2
0
1 ( ) (1 ( )) 1 1 0
( ) 0 0
x
x
x
cos x Lim cos x
Lim
x Lim x
®
®
®
- - -
= = = , 
uma indeterminação.
Até aqui, vimos algumas propriedades, 
teoremas e regras operatórias com limites. A maioria 
delas pode requerer demonstração, utilizando 
argumentos de Análise (disciplina avançada). 
Como vimos, aplicamos apenas, sem demonstração, 
alguns resultados, inclusive para as funções 
trigonométricas.
aT I V I D A D E D E A P R O F U N D A M E N T O
1. Calcule o seguinte limite 
3
2
82x
x
Lim
x®
-
-
 e 
3
0
1 1
x
x
Lim
x®
+ -
 . 
2. Calcule os seguintes limites (a) 2( 5)xLim x x®-¥ - + e (b) 
4 2
3
3 1
2 2x
x x
Lim
x x®+¥
+ +
+ -
. 
3. Calcule o valor de 
2cos (2 )
3 2x
x
Lim
x®+¥ -
.
4. Resolva os limites indicados por 0
(7 )
4x
sen x
Lim
x®
 e 0 ( cot ( ))xLim x g x® × .
5. Demonstre que as funções seno e cosseno são contínuas em todo seu intervalo.
g u a r d e b e m i s s o !
Os limites
2
0 2
2
0 2
( )
 
( )
com 
x
x
sen x
Lim
x
sen x
Lim
x
®
®
 
não devem ser confundidos, pois não 
são resolvidos do mesmo modo, apesar 
de fornecerem o mesmo resultado.
61AULA 3
AULA 3
Um pouco
mais sobre o 
conceito de limite
Muitos matemáticos, no momento em que se deu o primeiro contato com a noção 
de limite, relataram algumas dificuldades no que se refere ao seu entendimento. 
Todavia, com a persistência e dedicação, temos a convicção que obtemos uma 
boa aprendizagem sobre este assunto.
Objetivo
• Conhecer outras propriedades relacionadas à noção de limites e funções
62 Cá lcu lo I
TÓPICO 1 Assíntotas horizontais e verticais
ObjetivOs
• Apresentar as assíntotas horizontais e 
verticais ao gráfico de uma função 
• Estudar exemplos de funções que envol-
vam as assíntotas horizontais e verticais
Dizemos que uma reta r é uma assíntota de uma curva C quando um ponto ao mover-se ao longo de uma parte extrema da curva se aproxima desta reta. Em outras palavras, a reta assintótica r e a curva C ficam arbitrariamente 
próximas à medida que se afastam da origem do sistema de coordenadas. 
Vamos observar o gráfico das seguintes funções: 
2
2
1
( )
1
x
f x
x
-
=
+
 e 
1
( )g x
x
= . 
Observamos em (I), na figura 1, que o gráfico de ( )f x não ultrapassa a reta de 
equação 1y = , paralela ao eixo Ox. Por outro lado, para 0x> , o gráfico da função 
1
( )g x
x
= (figura 1 – (II)) não ultrapassa a reta de equação 0y = , por mais próximo 
que esteja da origem ou mesmo quando x ®+¥ . De forma semelhante, para 0x < , 
temos a mesma reta 0y = em relação a qual o gráfico (ramo esquerdo) não toca. 
Figura 1– Assíntotas horizontais aos gráficos 
2
2
1
( )
1
x
f x
x
-
=
+
 e 
1
( )g x
x
=
As retas acima, descritas no eixo Oy , por 1 0y e y= = , são chamadas de retas 
63AULA 3 Tópico 1
assíntotas horizontais ao gráfico das funções exibidas acima. Vejamos sua definição 
formal logo em seguida. Com relação aos dois limites anteriores e a presente definição, 
observamos que, no primeiro caso, obtemos 1L = , e no segundo caso 0L = . 
1.1 ASSÍNTOTA HORIZONTAL
D e f i n i ç ã o 1
A reta descrita por y L= é chamada de assíntota horizontal da curva 
( )y f x= se ( ) ou ( )x xLim f x L Lim f x L®+¥ ®-¥= = .
Observe que, empregando as regras operacionais discutidas na aula 
anterior, poderíamos ter calculado os mesmos limites da seguinte forma: 
2
2 2 2
2
2
2 2
1 1
(1 ) (1 ) (1 0)1
1
1 11 (1 0)(1 ) (1 )
x x x
xx x xLim Lim Lim L
x x
x x
®¥ ®¥ ®¥
- - --
= = = = =
+ ++ +
. Por outro 
lado, temos 
1
0xLim Lx®+¥
= = e 
1
0xLim Lx®-¥
= = . 
Vamos agora considerar os gráficos das seguintes funções 
22 1
( )
3 5
x
f x
x
+
=
-
, 
( )2( ) 1g x x x= + - e 2( ) 1h x x x x= + + + . No primeiro caso, com respeito ao 
seu gráfico, observamos que o gráfico da primeira função ( )f x admite três retas 
assíntotas, duas horizontais e uma assíntota vertical (ver figura 2). No caso da 
função ( )2( ) 1g x x x= + - , pelo seu gráfico, divisamos apenas uma reta assíntota 
horizontal, o próprio eixo Ox. Por fim, por meio do gráfico, sem recorrer ao aparato 
analítico, inferimos que a função ( )h x possui uma assíntota horizontal (ver figura 3). 
Na sequência, por meio das condições operatórias fornecidas pelas definições 
exibidas há pouco, necessitamos identificar exatamente os valores e a equação 
analítica de cada reta assíntota aos gráficos discutidos. 
Figura 2– As assíntotas das funções 
22 1
( )
3 5
x
f x
x
+
=
-
 e ( )2( ) 1g x x x= + -
64 Cá lcu lo I
Figura 3– A assíntota da função 2( ) 1h x x x x= + + +
Veremos alguns exemplos e, logo na sequência, descrevemos a definição formal 
de assíntota vertical que exploramos até este momento por um viés bastante intuitivo. 
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Vamos considerar agora as seguintes funções 
2
1
( )f x
x
= e 
2
( )
3
g x
x
=
-
. 
Descrevemos os seus gráficos (figura 4). Em (I), vemos que, quanto mais x se aproxima 
da origem, os valores que ( )f x assume são extremamente grandes e positivos. 
Analiticamente, temos 
2 20 0
1 1
x x
Lim Lim
x x
+ -® ®
=+¥= . Em (II), quando nos 
aproximamos da reta 3x = pelo lado direito, vemos que 
3
( )
x
Lim g x+® =+¥ e, pelo 
outro lado, vemos que 
3
( )
x
Lim g x-® =-¥ . 
Figura 4– Assíntotas das funções 
2
1
( )f x
x
= e 
2
( )
3
g x
x
=
-
Apresentamos agora a definição formal de assíntota vertical. 
1.2 ASSÍNTOTA VERTICAL 
Adaptado de Leithold (1982), temos a seguinte definição: 
65AULA 3 Tópico 1
D e f i n i ç ã o 2
A reta x a= é chamada de assíntota vertical da curva ( )y f x= se pelo 
menos uma das condições seguintes estiver satisfeita:
i) ( )x aLim f x® =+¥ 
ii) ( )
x a
Lim f x+® =+¥ 
iii) ( )
x a
Lim f x-® =+¥
iv) ( )x aLim f x® =-¥
v) ( )
x a
Lim f x-® =-¥
vi) ( )
x a
Lim f x+® =-¥
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Consideremos as funções ( ) ( )f x tg x= e ( ) ( )g x ln x= apresentadas abaixo. 
Na figura 5, em (I), vemos que as retas e 
2 2
x x
p p
= =- são assíntotas verticais. Do 
mesmo modo, em (II), para a função ( ) ( )g x ln x= , há uma assíntota vertical em 0x = . 
Figura 5– Assíntotas verticais de ( ) ( )f x tg x= e ( ) ( )g x ln x=
EXERCÍCIO RESOLVIDO 3 
Interprete geometricamente os seguintes limites: ( )
x a
Lim f x-® =+¥ , 
( )
x a
Lim f x+® =+¥ , ( )x aLim f x-® =-¥ .
Na figura 6, em (I), temos a descrição do limite ( )
x a
Lim f x-® =+¥ . Em 
(II), encontramos o gráfico de ( )
x a
Lim f x+® =+¥ . Consequentemente, o limite 
( )
x a
Lim f x-® =-¥ em (III).
=
66 Cá lcu lo I
Figura 6– Comportamento geométrico dos limites: ( )
x a
Lim f x-® =+¥ , 
( )
x a
Lim f x+® =+¥ e ( )x aLim f x-® =-¥
De modo resumido, apresentamos o seguinte quadro esquemático. 
Figura 7– Quadro esquemático de assíntotas
Nessa seção, estudamos alguns conceitos interessantes e propriedades 
relacionadas aos limites, como no caso de retas assíntotas. Na próxima seção, 
estudaremos o limite no contexto de outras funções.
67AULA 3 Tópico 2
TÓPICO 2
Conceito de limite: 
extensões
ObjetivO
• Introduzir a noção de limite no contexto 
de funções exponenciais e logarítmicas
Já estudamos as potências com expoente racional do tipo m mnna a= . Neste capítulo, estudaremos 
potências com expoente real. 
Observamos inicialmente que, se temos duas 
funções ( ) ( )f r g r= para todo r racional ( rÎ ), 
então podemos verificar que ( ) ( ), xf x g x= " Î . 
Trata-se de um problema típico de densidade, 
cuja explicação se dá somente no campo da 
Análise Real, que você estudará bem mais adiante. 
Seja 0a> e 1a ¹ um número real 
arbitrário. Se existem duas funções f e g 
definidas e contínuas em  tais que, para 
todo r racional, temos ( ) ( )f r g r= . Então 
poderá existir apenas uma função definida e 
contínua para todo o conjunto. Enunciamos 
sem demonstrar o próximo teorema.
2.1 LIMITE DE 
UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL 
Fundamentando-se por Guidorizzi 
(1997, p. 130), teremos:
v o c Ê s a b i a?
Algumas propriedades que envolvem os 
conjuntos numéricos são aparentemente 
simples de serem observadas, mas 
difíceis de serem demonstradas. 
Por exemplo, dado um intervalo de 
extremos racionais, encontramos no 
seu interior um número irracional. Da 
mesma forma, se temos um intervalo de 
extremo irracional, podemos encontrar 
um número racional no seu interior.
At e n ç ã o !
O estudo da demonstração desse 
teorema é essencial ao conteúdo de outra 
disciplina, como Matemática Básica 
I. A compreensão das propriedades