2021.1 Algebra3 teoria dos aneis P1

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UFRRJ
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL
DO RIO DE JANEIRO
Instituto de Ciências Exatas - ICE
Departamento de Matemática - DEMAT
Teoria dos Anéis - P1
Questão 1 (1 ponto)
Seja A um anel com identidade. Prove que existe um único elemento neutro para o produto.
Questão 2 (1 ponto)
Determine 4 divisores de zero em Z10. Prove suas afirmações.
Questão 3 (2 pontos)
Seja B1 ⊂ B2 ⊂ · · · ⊂ Bn ⊂ . . . uma cadeia infinita e crescente de subanéis de um anel A. Prove que
B =
⋃
i∈N
Bi
é um subanel de A.
Questão 4 (2 pontos)
Sejam A um anel e I um ideal de A. Prove que
π : A → A/I
a 7→ ā
é um homomorfismo sobrejetivo.
Questão 5 (2 pontos)
Seja ∼ uma relação de equivalência em um conjuntoX. Se x ∈ X, denote por x̄ a classe de equivalência
de x. Prove que, se x, y ∈ X, então
x ∼ y ⇐⇒ x̄ = ȳ.
Questão 6 (2 pontos)
Seja ϕ : A→ B um homomorfismo de anéis. Se I é um ideal de B, prove que
ϕ−1(I) = {a ∈ A : ϕ(a) ∈ I}
é um ideal de A.
Questão Bônus 7 (2 pontos)
Sejam D um domínio e ι : D → Frac(D) definida por ι(d) = d/1. Prove que se ϕ : D → K é um
homomorfismo injetivo onde K é um corpo, então existe um único homomorfismo Ψ : Frac(D)→ K,
tal que Ψ ◦ ι = ϕ.
K
D ι
//
ϕ
66
Frac(D)
Ψ
OO
Boa Prova!