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UFRRJ
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL
DO RIO DE JANEIRO
Teoria dos Anéis - Aula 01
Cláudio Saccomori
DEMAT - UFRRJ
20 de setembro de 2021
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 1 / 18
Seja A um conjunto não vazio munido de duas operações:
+ : A × A → A
(a, b) 7→ a + b e
· : A × A → A
(a, b) 7→ a · b
Dizemos que (A, +, ·) é um anel, se as seguintes condições são satisfeitas:
A1 (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ A;
A2 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A;
A3 dado a ∈ A, existe x ∈ A, tal que a + x = x + a = 0;
A4 a + b = b + a, ∀a, b ∈ A;
A5 (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ A;
A6 a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ A e (a + b) · c = a · c + b · c, ∀a, b, c ∈ A.
As operações + e · são chamadas, respectivamente, de soma e de produto.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 2 / 18
Seja A um conjunto não vazio munido de duas operações:
+ : A × A → A
(a, b) 7→ a + b e
· : A × A → A
(a, b) 7→ a · b
Dizemos que (A, +, ·) é um anel, se as seguintes condições são satisfeitas:
A1 (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ A;
A2 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A;
A3 dado a ∈ A, existe x ∈ A, tal que a + x = x + a = 0;
A4 a + b = b + a, ∀a, b ∈ A;
A5 (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ A;
A6 a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ A e (a + b) · c = a · c + b · c, ∀a, b, c ∈ A.
As operações + e · são chamadas, respectivamente, de soma e de produto.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 2 / 18
Seja A um conjunto não vazio munido de duas operações:
+ : A × A → A
(a, b) 7→ a + b e
· : A × A → A
(a, b) 7→ a · b
Dizemos que (A, +, ·) é um anel, se as seguintes condições são satisfeitas:
A1 (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ A;
A2 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A;
A3 dado a ∈ A, existe x ∈ A, tal que a + x = x + a = 0;
A4 a + b = b + a, ∀a, b ∈ A;
A5 (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ A;
A6 a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ A e (a + b) · c = a · c + b · c, ∀a, b, c ∈ A.
As operações + e · são chamadas, respectivamente, de soma e de produto.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 2 / 18
Seja A um conjunto não vazio munido de duas operações:
+ : A × A → A
(a, b) 7→ a + b e
· : A × A → A
(a, b) 7→ a · b
Dizemos que (A, +, ·) é um anel, se as seguintes condições são satisfeitas:
A1 (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ A;
A2 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A;
A3 dado a ∈ A, existe x ∈ A, tal que a + x = x + a = 0;
A4 a + b = b + a, ∀a, b ∈ A;
A5 (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ A;
A6 a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ A e (a + b) · c = a · c + b · c, ∀a, b, c ∈ A.
As operações + e · são chamadas, respectivamente, de soma e de produto.
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Seja A um conjunto não vazio munido de duas operações:
+ : A × A → A
(a, b) 7→ a + b e
· : A × A → A
(a, b) 7→ a · b
Dizemos que (A, +, ·) é um anel, se as seguintes condições são satisfeitas:
A1 (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ A;
A2 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A;
A3 dado a ∈ A, existe x ∈ A, tal que a + x = x + a = 0;
A4 a + b = b + a, ∀a, b ∈ A;
A5 (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ A;
A6 a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ A e (a + b) · c = a · c + b · c, ∀a, b, c ∈ A.
As operações + e · são chamadas, respectivamente, de soma e de produto.
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Seja A um conjunto não vazio munido de duas operações:
+ : A × A → A
(a, b) 7→ a + b e
· : A × A → A
(a, b) 7→ a · b
Dizemos que (A, +, ·) é um anel, se as seguintes condições são satisfeitas:
A1 (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ A;
A2 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A;
A3 dado a ∈ A, existe x ∈ A, tal que a + x = x + a = 0;
A4 a + b = b + a, ∀a, b ∈ A;
A5 (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ A;
A6 a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ A e (a + b) · c = a · c + b · c, ∀a, b, c ∈ A.
As operações + e · são chamadas, respectivamente, de soma e de produto.
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Seja A um conjunto não vazio munido de duas operações:
+ : A × A → A
(a, b) 7→ a + b e
· : A × A → A
(a, b) 7→ a · b
Dizemos que (A, +, ·) é um anel, se as seguintes condições são satisfeitas:
A1 (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ A;
A2 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A;
A3 dado a ∈ A, existe x ∈ A, tal que a + x = x + a = 0;
A4 a + b = b + a, ∀a, b ∈ A;
A5 (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ A;
A6 a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ A e (a + b) · c = a · c + b · c, ∀a, b, c ∈ A.
As operações + e · são chamadas, respectivamente, de soma e de produto.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 2 / 18
Seja A um conjunto não vazio munido de duas operações:
+ : A × A → A
(a, b) 7→ a + b e
· : A × A → A
(a, b) 7→ a · b
Dizemos que (A, +, ·) é um anel, se as seguintes condições são satisfeitas:
A1 (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ A;
A2 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A;
A3 dado a ∈ A, existe x ∈ A, tal que a + x = x + a = 0;
A4 a + b = b + a, ∀a, b ∈ A;
A5 (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ A;
A6 a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ A e (a + b) · c = a · c + b · c, ∀a, b, c ∈ A.
As operações + e · são chamadas, respectivamente, de soma e de produto.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 2 / 18
Seja A um conjunto não vazio munido de duas operações:
+ : A × A → A
(a, b) 7→ a + b e
· : A × A → A
(a, b) 7→ a · b
Dizemos que (A, +, ·) é um anel, se as seguintes condições são satisfeitas:
A1 (a + b) + c = a + (b + c), ∀a, b, c ∈ A;
A2 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A;
A3 dado a ∈ A, existe x ∈ A, tal que a + x = x + a = 0;
A4 a + b = b + a, ∀a, b ∈ A;
A5 (a · b) · c = a · (b · c), ∀a, b, c ∈ A;
A6 a · (b + c) = a · b + a · c, ∀a, b, c ∈ A e (a + b) · c = a · c + b · c, ∀a, b, c ∈ A.
As operações + e · são chamadas, respectivamente, de soma e de produto.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 2 / 18
Exemplo 1
(Z, +, ·) e (R, +, ·) são anéis, onde + e · representam as operações canônicas.
Exemplo 2
(M2(R), +, ·) é um anel, onde + e · representam a soma e o produto usuais de matrizes.
Exemplo 3
O conjunto dos números naturais não é um anel, pois, por exemplo, não existe x ∈ N, tal que
5 + x = 0.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 3 / 18
Exemplo 1
(Z, +, ·) e (R, +, ·) são anéis, onde + e · representam as operações canônicas.
Exemplo 2
(M2(R), +, ·) é um anel, onde + e · representam a soma e o produto usuais de matrizes.
Exemplo 3
O conjunto dos números naturais não é um anel, pois, por exemplo, não existe x ∈ N, tal que
5 + x = 0.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 3 / 18
Exemplo 1
(Z, +, ·) e (R, +, ·) são anéis, onde + e · representam as operações canônicas.
Exemplo 2
(M2(R), +, ·) é um anel, onde + e · representam a soma e o produto usuais de matrizes.
Exemplo 3
O conjunto dos números naturais não é um anel, pois, por exemplo, não existe x ∈ N, tal que
5 + x = 0.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 3 / 18
Proposição 4 (Unicidade do elemento neutro)
Seja (A, +, ·) um anel. Existe um único elemento satisfazendo a propriedade A2.
Rascunho
01 e 02
01 + 02 = 02
01 + 02 = 01
02 = 01 + 02 = 01.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 4 / 18
Proposição 4 (Unicidade do elemento neutro)
Seja (A, +, ·) um anel. Existe um único elemento satisfazendoa propriedade A2.
Rascunho
01 e 02
01 + 02 = 02
01 + 02 = 01
02 = 01 + 02 = 01.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 4 / 18
Proposição 4 (Unicidade do elemento neutro)
Seja (A, +, ·) um anel. Existe um único elemento satisfazendo a propriedade A2.
Rascunho
01 e 02
01 + 02 = 02
01 + 02 = 01
02 = 01 + 02 = 01.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 4 / 18
Proposição 4 (Unicidade do elemento neutro)
Seja (A, +, ·) um anel. Existe um único elemento satisfazendo a propriedade A2.
Rascunho
01 e 02
01 + 02 = 02
01 + 02 = 01
02 = 01 + 02 = 01.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 4 / 18
Proposição 4 (Unicidade do elemento neutro)
Seja (A, +, ·) um anel. Existe um único elemento satisfazendo a propriedade A2.
Rascunho
01 e 02
01 + 02 = 02
01 + 02 = 01
02 = 01 + 02 = 01.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 4 / 18
Proposição 5 (Unicidade do elemento neutro)
Seja (A, +, ·) um anel. Existe um único elemento satisfazendo a propriedade A2.
Demonstração.
Sejam 01, 02 ∈ A satisfazendo a propriedade A2. Como 01 satisfaz A2, então 01 + 02 = 02.
Por outro lado, como 02 também satisfaz a propriedade, temos que 01 + 02 = 01. Assim,
02 = 01 e temos a unicidade.
Definição 6
O único elemento do anel (A, +, ·), satisfazendo a propriedade A2, recebe o nome de elemento
neutro.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 5 / 18
Proposição 5 (Unicidade do elemento neutro)
Seja (A, +, ·) um anel. Existe um único elemento satisfazendo a propriedade A2.
Demonstração.
Sejam 01, 02 ∈ A satisfazendo a propriedade A2.
Como 01 satisfaz A2, então 01 + 02 = 02.
Por outro lado, como 02 também satisfaz a propriedade, temos que 01 + 02 = 01. Assim,
02 = 01 e temos a unicidade.
Definição 6
O único elemento do anel (A, +, ·), satisfazendo a propriedade A2, recebe o nome de elemento
neutro.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 5 / 18
Proposição 5 (Unicidade do elemento neutro)
Seja (A, +, ·) um anel. Existe um único elemento satisfazendo a propriedade A2.
Demonstração.
Sejam 01, 02 ∈ A satisfazendo a propriedade A2. Como 01 satisfaz A2, então 01 + 02 = 02.
Por outro lado, como 02 também satisfaz a propriedade, temos que 01 + 02 = 01. Assim,
02 = 01 e temos a unicidade.
Definição 6
O único elemento do anel (A, +, ·), satisfazendo a propriedade A2, recebe o nome de elemento
neutro.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 5 / 18
Proposição 5 (Unicidade do elemento neutro)
Seja (A, +, ·) um anel. Existe um único elemento satisfazendo a propriedade A2.
Demonstração.
Sejam 01, 02 ∈ A satisfazendo a propriedade A2. Como 01 satisfaz A2, então 01 + 02 = 02.
Por outro lado, como 02 também satisfaz a propriedade, temos que 01 + 02 = 01.
Assim,
02 = 01 e temos a unicidade.
Definição 6
O único elemento do anel (A, +, ·), satisfazendo a propriedade A2, recebe o nome de elemento
neutro.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 5 / 18
Proposição 5 (Unicidade do elemento neutro)
Seja (A, +, ·) um anel. Existe um único elemento satisfazendo a propriedade A2.
Demonstração.
Sejam 01, 02 ∈ A satisfazendo a propriedade A2. Como 01 satisfaz A2, então 01 + 02 = 02.
Por outro lado, como 02 também satisfaz a propriedade, temos que 01 + 02 = 01. Assim,
02 = 01 e temos a unicidade.
Definição 6
O único elemento do anel (A, +, ·), satisfazendo a propriedade A2, recebe o nome de elemento
neutro.
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Proposição 5 (Unicidade do elemento neutro)
Seja (A, +, ·) um anel. Existe um único elemento satisfazendo a propriedade A2.
Demonstração.
Sejam 01, 02 ∈ A satisfazendo a propriedade A2. Como 01 satisfaz A2, então 01 + 02 = 02.
Por outro lado, como 02 também satisfaz a propriedade, temos que 01 + 02 = 01. Assim,
02 = 01 e temos a unicidade.
Definição 6
O único elemento do anel (A, +, ·), satisfazendo a propriedade A2, recebe o nome de elemento
neutro.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 5 / 18
Exemplo 7
No anel M2(R) das matrizes 2 × 2 com coeficientes reais, temos:
0M2(R) =
[
0R 0R
0R 0R
]
ou, simplesmente, 0 =
[
0 0
0 0
]
.
Lembrete 8
A3 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 6 / 18
Exemplo 7
No anel M2(R) das matrizes 2 × 2 com coeficientes reais, temos:
0M2(R) =
[
0R 0R
0R 0R
]
ou, simplesmente, 0 =
[
0 0
0 0
]
.
Lembrete 8
A3 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 6 / 18
Exemplo 7
No anel M2(R) das matrizes 2 × 2 com coeficientes reais, temos:
0M2(R) =
[
0R 0R
0R 0R
]
ou, simplesmente, 0 =
[
0 0
0 0
]
.
Lembrete 8
A3 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A.
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Exemplo 7
No anel M2(R) das matrizes 2 × 2 com coeficientes reais, temos:
0M2(R) =
[
0R 0R
0R 0R
]
ou, simplesmente, 0 =
[
0 0
0 0
]
.
Lembrete 8
A3 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a = a, ∀a ∈ A.
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Lembrete 9
A3 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a= a, ∀a ∈ A.
Demonstração.
Seja a ∈ M2(R), digamos a =
[
x y
z w
]
, com x, y, z, w ∈ R.
Note que
[
x y
z w
]
+
[
0 0
0 0
]
=
[
x + 0 y + 0
z + 0 w + 0
]
=
[
x y
z w
]
.
Analogamente,
[
0 0
0 0
]
+
[
x y
z w
]
=
[
x y
z w
]
. Portanto,
[
0 0
0 0
]
é o elemento neutro
do anel M2(R).
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 7 / 18
Lembrete 9
A3 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a= a, ∀a ∈ A.
Demonstração.
Seja a ∈ M2(R), digamos a =
[
x y
z w
]
, com x, y, z, w ∈ R. Note que
[
x y
z w
]
+
[
0 0
0 0
]
=
[
x + 0 y + 0
z + 0 w + 0
]
=
[
x y
z w
]
.
Analogamente,
[
0 0
0 0
]
+
[
x y
z w
]
=
[
x y
z w
]
. Portanto,
[
0 0
0 0
]
é o elemento neutro
do anel M2(R).
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 7 / 18
Lembrete 9
A3 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a= a, ∀a ∈ A.
Demonstração.
Seja a ∈ M2(R), digamos a =
[
x y
z w
]
, com x, y, z, w ∈ R. Note que
[
x y
z w
]
+
[
0 0
0 0
]
=
[
x + 0 y + 0
z + 0 w + 0
]
=
[
x y
z w
]
.
Analogamente,
[
0 0
0 0
]
+
[
x y
z w
]
=
[
x y
z w
]
.
Portanto,
[
0 0
0 0
]
é o elemento neutro
do anel M2(R).
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 7 / 18
Lembrete 9
A3 existe um elemento 0 ∈ A, tal que a + 0 = 0 + a= a, ∀a ∈ A.
Demonstração.
Seja a ∈ M2(R), digamos a =
[
x y
z w
]
, com x, y, z, w ∈ R. Note que
[
x y
z w
]
+
[
0 0
0 0
]
=
[
x + 0 y + 0
z + 0 w + 0
]
=
[
x y
z w
]
.
Analogamente,
[
0 0
0 0
]
+
[
x y
z w
]
=
[
x y
z w
]
. Portanto,
[
0 0
0 0
]
é o elemento neutro
do anel M2(R).
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 7 / 18
Proposição 10 (Unicidade do inverso aditivo)
Sejam A um anel e a ∈ A. Então existe um único elemento b ∈ A, tal que a + b = 0.
Demonstração.
A existência de um elemento b ∈ A, tal que a + b = 0, é garantida pela definição de anel.
Agora, suponha que c ∈ A também satisfaça a + c = 0. Assim,
b =
0 + b = (c + a) + b = c + (a + b) = c + 0
= c.
O que prova a unicidade.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 8 / 18
Proposição 10 (Unicidade do inverso aditivo)
Sejam A um anel e a ∈ A. Então existe um único elemento b ∈ A, tal que a + b = 0.Demonstração.
A existência de um elemento b ∈ A, tal que a + b = 0, é garantida pela definição de anel.
Agora, suponha que c ∈ A também satisfaça a + c = 0. Assim,
b =
0 + b = (c + a) + b = c + (a + b) = c + 0
= c.
O que prova a unicidade.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 8 / 18
Proposição 10 (Unicidade do inverso aditivo)
Sejam A um anel e a ∈ A. Então existe um único elemento b ∈ A, tal que a + b = 0.
Demonstração.
A existência de um elemento b ∈ A, tal que a + b = 0, é garantida pela definição de anel.
Agora, suponha que c ∈ A também satisfaça a + c = 0.
Assim,
b =
0 + b = (c + a) + b = c + (a + b) = c + 0
= c.
O que prova a unicidade.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 8 / 18
Proposição 10 (Unicidade do inverso aditivo)
Sejam A um anel e a ∈ A. Então existe um único elemento b ∈ A, tal que a + b = 0.
Demonstração.
A existência de um elemento b ∈ A, tal que a + b = 0, é garantida pela definição de anel.
Agora, suponha que c ∈ A também satisfaça a + c = 0. Assim,
b =
0 + b = (c + a) + b = c + (a + b) = c + 0
= c.
O que prova a unicidade.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 8 / 18
Proposição 10 (Unicidade do inverso aditivo)
Sejam A um anel e a ∈ A. Então existe um único elemento b ∈ A, tal que a + b = 0.
Demonstração.
A existência de um elemento b ∈ A, tal que a + b = 0, é garantida pela definição de anel.
Agora, suponha que c ∈ A também satisfaça a + c = 0. Assim,
b = 0 + b =
(c + a) + b = c + (a + b) = c + 0
= c.
O que prova a unicidade.
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Proposição 10 (Unicidade do inverso aditivo)
Sejam A um anel e a ∈ A. Então existe um único elemento b ∈ A, tal que a + b = 0.
Demonstração.
A existência de um elemento b ∈ A, tal que a + b = 0, é garantida pela definição de anel.
Agora, suponha que c ∈ A também satisfaça a + c = 0. Assim,
b = 0 + b = (c + a) + b =
c + (a + b) = c + 0
= c.
O que prova a unicidade.
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Proposição 10 (Unicidade do inverso aditivo)
Sejam A um anel e a ∈ A. Então existe um único elemento b ∈ A, tal que a + b = 0.
Demonstração.
A existência de um elemento b ∈ A, tal que a + b = 0, é garantida pela definição de anel.
Agora, suponha que c ∈ A também satisfaça a + c = 0. Assim,
b = 0 + b = (c + a) + b = c + (a + b) =
c + 0
= c.
O que prova a unicidade.
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Proposição 10 (Unicidade do inverso aditivo)
Sejam A um anel e a ∈ A. Então existe um único elemento b ∈ A, tal que a + b = 0.
Demonstração.
A existência de um elemento b ∈ A, tal que a + b = 0, é garantida pela definição de anel.
Agora, suponha que c ∈ A também satisfaça a + c = 0. Assim,
b = 0 + b = (c + a) + b = c + (a + b) = c + 0 = c.
O que prova a unicidade.
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Proposição 10 (Unicidade do inverso aditivo)
Sejam A um anel e a ∈ A. Então existe um único elemento b ∈ A, tal que a + b = 0.
Demonstração.
A existência de um elemento b ∈ A, tal que a + b = 0, é garantida pela definição de anel.
Agora, suponha que c ∈ A também satisfaça a + c = 0. Assim,
b = 0 + b = (c + a) + b = c + (a + b) = c + 0 = c.
O que prova a unicidade.
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Definição 11
Em um anel A, se a + b = 0, então dizemos que b é o inverso aditivo de a e denotamos
b = −a.
Observação 12
A mesma igualdade a + b = 0 também nos diz que o inverso aditivo de b é a, ou seja, a = −b.
Dessa forma, −(−a) = a, para todo a ∈ A.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 9 / 18
Definição 11
Em um anel A, se a + b = 0, então dizemos que b é o inverso aditivo de a e denotamos
b = −a.
Observação 12
A mesma igualdade a + b = 0 também nos diz que o inverso aditivo de b é a, ou seja, a = −b.
Dessa forma, −(−a) = a, para todo a ∈ A.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 9 / 18
Proposição 13
Seja A um anel. Então 0 · a = a · 0 = 0, para todo a ∈ A.
Demonstração.
Se a ∈ A, então 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. Logo,
0 = 0 · a +
(
− (0 · a)
)
=
(
0 · a + 0 · a
)
+
(
− (0 · a)
)
= 0 · a + 0 = 0 · a.
Analogamente, a partir de a · 0 = a · (0 + 0), concluímos que a · 0 = 0 (Prove �).
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 10 / 18
Proposição 13
Seja A um anel. Então 0 · a = a · 0 = 0, para todo a ∈ A.
Demonstração.
Se a ∈ A, então 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a.
Logo,
0 = 0 · a +
(
− (0 · a)
)
=
(
0 · a + 0 · a
)
+
(
− (0 · a)
)
= 0 · a + 0 = 0 · a.
Analogamente, a partir de a · 0 = a · (0 + 0), concluímos que a · 0 = 0 (Prove �).
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 10 / 18
Proposição 13
Seja A um anel. Então 0 · a = a · 0 = 0, para todo a ∈ A.
Demonstração.
Se a ∈ A, então 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. Logo,
0 = 0 · a +
(
− (0 · a)
)
=
(
0 · a + 0 · a
)
+
(
− (0 · a)
)
= 0 · a + 0 = 0 · a.
Analogamente, a partir de a · 0 = a · (0 + 0), concluímos que a · 0 = 0 (Prove �).
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 10 / 18
Proposição 13
Seja A um anel. Então 0 · a = a · 0 = 0, para todo a ∈ A.
Demonstração.
Se a ∈ A, então 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. Logo,
0 = 0 · a +
(
− (0 · a)
)
=
(
0 · a + 0 · a
)
+
(
− (0 · a)
)
=
0 · a + 0 = 0 · a.
Analogamente, a partir de a · 0 = a · (0 + 0), concluímos que a · 0 = 0 (Prove �).
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Proposição 13
Seja A um anel. Então 0 · a = a · 0 = 0, para todo a ∈ A.
Demonstração.
Se a ∈ A, então 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. Logo,
0 = 0 · a +
(
− (0 · a)
)
=
(
0 · a + 0 · a
)
+
(
− (0 · a)
)
= 0 · a + 0 =
0 · a.
Analogamente, a partir de a · 0 = a · (0 + 0), concluímos que a · 0 = 0 (Prove �).
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Proposição 13
Seja A um anel. Então 0 · a = a · 0 = 0, para todo a ∈ A.
Demonstração.
Se a ∈ A, então 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. Logo,
0 = 0 · a +
(
− (0 · a)
)
=
(
0 · a + 0 · a
)
+
(
− (0 · a)
)
= 0 · a + 0 = 0 · a.
Analogamente, a partir de a · 0 = a · (0 + 0), concluímos que a · 0 = 0 (Prove �).
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Proposição 13
Seja A um anel. Então 0 · a = a · 0 = 0, para todo a ∈ A.
Demonstração.
Se a ∈ A, então 0 · a = (0 + 0) · a = 0 · a + 0 · a. Logo,
0 = 0 · a +
(
− (0 · a)
)
=
(
0 · a + 0 · a
)
+
(
− (0 · a)
)
= 0 · a + 0 = 0 · a.
Analogamente, a partir de a · 0 = a · (0 + 0), concluímos que a · 0 = 0 (Prove �).
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Notação 14
Para simplificar a notação, se a, b, c ∈ A, onde A é um anel, iremos denotar:
a + (−b) simplesmente por a − b;
tanto (a + b) + c quanto a + (b + c) por a + b + c;
a · b por ab;
tanto (a · b) · c quanto a · (b · c) por abc.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 11 / 18
Notação 14
Para simplificar a notação, se a, b, c ∈ A, onde A é um anel, iremos denotar:
a + (−b) simplesmente por a − b;
tanto (a + b) + c quanto a + (b + c) por a + b + c;
a · b por ab;
tanto (a · b) · c quanto a · (b · c) por abc.
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Notação 14
Para simplificar a notação, se a, b, c ∈ A, onde A é um anel, iremos denotar:
a + (−b) simplesmente por a − b;
tanto (a + b) + c quanto a +(b + c) por a + b + c;
a · b por ab;
tanto (a · b) · c quanto a · (b · c) por abc.
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Notação 14
Para simplificar a notação, se a, b, c ∈ A, onde A é um anel, iremos denotar:
a + (−b) simplesmente por a − b;
tanto (a + b) + c quanto a + (b + c) por a + b + c;
a · b por ab;
tanto (a · b) · c quanto a · (b · c) por abc.
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Proposição 15
Seja A um anel. Então −(ab) = (−a)b = a(−b), para todo a, b ∈ A.
Demonstração.
Como (−a)b + ab = (−a + a)b = 0b = 0, temos que (−a)b é o inverso aditivo de ab, ou seja,
(−a)b = −(ab). Analogamente, como a(−b) + ab = a(−b + b) = 0, segue-se que
a(−b) = −(ab).
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 12 / 18
Proposição 15
Seja A um anel. Então −(ab) = (−a)b = a(−b), para todo a, b ∈ A.
Demonstração.
Como (−a)b + ab = (−a + a)b = 0b = 0,
temos que (−a)b é o inverso aditivo de ab, ou seja,
(−a)b = −(ab). Analogamente, como a(−b) + ab = a(−b + b) = 0, segue-se que
a(−b) = −(ab).
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Proposição 15
Seja A um anel. Então −(ab) = (−a)b = a(−b), para todo a, b ∈ A.
Demonstração.
Como (−a)b + ab = (−a + a)b = 0b = 0, temos que (−a)b é o inverso aditivo de ab,
ou seja,
(−a)b = −(ab). Analogamente, como a(−b) + ab = a(−b + b) = 0, segue-se que
a(−b) = −(ab).
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 12 / 18
Proposição 15
Seja A um anel. Então −(ab) = (−a)b = a(−b), para todo a, b ∈ A.
Demonstração.
Como (−a)b + ab = (−a + a)b = 0b = 0, temos que (−a)b é o inverso aditivo de ab, ou seja,
(−a)b = −(ab).
Analogamente, como a(−b) + ab = a(−b + b) = 0, segue-se que
a(−b) = −(ab).
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 12 / 18
Proposição 15
Seja A um anel. Então −(ab) = (−a)b = a(−b), para todo a, b ∈ A.
Demonstração.
Como (−a)b + ab = (−a + a)b = 0b = 0, temos que (−a)b é o inverso aditivo de ab, ou seja,
(−a)b = −(ab). Analogamente, como a(−b) + ab = a(−b + b) = 0,
segue-se que
a(−b) = −(ab).
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 12 / 18
Proposição 15
Seja A um anel. Então −(ab) = (−a)b = a(−b), para todo a, b ∈ A.
Demonstração.
Como (−a)b + ab = (−a + a)b = 0b = 0, temos que (−a)b é o inverso aditivo de ab, ou seja,
(−a)b = −(ab). Analogamente, como a(−b) + ab = a(−b + b) = 0, segue-se que
a(−b) = −(ab).
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Definição 16
Dizemos que um anel A é comutativo quando satisfaz:
A7 a · b = b · a, ∀a, b ∈ A.
Exemplo 17
Os anéis Z e R são comutativos.
Exemplo 18
Seja n ∈ N. Em Zn = {0̄, 1̄, . . . , n − 1}, definimos
ā +Zn b̄ = a +Z b e ā ·Zn b̄ = a ·Z b.
Exercício 19 (�)
Usando o fato de (Z, +, ·) ser um anel comutativo, prove que (Zn, +Zn , ·Zn) também é um
anel comutativo.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 13 / 18
Definição 16
Dizemos que um anel A é comutativo quando satisfaz:
A7 a · b = b · a, ∀a, b ∈ A.
Exemplo 17
Os anéis Z e R são comutativos.
Exemplo 18
Seja n ∈ N. Em Zn = {0̄, 1̄, . . . , n − 1}, definimos
ā +Zn b̄ = a +Z b e ā ·Zn b̄ = a ·Z b.
Exercício 19 (�)
Usando o fato de (Z, +, ·) ser um anel comutativo, prove que (Zn, +Zn , ·Zn) também é um
anel comutativo.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 13 / 18
Definição 16
Dizemos que um anel A é comutativo quando satisfaz:
A7 a · b = b · a, ∀a, b ∈ A.
Exemplo 17
Os anéis Z e R são comutativos.
Exemplo 18
Seja n ∈ N. Em Zn = {0̄, 1̄, . . . , n − 1}, definimos
ā +Zn b̄ = a +Z b e ā ·Zn b̄ = a ·Z b.
Exercício 19 (�)
Usando o fato de (Z, +, ·) ser um anel comutativo, prove que (Zn, +Zn , ·Zn) também é um
anel comutativo.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 13 / 18
Definição 16
Dizemos que um anel A é comutativo quando satisfaz:
A7 a · b = b · a, ∀a, b ∈ A.
Exemplo 17
Os anéis Z e R são comutativos.
Exemplo 18
Seja n ∈ N. Em Zn = {0̄, 1̄, . . . , n − 1}, definimos
ā +Zn b̄ = a +Z b e ā ·Zn b̄ = a ·Z b.
Exercício 19 (�)
Usando o fato de (Z, +, ·) ser um anel comutativo, prove que (Zn, +Zn , ·Zn) também é um
anel comutativo.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 13 / 18
Exercício 20 (�)
Usando o fato de (Z, +, ·) ser um anel comutativo, prove que (Zn, +Zn , ·Zn) também é um
anel comutativo.
Rascunho
Precisamos verificar 7 propriedades. Vejamos, por exemplo, a propriedade A7. Se ā, b̄ ∈ Zn,
então, pela definição, ā · b̄ = a · b. Agora, como Z é comutativo, então a · b = b · a. Assim,
ā · b̄ = a · b = b · a = b̄ · ā.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 14 / 18
Exercício 20 (�)
Usando o fato de (Z, +, ·) ser um anel comutativo, prove que (Zn, +Zn , ·Zn) também é um
anel comutativo.
Rascunho
Precisamos verificar 7 propriedades. Vejamos, por exemplo, a propriedade A7.
Se ā, b̄ ∈ Zn,
então, pela definição, ā · b̄ = a · b. Agora, como Z é comutativo, então a · b = b · a. Assim,
ā · b̄ = a · b = b · a = b̄ · ā.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 14 / 18
Exercício 20 (�)
Usando o fato de (Z, +, ·) ser um anel comutativo, prove que (Zn, +Zn , ·Zn) também é um
anel comutativo.
Rascunho
Precisamos verificar 7 propriedades. Vejamos, por exemplo, a propriedade A7. Se ā, b̄ ∈ Zn,
então, pela definição, ā · b̄ = a · b.
Agora, como Z é comutativo, então a · b = b · a. Assim,
ā · b̄ = a · b = b · a = b̄ · ā.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 14 / 18
Exercício 20 (�)
Usando o fato de (Z, +, ·) ser um anel comutativo, prove que (Zn, +Zn , ·Zn) também é um
anel comutativo.
Rascunho
Precisamos verificar 7 propriedades. Vejamos, por exemplo, a propriedade A7. Se ā, b̄ ∈ Zn,
então, pela definição, ā · b̄ = a · b. Agora, como Z é comutativo, então a · b = b · a.
Assim,
ā · b̄ = a · b = b · a = b̄ · ā.
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Exercício 20 (�)
Usando o fato de (Z, +, ·) ser um anel comutativo, prove que (Zn, +Zn , ·Zn) também é um
anel comutativo.
Rascunho
Precisamos verificar 7 propriedades. Vejamos, por exemplo, a propriedade A7. Se ā, b̄ ∈ Zn,
então, pela definição, ā · b̄ = a · b. Agora, como Z é comutativo, então a · b = b · a. Assim,
ā · b̄ = a · b = b · a = b̄ · ā.
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Exemplo 21
O anel das matrizes M2(R) não é comutativo.
Demonstração.
Basta exibirmos a, b ∈ M2(R), tais que a · b ̸= b · a. Tome, por exemplo,
a =
[
1 0
0 0
]
e b =
[
0 1
0 0
]
.
Note que
a · b =
[
0 1
0 0
]
̸=
[
0 0
0 0
]
= b · a.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 15 / 18
Exemplo 21
O anel das matrizes M2(R) não é comutativo.
Demonstração.
Basta exibirmos a, b ∈ M2(R), tais que a · b ̸= b · a.
Tome, por exemplo,
a =
[
1 0
0 0
]
e b =
[
0 1
0 0
]
.
Note que
a · b =
[
0 1
0 0
]
̸=
[
0 0
0 0
]
= b · a.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 15 / 18
Exemplo 21
O anel das matrizes M2(R) não é comutativo.
Demonstração.
Basta exibirmos a, b ∈ M2(R), tais que a · b ̸= b · a. Tome, por exemplo,
a =
[
1 0
0 0
]
e b =
[
0 1
0 0
]
.
Note que
a · b =
[
0 1
0 0
]
̸=
[
0 0
0 0
]
= b · a.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 15 / 18
Exemplo 21
O anel das matrizes M2(R) não é comutativo.
Demonstração.
Basta exibirmos a, b ∈ M2(R), tais que a · b ̸= b ·a. Tome, por exemplo,
a =
[
1 0
0 0
]
e b =
[
0 1
0 0
]
.
Note que
a · b =
[
0 1
0 0
]
̸=
[
0 0
0 0
]
= b · a.
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Definição 22
Um anel com identidade é um anel que satisfaz
A8 existe 1 ∈ A, tal que 1 ̸= 0 e 1 · a = a · 1 = a, ∀a ∈ A.
Exercício 23 (�)
Seja A é um anel com identidade. Prove que existe apenas um elemento satisfazendo A8.
Definição 24
Em um anel com identidade, o único elemento satisfazendo A8 é chamado de identidade de A
e será representado por 1.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 16 / 18
Definição 22
Um anel com identidade é um anel que satisfaz
A8 existe 1 ∈ A, tal que 1 ̸= 0 e 1 · a = a · 1 = a, ∀a ∈ A.
Exercício 23 (�)
Seja A é um anel com identidade. Prove que existe apenas um elemento satisfazendo A8.
Definição 24
Em um anel com identidade, o único elemento satisfazendo A8 é chamado de identidade de A
e será representado por 1.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 16 / 18
Definição 22
Um anel com identidade é um anel que satisfaz
A8 existe 1 ∈ A, tal que 1 ̸= 0 e 1 · a = a · 1 = a, ∀a ∈ A.
Exercício 23 (�)
Seja A é um anel com identidade. Prove que existe apenas um elemento satisfazendo A8.
Definição 24
Em um anel com identidade, o único elemento satisfazendo A8 é chamado de identidade de A
e será representado por 1.
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Exemplo 25
Os anéis Z,R,Zn e M2(R) são todos com identidade. Note que (Prove! �)
1Zn = 1̄ e 1M2(R) =
[
1 0
0 1
]
.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 17 / 18
Exercício 26 (�)
estudar: notas de aula, seção 1.1;
lista: exercícios 1.1 a 1.5;
exercícios da aula.
Cláudio Saccomori (DEMAT - UFRRJ) Anéis: definição e exemplos 20 de setembro de 2021 18 / 18