Integral de linha - exercício resolvido

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• , onde C é o traço da curva parametrizada .y ds
C
∫ 3 𝛼 t = t ; t , 0 ⩽ t ⩽ 2( ) 3
Resolução:
Colocando a curva parametrizada na forma;
 
; 0 ⩽ t ⩽ 2x t = t( )
3 
y t = t( ) 
Fazemos as derivadas parciais:
 
= 3t ; = 1
𝜕x
𝜕t
2
𝜕y
𝜕t
A integral de linha fica;
 
y ds = t ⋅ dt
C
∫ 3
2
0
∫ 3 3t + 12 2 ( )2
y ds = t ⋅ dt
C
∫ 3
2
0
∫ 3 9t + 14
Resolvendo a integral;
t ⋅ dt = ⋅ t dt; u = 9t + 1∫ 3 9t + 14 ∫ 9t + 14 3 4
 du = 36t dt3
 = t dt
du
36
3
 
Substiutindo; ⋅ = u ⋅ du = ⋅ + c∫ u du
36
1
36
∫
1
2
1
36
u
+1
1
2
+1
1
2
 = ⋅ + c = ⋅ ⋅ 9t + 1 + c = + c
1
36
9t + 14
3
2
3
2
1
36
2
3
4
3
2
9t + 1
54
4
3
2
Voltando para integral definida;
y ds = t ⋅ dt = =
C
∫ 3
2
0
∫ 3 3t + 12 2 ( )2
9t + 1
54
4
3
2
t=2
t=0
9 2 + 1 - 9 0 + 1
54
( )4
3
2
( )4
3
2
= ⋅ 145 - 1 = ⋅ - 1 = ⋅ ⋅ - 1
1
54
( )
3
2 ( )
3
2
1
54
145
3 1
54
145
2
145
 
 
 
= ⋅ 145 ⋅ - 1
1
54
145
 
 
 
(Resposta)