AULA [PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS] RM I [2020 1]

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Resistência dos Materiais
Propriedades Mecânicas dos Materiais, 
Deformação Longitudinal e Transversal
Prof. Victor Augusto
Introdução
Em 1660 o físico inglês Robert Hooke (1635-1703), observando o
comportamento mecânico de uma mola, descobriu que as
deformações elásticas obedecem a uma lei muito simples. Hooke
descobriu que quanto maior fosse o peso de um corpo suspenso a
uma das extremidades de uma mola (cuja outra extremidade era
presa a um suporte fixo) maior era a deformação (no caso:
aumento de comprimento) sofrida pela mola.
Prof. Victor Augusto
Introdução
Analisando outros sistemas elásticos, Hooke verificou que existia sempre
proporcionalidade entre forças deformantes e deformação elástica produzida.
Pôde então enunciar o resultado das suas observações sob forma de uma lei
geral. Tal lei, que é conhecida atualmente como Lei de Hooke, e que foi
publicada em 1676, sendo representada da seguinte forma: 𝑭 = 𝑲. 𝒙
Em que:
𝑭 = força elástica
𝑲 = constante elástica
𝒙 = deformação ou alongamento do meio elástico
Prof. Victor Augusto
Introdução
Quando se estuda resistência dos materiais, o principal objetivo é descobrir em
quais condições ocorrem as falhas. Para isso, é necessário calcular as tensões
e deformações que atuam/ocorrem na peça.
É necessário também, conhecer como os materiais se comportam quando
submetidos a essas tensões e deformações. É sabido que até um certo nível
de tensão, os materiais se comportam elasticamente, de acordo com a lei de
Hooke.
𝝈 = 𝑬𝜺
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Tensão
Módulo de elasticidade
Deformação
Introdução
Onde:
❑ 𝝈 = Tensão (é a força atuante em uma unidade de área frente uma
seção transversal de um material).
❑ 𝑬 = Módulo de elasticidade (é uma propriedade mecânica que mede a
rigidez de um material sólido. Define a relação entre tensão - força por
unidade de área - e deformação proporcional em um material).
❑ 𝜺 = Deformação (é qualquer mudança da configuração geométrica do
corpo que leve a uma variação da sua forma ou das suas dimensões
após a aplicação de uma ação externa).
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Introdução
Nota-se então que a Lei de Hooke é responsável por verificar a deformação do
corpo elástico. O objeto de estudo mais usado para esse evento é a mola
espiral, por ser um objeto flexível que se alonga com facilidade.
Prof. Victor Augusto
Introdução
A energia armazenada no corpo (nesse caso, a mola) é a energia potencial,
que é um tipo de armazenamento de energia dos corpos em virtude do seu
posicionamento, ou seja, o sistema ou o corpo podem possuir forças interiores
capazes de modificar suas posições relativas e suas diferentes partes para se
chegar ao objetivo (que é realizar trabalho).
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Propriedade Mecânica dos Materiais
❑ Elasticidade / Comportamento Elástico: Todo material quando submetido
a solicitações externas deforma-se, o comportamento elástico de um material
é a capacidade que o mesmo tem em retornar sua forma e dimensões
originais quando retirado os esforços externos sobre ele.
❑ Plasticidade / Comportamento Plástico: O material já não consegue
recuperar sua forma e dimensões originais, pois o mesmo é submetido a
tensões que ultrapassam um certo limite (chamada de limite elástico) no qual
o material sofre um deformação permanente.
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Propriedade Mecânica dos Materiais
❑ Ductibilidade: É a capacidade que um material tem em deformar-se
plasticamente até sua ruptura. Um material que se rompe sem sofrer uma
quantidade significativa de carga no regime plástico é denominado de frágil.
❑ Tenacidade: É a capacidade que um material tem em absorver energia até
a sua ruptura. Também pode ser definida como a energia mecânica
necessária para levar um material a ruptura.
❑ Resiliência: É a capacidade que o material tem em absorver energia no
regime elástico (quando é deformado elasticamente).
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Propriedade Mecânica dos Materiais (Indagações)
❑ O que seria o limite de elasticidade de um material?
❑ Como um material se comporta após o limite de elasticidade?
❑ O que vem a ser escoamento?
❑ O que significa endurecimento/encruamento de um material?
❑ Qual a condição para que um material venha a se estriccionar?
❑ Quando ocorre a ruptura do material?
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Ensaios Laboratoriais
Para responder as perguntas: são realizados testes experimentais com os
materiais estudados com a finalidade de registrar seu comportamento.
O teste mais comum é o Ensaio de Tração, quando um corpo de prova
composto por um material qualquer a ser estudado é inserido numa máquina,
onde será submetido gradualmente a tensões de tração até sua ruptura.
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Ensaio de Tração
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Ensaio de Tração
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Essa máquina registra continuamente a força aplicada e a variação relativa a
deformação correspondente no corpo de prova.
Diagrama Tensão-Deformação
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Os dados de força aplicada e de variação de comprimento são divididos,
respectivamente, pela área original “A” da seção transversal e pelo
comprimento original “L” do corpo de prova.
Com isso, é obtido o Diagrama Tensão-Deformação do material, que indica a
tensão 𝝈 no material (eixo y) correspondente a cada deformação 𝜺 (eixo x)
Diagrama Tensão-Deformação (Dúcteis)
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Diagrama Tensão-Deformação (Frágeis)
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Diagrama Tensão-Deformação (Diversos Materiais)
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Na imagem abaixo, tem-se exemplos ilustrativos desse diagrama para alguns
materiais:
Região Elástica
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Pode-se observar que todos os materiais estudados comportam-se linearmente
em uma determinada região dos seus diagramas:
Região Elástica
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Essa região, indicada pela cor laranja na figura abaixo, é chamada de Região
Elástica ou Região Linear-Elástica.
Região Elástica
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Nessa região, os materiais se comportam de acordo com a lei de Hooke 𝝈 = 𝑬𝜺
e as deformações são reversíveis, ou seja, o material volta ao seu estado
original, uma vez que nenhuma força atuar sobre o mesmo.
Módulo de Elasticidade
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O módulo de elasticidade, ou módulo de Young (Thomas Young, 1807) é a
razão entre a tensão e a deformação na direção da carga aplicada, sendo a
máxima tensão que o material suporta sem sofrer deformação permanente. É
dada por:
𝑬 =
𝑭
𝑨
∆𝑳
𝑳𝒊
→
𝑭 × 𝑳𝒊
𝑨 × ∆𝑳
𝑬 =
𝝈
𝜺
Módulo de Elasticidade
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Demonstração do módulo
de elasticidade no diagrama
tensão-deformação
Módulo de Elasticidade
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Tabela com alguns
módulos de elasticidade
Obs.: o módulo de elasticidade só pode ser
usado se o material tiver um comportamento
elástico linear, ou seja, só vale dentro da região
elástica.
Região Plástica
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Após a região elástica, existe uma segunda região, indicada pela cor verde na
figura abaixo, chamada de Região Plástica.
Região Plástica
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Nessa segunda região, as deformações:
❑ Deixam de ser elásticas (reversíveis e descritas pela Lei de Hooke)
❑ Passam a ser plásticas (irreversíveis e descritas somente pelo Diagrama
Tensão-Deformação)
Região Plástica
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Nessa segunda região, as deformações:
❑ Deixam de ser elásticas (reversíveis e descritas pela Lei de Hooke)
❑ Passam a ser plásticas (irreversíveis e descritas somente pelo Diagrama
Tensão-Deformação)
Obs.: Alguns materiais possuem apenas região elástica ou região plástica.
O vidro, por exemplo, é um material que possui apenas região elástica.
Resistência ao Escoamento
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Quando os materiais se deformam irreversivelmente, ocorre o escoamento. É
necessário definir a tensão máxima que pode ser atingida por esse material a
fim de evitar que ele escoe.
Essa tensão máxima é chamada de Resistência ao Escoamento ou Tensão de
escoamento e é dada por:
𝝈𝒆 =
𝑭𝒆𝑺𝟎Limite de escoamento
Força de escoamento
Área inicial da seção 
transversal do corpo de prova
Resistência ao Escoamento
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Alguns materiais, como o aço, tem um trecho de escoamento mais acelerado no
início de sua região plástica. Nesses materiais, a resistência ao escoamento 𝝈𝒆
é a tensão no ponto imediatamente anterior desse trecho.
Resistência ao Escoamento
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Outros materiais, como o alumínio, não possuem essa característica em sua
região plástica. Nestes caso, utiliza-se a Regra do Desvio para determinar o
valor da resistência ao escoamento 𝝈𝒆.
De acordo com essa regra, deve-se traçar, no diagrama, uma reta paralela à
reta da região elástica desviada por uma deformação 𝜺 de 0,002 ou 0,2%.
Resistência ao Escoamento
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O ponto onde essa reta se encontrar com o diagrama vai indicar a tensão de
escoamento 𝝈𝒆.
Limite de Resistência a Tração
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O Limite de Resistência à Tração é a tensão no ponto máximo da curva tensão-
deformação. É a máxima tensão que pode ser sustentada por uma estrutura
que se encontra sob tração. Essa tensão máxima é representada por 𝝈𝒎á𝒙.
𝝈𝒎á𝒙 =
𝑭𝒎
𝑺𝟎Limite de resistência à tração
Força máxima atingida 
no ensaio
Área inicial da seção 
transversal do corpo de prova
Limite de Resistência a Tração
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O Limite de Resistência à Tração é a tensão no ponto máximo da curva tensão-
deformação. É a máxima tensão que pode ser sustentada por uma estrutura
que se encontra sob tração. Essa tensão máxima é representada por 𝜎𝑚á𝑥.
Encruamento
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A partir da região de escoamento, o material entra no campo de
deformações irreversíveis (plásticas), onde ocorre o endurecimento
por trabalho a frio. Essa característica chama-se Encruamento.
Empescoçamento (Necking) ou Estricção
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A redução percentual da área de seção transversal do corpo de prova na
região onde vai se localizar a ruptura, chama-se estricção. Quando ocorre
esse efeito o “pescoço” do corpo de prova se deforma de maneira que a
deformação no resto da peça se alivia, causando a queda de tensão.
A estricção determina a ductilidade do material, quanto maior a
porcentagem de estricção, mais dúctil será o material.
Empescoçamento (Necking) ou Estricção
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Empescoçamento (Necking) ou Estricção
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Empescoçamento (Necking) ou Estricção
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Região do corpo de prova 
onde ocorre a estricção
Ou seja
Diminuição da área
da seção transversal
da peça no ponto
estriccionado, em
razão da força de
tração aplicada na
mesma.
Empescoçamento (Necking) ou Estricção
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A redução de área da seção transversal pode ser calculada para corpos de
seção circular ou corpos de seção retangular, e são representadas por:
𝝋 = 𝒒 × 𝟏𝟎𝟎 → 𝝋 =
(𝒂𝒛𝒃𝒛 − 𝒂𝟎𝒃𝟎)
𝒂𝟎𝒃𝟎
× 𝟏𝟎𝟎(%)
Empescoçamento (Necking) ou Estricção
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𝝋 = 𝒒 × 𝟏𝟎𝟎 → 𝝋 =
(𝑫𝟎𝟐 −𝑫𝒇𝟐)
𝑫𝟎𝟐
× 𝟏𝟎𝟎(%)
A redução de área da seção transversal pode ser calculada para corpos de
seção circular ou corpos de seção retangular, e são representadas por:
Tensão de Ruptura
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É a máxima carga axial observada no teste de tração, imediatamente antes do
seu rompimento, dividida pela área original da seção transversal do corpo de
prova. É a tensão no último ponto do diagrama tensão-deformação do material,
quando ocorre sua ruptura.
Alongamento Percentual
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O alongamento percentual 𝑳’ corresponde ao acréscimo percentual do
comprimento final do corpo de prova após o ensaio em relação ao seu
comprimento inicial. O cálculo do alongamento do corpo de prova fraturado
pode ser realizado por meio da fórmula da deformação específica 𝜺 =
𝜹
𝑳𝒐
𝑳′ = 𝑳 + 𝜹
Alongamento Percentual
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𝑳′ = 𝑳 + 𝜹
Onde:
❑ 𝑳′ = Comprimento final
❑ 𝑳 = Comprimento inicial
❑ 𝜹 = Variação de comprimento (é igual ao comprimento inicial 𝑳 multiplicado
pela deformação final 𝜺𝒑 )
Alongamento Percentual
Portanto:
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𝑳′ = 𝑳 + (𝑳 . 𝜺𝒑)
𝑳′ = 𝑳 + 𝜹 A deformação 𝜺𝒑 é dada emporcentagem, assim sendo,
multiplicar o valor da
deformação por 100 para se
obter a deformação
percentual. Ex.: 0,02*100=
2,0%
Deformação Específica ou Deformação Normal
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A Deformação normal é o alongamento ou contração de um seguimento de reta
por unidade de comprimento. Ex.:
𝑚𝑚
𝑚𝑚
;
𝑐𝑚
𝑐𝑚
;
𝑝𝑜𝑙
𝑝𝑜𝑙
;
𝑚
𝑚
… (adimensional)
Deformação Específica ou Deformação Normal
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Dessa forma, tem-se que:
𝜺 =
∆𝑳
𝑳𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
∴ 𝜺 =
𝑳𝒇𝒊𝒏𝒂𝒍−𝑳𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
𝑳𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍
Materiais Dúcteis
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Os materiais que são capazes de sofrerem grandes deformações antes do seu
rompimento, são chamados de Materiais Dúcteis.
Obs.: Os materiais que sofrem 
estricção serão sempre dúcteis.
Materiais Frágeis
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Os materiais que sofrem pequenas deformações até o seu ponto de ruptura são
chamados de Materiais Frágeis.
Obs.: Nos materiais frágeis o
limite de resistência a tração
𝝈𝒎á𝒙 é igual à tensão de ruptura 𝝈𝒓.
Materiais Frágeis
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Embora denominam-se materiais frágeis, sua resistência 𝝈𝒎á𝒙 pode
ser alta, como é o caso de alguns materiais cerâmicos.
Alguns materiais frágeis possuem resistência à compressão maior
que a resistência à tração, como ocorre com o concreto.
Tipos de Falha em Corpos de Prova
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Tipos de Falha em Corpos de Prova
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Tensão e Deformação Cisalhante
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A tensão de cisalhamento 𝜏 é a relação entre a força aplicada e a
área submetida ao cisalhamento, e é dada por:
𝝉 =
𝑭
𝑨𝟎
𝝉 = Tensão
𝑭 = Força paralela às faces
superior e inferior do corpo
de prova
𝑨𝟎 = Área das faces superior
e inferior do corpo de prova
Tensão e Deformação Cisalhante
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As tensões de cisalhamento produzem o deslocamento de um
plano de átomos em relação ao plano adjacente, ou seja, as forças
atuantes provocam uma deformação elástica de cisalhamento 𝜸 é
dada por:
𝜸 = Deformação elástica
𝒕𝒈𝜽 = Tangente do ângulo de
deformação do corpo de
prova
𝜸 = 𝐭𝐠𝜽
Tensão e Deformação Cisalhante
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Dessa forma, aplicando-se o conceito da Lei de Hooke (𝝈 = 𝑬. 𝜺) para as
tensões de cisalhamento, tem-se:
𝝉 = 𝑮 × 𝜸
Onde:
𝝉 = Tensão de cisalhamento
𝑮 = Módulo de elasticidade ao cisalhamento do material (módulo de
cisalhamento ou módulo transversal)
𝜸 = Deformação de cisalhamento (relacionada ao ângulo de torção do slide
anterior)
Tensão e Deformação Cisalhante
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Para se obter o módulo de elasticidade ao cisalhamento, ou
módulo transversal, relaciona-se o módulo do cisalhamento (𝑮)
com o Módulo de Young (𝑬) e o Coeficiente de Poisson (𝝂), dessa
forma tem-se:
𝑮 =
𝑬
𝟐 × (𝟏 + 𝝂)
Coeficiente de Poisson
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Segundo o cientista francês S. D. Poisson (1800) Quando um corpo
deformável é alongado em uma direção, ele sofre uma contração
na direção transversal. Essa relação chama-se coeficiente de
Poisson e se dá por:
𝝂 = −
𝜺𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒍
𝜺𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅𝒊𝒏𝒂𝒍
Coeficiente de Poisson
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O sinal negativo está incluído na fórmula porque as extensões transversais e
longitudinais possuem sinais opostos. Materiais convencionais têm coeficiente
de Poisson positivo, ou seja, contraem-se transversalmente quando esticados
longitudinalmente e se expandem transversalmente quando comprimidos
longitudinalmente.
𝝂 = −
𝜺𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒍
𝜺𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅𝒊𝒏𝒂𝒍
Coeficiente de Poisson
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Como se pode ver na figura, para uma deformação longitudinal negativa (∆𝐿/𝐿)
a deformação transversal (∆𝐴/𝐴) é positiva, por isso se inclui o sinal negativona definição do coeficiente de Poisson, de modo a obter um coeficiente positivo.
Assim sendo, tem-se que:
𝝂 = −
∆𝑨
𝑨𝟎
∆𝑳
𝑳𝟎
Coeficiente de Poisson
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Onde:
𝚫𝑨 – variação da dimensão transversal;
𝑨𝟎 – dimensão transversal inicial;
𝚫𝐋 – variação da dimensão longitudinal;
𝑳𝟎 – dimensão longitudinal inicial.
𝝂 = −
∆𝑨
𝑨𝟎
∆𝑳
𝑳𝟎
Coeficiente de Poisson
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A tabela ao lado demonstra o
Coeficiente de Poisson de
alguns materiais comuns,
obtidos por meio de ensaios de
tração.
material 𝜈
Aço 0,25
Alumínio 0,26 a 0,36
Cobre 0,34
Borracha 0,47
concreto 0,083 a 0,125
Exercício de Fixação 01
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Ao ser submetido a um ensaio de tração, um corpo de prova de liga
de cobre com comprimento de referência de 50 mm sofre uma
deformação de 0,40 mm/mm quando a tensão é de 490 MPa. Se
𝜎𝑒 = 315 𝑀𝑃𝑎 quando 𝜀𝑒 = 0,0025 𝑚𝑚/𝑚𝑚, determine a distância
entre os pontos de referência quando a carga é aliviada
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Resolução
Dados:
Comprimento de referência = 𝟓𝟎𝒎𝒎
Deformação = 𝟎, 𝟒𝟎𝒎𝒎/𝒎𝒎
Tensão = 𝟒𝟗𝟎𝑴𝑷𝒂.
𝜎𝑒 = 𝟑𝟏𝟓𝑴𝑷𝒂
𝜀𝑒 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟐𝟓𝒎𝒎/𝒎𝒎
Exercício de Fixação 01
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Resolução
Determinação do módulo de 
elasticidade
𝐸 =
𝜎𝑒
𝜀𝑒
𝐸 =
315 𝑀𝑃𝑎
0,0025 𝑚𝑚/𝑚𝑚
𝐸 = 126.000 𝑀𝑃𝑎
Deformação final
𝜀𝑝 = 𝜀 −
𝜎
𝐸
𝜀𝑝 = 0,3961 𝑚𝑚/𝑚𝑚
𝜀𝑝 = (0,40 𝑚𝑚/𝑚𝑚) −
490 𝑀𝑃𝑎
126.000 𝑀𝑃𝑎
Exercício de Fixação 01
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Resolução
Comprimento final 𝑳
𝐿′ = 𝐿(1 + 𝜀𝑒)
𝑳 = 𝟔𝟗, 𝟖𝟎𝟔𝒎𝒎
𝐿′ = 50 𝑚𝑚 (1 + 0,3961 𝑚𝑚)
Exercício de Fixação 01
Exercício de Fixação 02
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A haste de alumínio mostrada na figura
(a) tem seção transversal circular e
está submetida a uma carga axial de
10 kN. Se uma parte do diagrama
tensão-deformação do material é
mostrado na figura (b), determinar o
alongamento aproximado da haste
quando a carga é aplicada. Suponha
que 𝐸𝑎𝑙 = 70 𝐺𝑃𝑎.
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Resolução
Tensão normal em AB
𝜎𝐴𝐵 =
𝑃
𝐴
𝜎𝐴𝐵 =
10 ∗ 103 𝑁
𝜋 ∗ 𝑑²
4
𝜎𝐴𝐵 =
4 ∗ 104 𝑁
𝜋 ∗ (0,02 𝑚) ²
𝝈𝑨𝑩 = 𝟑𝟏, 𝟖𝟑𝑴𝑷𝒂
Tensão normal em BC
Exercício de Fixação 02
𝜎𝐵𝐶 =
𝑃
𝐴
𝜎𝐵𝐶 =
10 ∗ 103𝑁
𝜋 ∗ 𝑑²
4
𝜎𝐵𝐶 =
4 ∗ 104 𝑁
𝜋 ∗ (0,015 𝑚)²
𝝈𝑩𝑪 = 𝟓𝟔, 𝟓𝟗𝑴𝑷𝒂
Prof. Victor Augusto
Resolução
De acordo com o diagrama, a região AB se comporta elasticamente, pois a tensão 
elástica 𝜎𝑒 = 40 Mpa é maior que a tensão normal neste trecho (31,83 MPa).
𝜀𝐴𝐵 =
𝜎𝐴𝐵
𝐸𝑎𝑙
𝜀𝐴𝐵 =
31,83 ∗ 106 𝑃𝑎
70 ∗ 109 𝑃𝑎
𝜺𝑨𝑩 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟒𝟓𝟒𝟕𝒎𝒎/𝒎𝒎
Exercício de Fixação 02
Região do gráfico em
que a deformação é
elástica
Prof. Victor Augusto
Resolução
De acordo com o diagrama, a região BC se comporta plasticamente, pois a tensão 
elástica 𝜎𝑒 = 40 Mpa é menor que a tensão normal neste trecho (56,59 MPa).
𝛿 = Σ 𝜀 ∗ 𝐿
𝛿 = 𝜀𝐴𝐵 ∗ 𝐿𝐴𝐵 + 𝜀𝐵𝐶 ∗ 𝐿𝐵𝐶
𝛿 = (0,0004547 ∗ 600) + (0,045 ∗ 400)
𝜹 = 𝟏𝟖, 𝟑 𝒎𝒎
Exercício de Fixação 02
Região do gráfico em
que a deformação é
plástica
Exercício de Fixação 03
Prof. Victor Augusto
Um corpo de liga de titânio é testado
em torção e o diagrama tensão-
deformação de cisalhamento é
mostrado na figura abaixo. Determine o
módulo de cisalhamento G, o limite de
proporcionalidade e o limite de
resistência ao cisalhamento. Determine
também a máxima distância d de
deslocamento horizontal da parte
superior de um bloco desse material, se
ele se comportar elasticamente quando
submetido a uma força de cisalhamento
V. Qual é o valor de V necessário para
causar esse deslocamento?
Prof. Victor Augusto
ResoluçãoExercício de Fixação 03
𝑮 =
𝟑𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟔 𝑷𝒂
𝟎, 𝟎𝟎𝟖 𝒓𝒂𝒅
𝑮 = 𝟒𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟗 𝑷𝒂 𝒐𝒖 𝟒𝟓 𝑮𝑷𝒂
As coordenadas no ponto A
são: (0,008 rad.; 360 Mpa).
Assim, o módulo de
cisalhamento se dá por:
𝝉 = 𝑮 × 𝜸 ∴ 𝑮 =
𝝉
𝜸
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ResoluçãoExercício de Fixação 03
Por inspeção, o gráfico
deixa de ser linear no
ponto A. dessa forma,
o limite de
proporcionalidade é:
𝝉𝒍𝒑 = 𝟑𝟔𝟎𝑴𝑷𝒂
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ResoluçãoExercício de Fixação 03
O limite de resistência é
representado no gráfico
no ponto B, onde ocorre a
máxima tensão de
cisalhamento, portanto:
𝝉𝒎 = 𝟓𝟎𝟒𝑴𝑷𝒂
Prof. Victor Augusto
ResoluçãoExercício de Fixação 03
Para determinar o
deslocamento da parte
superior do bloco tem-se
que: 𝜸 = 𝐭𝐠𝜽. Logo,
𝒕𝒈 𝟎, 𝟎𝟎𝟖 ≈ 𝟎, 𝟎𝟎𝟖
𝒅
𝟓𝟎𝒎𝒎
∴
𝒅 = 𝟎, 𝟒 𝒎𝒎
Prof. Victor Augusto
ResoluçãoExercício de Fixação 03
𝛕𝐦é𝐝 =
𝐕
𝐀
∴ 𝐕 = 𝟑𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟔 𝑷𝒂 ∙ (𝟎, 𝟎𝟕𝟓𝐦 ∙ 𝟎, 𝟏 𝒎)
A tensão cisalhante V
necessária para causar tal
deslocamento (0,4 mm),
tendo em vista que ele se
comporte elasticamente será:
𝐕 = 𝟐. 𝟕𝟎𝟎 𝒌𝑵
Prof. Victor Augusto
Exercício de Fixação 04
Mediu-se uma barra de aço de 12 mm de diâmetro por 250
mm de comprimento e constatou-se um comprimento de
249,8 mm, após um tempo.
a) A que força ela estava submetida?
b) Qual a deformação lateral sofrida pela barra?
Prof. Victor Augusto
Resolução
Dados:
Comprimento inicial = 𝟐𝟓𝟎𝒎𝒎
Comprimento final = 𝟐𝟒𝟗, 𝟖 𝒎𝒎
Diâmetro = 𝟏𝟐𝒎𝒎 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟐 𝒎
Módulo de elasticidade longitudinal (E) do aço = 𝟐𝟏𝟎 × 𝟏𝟎𝟗 𝑷𝒂 (N/m²)
Coeficiente de Poisson (𝝂) do Aço = 𝟎, 𝟐𝟓
Exercício de Fixação 04
Prof. Victor Augusto
Resolução
Exercício de Fixação 04
𝜺 =
∆𝑳
𝑳𝒊
=
(𝟐𝟒𝟗, 𝟖𝒎𝒎 − 𝟐𝟓𝟎𝒎𝒎)
𝟐𝟓𝟎𝒎𝒎
=
− 𝟎, 𝟐𝒎𝒎
𝟐𝟓𝟎𝒎𝒎
=
a)
𝜺 =
𝝈
𝑬
→ 𝝈 = 𝜺 × 𝑬 → 𝝈 = 𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒 × 𝟐𝟏𝟎 × 𝟏𝟎𝟗 =
𝝈 =
𝑭
𝑨
→ 𝑭 = 𝝈 × 𝑨 = 𝟏𝟔𝟖 × 𝟏𝟎𝟔 × 𝟏, 𝟏𝟑 × 𝟏𝟎−𝟒 =
𝑨 =
𝝅 × 𝒅²
𝟒
→ 𝑨 =
𝝅 × (𝟎, 𝟎𝟏𝟐 𝐦)²
𝟒
→ 𝑨 =
−𝟖 × 𝟏𝟎−𝟒 𝒎 Τ𝒎 𝒎𝒎
𝟏𝟔𝟖𝑴𝑷𝒂
𝟏𝟖. 𝟗𝟖𝟒 𝑵 𝒐𝒖 𝟏𝟖, 𝟗 𝒌𝑵
𝟏, 𝟏𝟑 × 𝟏𝟎−𝟒 𝒎²
Sinal negativo significa que a peça está comprimindo
(encurtando) no sentido longitudinal. Consequentemente, a
deformação lateral será positiva, pois estará aumentando.
Prof. Victor Augusto
ResoluçãoExercício de Fixação 04
b) Para encontrar a deformação lateral, têm-se:
𝝂 = −
𝜺𝒍𝒂𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
𝜺𝒍𝒐𝒏𝒈𝒊𝒕𝒖𝒅𝒊𝒏𝒂𝒍
→ 𝜺𝒍𝒂𝒕 = 𝝂 × 𝜺𝒍𝒐𝒏𝒈
𝜺𝒍𝒂𝒕 = −𝟎, 𝟐𝟓 × (−𝟖 × 𝟏𝟎
−𝟒)
𝜺𝒍𝒂𝒕 = 𝟐 × 𝟏𝟎
−𝟒
Prof. Victor Augusto
Exercício Proposto 01
O diagrama tensão-deformação para o polietileno que é utilizado para revestir
cabos coaxiais é determinado por um ensaio com um corpo de prova com
comprimento de referencia de 250 mm. Se uma carga P aplicada ao corpo de
prova desenvolver uma deformação 𝜀 = 0,024 mm/mm , determine o valor
aproximado do comprimento do corpo de prova medido entre os pontos de
referencia quando a carga é removida. Considere que o corpo de prova se
recupere elasticamente
Prof. Victor Augusto
A figura apresenta o diagrama tensão-deformação para uma resina de poliéster. Se a viga for
suportada por uma barra AB e um poste CD, ambos feitos desse material, e for submetida à
carga P = 80 kN, determine o ângulo de inclinação da viga quando a carga for aplicada. O
diâmetro da barra é 40 mm, e o diâmetro do poste é 80 mm.
Exercício Proposto 02
Prof. Victor Augusto
Exercício Proposto 03
Abaixo se apresenta o diagrama tensão-deformação de um material dúctil
fictício.
Identifique na imagem as seguintes propriedades desse material:
a) Módulo de elasticidade (E)
b) Limite de resistência ao Escoamento (𝜎𝑒)
c) Limite de Resistência a Tração (𝜎𝑚á𝑥)
d) Tensão de Ruptura (𝜎𝑟)
Prof. Victor Augusto
Exercício Proposto 04
Com base no gráfico de tensão e deformação dado abaixo, responda se as
alternativas são falsas ou verdadeiras, justificando aquelas que são falsas.
a) ( ) O módulo de elasticidade do material A é
maior que o módulo de elasticidade do material B
b) ( ) A resistência a tração do material B é
maior que o de A.
c) ( ) Os gráficos parecem demonstrar que
ambos os materiais são frágeis
d) ( ) Os materiais A e B rompem na mesma
deformação, apesar de possuíremtensões de
rompimento deferentes.
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Exercício Proposto 05
Dois blocos de borracha, cada um com 80 mm de comprimento por 40 mm de
largura e 20 mm de espessura, são colados a um suporte e a uma placa móvel
(1). Quando é aplicada uma força P = 2.800 N ao conjunto, a placa (1) se move
horizontalmente 8 mm. Determine o módulo de elasticidade transversal G da
borracha usada nos blocos.
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Exercício Proposto 06
Um corpo de prova de alumínio tem diâmetro de 𝑑0 =
25 𝑚𝑚 e comprimento de referência 𝐿0 = 250 𝑚𝑚. Se
uma força de 165 kN provocar um alongamento de
1,2 mm no comprimento de referência, determine o
módulo de elasticidade. Determine também a
contração do diâmetro que a força provoca no corpo
de prova. Considere: 𝐺𝑎𝑙 = 26 𝐺𝑃𝑎 e 𝜎𝐿𝑝 = 440 𝑀𝑃𝑎.
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Exercício Proposto 07
Calcular o alongamento de uma barra de aço de diâmetro
10 mm e 2,70 m de comprimento, submetida a uma carga
de 12 kN.
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Exercício Proposto 08
Uma barra de aço de 6 mm de comprimento não deve
alongar-se mais do que 4,8 mm, quando for submetida a
uma força de tração de 6 kN. Sendo Eaço = 200 GPa,
determine o menor diâmetro que a barra pode ter.
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Exercício Proposto 09
Uma barra de latão de 8 metros de comprimento e, quando
tracionada não deve ter um alongamento superior a 9 mm.
Determine o menor diâmetro que pode ter essa barra,
sabendo-se que E = 105 GPa e σe = 100 MPa. A carga
atuante é de 5 kN.
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